浙江省杭州市2021版九年级上学期数学期中考试试卷(I)卷
浙江省杭州市2021版九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·全椒模拟) 二次函数y=x2﹣2x的顶点为（）A . （1，1）B . （2，﹣4）C . （﹣1，1）D . （1，﹣1）2. （2分）(2016·武汉) 已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）A . a=5，b=1B . a=﹣5，b=1C . a=5，b=﹣1D . a=﹣5，b=﹣13. （2分） (2016九上·蕲春期中) 给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=﹣x2；④y=x2 ．当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A . 55°B . 70°C . 90°D . 110°5. （2分）(2017·宜昌模拟) 如图，当刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），圆的半径是5，那么刻度尺的宽度为（）A . cmB . 4cmC . 3cmD . 2cm6. （2分）如图，在一张矩形纸片的一端，将折出的一个正方形展平后，又折成了两个相等的矩形，再把纸片展平，折出小矩形的对角线，并将小矩形的对角线折到原矩形的长边上．设MN的长为2，在下面给出的三种折叠中能得到长为（）线段的有（）A . 0种B . 1种C . 2种D . 3种7. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A . 有最小值﹣5、最大值0B . 有最小值﹣3、最大值6C . 有最小值0、最大值6D . 有最小值2、最大值68. （2分） (2016八下·蓝田期中) 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连接AA′，若∠1=27°，则∠B的度数是（）A . 84°B . 72°C . 63°D . 54°9. （2分） (2016九上·武清期中) 如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分） (2018九上·深圳期末) 如图，抛物线y=ax +bx+c经过点（-1,0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc ＞0；②a-b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ②③④二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2017·柘城模拟) 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是________．12. （1分）在函数中，自变量x的取值范围是________.13. （1分） (2019九下·郑州月考) 如图，在中，，将绕点逆时针旋转30°后得到，若图中阴影部分的面积是，则 ________.14. （1分）(2016·连云港) 如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为________．15. （1分） (2016九上·金华期末) 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是________ cm．16. （1分） (2016九上·肇庆期末) 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠APB＝50°，则∠AOP＝________．三、解答题 (共9题；共86分)17. （5分） (2018九上·丰台期末) 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.18. （6分） (2019八下·镇江月考) 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(-2，2)，B(0，5)，C(0，2).①将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形.②)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(-2，-6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形.③若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2 ，请直接写出旋转中心的坐标.19. （5分）(2017·大祥模拟) 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？20. （10分）(2019·孝感模拟) 为做好汉江防汛工作，防汛指挥部决定对一段长为2500m重点堤段利用沙石和土进行加固加宽．专家提供的方案是：使背水坡的坡度由原来的1：1变为1：1.5，如图，若CD∥BA，CD=4米，铅直高DE=8米．（1）求加固加宽这一重点堤段需沙石和土方数是多少？（2）某运输队承包这项沙石和土的运送工程，根据施工方计划在一定时间内完成，按计划工作5天后，增加了设备，工效提高到原来的1.5倍，结果提前了5天完成任务，问按原计划每天需运送沙石和土多少m3?21. （10分） (2017九上·上城期中) 如图，已知圆上两点，．（1）用直尺和圆规求圆心（保留作图痕迹，不写画法）．（2）若，此圆的半径为，求弦与劣弧所组成的弓形面积．22. （10分） (2017九上·余姚期中) 某超市经销一种销售成本为每件60元的商品，据市场调查发现，如果按每件70元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售就减少10件，设销售价为每件x元（x≥70），一周的销售量为y件.（1）当销售价为每件80元时，一周能销售多少件？答：________件．（2）写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.（3）设一周的销售利润为w，写出w与x的函数关系式.（4）在超市对该种商品投入不超过18000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？23. （15分） (2019九上·瑞安期末) 如图，在中，，，，点P 是射线BA上的一个动点，以BP为半径的交射线BC于点D，直线PD交直线AC于点E，点P关于直线AC的对称点为点，连结，，设直线与直线BC交于点F.（1）当点P在线段BA上时，求证：；连结，当时，求的长；（2）连结AD，AF，当恰为等边三角形时，求此时四边形的面积；（3）当四边形在内部时，请直接写出BP的取值范围.24. （10分）(2017·桂平模拟) 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）求证：AE=BG（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=4，当旋转角α为多少度时，AE取得最大值？直接写出AE取得最大值时α的度数，并利用备用图画出这时的正方形DEFG，最后求出这时AF的值．25. （15分）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值;（2）连接OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由;（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共9题；共86分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、22-4、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、25-3、。
浙江省温州实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(Word解析版)
浙江省温州实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣23．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°4．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．55．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A 的度数为（）A．105°B．110°C．115°D．120°6．如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为（）A．6B．9C．10D．257．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（）A．7B．8C．9D．108．如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC 于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为（）A．9B．18C．19D．209．已知两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线y＝x2﹣2bx+c上，若y1＞y2，则b的取值范围为（）A．b＞4B．b＜4C．b≥4D．b≤410．如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为S1，S2，S3，S4，在《几何原本》有这样一个结论；S1+S4＝2（S2+S3）．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共30分）11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是．12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连结AE，那么∠EAB的度数为．14．如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为m．15．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为．16．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三、解答题（共8小题，满分68分）17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．18．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5．（1）求该抛物线的顶点坐标．（2）该抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．19．（8分）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC ＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点D，请根据下列要求在方格中画图．（1）在图1中，作与△ABC相似的格点△DEF，且满足S△DEF＝2S△ABC．（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△PEF，使点D为斜边EF的三等分点．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（1，0）和点B（0，2）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求m的取值范围．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4，弦CD⊥AB于点G，点E是上的一点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE．（1）求证：∠ACF＝∠CAF．（2）点P在上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝30°，且DP＝3FQ时，求CP的长．23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．份量小份装大份装成本（元/份）4060售价（元/份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利元，此时大份装每天可售出份．（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．点E是线段BD上一点，过点A，E，D的⊙O交CD延长线于点F，连结AE，AF，EF．（1）求证：△AEF∼△BAD．（2）连接OE，OD，当∠AEB与△OED的一个内角相等时，求所有满足条件的BE的长．（3）将△ABD绕点D旋转，记旋转后A和B的对应点分别为P，Q，当P，Q同时落在⊙O上时，求点P到弦AD的距离．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）1．已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d＞r．【解答】解：当点P是⊙O外一点时，OP＞5cm，A、B、C均不符．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2B．y＝x2+2C．y＝（x﹣2）2D．y＝x2﹣2【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【解答】解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．故选：C．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．3．如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【分析】根据正多边形的中心角＝，计算即可．【解答】解：由题意这是正十六边形，中心角α＝＝22.5°，故选：B．【点评】本题考查正多边形的有关性质，解题的关键是记住中心角＝．4．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c 于点D，E，F．若DE＝2EF，AC＝6，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，∵DE＝2EF，AC＝6，∴＝2，解得：AB＝4，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A 的度数为（）A．105°B．110°C．115°D．120°【分析】首先根据角平分线的定义及∠ABC的度数求得∠DBC，再根据圆周角定理推论得∠BDC＝90°，然后求得∠C的度数，利用圆内接四边形的性质求得答案即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠DBC＝20°，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．6．如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为（）A．6B．9C．10D．25【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出答案．【解答】解：∵两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，，∴＝，∴＝，∵小五边形的周长为4，设大正方形的周长为x，∴＝，解得：x＝10．故选：C．【点评】此题主要考查了位似图形，正确得出相似比是解题关键．7．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（）A．7B．8C．9D．10【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案．【解答】解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±，∴A（﹣，14），C（，14），∴AC＝﹣（﹣）＝9，故选：C．【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键．8．如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC 于点F，若AC＝8，BC＝11，则四边形CDEF的周长为（）A．9B．18C．19D．20【分析】连接BP并延长交AC于点G，由△ABC的重心点P可知BP：BG＝2：3，然后得到BD：BC＝ED：AC＝2：3，从而求得ED和FC的长，然后得到CD：BC＝1：3，再结合EF∥BC求得四边形CDEF是平行四边形，最后求得四边形CDEF的周长．【解答】解：连接BP并延长交AC于点G，∵△ABC的重心点P，∴BP：BG＝2：3，∵ED∥AC，∴△BDP∽△BCG，△BEP∽△BAG，∴，，∴，，∵AC＝8，BC＝11，∴ED＝，CD＝，∵EF∥BC，ED∥AC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴四边形CDEF的周长为2×（+）＝18．故选：B．【点评】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是由△ABC的重心得到相关线段长度的比值．9．已知两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线y＝x2﹣2bx+c上，若y1＞y2，则b的取值范围为（）A．b＞4B．b＜4C．b≥4D．b≤4【分析】根据题意和二次函数的性质和对称性可判断b的范围．【解答】解：当抛物线y＝x2﹣2bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣＝b，a＝1开口向上，两点A（2，y1），B（6，y2）均在抛物线上y1＞y2，则b﹣2＞6﹣b，解得b＞4，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的对称性，熟练掌握利用对称性解决抛物线比较大小的问题是解题的关键．10．如图，点C为线段AB的中点，在AC上取点D，分别以AD，CD，BC，BD为边向上作正方形ADGH，CDKL，BCIJ，DBEF，将其面积依次记为S1，S2，S3，S4，在《几何原本》有这样一个结论；S1+S4＝2（S2+S3）．当AB＝2时，若A，K，J共线，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质证明△ADK∽△ABJ，设CD＝x，则AD＝1﹣x，KD＝CD＝x，所以＝，解得x＝，再根据图形可得S阴影部分+S2+S3＝S1+S4＝2（S2+S3），所以S＝S2+S3＝CD2+BC2，进而可得结果．阴影部分【解答】解：根据题意可知：DK∥BJ，∴△ADK∽△ABJ，＝，∵点C为线段AB的中点，AB＝2，∴AC＝BC＝BJ＝1，设CD＝x，则AD＝1﹣x，KD＝CD＝x，∴＝，解得x＝，∴AD＝1﹣x＝，CD＝DK＝，∵S阴影部分+S2+S3＝S1+S4＝2（S2+S3），∴S阴影部分＝S2+S3＝CD2+BC2＝（）2+12＝+1＝．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共30分）11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是2．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2开口向上，其顶点坐标为（1，2），所以最小值是2．【点评】本题考查二次函数的基本性质，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．13．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B旋转后与△EBD重合，连结AE，那么∠EAB的度数为70°．【分析】先根∠CAB＝50°，求出∠ABC，再结合图形，根据旋转的性质确定出△ABC 旋转后与△EBD重合的过程，然后得出答案即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠CAB＝50°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣50°＝40°．∵△ABC经过旋转后与△EBD重合，∴这一旋转的旋转中心是点B，旋转角是40°．BE＝BA，∴∠BAE＝（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，准确识图是解题的关键．14．如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为m．【分析】如图，连接CQ．求出PD，PC，利用勾股定理求解．【解答】解：如图，连接CQ．由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，∴DQ＝DP＝PQ＝1（m），∵P A＝QB，∴AQ＝PB＝（AB﹣PQ）＝2（m），∴PC＝P A＝2+2＝4（m），∴CD＝＝＝（m），故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．15．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，点C在对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB′C，若点B′恰好落在抛物线的对称轴上，则点C的坐标为（1，）．【分析】先求出点A，B的坐标，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，然后解直角三角形即可．【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图：设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，∠CAH＝∠CAB′＝∠HAB′，在Rt△AB′H中，cos∠B′AH＝＝＝，∴∠B′AH＝60°，∴∠CAH＝30°，在Rt△CAH中，CH＝tan30°•AH＝×2＝，∴C（1，），故答案为：（1，）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、解直角三角形以及翻折变换的性质，关键是对翻折变换的应用．16．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为32．【分析】如图，过点C作CH⊥EG于点H．利用相似三角形的性质证明EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，推出EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴△ABE∽△HCE，∴＝，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，满分68分）17．（8分）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．【解答】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项是3．（2）设x＝4k，y＝3k，∴＝＝﹣．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．18．（8分）已知抛物线y＝x2﹣6x+5．（1）求该抛物线的顶点坐标．（2）该抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．【分析】（1）通过配方法把二次函数解析化为顶点式即可；（2）求出点A，B，C的坐标，再用三角形面积公式求面积即可．【解答】解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x2﹣6x+9﹣9）+5＝（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）；（2）令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB＝4，令x＝0，则y＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10．∴△ABC的面积为10．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点．19．（8分）铁路道口的栏杆如图，其A，B两端到旋转支点C的距离分别为AC＝1.2m，BC ＝15m．栏杆在水平状态下到地面的距离CD为1.3m，栏杆绕点C转动，当A端下降至离地距离AE为0.9m时，求此时B端到地面的距离（BF）为多少米？【分析】通过证明△A'AC∽△B'BC，可得，可求解．【解答】解：如图，由题意可得：AC＝1.2m，BC＝15m，AA'＝1.3﹣0.9＝0.4m，∵AA'⊥A'B'，BB'⊥A'B'，∴AA'∥BB'，∴△A'AC∽△B'BC，∴，∴，∴BB'＝5，∴BF＝5+1.3＝6.3（米）．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点D，请根据下列要求在方格中画图．（1）在图1中，作与△ABC相似的格点△DEF，且满足S△DEF＝2S△ABC．（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△PEF，使点D为斜边EF的三等分点．【分析】（1）利用数形结合的思想，根据相似比是，求出△DEF的各边，画出图形即可；（2）利用数形结合思想，构造三边分别为3，6，3的三角形即可．【解答】解：（1）如图1中，△DEF即为所求；（2）如图2中，△PEF即为所求．【点评】本题考查作图﹣相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（1，0）和点B（0，2）．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）将该抛物线上的点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限时，求m的取值范围．【分析】（1）代入点A（1，0）和点B（0，2）可求答案；（2）求出A、B与N点重合时m的值，可得答案．【解答】解：（1）抛物线过点A（1，0）和点B（0，2），代入得：，解得：b＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）点M（m，p）向右平移至点N（n，q），当点N落在该抛物线上且位于第一象限，若N为点A时，对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝，m＝﹣4，同理若N为点B时，m＝﹣3，∴m的取值范围为﹣4＜m＜﹣3．【点评】本题考查了二次函数的待定系数法以及图象特征，关键是利用对称性和数形结合解决问题．22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4，弦CD⊥AB于点G，点E是上的一点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE．（1）求证：∠ACF＝∠CAF．（2）点P在上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝30°，且DP＝3FQ时，求CP的长．【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理证明即可．（2）证明△CFQ∽△CPD，可得＝＝，只要求出CF，可得结论．【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∵AC＝CE，∴＝＝，∴∠ACF＝∠CAF；（2）解：连接CO，OD．∵AB⊥CD，∴∠AGC＝90°，∵∠ACG＝30°，∴∠CAG＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OA，∴△ACO是等边三角形，∴AC＝OA＝4，∴AG＝AC＝2．CG＝AG＝6，∵∠CAF＝∠ACF，∴AF＝CF＝2FG，∴CF＝CG＝4，∵＝，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，∴∠P＝∠COD＝60°，∵∠CFQ＝∠F AC+∠FCA＝60°，∴∠CFQ＝∠P，∵∠FCQ＝∠PCD，∴△CFQ∽△CPD，∴＝＝，∴CP＝12．【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23．某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．份量小份装大份装成本（元/份）4060售价（元/份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利（20+m）元，此时大份装每天可售出（30+4m）份．（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？【分析】（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，根据题意列出方程，解方程即可；（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；（3）根据总利润＝小份装利润+大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．【解答】解：（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，由题意得：x+x+40＝100，解得：x＝30，则x+40＝70，∴该店总利润为＝30×（100﹣60）+70（60﹣40）＝1200+1400＝2600（元），∴该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；（2）①小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元，利润为60+m﹣40＝（20+m）元小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份，则目前每天销售小份菜（70﹣4m）份，因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份，则大份菜销量为100﹣（70﹣4m）＝（30+4m）份．∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份，故答案为：（20+m），（30+4m）；（3）由（2）可知，大份装多售出4m份，∴大份装降价＝2m元，假设利润为W，则W＝（20+m）×（70﹣4m）+（40﹣2m）×（30+4m）＝﹣12m2+90m+2600，该二次函数开口向下，对称轴为m＝﹣＝3.75，∵m是整数，∴当m＝4时，W有最大值，最大值为﹣12×42+90×4+2600＝2768（元），∴当m＝4元时，每天获利最多，最大利润为2768元．【点评】本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式．24．（14分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．点E是线段BD上一点，过点A，E，D的⊙O交CD延长线于点F，连结AE，AF，EF．（1）求证：△AEF∼△BAD．（2）连接OE，OD，当∠AEB与△OED的一个内角相等时，求所有满足条件的BE的长．（3）将△ABD绕点D旋转，记旋转后A和B的对应点分别为P，Q，当P，Q同时落在⊙O上时，求点P到弦AD的距离．【分析】（1）证明∠AEF＝∠ADF＝90°，且∠ADE＝∠AFE，即可得出结论‘（2）分两种情形，当∠AEB＝∠OED或∠AEB＝∠EOD时，分别根据图形，从而求出答案；（3）连接AQ，AP，首先证明△AQD≌△PQD（SSS），由对称得AP⊥QD，则AM•QD ＝AQ•AD，可求出AM的长，利用勾股定理求出MD的长，再根据等积法求出点P到AD 的距离即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝90°，∴AF为直径，∴∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠BAD，∵∠ADE＝∠AFE，∴△AEF∽△BAD；（2）解：①当∠AEB＝∠OED时，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠AEB＝∠ODE，∴AE∥OD，∴∠DOE＝∠OEA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠OAE＝∠DOE，由（1）知△AEF∽△BAD，∴∠OAE＝∠ABD，∴∠BAE＝∠ODE＝∠BEA，∴BE＝BA＝6，②当∠AEB＝∠EOD时，∵∠EOD＝2∠EAD，∴∠AEB＝2∠EAD，∵∠AEB＝∠EAD+∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∵∠BAD＝90°，∴AE＝BE，∴E为BD的中点，∴BE＝5，综上，BE＝6或5；（3）解：如图，连接AQ，AP，∵∠QPD＝∠BAD＝90°，∴QD为直径，∴∠QAD＝∠BAD＝90°，∴B、A、Q三点共线，∵QD＝BD，AD⊥BQ，∴AQ＝PQ，又∵QD＝QD，AD＝PD，∴△AQD≌△PQD（SSS），由对称得AP⊥QD，∴AM•QD＝AQ•AD，∴AM＝，∴MD＝＝6.4，设点P到弦AD的距离为h，在△APD中，AP•MD＝AD•h，∴h＝＝7.68，∴点P到弦AD的距离为7.68．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，明确运用等积法是求垂线段的常用手段是解题的关键．。
2021年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案详解)
2021年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案详解)1.选择题1.将题目中的选项和答案都对齐，删除多余的换行符。
1.−(−2021)=()A。
−2021.B。
2021.C。
−2021.D。
20212.“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了米的我国载人深潜记录。
数据用科学记数法可表示为()A。
0.×105.B。
1.0909×104.C。
10.909×103.D。
109.09×1023.因式分解：1−4y2=()A。
(1−2y)(1+2y)。
B。
(2−y)(2+y)。
C。
(1−2y)(2+y)。
D。
(2−y)(1+2y)4.如图，设点P是直线l外一点，yy⊥y，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则()A。
yy≥2yy。
B。
yy≤2yy。
C。
yy≥yy。
D。
yy≤yy5.下列计算正确的是()A。
√22=2.B。
√(−2)2=−2.C。
√22=±2.D。
√(−2)2=±26.某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次。
设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为y(y>0)，则()A。
60.5(1−y)=25.B。
25(1−y)=60.5.C。
60.5(1+y)=25.D。
25(1+y)=60.57.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等。
某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是()A。
5/1.B。
4/1.C。
3/1.D。
2/18.在“探索函数y=yy2+yy+y的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：y(0,2)，y(1,0)，y(3,1)，y(2,3)。
同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()A。
2/5.B。
2/3.C。
6/5.D。
2/19.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使yy⊥yy；②作∠yyy的平分线AD；③以点A为圆心，AB 长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作yy⊥yy于点P，则AP：yy=()A。
浙江省金华市婺城区南苑中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
浙江省金华市婺城区南苑中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（）A．（2，8）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣8，﹣2）2．“a是实数，a2≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件3．将函数y＝4x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x﹣2）2﹣3C．y＝4（x+2）2﹣3D．y＝4（x﹣2）2+34．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°5．在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（）A．8，6B．8，2C．，6D．，26．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（）A．70°B．90°C．110°D．120°7．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）A．B．C．D．8．如图▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ＝3：1，则AP：PR＝（）A．4：3B．4：7C．3：4D．3：79．过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A、PB，切点为A和B，若AB＝8，AB的弦心距为3，则P A的长为（）A．5B．C．D．810．如图，正方形ABCD边长为4，E，F分别为线段AD，BC上一点，且AE＝1，CF＝1，AC与DF相交于H，I为线段AH上一点（不与端点重合），J为线段DH上一点（不与端点重合），则EI+IJ的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：（每题4分，共24分）11．如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么＝．12．在一个不透明的盒子中有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数．13．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是．14．已知（1，y1），（3，y2）是函数y＝﹣2x2+6x+c图象上的点，则y1，y2的大小关系是．15．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为．16．图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB﹣CE﹣EF和两个大小相同的车轮组成，已知CD＝25cm，DE＝17cm，cos∠ACD＝，当A，E，F在同一水平高度上时，∠CEF＝135°，则AC＝cm；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至AB∥EF，如图3所示，则d1﹣d2为cm．三、解答题（本大题有7小题，共66分）17．（6分）计算：tan60°﹣（2021﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．18．（6分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少？（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．19．（6分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）20．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，部分网格线被擦去．点A，B，C在格点上．（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的重心P；（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的外心Q；（3）请用无刻度的直尺在图3中找到三角形ABC的内心R．（以上画图，要用虚线画出交点）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝20°，求阴影部分的面积．22．（10分）正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC 上运动时，保持AM和MN垂直．（1）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（2）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．23．（10分）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．（1）判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x ≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE．（1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值；（2）当AD＝2时，①若△DPE与△BPE相似，求DP的长．②若△PEF是等腰三角形，求DE的长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1．抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（）A．（2，8）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣8，﹣2）【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣（x﹣8）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2）．故选：B．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．2．“a是实数，a2≥0”这一事件是（）A．必然事件B．不确定事件C．不可能事件D．随机事件【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．【解答】解：a为实数，a2≥0，是一定成立的问题，是必然事件．故选：A．【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．将函数y＝4x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x﹣2）2﹣3C．y＝4（x+2）2﹣3D．y＝4（x﹣2）2+3【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．【解答】解：把抛物线y＝4x2向左平移2个单位得到抛物线y＝4（x+2）2的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y＝4（x+2）2﹣3的图象，故选：C．【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．5．在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（）A．8，6B．8，2C．，6D．，2【分析】由AB＝3DE，AC＝3DF，可得＝3，＝3，可得＝，由∠A＝∠D，可证明△ABC∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求得结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝3DE，∴＝3，∵AC＝3DF，∴＝3，∴＝，∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝3，∵△ABC的周长为24，∴△DEF的周长＝×24＝8，∴＝＝32＝9∵S△ABC＝18，∴S△DEF＝S△ABC＝2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是一道基础题，熟练掌握和灵活运用相似三角形性质是解答本题的关键．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（）A．70°B．90°C．110°D．120°【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，∵∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，故选：D．【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．7．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）A．B．C．D．【分析】连接格点CE，得到AB∥CE和Rt△DCE．先利用直角三角形的边角间关系求出∠DCE的正切，再得到∠BOD的正切值．【解答】解：如图，连接格点CE，则△DCE是直角三角形．∵AB∥CE，∴∠DCE＝∠DOB．在Rt△DCE中，∵DE＝3，CE＝4，∴tan∠DOB＝tan∠DCE＝＝．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，连接格点C、E，利用平行线的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．8．如图▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ＝3：1，则AP：PR＝（）A．4：3B．4：7C．3：4D．3：7【分析】利用“平行线法”证得△ADQ∽△RCD，则对应边成比例：＝；同理，证得△ADP∽△RBP，则＝，即＝．【解答】解：如图，∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADQ∽△RCD，∴＝，即＝3，∴RC＝AD，同理，△ADP∽△RBP，则＝，即＝，∴＝＝，即AP：PR＝3：4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．9．过⊙O外一点P作⊙O的两条切线P A、PB，切点为A和B，若AB＝8，AB的弦心距为3，则P A的长为（）A．5B．C．D．8【分析】如图：连接OA，OB，利用切线长定理和勾股定理可证明Rt△AOC∽Rt△POA 后求解．【解答】解：如图：连接OA，OB，∵P A、PB为⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，P A＝PB，故PC⊥AB，且AC＝BC＝AB＝×8＝4cm，OC＝3cm，由勾股定理得OA＝＝＝5cm，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠1，在Rt△AOC与Rt△POA中，∠OAB＝∠1，∠2＝∠2，∴Rt△AOC∽Rt△POA，故＝，即P A＝＝．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，切线的性质，相似三角形的性质，有一定的综合性．10．如图，正方形ABCD边长为4，E，F分别为线段AD，BC上一点，且AE＝1，CF＝1，AC与DF相交于H，I为线段AH上一点（不与端点重合），J为线段DH上一点（不与端点重合），则EI+IJ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】如图，在AB上截取AT，使得AT＝AE＝1，过点T作TH⊥DF于H，连接DT，TF，IT．利用面积法求出TH，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，在AB上截取AT，使得AT＝AE＝1，过点T作TH⊥DF于H，连接DT，TF，IT．∵四边形ABCD是正方形，∴AE，AT关于AC对称，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝90°，∴IE＝IT，∵TH⊥DF，∴IE+IJ＝IT+IJ≥TH，在Rt△CDF中，DF＝＝＝，∵S△DFT＝4×4﹣×4×1﹣×1×4﹣×3×3＝，又∵S△DTF＝×DF×HT，∴HT＝，∴EI+IJ≥，∴EI+IJ的最小值为．故选：C．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题：（每题4分，共24分）11．如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵3a＝4b（a、b都不等于零），∴设a＝4x，则b＝3x，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．12．在一个不透明的盒子中有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数12．【分析】首先设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此分式方程即可求得答案．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解；∴黄球的个数为12．故答案为12．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．如图，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△ABP∽△ACB，这个条件可以是∠ABP＝∠C（答案不唯一）．【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等，题中∠A 为公共角，再有一对应角相等即可．【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即∠ABP＝∠C，故答案为：∠ABP＝∠C（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．14．已知（1，y1），（3，y2）是函数y＝﹣2x2+6x+c图象上的点，则y1，y2的大小关系是y1＞y2．【分析】先求出抛物线对称轴，由图象可知抛物线开口向下，再根据两个点与对称轴距离的大小及抛物线的增减性即可判断纵坐标的大小．【解答】解：∵y＝﹣2x2+6x+c，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，开口向下，∵﹣1＜3﹣，∴y1＞y2．故答案为：y1＞y2．【点评】本题主要考查了抛物线上点坐标的特征，找准对称轴以及抛物线的增减性是解题的关键．15．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为2或3．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．故答案为：2或3．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论．16．图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架AB﹣CE﹣EF和两个大小相同的车轮组成，已知CD＝25cm，DE＝17cm，cos∠ACD＝，当A，E，F在同一水平高度上时，∠CEF＝135°，则AC＝30cm；为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至AB∥EF，如图3所示，则d1﹣d2为（﹣10）cm．【分析】（1）根据题意作出辅助线构造Rt△AHC，再根据cos∠ACD＝按比例设出△AHC中CH＝4x，AC＝5x，AH＝3x，最后根据△DAE为等腰直角三角形及线段之间的等量关系列出等式42﹣4x＝3x，求解即可，（2）根据题意过点A作AM⊥EF交其延长线于点M，过点D作DN⊥EF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，得出四边形AMNP是矩形，再结合折叠的性质CD＝25cm，DE＝17cm，cos∠ACD＝，∠DEN＝45°，AC＝30cm以及直角三角形的边角关系PC＝CD cos∠ACD，EN＝DE∠cos∠DEN求得相关线段的长度，设半径为r，则目标线段d1＝2r+AE+EF，d2＝2r+EM+EF，两式相减即可．【解答】解：如图2所示，过点A作AH⊥CE，∵cos∠ACD＝＝，∴可设CH＝4xcm，AC＝5xcm，AH＝3xcm，∵∠DEA＝180°﹣∠DEF＝45°，∴△DAE为等腰直角三角形，∴AH＝HE，∵CE＝CD+DE＝25+17＝42cm，∴AH＝CE﹣CH＝（42﹣4x）cm，∴42﹣4x＝3x，解得x＝6，∴AC＝5×6＝30cm．故答案为：30．（2）如图3所示，过点A作AM⊥EF交其延长线于点M，过点D作DN⊥EF交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点P，∵AB∥EF，∴∠M＝∠PNM＝∠NP A＝90°，∴四边形AMNP是矩形，∴AP＝MN，∵CD＝25cm，DE＝17cm，cos∠ACD＝，∠DEN＝45°，AC＝30cm，∴PC＝CD cos∠ACD＝20cm，EN＝DE•cos∠DEN＝cm，∴MN＝AP＝AC﹣PC＝30﹣20＝10cm，∴ME＝MN+EN＝（10+）cm，由（1）可知AH＝HE＝18cm，∴AE＝18cm，设车轮半径为rcm，则有：d1＝（2r+AE+EF）cm，d2＝（2r+EM+EF）cm，∴d1﹣d2＝（2r+AE+EF）﹣（2r+EM+EF）＝AE﹣EM＝18﹣（10+）＝（﹣10）cm，故答案为：（﹣10）．【点评】本题考查解直角三角形的应用和翻折变换，解直角三角形的应用通常要数形结合根据题意画出平面图形，构造出直角三角形将其转化为解直角三角形问题，选用适当锐角三角函数或边角关系去求解；翻折问题关键是要根据折叠的性质，找到相等的角和相等的边．三、解答题（本大题有7小题，共66分）17．（6分）计算：tan60°﹣（2021﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝2+3．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入1个红球、2个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是多少？（2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求出小李和小王获胜的概率，从而得出游戏规则是否公平．【解答】解：（1）∵共有4个球，其中有1个红球、2个白球、1个黑球，∴摸到红球的概率是．（2）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有2种，两个球都是白色的有2种，则小李获胜的概率是＝，小王获胜的概率是＝，所以游戏规则是公平的．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（6分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB．【解答】解：作PC⊥AB于C点，∴∠APC＝30°，∠BPC＝45°AP＝80（海里）．在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝40（海里）．在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝40≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，部分网格线被擦去．点A，B，C在格点上．（1）请用无刻度的直尺在图1中找到三角形ABC的重心P；（2）请用无刻度的直尺在图2中找到三角形ABC的外心Q；（3）请用无刻度的直尺在图3中找到三角形ABC的内心R．（以上画图，要用虚线画出交点）【分析】（1）作出BC，AC边上的中线交于点P，点P即为所求；（2）作出AC的中点Q即可；（3）作∠BAC，∠ABC的角平分线交于点R，点R即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求；（2）如图2中，点Q即为所求；（3）如图3中，点R即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的重心，外心，内心等知识，解题的关键是连接重心，外心，内心的定义，属于中考常考题型．21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4CF•AC；（3）若⊙O的半径为2，∠CDF＝20°，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB＝∠ABC＝∠C，由DF⊥AC，得∠CDF+∠C＝90°，等量代换可证∠ODF＝90°，从而证明结论；（2）连接AD，根据圆周角定理知∠ADB＝90°，从而证明△CFD∽△CDA，得CD2＝CF•AC，而CD＝BC，代入即可；（3）连接OE，AD，OD，过点O作OH⊥AC于H，分别求出扇形AOE和△AOE的面积，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF是⊙O的切线；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DB＝DC＝，∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；（3）解：连接OE，AD，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵∠CDF＝20°，∴∠C＝70°，∴∠OAE＝40°＝∠OEA，∴∠AOE＝100°，∴AH＝cos40°×OA＝2cos40°，OH＝2sin40°，∴AE＝2AH＝4cos40°，∴S阴影＝﹣4cos40°×2sin40°＝﹣4sin40°×cos40°．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，扇形面积的计算等知识，证明△CFD∽△CDA是解题的关键．22．（10分）正方形ABCD边长为6，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC 上运动时，保持AM和MN垂直．（1）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（2）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．【分析】（1）先证明Rt△ABM∽Rt△MCN，可求CN＝，由梯形的面积公式可求y＝﹣（x﹣3）2+（0＜x＜6），由二次函数的性质可求解；（2）由相似三角形的性质求出AM，MN的长，则可证Rt△ABM∽Rt△AMN．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B＝∠C＝90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°，∴∠CMN+∠AMB＝90°，又∵∠MAB+∠AMB＝90°，∴∠MAB＝∠CMN，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；∴，即＝，∴CN＝，y＝S梯形ABCN＝×（CN+AB）×BC＝×（+6）×6＝﹣x2+3x+18＝﹣（x ﹣3）2+（0＜x＜6），当x＝3时，y取最大值，最大值为，即点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为；（2）当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝6，BM＝MC＝3，∴AM＝3，∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴＝2，∴MN＝AM＝，∵＝，＝＝，∴，而∠ABM＝∠AMN＝90°，∴Rt△ABM∽Rt△AMN，∴当x＝3时，Rt△ABM∽Rt△AMN，【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的面积公式，二次函数的性质等知识，证明Rt△ABM∽Rt△MCN是解本题的关键．23．（10分）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．（1）判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；（2）当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图象与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；（3）若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x ≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【解答】（1）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC×OD＝3，∴E（，0），∴该定弦抛物线表达式为y＝（x+1）（x﹣3），当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为y＝（x+1）（x﹣3），∴综上所述，该定弦抛物线表达式为y＝（x+1）（x﹣3）或y＝（x+1）（x﹣3）；（3）若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线的取最大值，当x＝2时该定弦抛物线的取最小值．∴16+4b+c﹣（4+2b+c）＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线的取最大值，当x＝时该定弦抛物线的取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2＜≤3，∴﹣6≤b＜﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线的取最大值，当x＝时该定弦抛物线的取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线的取最大值，当x＝4时该定弦抛物线的取最小值．∴4+2b+c﹣（16+4b+c）＝+2，解得：b＝﹣，∵＞4，∴b＜﹣8，b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点评】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．24．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE．（1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值；（2）当AD＝2时，①若△DPE与△BPE相似，求DP的长．②若△PEF是等腰三角形，求DE的长．【分析】（1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得∠ABE＝∠PBC，再运用三角函数定义即可求得答案；（2）①根据△DPE与△BPE相似，PE是公共斜边，可得△DPE≌△BPE或△DPE与△BEP，分两种情况讨论即可；③由△PEF是等腰三角形，可得PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF，分三种情况进行讨论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝4，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵点P是CD的中点，∴CP＝CD＝2，∵BP⊥EF，∴∠ABE+∠ABP＝90°，∴∠ABE＝∠PBC，∴tan∠EBA＝tan∠PBC＝＝＝．（2）①∵△DPE与△BPE相似，PE是公共斜边，∴△DPE≌△BPE或△DPE≌△BEP，当△DPE≌△BPE时，∴PB＝PD，设PD＝x，则PB＝x，PC＝4﹣x，在Rt△BPC中，BC2+PC2＝PB2，∴22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴PD＝．当△DPE≌△BEP时，如图2，∵DP＝BE＞AB，∴点P在DC的延长线上，∵△DPE与△BEP，∴DP＝BE，DE＝BP，在△DEF和△BPF中，，∴△DEF≌△BPF（AAS），∴DF＝BF，设DF＝BF＝m，则CF＝4﹣m，在Rt△BFC中，BC2+CF2＝FB2，∴22+（4﹣m）2＝m2，解得：m＝，∴DF＝BF＝，CF＝，∵∠FBC+∠PBC＝90°，∠PBC+∠BPC＝90°，∴∠FBC＝∠BPC，∵∠BCF＝∠BCP，∴△FBC∽△BPC，∴＝，即＝，∴CP＝，∴DP＝DC+CP＝4+＝，综上所述，PD＝或．②∵△PEF是等腰三角形，∴PE＝PF或PE＝EF或PF＝EF，当PE＝PF时，如图3，∵BP⊥EF，∴EB＝BF，∴EF＝2FB，∵BC∥AD，∴△FBC∽△FED，∴＝＝，∴DE＝2BC＝2×2＝4；当PE＝EF，点P在CD的延长线上时，如图4，设CF＝m，则DF＝m+4，∵PE＝EF，ED⊥PF，∴DP＝DF＝m+4，∴CP＝DP+DC＝m+8，∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°，∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°，∴∠BPC＝∠FBC，∴△PBC∽△BFC，∴＝，即＝，∵m＞0，∴m＝2﹣4，∴CF＝2﹣4，DF＝2，∵BC∥AD，∴△FBC∽△FED，∴＝，即＝，∴DE＝＝10+4；当PE＝EF，点P在DC的延长线上时，如图5，设CP＝t，则DP＝t+4，∵PE＝EF，ED⊥PF，∴DP＝DF＝t+4，∴CF＝DF+DC＝t+8，∵∠PBF＝∠PCB＝∠BCF＝90°，∴∠PBC+∠BPC＝90°，∠PBC+∠FBC＝90°，∴∠BPC＝∠FBC，∴△PBC∽△BFC，∴＝，即＝，∵t＞0，∴t＝2﹣4，∴CP＝2﹣4，DF＝2，CF＝2+4，∵BC∥AD，∴△FBC∽△FED，∴＝，即＝，∴DE＝＝10﹣4；当PF＝EF时，如图5，∵PF＝EF，∴∠BEP＝∠DPE，∵∠EBP＝∠PDE＝90°，∴△BEP≌△DPE（AAS），∴BP＝DE，设CP＝n，则DP＝4+n，∴DE2＝BP2＝BC2+CP2＝4+n2，∵∠FBP＝∠BCF＝∠BCP＝90°，∴∠BFC+∠FBC＝90°，∠FBC+∠PBC＝90°，∴∠BFC＝∠PBC，∴△BFC∽△PBC，∴＝，即＝，∴CF＝，∴DF＝4﹣，EF＝PF＝n+，∵DE2+DF2＝EF2，∴4+n2+（4﹣）2＝（n+）2，解得：n＝，∴DE＝＝＝；综上所述，DE的长为4或10+4或10﹣4或．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键。
浙江省绍兴市越城区建功中学教育集团2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word解析版)
浙江省绍兴市越城区建功中学教育集团2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题日要求的）1．如图中的数轴可以度量的直径，则圆形图片的直径是（）A．5﹣1B．5﹣（﹣1）C．﹣5﹣1D．﹣5﹣（﹣1）2．下列点中，在二次函数y＝x2﹣2x+1图象上的点是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，1）D．（2，0）3．下列各图中，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是（）A．B．C．D．4．设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）的不同可能有（）A．2种B．3种C．5种D．6种6．若一条弧所对的圆周角的度数为45°，则这条弧的度数为（）A．135°B．90°C．45°D．22.5°7．小明的口袋里有3把钥匙，分别能打开甲、乙、丙三把锁．他从口袋中任意取出一把例匙，能打开甲锁的概率是（）A．B．C．D．8．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（）A．﹣4，3B．﹣5，2C．﹣2，1D．﹣3，29．晚自习时，小敏和小聪在讨论一道题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝126°，求∠A．”小敏的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连结OB，OC，如图．由∠BOC ＝2∠A＝126°，得∠A＝63°．而小聪说：“小敏考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）A．小敏求的结果不对，∠A应得54°B．小聪说的不对，∠4就得63°C．小聪说的对，且∠A的另一个值是117°D．两人都不对，∠A应有3个不同值10．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为y ＝﹣x2+x，则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（）A．y ＝﹣x2﹣x B．y ＝x2﹣xC．y ＝﹣x2+x D．y ＝x2+x二、填空题（本大题共6小题，每小趋5分，其30分）11．（5分）某个函数具有性质：当x＜0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个符合题意的答案即可）．12．（5分）将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）配方成y＝a（x﹣m）2+k的形式：y＝ax2+bx+c＝a（x2+①）+c＝a（x2+x+②）+c﹣a×（）2＝a（x+）2+③以上空格处可填的式子（只含字母a，b，c，x）是：①，②，③．13．（5分）如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝48°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？答：．14．（5分）某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：种子总100400800100035007000900014000数9135471690131645613809412614发芽种子数0.910.8850.8950.9010.9040.9020.8990.901发芽的频率则该玉米种子发芽的概率估计值为（结果精确到0.1）．15．（5分）圆的半径为x（cm），那么圆的面积y（cm2）可以表示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你再列举一例：．16．（5分）已知抛物线y＝ax2（a≠0）过点（﹣2，6），在下列5个点中，对于不在此抛物线上的一点P，将点P平移到点P′，使点P′在此抛物线上，写出点P的坐标及平移方法：（1，），（﹣1，），（1，﹣），（2，8），（，3）答：．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14分，共80分。
2020-2021学年杭州萧山区高桥初中九年级期中试卷(有答案)
2020-2021学年浙江省杭州市萧山区高桥初中九年级第一学期期中考试英语试卷第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题，每小题2分，满分30分）阅读短文，从每题所给四个选项（A、B、C和D）中选出最佳选项。
AUFC(终极格斗)--one of the greatest championship fightsChina’s first-ever UFC world champion Zhang Weili defeated her strawweight title with split decision victory over Joanna Jedrzejczyk in Las Vegas on International women’s Day.It’s a difficult journey for Zhang to be there at a difficult time for her country. She left Beijing on February 1st and then she was forced to take detours (绕道)to Thailand and Abu Dhabi. She didn’t arrive in the States until February 23rd because of the coronavirus(冠状病毒)“I don’t like people hitting each other with rude language. I don’t like any rubbish words in the octagon (八角笼). All fighters deserve respect from one another in the octagon. We should be a model to our young people. We are champions, not wild animals, ” Zhang said following her victory.“My country and my people have being fighting against the virus bravely since it outbroke. And now the virus is spreading worldwide, I hope everybody in the world can stand together to fight the virus with an united effort. I just want to say that we can win this fight. And together we will,” said Zhang.1. When did Zhang Weili win her title of strawweight champion?A. On March 8th.B. On February 1st.C. On May 8th.D. On February 23rd.2. Which of following is Not true according to the passage?A. It's not easy for Zhang to arrive in the States.1B. She set a good example for young people.C. Somebody may say something bad to herD. Zhang became the first UFC world champion3. Where can you see this passage?A. In an ad.B. In a sports magazine.C. In a guide book.D. In a diary.【答案】1. A 2. D 3. BBIf you live in Shanghai, you might have to take a “lesson” in sorting garbage（垃圾）, as the city recently introduced new garbage-sorting regulations（条例）.It’s now required that people should sort garbage into four categories, namely recyclable, harmful, dry and wet waste. However, if people fail to sort their garbage properly, they can be fined up to 200 yuan.“More cities are introducing similar regulations, following the practice in Shanghai. By the end of 2020, garbage-sorting systems will have been built in 46 major Chinese cities, including Beijing and Shenzhen,” reported People’s Daily. According to a study by the Policy Research Center for Environment and Economy, under the Ministry of Ecology and Environment, over 90 percent of the public believe that garbage sorting is important for the protection of the environment.However, garbage sorting is still a big problem in China. Only 30 percent of people who have taken part in said they think they are sorting their rubbish, the study noted. According to Xinhua News Agency, it’s partly because many people lack the willingness to sort their own waste. In the past, some previous (先前的)garbage regulations didn’t give clear fines for people who failed to sort garbage.Aside from China, many other foreign countries have also introduced garbage-sorting regulations. In Japan, waste sorting has become a basic living skill. There is a fixed time for dealing with each kind of garbage and littering can result in high fines and even jail(监狱) time. In Germany, people are asked to sort waste into strict categories. For example, in Berlin, people have yellow bins for plastic and metals and blue bins for paper and2cardboard.1. What does the underlined word “sort” In paragraph 2 mean？A.投放B.分类C.处理D.回收2. What can we learn from paragraph 3?A. 46 major cities have built garbage-sorting systems in China.B. Over ninety percent of the public have taken part in sorting garbage.C. China Daily made the survey.D. Over ninety percent of the public think sorting garbage is friendly to environment.3. Why is garbage sorting still a big problem in China?A. Many people don’t want to sort their own waste.B. Most people don’t think sorting garbage is important.C. New garbage-sorting regulations doesn’t give clear finesD. In China, sorting garbage is a voluntary action now.4. What is the article mainly about?A. A new garbage-sorting regulations.B. How foreign countries sort garbage.C. Garbage sorting has started in China.D. The world’s garbage problem is becoming worse.【答案】1.B 2. D 3. A 4. CC3As is known to all, “No farmers, no food”. Well, we now have a new day of celebration, the Chinese Farmers’ Harvest Festival. It’s the first in China created especially for farmers.“The Chinese Farmers’ Harvest Festival falls on the Autumnal Equinox each year, starting in 2018, ”said Han Changfu, the Minister of Agriculture.The Autumnal Equinox is one of the 24 solar terms in the traditional Chinese calendar. This year, the Autumnal Equinox falls on September 23, one day before the Mid-autumn Festival. It gives people in the city a great chance to travel to the countryside, enjoy the beautiful scenery and celebrate the harvest with farmers. Although climates and crops are different in many parts of China, the harvest time is usually in autumn. This is why the government decided to celebrate this festival on the Autumnal Equinox.As a major agricultural country, China has the largest number of farmers in the world. And it can produce a large number of agricultural products every year. “I’m sure the festival will become one of the most popular and most important ones around the world, ”Han said.Shen Jianhua, a university professor, says farmers should have a special festival since they have made great contributions to our country. Setting up the festival can improve the position of farmers, increase their self-esteem(自尊)and create an environment where they are respected and valued。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
【期中卷】人教版2021-2022学年九年级数学上学期期中测试卷(三)含答案与解析
人教版2021–2022学年上学期期中测试卷（三）九年级数学（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：九年级上册第二十一章～第二十四章5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是（）A．OP＞5 B．OP=5 C．0＜OP＜5 D．0≤OP＜53．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．04．如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m等于（）A．±2 B．± C．± D．±5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）A．30° B．60°C．90° D．120°6．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥17．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A ．12B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点，若AB=3，则点M 到直线l 的距离为（ ）A ．B ．C ．2D ．9．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 无法确定10．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为．12．若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则ab＝．13．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O 的半径是．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是．15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）3x2+6x﹣5＝0（2）x2+2x﹣24＝017．（9分）如图，图中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC在方格纸中的位置如图所示．（1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为A（2，﹣1），B（1，﹣4），并写出C点坐标；（2）在图中作出△ABC绕坐标原点旋转180°后的△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标：（3）在图中作出△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标．18．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+3x﹣（1）用配方法求出函数图象的顶点坐标和对称轴方程；（2）用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）根据图象，直接写出y的值小于0时，x的取值范围．19．（9分）如图，E点是正方形ABCD的边BC上一点，AB＝12，BE＝5，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF 重合．（1）旋转中心是，旋转角为度；（2）△AEF是三角形；（3）求EF的长．20.（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．21．（10分）某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x销量（斤）120﹣x储藏和损耗费用（元）3x2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF ∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．23．（11分）如图，两条抛物线y1＝﹣x2+4，y2＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴负半轴上，且为抛物线y2的最高点．（1）求抛物线y2的解析式和点B的坐标；（2）点C是抛物线y1上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交y2于点D，当线段CD取最大值时，求S△BCD．九年级数学·全解全析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A DBCD B C B A C1．【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选A．2．【解析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：由⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，得0≤OP＜5，故选：D．3．【解析】根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：由y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，得|m|=2且m+2≠0．解得m=2．故选：B．4．【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，其中两根的和可以用m表示，而（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=1，代入即可得到关于m的方程，进而求解．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣m，x1•x2=1，又知x1﹣x2=1，则（x1﹣x2）2=1，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=1，则（﹣m）2﹣4=1，解得：m=±．故本题选C．5．【解析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．【解答】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．6．【解析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．7．【解析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选C．8．【解析】设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，又x2+bx+c=0时，△=0，列式求解即可．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故答案选B．9.【解析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.=+的图象不经过第二象限，【详解】解：一次函数y kx bk∴>，0b≤，240∴∆=->，k b∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键.10．【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。
2021-2022学年浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校初三数学第一学期期中试卷及解析
2021-2022学年浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校初三数学第一学期期中试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标为( ) A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)--D ．(1,2)-2．（3分）如图，点A 、B 、C 在O 上，40ACB ∠=︒，弧AB 的度数为( )A ．80︒B ．40︒C ．20︒D ．60︒3．（3分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到△A B C ''，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为( )A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-4．（3分）如果将抛物线22(1)y x =-向左平移2个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式是( )A ．22(3)2y x =--B ．22(3)2y x =-+C ．22(1)2y x =+-D ．22(1)2y x =++5．（3分）若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 在抛物线228y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<6．（3分）下列语句中，正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，与x 轴的一个交点为(1,0)-，对称轴为直线1x =．下列结论正确的是( )A ．0abc <B ．24b ac <C ．20a b -=D ．22()0a c b +-=9．（3分）如图，将半径为8的O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为( )A ．215B ．415C ．8D ．1010．（3分）在平面直角坐标系中，已知m n ≠，函数2()y x m n x mn =+++的图象与x 轴有a 个交点，函数2()1y mnx m n x =+++的图象与x 轴有b 个交点，则a 与b 的数量关系是( ) A ．a b =B ．1a b =-C ．a b =或1a b =+D ．a b =或1a b =-二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）四边形ABCD 内接于O ，80A ∠=︒，则C ∠= ．12．（4分）已知一个二次函数的图象形状与抛物线24y x =相同，且顶点坐标为(2,3)，则这个二次函数的解析式为 ．13．（4分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为80m ，圆周角45C ∠=︒．则这个人工湖的直径为 ．14．（4分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面下降2.5m ，水面宽度增加m ．15．（4分）如图，AB 是O 的直径，C 是BD 的中点，若6AD =，O 的半径为5，则BC 的长为 ．16．（4分）已知实数x 、y 满足2245x x y -+=，则2x y +的最大值为 ．三、解答题（17题6分，18题，19题每题8分，20题，21题每题10分，22题，23题每题12分） 17．（6分）已知二次函数23y ax bx =++的图象经过点(3,0)-，(2,5)-． （1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点(2,3)P -是否在这个二次函数的图象上？18．（8分）（1）尺规作图：作ABC ∆的外接圆O （保留作图痕迹，不写画法）． （2）若60A ∠=︒，O 的半径为1，求BC 的长．19．（8分）已知二次函数2246y x x =-++．（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴和与x 轴的交点的坐标．（2）自变量x 在什么范围内，y 随x 的增大而增大？在什么范围内，y 随x 的增大而减小？20．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x ；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．21．（10分）已知如图，ABC ∆内接于O ，AE 为直径，AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点F ． （1）求证：DAC BAE ∠=∠；（2）当点C 是AE 的中点时，求证：FC AD =．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数2(y x ax b a =-++，b 为常数，且0)b ≠． （1）若该函数的对称轴为直线3x =，且图象经过点(0,2)，求该函数的表达式；（2）若(0)r r ≠是关于x 的方程210bx ax +-=的根，求证：二次函数2y x ax b =-++的图象经过点1(r，0)；（3）若该二次函数的最大值为a ，求b 的取值范围．23．（12分）如图1，圆O 的两条弦AC 、BD 交于点E ，两条弦所成的锐角或者直角记为α∠ （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： AB 的度数 30.2︒ 40.4︒ 50.0︒ 61.6︒ CD 的度数55.7︒60.4︒80.2︒100.3︒α∠的度数 43.0︒ 50.2︒ 65.0︒ 81.0︒猜想：AB 、CD 、α∠的度数之间的等量关系，并说明理由．（2）如图2，若60α∠=︒，2AB =，1CD =，将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点，连接CG ．①求弦CG的长；②求圆O的半径．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．【解答】解：抛物线2(1)2y x =+-，∴抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标为：(1,2)--，故选：C ．2．【解答】解：40ACB ∠=︒， 280AOB ACB ∴∠=∠=︒，∴弧AB 的度数为80︒，故选：A ．3．【解答】解：将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到△A B C ''， AC A C '∴=，BAC CA B ''∠=∠，90ACA '∠=︒， ACA '∴∆是等腰直角三角形， 45CA A '∴∠=︒， BAC α∠=， CA B α''∴∠=， 45AA B α''∴∠=︒-．故选：C ．4．【解答】解：抛物线22(1)y x =-的顶点坐标为(1,0)，向左平移2个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(1,2)--， 所以，平移后的抛物线的解析式为22(1)2y x =+-， 故选：C ．5．【解答】解：抛物线228y x x c =-++中20a =-<，∴抛物线开口向下，对称轴为直线822(2)x =-=⨯-，点1(1,)A y -的对称点为1(5,)y ，又532>>，即A 、B 、C 三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小． 132y y y ∴<<，故选：C ．6．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中． ②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等． ③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧． ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确． 故选：A ．7．【解答】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 正确；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b <，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，故C 错误；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，故D 错误； 故选：B ．8．【解答】解：抛物线开口向上， 0a ∴>，抛物线与y 轴交点在负半轴， 0c ∴<，对称轴为12bx a=-=， 20b a ∴=-<， 0abc ∴>，故A 选项错误；抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，24b ac ∴>，故B 选项错误；抛物线的对称轴为1x =，12ba∴-=， 20a b ∴+=，故C 选项错误；1x =-时，0y a b c =-+=，1x =时，0y a b c =++>，22()()()0a c b a b c a b c ∴+-=++-+=， 故D 选项正确； 故选：D ．9．【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ， 弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，E ∴为AB 的中点，CE AB ⊥，由题意可得4CD =，4OD =，8OB =， 11(824)12622DE =⨯⨯-=⨯=，642OE =-=，在Rt OEB ∆中，根据勾股定理可得：222OE BE OB +=， 代入可求得215BE =， 415AB ∴=．故选：B ．10．【解答】解：函数2()y x m n x mn =+++的图象与x 轴有a 个交点，m n ≠，22()4()0m n mn m n ∴+-=->， 2a ∴=；函数2()1y mnx m n x =+++的图象与x 轴有b 个交点，m n ≠，∴当0mn =时，该函数为()1y m n x =++与x 轴有一个交点，1b ∴=；当0mn ≠时，22()4()0m n mn m n +-=->， 2b ∴=；由上可得，1a b =+或a b =， 故选：C ．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，80A ∠=︒， 180100C A ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：100︒．12．【解答】解：图象顶点坐标为(2,3)， 可以设函数解析式是2(2)3y a x =-+，又形状与抛物线24y x =相同，即二次项系数绝对值相同， ||4a ∴=，∴这个函数解析式是：24(2)3y x =-+或24(2)3y x =--+，故答案为：24(2)3y x =-+或24(2)3y x =--+． 13．【解答】解：连接AO 并延长交O 于D ，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒， 45D ACB ∠=∠=︒，802()sin 45ABAD m ∴==︒．即这个人工湖的直径为802m ．故答案为：802m ．14．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，可求出OA 和OB 为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标(2,0)-， 到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 2.5y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 2.5y =-与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 2.5y =-代入抛物线解析式得出： 22.50.52x -=-+，解得：3x =±，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了642-=米， 故答案为：2．15．【解答】解：连接OC 交BD 于G ，如图所示：AB 是O 的直径，210AB OC ==，90ADB ∴∠=︒，22221068BD AB AD ∴=-=-=， C 是弧BD 的中点，OC BD ∴⊥，142DG BG BD ===， OA OB =，OG ∴是ABD ∆的中位线，132OG AD ∴==， 532CG OC OG ∴=-=-=，在Rt BCG ∆中，由勾股定理得：222425BC =+=． 故答案为：25．16．【解答】解：实数x 、y 满足2245x x y -+=2524x x y -+∴= 225215222422x x x y x x x -+∴+=+⨯=-++ ∴最大值为2154()2922124()2⨯-⨯-=⨯-． 三、解答题（17题6分，18题，19题每题8分，20题，21题每题10分，22题，23题每题12分）17．【解答】解：（1）由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩， 解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+；（2）当2x =-时，2(2)2(2)33y =---⨯-+=，∴点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．18．【解答】解：（1）如图，O 即为所求．（2）设MN 交BC 于点E ，连接OC ．2120BOC A ∠=∠=︒，OE BC ⊥，EC EB ∴=，OB OC =，60EOB EOC ∴∠=∠=︒，3sin 602BE OB ∴=⋅︒=， 23BC BE ∴==．19．【解答】解：（1）222462(1)8y x x x =-++=--+，第12页（共15页）∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,8)， 取0y =，则22(1)80x --+=，解得1x =-或3x =，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)；（2）抛物线的二次项系数小于0， ∴抛物线的开口向下， 又抛物线的对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随着x 的增大而减小， 当1x <时，y 随着x 的增大而增大．20．【解答】解：（1）根据题意得：(302)72x x -=， 解得：3x =或12x =，30218x -，6x ∴，12x ∴=；（2）设苗圃园的面积为y ，2215225(302)2302()22y x x x x x ∴=-=-+=--+， 20a =-<，∴苗圃园的面积y 有最大值，∴当152x =时，即平行于墙的一边长158>米，112.5y =最大平方米； 611x ，∴当11x =时，88y =最小平方米．21．【解答】证明：（1）连接BE ， AE 为O 的直径，90ABE ∴∠=︒，90AEB BAE ∴∠+∠=︒，AD BC ⊥，90ACB DAC ∴∠+∠=︒，由圆周角定理得：AEB ACB ∠=∠，DAC BAE ∴∠=∠；（2）连接CE ，点C 是AE 的中点，∴AC EC =，AC CE ∴=，DAC BAE ∠=∠，FCE BAE ∠=∠，DAC FCE ∴∠=∠，在CFE ∆和ADC ∆中，90FCE DAC CFE ADC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CFE ADC AAS ∴∆≅∆，FC AD ∴=．22．【解答】（1）解：函数的对称轴为直线3x =， ∴32a =， 6a ∴=，图象经过点(0,2)，2b ∴=，∴函数的表达式为262y x x =-++．（2）证明：(0)r r ≠是关于x 的方程210bx ax +-=的根， 210br ar ∴+-=对2y x ax b =-++，当1x r=时，222111()0br ar y a b r r r +-=-++==， ∴二次函数2y x ax b =-++的图象经过点1(r ，0)． （3）解：2y x ax b =-++的二次项系数为负数，第14页（共15页）2y x ax b ∴=-++的图象开口向下，224444b a a b y a --+∴===-最大值， 化简得，2211(2)144b a a a =-+=--+， 2(2)0a -，21(2)04a ∴--， 21(2)114a ∴--+，b ∴的取值范围为1b ．23．【解答】解：（1）1(2AB α∠=的度数CD +的度数）． 理由如下：连接BC ，如图1，B C α∠=∠+∠， 而12B CD ∠=的度数，12C AB ∠=的度数， 1(2AB α∴∠=的度数CD +的度数）； （2）①连接OG 、OC 、AG ，作OH CG ⊥于H ，GF CD ⊥于F ，如图2， 将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点G ， ∴AB GD =，2AB DG ==，由（1）得AB 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， DG 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， 即CG 的度数为120︒，120COG ∴∠=︒，60CAG ∴∠=︒，而180CAG CDG ∠+∠=︒，120CDG ∴∠=︒，60GDF ∴∠=︒，在Rt GDF ∆中，112DF DG ==，GF == 在Rt CFG ∆中，CG =②OH CG ⊥， 1722CH GH CG ∴===， 1(180120)302OGH ∠=︒-︒=︒， 337213326OH GH ∴==⨯=， 2123OG OH ∴==，即圆O 的半径为213．。
杭州市九年级上学期期中数学试卷(有答案)(浙教版)
浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．55．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20°B．120°C．100°D．40°6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．128．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a层出电梯，乙在b层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．浙江省杭州市九年级上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【专题】计算题．【分析】设a=2k，进而用k表示出b的值，代入求解即可．【解答】解：设a=2k，则b=9k．==，故选A．【点评】考查比例性质的计算；得到用k表示的a，b的值是解决本题的突破点．2．抛物线y=﹣2x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．【解答】解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=﹣2+4﹣5=﹣3．则顶点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选D．【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．3．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．4．下列命题正确的个数有（）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】命题与定理．【分析】根据圆周角，圆周角定理，垂径定理以及确定圆的条件即可求解．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故错误；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确，故选A．【点评】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．5．一扇形的半径等于已知圆的半径的3倍，且它的面积等于该圆的面积，则这一扇形的圆心角为（）A．20°B．120°C．100°D．40°【考点】扇形面积的计算．【分析】先设出半径，再根据圆的面积公式和扇形的面积公式计算．【解答】解：设圆的半径为r，则扇形的半径为3r，根据两者面积相等得：πr2=，解得n=40°．故选D．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式．熟记扇形的面积公式是解题的关键．6．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．7．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】先由AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，根据平行线分线段成比例定理得到DF：FA=1：2，再根据平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似得到△CDE∽△CAB，根据三角形相似的性质得S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，则CD：CA=1：4，通过代换得到CD：CF=1：2，再次根据三角形相似的性质得到S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，即可计算出△CFG的面积．【解答】解：∵AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，∴DF：FA=1：2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，∴CD：CA=1：4，设CD=a，则CA=4a，∴DA=3a，∴DF=a，∴CF=2a，∴CD：CF=1：2，而DE∥FG，∴S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，而△CDE的面积为2，∴△CFG的面积S=4×2=8．故选B．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．8．如图，由等边三角形、正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个正方形的面积和的比值为（）A．B．1 C．D．【考点】正多边形和圆；轴对称图形．【分析】由题意知：三个正方形的共用顶点即为圆的圆心，也是等边三角形的重心；可设等边三角形的边长为2x，作等边三角形的高，再根据三角形重心的性质即可得到正方形的对角线的长；进而可求得等边三角形和正方形的面积，即可得到它们的面积比．【解答】解：如图，设圆的圆心为O，由题意知：三角形的重心以及三个正方形的共用顶点即为点O．过A作AD⊥BC于D，则AD必过点O，且AO=2OD；设△ABC的边长为2x，则BD=x，AD=x，OD=x；∴正方形的边长为：x，面积为x2，三个正方形的面积和为2x2；易求得△ABC的面积为：×2x×x=x2，∴等边三角形与三个正方形的面积和的比值为，故选A．【点评】此题考查的知识点有：轴对称图形、等边三角形及正方形的性质、三角形重心的性质以及图形面积的求法，找到等边三角形和正方形边长的比例关系是解答此题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符号不能确定【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．【解答】解：因为开口向下，故a＜0；当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因为2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．10．已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连结，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分（四边形）的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为（）A．B．C．或D．或【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【专题】计算题；探究型；数形结合．【分析】分两种情况：点A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点与点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点，利用等腰三角形的性质与相似三角形对应边的比相等的性质进行分析求解即可．【解答】解：如图1，当A为等腰三角形的顶点，点D为底边的中点时，设BD=DC=a，AB=AC=b，则BE=b ﹣2，CF=b﹣4，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵BD=DC，BE≠CF，DE≠DF，∴点B与点C、点E与点D，点D与点F为对应点，即△BED∽△CDF，∴BE：CD=ED：DF=BD：CF，即（b﹣2）：a=3：2=a：（b﹣4），解得a=，∴BC=2a=；如图2，当点D为等腰三角形的顶点，点A为底边的中点时，设BA=AC=a，BD=CD=b，则BE=b﹣3，CF=b ﹣2，∵BD=CD，∴∠B=∠C，∴点B与点C为对应点，若点E与点F、点A与点C为对应点，由△BEA∽△CFA，可得BE：CF=EA：FA=BA：CA，即（b﹣3）：（b﹣2）=2：4=a：a，无解；若点E与点A，点A与点F为对应点，由△BEA∽△CAF，可得BE：CA=EA：AF=BA：CF，即（b﹣3）：a=2：4=a：b﹣2，解得a=，b=，此时BA=，BE=b﹣3=，BE、BA、EA不能构成三角形，故此种情况不成立；综上所述，这个等腰三角形底边长为．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，解答本题的关键是正确画出图形，并熟知相似三角形对应边的比相等的性质，同时注意分类讨论思想与方程思想的运用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式是y=﹣x2+4x﹣3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+3关于x轴对称所得的抛物线的解析式为﹣y=x2﹣4x+3，∴所求解析式为：y=﹣x2+4x﹣3．故答案为：y=﹣x2+4x﹣3【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．12．圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是120°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程求出x，计算出各角的度数，比较得到答案．【解答】解：设三个内角为3x，4x，6x，根据圆内接四边形的对角互补，得3x+6x=180°，∴x=20°则这三个内角为60°、80°、120°，所以第四个内角是180°﹣4x=100°，所以该四边形内角中最大度数是120°，故答案为：120°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13．从长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能构成三角形的概率等于．【考点】概率公式；三角形三边关系．【专题】压轴题．【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，本题只要把三边代入，看是否满足即可．把满足的个数除以4即可得出概率．【解答】解：长度为2，3，5，7的四条线段中任意选取三条共有：2，3，5；2，3，7；2，5，7；3，5，7，能构成三角形的为：3、5、7，只有1组，因此概率为．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为5．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作OF⊥PQ于F，连接OP，根据已知和图形证明四边形MEOF为正方形，设半径为x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根据勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．【解答】解：作OF⊥PQ于F，连接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四边形MEOF为矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四边形MEOF为正方形，设半径为x，则OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，则MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为5．【考点】相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-直接开平方法；勾股定理．【分析】由题可知△CBD∽△ACD，则可根据相似比和勾股定理求解．【解答】解：∵∠DCB=∠A，∠D=∠D∴△CBD∽△ACD∴BD：CD=CB：AC∵BD：DC=1：2∴CB：AC=1：2设CB为x，则AC=2x，AB=5根据勾股定理可知：x2+4x2=25，解得x=，即CB=，AC=2∴△ABC的面积为×÷2=5．【点评】本题的关键是先判定三角形相似，然后利用相似比和勾股定理求得BC、AC的值，从而求出三角形的面积．16．如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2﹣y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是①⑤．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2﹣y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2﹣3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==﹣，=，y2﹣y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=﹣35．几何图象可知，y2＞y1，﹣35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=﹣5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5﹣1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．【点评】本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．三、解答题（共7小题，满分66分）17．已知：如图，AE ，DB 是⊙O 的直径，F 是⊙O 上一点，∠AOB=60°，且F 是的中点．求证：AB=BF ．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】连接OF ，可得出∠BOF=∠EOF ，根据同圆中圆心角相等，可得出弦相等，从而得出AB=BF ．【解答】解：连接OF ，∵AE ，DB 是⊙O 的直径，∠AOB=60°，∴∠BOE=120°，∵F 是的中点，∴∠BOF=∠EOF=60°，∴AB=BF ．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在等圆或同圆中圆心角相等，所对的弦相等是解题的关键．18．小明、小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至4层的任意一层出电梯，并设甲在a 层出电梯，乙在b 层出电梯．（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率；（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙在同一个楼层的情况数，即可求出所求的概率； （2）分别求出两人获胜的概率比较得到公平与否，修改规则即可．种结果，则P（甲、乙在同一层楼梯）=；（2）由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果故P（小亮胜）=P（同层或相邻楼层）=，P（小芳胜）=1﹣，∵＞，∴游戏不公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．19．如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．（1）作△ABC的外接圆O（尺规作图）；（2）若AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆O半径的长．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【专题】作图题．【分析】（1）分别作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；（2）作直径AE，连结BE，如图，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，∠C=∠E，则可证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后利用相似比计算出AE即可得到△ABC的外接圆O半径的长．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）作直径AE，连结BE，如图，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=∠E，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴=，即=，∴AE=，∴OA=AE=，即△ABC的外接圆O半径的长为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决（2）小题的关键是构建Rt△ABE与△ADC相似．20．已知二次函数，当x=1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形，说明理由并求出∠A的余弦值．【考点】二次函数的最值；勾股定理的逆定理．【分析】根据顶点横坐标公式，得b+c=2a①，由x=1，y=，得c=b②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状；再根据锐角三角函数的定义求出∠A 的余弦值．【解答】解：（1）∵当x=1时有最小值，∴，解得，，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形．（2）∵在△ABC中，∠B=90°，∴cosA==．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式，勾股定理的逆定理及余弦函数的定义．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．22．某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件．设销售单价为每件x元（x≥50），一周的销售量为y件．（1）写出y与x的函数关系式．（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？（3）在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可得y=500﹣10（x﹣50）．（2）用配方法化简1的解析式，可得y=﹣10（x﹣70）2+9000．当50≤x≤70时，利润随着单价的增大而增大．（3）令y=8000，求出x的实际取值．【解答】解：（1）由题意得：y=500﹣10（x﹣50）=1000﹣10x（50≤x≤100）（2）S=（x﹣40）（1000﹣10x）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000当50≤x＜70时，利润随着单价的增大而增大．（3）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000=800010x2﹣1400x+48000=0x2﹣140x+4800=0即（x﹣60）（x﹣80）=0x1=60，x2=80当x=60时，成本=40×[500﹣10（60﹣50）]=16000＞10000不符合要求，舍去．当x=80时，成本=40×[500﹣10（80﹣50）]=8000＜10000符合要求．∴销售单价应定为80元，才能使得一周销售利润达到8000元的同时，投入不超过10000元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，用配方法求出最大值．23．如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；（3）综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∵点D在抛物线y=x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4，此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），∴4k2+3=4，解得：k2=，∴直线A′B的解析式是y=，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，），又点N在抛物线y=x2﹣3x上，∴=n2﹣3n，解得：n1=﹣，n2=4（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣，）．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（，），B1（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2（，），B2（4，﹣4），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，∴△P1OD∽△N2OB2，∴，∴点P1的坐标为（，）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（，），综上所述，点P的坐标是（，）或（，）．方法三：∵直线OB：y=x是一三象限平分线，∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），∴得：x1=4（舍），x2=﹣，∴N（﹣，），∵D（2，﹣2），∴l OD：y=﹣x，∵l OD：y=x，∴OD⊥OB，∵△POD∽△NOB，∴N（﹣，）旋转90°后N1（，）或N关于x轴对称点N2（﹣，﹣），∵OB=4，OD=2，∴，∵P为ON1或ON2中点，∴P1（，），P2（，）．【点评】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的2016届中考压轴题．。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。