工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法
电磁场数值计算
电磁场数值计算引言：电磁场是电荷和电流产生的物理现象，它在现代科技和工程中起着至关重要的作用。
对电磁场的数值计算是研究和应用电磁学的基础。
本文将介绍电磁场数值计算的原理和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、电磁场的数值计算方法：电磁场的数值计算可以通过求解麦克斯韦方程组来实现，这是描述电磁场的基本方程。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
通过数值方法求解这些方程，可以得到电磁场在空间中的分布情况。
1. 有限差分法：有限差分法是一种常用的数值计算方法，通过将空间离散化为有限个点，时间离散化为有限个步骤，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以将空间划分为网格，通过有限差分法计算电场和磁场在网格节点上的数值。
2. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，它通过将计算域划分为许多小的有限元，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。
在电磁场计算中，可以将计算域划分为三角形或四边形网格，通过有限元法计算电场和磁场在每个有限元上的数值。
3. 边界元法：边界元法是一种适用于边界值问题的数值计算方法，它将偏微分方程转化为积分方程进行求解。
在电磁场计算中，可以通过边界元法计算电场和磁场在边界上的数值，然后利用边界条件求解整个计算域内的电磁场分布。
二、电磁场数值计算的应用：电磁场数值计算在科学研究和工程应用中具有广泛的应用价值，以下是一些常见的应用领域：1. 电磁场仿真：电磁场数值计算可以用于电磁场仿真，模拟和预测电磁场在不同结构和材料中的分布情况。
例如，可以通过数值计算预测电磁波在天线中的传播情况，从而优化天线设计和布局。
2. 电磁场辐射：电磁场数值计算可以用于估计电磁场辐射对人体和环境的影响。
例如，可以通过数值计算评估电磁辐射对人体健康的潜在风险，从而制定相应的防护措施。
3. 电磁场感应：电磁场数值计算可以用于分析电磁感应现象，研究电磁场对电路和设备的影响。
工程电磁场数值计算(七)
SndS Sm 40 r rn
矩量法算例（五）
• 阻抗矩阵的计算（二）
zmn
Sm
1 dS 'dS
Sn 40 r r '
In (r)dS
Sm 40
zmn
Sm
In (r)dS 4 0
Sm
N i1
wi In (ri )
1
In(r)
Sn
dS rr'
可解析求解
zmn
Sm
1 dS 'dS
s (r ') S 40
1 rr'
dS ' s (r) 2 0
1n E1(r) 2n E2(r)
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
20 1 2 S 40 r r '
稳恒电流场问题（六）
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
取 q dV '
根据叠加原理,某点电位是所有电荷的贡献和
(r) (r ')dV '
V 40 r r '
静电场问题（三）
• 定义Green 函数
G(r, r ') 1
40 r r '
显然满足
2G(r, r ') (r r ')
可见，给定源分布求解电磁场分布的关键在 于获得Green函数。
O'
S
S
'
nˆ
P P P P0
l l
l
源
矩量法的难点（六）
dS ' lim
S R 0
S S
s
工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法_OK
n
I
i 1
xi1 g (x)dx h n1
xi
6 i0
f (xi ) 4 f (xi h / 2) f (xi1)
8
辛普生求积公式
计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分解
为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，即在
第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每产生一
• 编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数
33
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
Bz
m i1
mz j 1
0 Jd d z 2
p ij
1
2
zp zij
2
2 ij
2 p
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
ij R1 i 1/ 2 d
zij
1h
2
j 1/ 2dz 32
编程实践四
d e
令 2 , d 2d , cos 2sin2 1
Ap
a0I
/2 0
2sin2 1 d z2 (a )2 4a sin2
令k 2
z2
4a
(a
)2
Ap
0 I k
a
1
1 2
k2
K
E
第一、二类完全椭圆积分
23
轴对称磁场
向量磁位Ap计算出来后，可计算磁感应强度
个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生求积公
式计算。
S
b
dx
y2 (x) f (x, y)dy
a
工程电磁场数值计算
工程电磁场数值计算大作业报告一、大作业要求运用FEM法求解算题5—8，删去要求（2），设其具有平行平面磁场分布的特征。
作业题目如下所示：二、问题分析及建立模型根据P149对平行平面场的静电场和磁场统一的数学模型的描述我们可以得到此问题对应的偏微分方程及相应的定解问题为：322220000300;;0;ρρμρϕ===⎧∂∂+=⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩-y x H A A s y A A Ain x n进而可以求得此题对应的泛函及等价的变分问题为：2422221()221min(0;0)2S l l S A A A F A JA dxdy dl x y n A A A dxdy J x y n μ+⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫=+===⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰00;==y A 3003;ρρμρϕ==-H sin A根据以上条件，我们可以把此题与例5-2作比较，他们的边界条件形式已经基本一致了，所以我们可以利用EMF2D的程序对此题进行计算。
下面所以下我们的主要解题思路。
1、由于是一个圆形区域，且是对称的，所以我们只需求1/4圆周即可。
我们运用圆域剖分程序CAMG对整个区域进行剖分。
这里我们需要注意的是最外层的边界条件，我们选用选定10倍半径，即1米，进行三段剖分。
2、运用程序EMF2D，把圆域剖分出来的结果当作此程序的输入。
需要注意的是需要对剖分出来的最外层的点，进行“手动输入”。
我们需要注意两个程序的输入输出的格式进行统一，修改EMF2D 的强制边界条件程序FB。
三、程序及结果1、圆域剖分我们并没有改变什么CAMG程序，程序如下我们的输入数据如下：由输入可以知道我们内环分7段，中环分8段，外环分6段。
得到的输出结果CAMGOUT结果如下：前面表示节点坐标，后面表示每个三角元的顶点编号。
根据结果，我们得知了内环剖分了1~49个节点，中环剖分了49~169个节点，外环剖分了169~190的节点。
电磁仿真中的数值计算方法研究与实践
电磁仿真中的数值计算方法研究与实践电磁场仿真在电磁学和电子工程领域发挥着重要作用，可以帮助工程师和研究人员分析、设计和优化电磁设备和系统。
数值计算方法是电磁场仿真中常用的方法之一，本文将对电磁仿真中的数值计算方法进行研究与实践，探讨其原理、特点和应用。
在电磁仿真中，数值计算方法主要包括有限差分法（Finite Difference method，简称FDM）、有限元法（Finite Element Method，简称FEM）和时域积分方程方法（Time Domain Integral Equation method，简称TDIE）。
这些方法都是基于数值离散的原理，通过将连续的电磁场问题离散化为离散网格上的有限点问题，采用数值计算方法求解得到电磁场分布。
首先，我们来研究有限差分法。
有限差分法是一种常用的数值计算方法，其基本原理是对电磁场的微分方程进行近似，将微分算子替换为差分算子，通过离散网格上的节点上的估计值来求解。
有限差分法简单易懂，计算效率高，尤其适用于规则结构网格的情况。
然而，有限差分法需要网格分辨率较高才能得到精确的结果，对于存在复杂几何形状的问题，可能出现数值误差较大的情况。
接下来，我们研究有限元法。
有限元法是一种广泛应用于工程问题的数值计算方法，其基本思想是将求解域划分为多个小区域（有限元），通过在每个小区域上建立局部近似函数，将原始的微分方程转化为多个局部方程组，通过求解这些局部方程组，最终得到整个求解域上的电磁场分布。
有限元法适用于各种复杂几何形状的问题，并且具有良好的数值稳定性和精度。
然而，有限元法的计算量较大，需要较长的计算时间，并且对于非线性和时变问题的处理稍有复杂。
最后，我们来研究时域积分方程方法。
时域积分方程方法是一种基于时域的电磁场求解方法，它将电磁场问题转化为时域的积分方程，并通过在时域上进行数值积分求解得到电磁场分布。
相比于频域方法，时域积分方程方法具有较好的时域分辨率，可以更好地处理信号的时域演化。
第二讲 工程电磁场中的数值积分法
n
(4)
其系数 Ak l k ( x)dx 时，则称求积公式为插值 a 求积公式。
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
其中 a, b 当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区 间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个
经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
例如函数
1
0
1 sin x x2 dx和 e dx 0 x
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂。
f ( x) x 2 2 x 2 3
ab ) 2
的加权平均值
作为平均高度f()的近
似值而获得的一种数值积分方法。 （2）先用某个简单函数 (x) 近似逼近f(x), 用 (x) 代替原被积函数f(x)，即 b f ( x)dx b ( x)dx
a a
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 (x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。 由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积 分,因此将 (x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就 可以用其插值多项式的积分来近似代替
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度） 由定义可知，若求积公式（4.）的代数精度
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛，能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场，有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元，对每个单元进行数学建模和 求解，能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模，包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来，形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题，需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法，它将连续的求解域离散为有 限个小的单元，通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点，广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用，能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场，不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子，对每个磁 偶极子进行数学建模和求解，能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
数值积分方法在工程问题中的应用
数值积分方法在工程问题中的应用在工程领域中，我们常常需要对各种物理量进行精确的计算和分析。
数值积分方法作为一种重要的数学工具，在解决工程问题中发挥着关键作用。
它能够帮助我们处理那些难以通过解析方法求解的积分问题，为工程设计、优化和性能评估提供有力支持。
数值积分方法的基本思想是将积分区间分割成若干个小的子区间，然后在每个子区间上用简单的函数来近似原函数，并对这些近似函数进行求和或加权求和，从而得到积分的近似值。
常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是一种简单直观的数值积分方法。
它将积分区间等分成若干个子区间，然后在每个子区间上用矩形的面积来近似函数的积分值。
矩形的高度可以取子区间左端点、右端点或中点处的函数值。
虽然矩形法计算简单，但精度相对较低，通常只适用于对精度要求不高的情况。
梯形法在矩形法的基础上进行了改进。
它将每个子区间上的函数近似为梯形，通过计算梯形的面积来逼近积分值。
梯形法的精度比矩形法有所提高，特别是当函数的变化较为平缓时，效果较好。
辛普森法则是一种精度更高的数值积分方法。
它将积分区间等分成偶数个子区间，然后用二次抛物线来拟合函数，通过计算抛物线所围成的面积来近似积分值。
辛普森法的精度通常比矩形法和梯形法都要高，但计算过程相对复杂一些。
在工程实际中，数值积分方法有着广泛的应用。
例如，在结构力学中，我们需要计算结构的变形、内力和应力等。
这些计算往往涉及到对复杂函数的积分。
通过数值积分方法，我们可以对结构的受力情况进行准确的分析，从而为结构的设计和优化提供依据。
在热传递问题中，温度分布的计算通常需要求解热传导方程，这也涉及到积分运算。
数值积分方法可以帮助我们快速有效地计算温度场，从而为热交换器、散热器等设备的设计提供帮助。
在流体力学中，流量、压力损失等参数的计算也离不开数值积分。
例如，在管道流动中，要计算沿程阻力损失，就需要对摩擦系数与管道长度的乘积进行积分。
数值积分方法能够准确地给出这些参数的数值解，为管道系统的设计和优化提供支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
它是多种电磁场数值计算方法(等参数有限元法、 边界元法和模拟电荷法)数值解的必要基础。
2021/3/7
的代数插值函数或样条函数。
b
b
a f(x)dxag(x)dx
2021/3/7
4
数值积分实质
函数g(x)不同的构造函数，产生不同的数值求积 公式。
为提高数值积分精度，常将积分空间分成n等份 ，在每个小区间上采用相应的求积公式计算，称 为复合的数值求积公式。
b
n
f(x)dx
xi1g(x)dx
a
2021/3/7
Tn
n1h k02
f(xk)f(xk1)
6
梯形求积公式
如果精度不够，再各子区间平分，得2n=2k+1
T2n1 2Tnb2nakn 1 0f(xk1/2)
当满足
T2n Tn
2021/3/7
7
辛普生求积公式
如用二次插值多项式－－抛物线g(x)所围成的曲边梯 形面积近似代替y=f(x)围成的曲边梯形面积
3
数值积分实质
数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过
构造被积函数的某种线性组合的逼近函数来近似
求其积分值。
如函数f(x)的定积分
b
a f(x)dxF(b)F(a)
，当被
积函数f(x)的原函数F(x)无法用初等函数表达，则
可以用另一个具有足够逼近精度的简单函数g(x)
来近似替代函数f(x)，函数g(x)的构造通常取f(x)
b
S a g(x)dx
2021/3/7
9
高斯求积公式
高斯求积法，在积分区间，选择某些积分点（设为n 个积分点），计算出函数在这些积分点上的数值， 然后用相应的权系数乘以这些函数值，并求和。
在相同数量积分点的选取条件下，高斯积分的精度 最佳。
b
I ( f ) a ( x) f ( x)dx
利用正交多项式来确定求积点（高斯积分点）时，
该正交多项式为勒让德多项式，这样积分点为
n次勒让德多项式的n个零点，由此得到相应的求积
公式的权系数 A k
xk(k1,2, n)
1
n
f (x)dx
1
Ak f(xk)
k1
上式为高斯Leabharlann 勒让德求积公式。高斯积分点与权 系数的值参考表。
2021/3/7
11
高斯求积点 参考高斯积分表
I a bf(x )d x 1 6 b a f(a ) f(b ) 4 f(a 2 b )
为得到求积的精度，将积分区间细分k次，得到分段
数 n 2 k ，其复合辛普生求积公式为
I i n 1x x ii 1g (x )d x 6 h n i 0 1f(x i) 4 f(x i h /2 ) f(x i 1 )
2021/3/7
12
高斯求积公式
对于一般区间[a,b]，利用积分变量代换，转换为 [-1,1]积分区间。
xbat ba
2
2
b
ba 1 ba ba
f(x)dx
f( t )dt
a
2 1 2
2
n
B
k1
Ak
f
ba ( 2 tk
ba) 2
其中 B b a 2
2021/3/7
13
高斯求积公式
对于多重积分，可以化重积分为多次积分的方法， 与前面辛普生的多重积分相似，每一重积分采用 相同或不同的高斯积分点
第3章 数值积分法
工程电磁场数值方法编程实验－数值积分法 电子科技大学 赖生建
2021/3/7
1
主要内容
一． 概述 二． 数值积分 三． 基于场量积分公式的数值积分法 四． 基于场源离散化的数值积分法 五． 编程实践
2021/3/7
2
3.1 概述
数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之 一。
2021/3/7
8
辛普生求积公式
计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分
解为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，
即在第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每
产生一个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生
求积公式计算。
S
b
dx
y2(x)
f(x,y)dy
a
y1(x)
分解为两个单积分
g(x) y2 (x) f (x, y)dy y1 ( x)
/2
E(k)
1k2sin2d
0
k 称为积分模数 k 2 1
2021/3/7
17
椭圆积分的数值计算
级数展开式
K(k)
2
1
n i 1
i j 1
2
2 j 1
2j
k
2i
E(k)
2
1
n i 1
i j 1
2
2 j 1
2j
k 2i
2i
1
算术几何平均法
K(k) 2an
i1 xi
2021/3/7
5
3.2 梯形求积公式
梯形求积是一种直观的近似方法， 由边界上近似直线围成的梯形面积 近似代替原来曲边梯形面积。
T11 2baf(a)f(b)
上面误差较大，为得到求积的精度，可将积分区间细分k
次，得到分段数 n 2 k ，其梯形积分公式为
T2h 2f(a)f(b)2f(ah)
x2 y2
n1n2
x1 y1f(x,y)dxdyB 1B 2 A iA jf(xi,yj)
i 1j 1
x 2y 2z 2
n 1n 2n 3
x 1y 1z 1f(x ,y ,z ) d x d y d z B 1 B 2 B 3
A iA jA kf(x i,y j,z k )
i 1j 1 k 1
2021/3/7
14
编程实践一
编写辛普生积分计算函数
2021/3/7
15
编程实践二
编写高斯积分计算函数
2021/3/7
16
椭圆积分的数值计算
在电磁场的数值计算中，椭圆积分的应用广泛。 应用较多的是第一与第二类椭圆积分
第一类完全椭圆积分
/2
d
K(k)
0 1k2sin2
第二类完全椭圆积分
n
I n ( f ) Ak f ( xk ) k 1
求积节点 xk(k1,2, n)为高斯积分点。 ( x ) 称为积 分区间[a,b]上的权函数，不同的权函数选取，不同的 高斯型求积公式，其中 (x) 1 是最常用的权函数。
2021/3/7
10
高斯求积公式
当给定权函数 (x) 1，可假定积分区间为[-1,1],
E(k)
K
1
1 2
c02
n i1
2i
ci2
式 中a0 1；b0
1k2;c0 k
ai (ai1bi1)/2;bi ai1bi1