《微积分(下)》作业答案
《微积分（下）》作业
本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。
作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
客观题部分
一、选择题（每题1分，共15分）
1．级数1
n n u ∞
=∑收敛的充要条件是（ C ）
A 、lim 0n
n u →∞
= B 、1lim
1
n n n u r u +→∞
=<
C 、lim n n S →∞
存在，()12n n S u u u =++…+ D 、2
1n
u n
≤
2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）
A 、(
)
1
1
1n n ∞
-=-∑
B 、()
1121
n
n n n ∞
=--∑
C 、1
2
1
3n
n ∞
=∑
D 、()
()
1
1
1
1ln 1n n n ∞
-=-+∑
3．二元函数
z
=
B ）
A 、0
x y +
>
B 、1x y +>
C 、()ln 0x y +≠
D 、1x y +≠
4．级数()()
1
1
2121n n n ∞
=-+∑
的和是（ A ）
A 、1
2
B 、2
C 、3
D 、1
3
5．若级数1
n n u ∞
=∑发散，则级数()1
0n n au a
∞
=≠∑（ A ）
A. 一定发散 B 、一定收敛
C 、可能收敛也可能发散
D 、0a
>时收敛，0
a <时发散
6．级数()
1
23
n
n
n x n ∞
=-⋅∑
的收敛半径是（ D ）
A 、2
B 、1
2
C 、1
3
D 、3
7．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则D
dxdy ⎰⎰=（ A ）
A 、8
B 、 4
C 、 2
D 、4-
8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）
A 、(
)
1
11n n ∞
+=-∑
B 、()
()110n
n a n a
∞
=->+∑
C 、()
()
1
2
1
121n n n -∞
=--∑
D 、(
)
1
1
11
n
n n n ∞
=--+∑
9．设12y x
z
-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则
z x
∂∂=（ D ）
A. 1ln 2
2y x
-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B 、2
2
y
x
y x
-⋅
C 、112y x
y x -
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
D 、2
2
ln 2
y
x
y x
-⋅
10．微分方程'3xy y +
=的通解为（ A ）
A 、3C y x
=+ B 、3y C
x =+ C 、3
C y
x
=-- D 、3
C y
x
=-
11．已知级数1
n n u ∞
=∑，1
n n v ∞
=∑，n n u v 0≤≤，则（ C ）
A 、当1n n u ∞
=∑收敛时，1n n v ∞
=∑发散
B 、当1n n v ∞
=∑发散时，1n n u ∞
=∑发散
C 、当1
n n u ∞
=∑发散时，1
n n v ∞
=∑发散
D 、当1
n n v ∞
=∑发散时，1
n n u ∞
=∑收敛
12．设()ln x
y
z
e e
=+，则
2
z x y
∂∂∂=（ B ）
A 、
y
x
y
e
e e
+ B 、
()
2
x
y x y
e e
e e
-+
C 、
()
2
x y x
y
e e
e
e
+ D 、
x
x
y
e
e e
+
13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）
A 、一定不可微
B 、一定可微
C 、连续
D 、有定义
14．设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且()()//0000,0,,0x y f x y f x y ==，则函数(),f x y 在点
()00,x y 处（ D ）
A 、必有极值
B 、必有极大值
C 、必有极小值
D 、不一定有极值
15．交换二重积分()10
,y I dy f x y dx
=
⎰
⎰
的积分次序，则I =（ B ）
A 、()10
,x
dx f x y dy
⎰⎰ B 、()11
,x
dx f x y dy
⎰⎰
C 、()10
,y dx f x y dy
⎰⎰
D 、()10
,y dx f x y dy
⎰
⎰
主观题部分
二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）
1. 判断交错级数()
2
2
1
11ln
n
n n n
∞
=+-∑的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，
注明理由.
2. 求幂级数1
1
n n nx
∞
-=∑
的和（注：利用逐项积分）.
3. 设2
ln
x y z +
+=，求
.z x
∂∂
4．求微分方程1'y y x x
+
=的通解.。
微积分(下)单元独立作业3答案
高等数学(下)单元独立作业3答案 班级＿＿＿学号＿＿＿姓名＿＿＿一、填空题：(每小题5分，共60分)1．函数z =_22{(,)01}x y x y <+≤_． 2．极限00x y →→=___12-___．3．已知函数2(1)xyz x =+，则z x∂=∂___22222(1)[ln(1)]1xy x y x y x x ++++_．4．已知函数22ln()z x y =+，则2z y 2∂=∂___222222()()x y x y -+__．5．设(,,)u f x xy xz =，则ux∂=∂__123f f y f z '''++__． 6．设22220x y z z ++-=，则2z x 2∂=∂___223(1)(1)z x z -+-__．7．已知y z x =，则(1,e)d z=____ed d x y +__．8．曲线3x t =，2y t =，z t =在1t =-处的切线方程是__111321x y z +-+==-__． 9．曲面222z x y =+在点(1,1,3)-处的切平面方程是__4230x y z ---=__．10．函数22(,)2()f x y x y x y =---，当(,)x y =_(1,1)-_时，取得极__大__值是__2__． 11．已知函数2u xy z =，{1,2,2}l =-，则方向导数(1,1,1)ul-∂=∂___53___． 12．已知函数sin u yz x =，则梯度(grad u π=__{0,2,1}___．二、解答题：(每小题10分，共40分) 13．证明极限00limx y x yx y →→-+不存在．当(,)x y 沿着直线y kx =趋于(0,0)时，0001limlim 1x x y x y x kx kx y x kx k →→→---==+++，k 值不同极限不同， ∴原极限不存在．14．已知函数222222,0,(,)0,0,x yx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩利用偏导数定义求(0,0)x f '和(0,0)y f '．220000(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x →→⨯--+'===；220000(0,)(0,0)0(0,0)lim lim 0y y y yf y f y f y y →→⨯--+'===．15．设22(,)z f xy x y =-，求2z x 2∂∂和zx y2∂∂∂．122zf y f x x∂''=+⋅∂，122z f x f y y ∂''=-⋅∂，∴1112221222(2)2(2)2z f y f x y f f y f x x x 2∂'''''''''=+⋅+++⋅⋅∂ 221112221222224f y f xy f f xy f x '''''''''=++++； 22111122122*********(2)(2)2224zf f x f y y f x f y x f f xy f y f x f xy x y2∂''''''''''''''''''=+-⋅+-⋅⋅=+-+-∂∂． 16．求表面积为26a 而体积最大的长方体的体积．设长方体的三条棱长分别为x ，y ，z ，则体积(0V xyz x =>，0y >，0)z >，且2222263xy yz zx a xy yz zx a ++=⇔++=．作拉格朗日函数2(,,,)(3)F x y z xyz xy yz zx a λλ=+++-，令()0,()0,()0,x y z F yz y z F zx z x F xy x y λλλ'=++=⎧⎪'=++=⎨⎪'=++=⎩且23xy yz zx a ++=，解得唯一驻点(,,,)2a a a a -，∴(,,)x y z(,,)a a a =是V xyz =的可能极值点，也是最大值点，∴当长方体的三条棱长都是a 时，长方体的体积最大，最大体积为3a ．。
微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
12秋《微积分》(下)作业答案费下载.docx
作业系统-12秋《微积分》（下）作业1题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-7图形：题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-24图形：题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-46图形：题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-36图形：选项：口a、A匚b、B 本题分数：4本题分数：4d、D题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-44图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-23图形：题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-13图形：题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-12图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-33图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-6图形：题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-37图形：题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-42图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-11图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-26图形：题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-19图形：题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-40图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-5图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片5-20图形：题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-41图形：题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片5-22图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4作业系统-12秋《微积分》（下）作业2题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-25图形：题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-29图形：选项：C a、AC b、B匚c、Cd、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-28图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-22图形：题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-8图形：题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-12图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-13图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-10图形：题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-16图形：题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-17图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-15图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-19图形：题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-30图形：题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-18图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-24图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-20图形：题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-5图形：题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片6-23图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4d、D题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-26图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片6-1图形：作业系统-12秋《微积分》（下）作业3题号:1题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-12图形：选项：C a、A 匸b、BC c、C 匚d、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-21图形：题号:4题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-6图形：选项：口a、A匚b、B 本题分数：4本题分数：4题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-23图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-28图形：题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-9图形：题号:9题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-5图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-20图形：选项：C a、A 匸b、B 匕c、C 口d、D题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-2图形：题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-26图形：题号:14题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-3图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-24图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-1图形：题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-7图形：题号:19题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-4图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-18图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-13图形：题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-16图形：题号:24题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片7-30图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片7-29图形：作业系统-12秋《微积分》（下）作业4题号:2题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-14图形：选项：匕a、A 匸b、BC c、C匚d、D题号:3题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-3图形：题号:5题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-24图形：题号:6题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-26图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:7题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-7图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:8题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-30图形：题号:10题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-11图形：题号:11题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-19图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:12题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-6图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:13题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-12图形：题号:15题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-27图形：题号:16题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-23图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4题号:17题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-9图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:18题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-2图形：题号:20题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-16图形：题号:21题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）内容：图片8-4图形：选项：C a、A 本题分数：4本题分数：4口d、D题号:22题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-18图形：选项：C a、A 匸b、B□ c、C口d、D题号:23题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-15图形：题号:25题型:单选题（请在以下几个选项中选择唯一正确答案）本题分数:4 内容：图片8-5图形：。
微积分习题册答案
(2) 函数 z = x y 在点 (2, −1) 处，当 ∆x = 0.02, ∆y = −0.01 时有全增量 ∆z = 全微分 dz = −0.2 .
(3) 设 z = f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的全增量为 ∆z , 全微分为 dz , 则 f (x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处的 全增量与全微分的关系式是 ∆z = dz + o(ρ) (ρ → 0); y (4) u = arctan 在点 (1, 1) 处的 du = − 1 dx + 1 dy ; 2 2 x (5) u = (sin y )cos y ，则 du = (sin y )cos x (− sin x ln sin y dx + cos x cot y dy ) ; 1 1 (6) u = √ , 则 du = − 2 (xdx + y dy + z dz ) . 2 (x + y + z 2 )3/2 x2 + y 2 + √ z2 2. 证明： f (x, y ) = |xy | 在点 (0, 0) 处连续，fx (0, 0), fy (0, 0) 都存在，但在 (0, 0) 处不可微. 解. 因为
微
进一步, 我们有
积
分
∂u du ∂r x−a = =− 3 , ∂x dr ∂x r
练
习
册
(2) 考察偏导函数在 (0, 3) 处是否连续. 解. (1) 当 x ̸= 0 时, 由对数求导法可得 1 fx (x, y ) = x (x + y ) sin x
2 2 2
(
2 2x 1 1 + 2 − cot 2 x x +y x x
微积分下 第九章 答案
x
区域。 解：
x cos x y d dx x cos x y dy
0 0
x sin 2 x x sin x dx 0
3 . 2
（5）
D
D
ye xy dxdy ，其中 D 由 x 2, y 2, xy 1 所围成。
D
x 3 sin x 2 y 2 dxdy 0.
D
y 2 1 x 2 dxdy ，其中 D 为单位圆 x 2 y 2 1.
1 1 x 2
2
解：
y 2 1 x 2 dxdy dx
1
1 x
y 2 1 x 2 dy
2 2 32 1 x 2 dx . 1 3 45 1
0
1
1 x
x 1
e x y dy
1
e
2 x 1
1 1 e 1 dx e e 2 x 1 dx e . 0 e 2
（4）
x
D 2 D
y 2 x d ，其中 D 为由直线 y 2, y x 及 y 2 x 所围成的闭区域。
3x 2 y d x
D 3 D 3
dx
2 x
0
3x 2 y dy 0 4 2 x 2 x 2 dx
2
20 . 3
（3）
3 x 2 y y 3 d ，其中 D
x, y 0 x 1, 0 y 1.
2 2 0
R cos
0
R 2 r 2 rdr
2
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)
1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。
(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。
2） 由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。
2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。
解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。
解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。
解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。
解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
《微积分(下)》作业答案
《微积分（下）》作业本课程作业由二部分组成：第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分； 第二部分为“主观题部分”，由4个解答题组成，第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分。
作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
客观题部分一、选择题（每题1分，共15分）1．级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是（ C ）A 、lim 0nn u →∞= B 、1lim1n n n u r u +→∞=<C 、lim n n S →∞存在，()12n n S u u u =++…+ D 、21nu n≤2．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞-=-∑B 、()1121nn n n ∞=--∑C 、1213nn ∞=∑D 、()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑3．二元函数z=B ）A 、0x y +>B 、1x y +>C 、()ln 0x y +≠D 、1x y +≠4．级数()()112121n n n ∞=-+∑的和是（ A ）A 、12B 、2C 、3D 、135．若级数1n n u ∞=∑发散，则级数()10n n au a∞=≠∑（ A ）A. 一定发散 B 、一定收敛C 、可能收敛也可能发散D 、0a>时收敛，0a <时发散6．级数()123nnn x n ∞=-⋅∑的收敛半径是（ D ）A 、2B 、12C 、13D 、37．设积分区域D 是由曲线2,1x y ==所围成的平面图形，则Ddxdy ⎰⎰=（ A ）A 、8B 、 4C 、 2D 、4-8．下列级数中，绝对收敛的是（ C ）A 、()111n n ∞+=-∑B 、()()110nn a n a∞=->+∑C 、()()121121n n n -∞=--∑D 、()1111nn n n ∞=--+∑9．设12y xz-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x∂∂=（ D ）A. 1ln 22y x-⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、22yxy x-⋅C 、112y xy x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭D 、22ln 2yxy x-⋅10．微分方程'3xy y +=的通解为（ A ）A 、3C y x=+ B 、3y Cx =+ C 、3C yx=-- D 、3C yx=-11．已知级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，n n u v 0≤≤，则（ C ）A 、当1n n u ∞=∑收敛时，1n n v ∞=∑发散B 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑发散C 、当1n n u ∞=∑发散时，1n n v ∞=∑发散D 、当1n n v ∞=∑发散时，1n n u ∞=∑收敛12．设()ln xyze e=+，则2z x y∂∂∂=（ B ）A 、yxyee e+ B 、()2xy x ye ee e-+C 、()2x y xye eee+ D 、xxyee e+13． ()()//0000,,,x y f x y f x y 存在，则函数(),f x y 在点()00,x y （ C ）A 、一定不可微B 、一定可微C 、连续D 、有定义14．设(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且()()//0000,0,,0x y f x y f x y ==，则函数(),f x y 在点()00,x y 处（ D ）A 、必有极值B 、必有极大值C 、必有极小值D 、不一定有极值15．交换二重积分()10,y I dy f x y dx=⎰⎰的积分次序，则I =（ B ）A 、()10,xdx f x y dy⎰⎰ B 、()11,xdx f x y dy⎰⎰C 、()10,y dx f x y dy⎰⎰D 、()10,y dx f x y dy⎰⎰主观题部分二、解答题（第1、2题每题2.5分，第3、4题每题5分，共15分）1. 判断交错级数()22111lnnn n n∞=+-∑的敛散性. 若收敛，请指出是条件收敛，还是绝对收敛，注明理由.2. 求幂级数11n n nx∞-=∑的和（注：利用逐项积分）.3. 设2lnx y z ++=，求.z x∂∂4．求微分方程1'y y x x+=的通解.。
中南大学微积分下习题答案
当 (0,0) 0时, f x (0,0) 0,
同理, f y (0,0) 0.
P74/2(2)
lim
f Ax By
0
x y ( x ) ( y )
2
lim
x y ( x , y )
0
lim
x 0 y 0
f l lim
( 0,0 )
f ( cos , sin ) f (0,0)
0
cos sin 2 2 lim sin[( cos ) ( sin ) ] 2 2 0 [( cos ) ( sin ) ]
cos sin 2 lim sin 0 2
cos 2 sin2
P80/7
(1) 0 xy x y
2 2
sin( x y )
2
2
xy 0 ( x 0, y 0)
lim
xy x2 y
x 0 y 0
2 2 sin( x y ) 0 f (0,0), 2
故f ( x , y )在(0,0)处连续.
P123/8 求u ln x ln y 3 ln z在球面x 2 y 2 z 2 5 R 2上的极大
值( x 0, y 0, z 0), 并证明当a 0, b 0, c 0时, 恒有
Solution.
abc 5 abc 27( ) 5
3
2 2 2 2
z dz u dz P ( y ) , y du y du 1
z z p( y ) p( x ) 0 x y
大一高数微积分下册答案
第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。
微积分 下册 试题及其答案
由 ，此时
14、解:这是一个不明显含有未知函数 的方程
作变换令 ，则 ，于是原方程降阶为
分离变量 ，积分得
即 ,从而 ,再积分一次得原方程的通解
即y＝
15、证明：
,
.
5、
解：令 , ,方程化为 ,于是
二、选择题
6、A
解析;由等价无穷小，有 ，则该极限为 .
7、B
解析：由题可知，该曲线积分与积分路径无关，则作图有
此时，
8、D.
解析：令 ,幂级数变形为 , .
当 时,级数为 收敛；
当 时,级数为 发散.
故 的收敛区间是 ,
则 的收敛区间为 .
9、A
解析： .
10、B
13、若 为连续函数，且满足 ，求函数 .
14、求微分方程 的通解.
15、设 ,其中 为可导函数,证明 .
微积分期末考试题答案
一.填空题
1、
解析:由题可知,
2、
解析:由题可知,,求偏导有
3、
解析：
令 ,得 , , 为极小值点.
故 在 下的极小值点为 ,极小值为
4、收敛
解析:由比值判别法有 ,此时该级数收敛.
解析：设 ，则
， ，
，
三、解答题
11、解： ，则
， ，
， ，
求驻点，解方程组 得 和 .
对 有 ， ， ，
于是 ，所以 是函数的极大值点，且
对 有 ， ， ，
于是 ， 不是函数的极值点。
12、解：由题可知， 抛物面 作为曲顶面，开口向下，则
将所有平面投影到Xoy面上得此图形，可知 ，此时积分有
13、解：由题可知， 即
微积分期末考试题