北京科技大学有限元试题及答案

一 判断题（20分）
（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置
（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元
（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案
（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好
（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

二、填空（20分）
1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内；
后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。

3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。

4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。

6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。

等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。

7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为
{}{}
[][]e
D B σδ=。

（用符号表示即可）
8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力
基本方程
平衡方程 物理方程 几何方程
10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
三选择题（14分）
1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同
2 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_______B____相等。

（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数
3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。

（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次
4 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用进行回代计算。

（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵
5 对分析物体划分好单元后，___C_______会对刚度矩阵的半带宽产生影响。

（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号
6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。

（A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n
7 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_____C_____。

（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性
三．简答题（共20分，每题5分）
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

1、答：（答对前3个给4分）
（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
2、答：
一般原则有
(1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
(2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；多项式的选取应由低阶到高阶；
(3)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。

有限元方法分析的目的：
1)对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方
程。

2)针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。

3)力学分析的基础上，对设计对象进行强度(strength)、刚度（stiffness）评判，修改、优化参数。

3．有限单元法分析步骤
1、结构的离散化
2、选择位移模式
3 、分析单元的力学特性
4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程
5、由平衡方程求解未知节点位移
6、单元应变和应力的计算
4连续体结构分析的基本假定：
（1）连续性假设；
（2）完全弹性假设；（3）均匀性假设；（4）各向同性假设；（5）小变形假设。

四计算题（20）
、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为，弹性模量为，泊松比；单元的边
2、长及结点编号见图中所示。

求
(1) 形函数矩阵
(2) 应变矩阵和应力矩阵
(3) 单元刚度矩阵
1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a，0），点2（a，a），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为
1
2
A 2a，及
(1)形函数矩阵N为(7分
)
1
2
3
12
122121
(0a a )a 1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ；
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
12a 00-a a 11-a a 2
2E ⎡
⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，22000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，32
-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
S ；[][]
123123 ==S D B B B S S S
(3) 单元刚度矩阵e K
(6分)
11
12
13T 21
22233132
333110211312011110014020200200020111001e Et tA ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥⎢⎥===
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
9-2答：在进行热应力分析时，设置平面热单元时需要区分平面应力问题、平面应变问题以及轴对称问题。

在一般的稳态或者瞬态热分析时，一般区分平面问题和轴对称问题，以利用对称性简化计算等。

9-3答：热稳态分析需要设置材料的导热系数，而在热瞬态分析时除了需要设置材料的导热系数外，还需要设置材料的密度和比热容。

在做热应力分析时需要设置材料的热膨胀系数。

9-5答：不是，如果模型的某个边界上没有施加指定热边界条件相当于对此边界施加了绝热边界条件。

9-6答：因为在进行热应力分析时，希望得到的是温度达到某一分步之后的结构应力情况，是否会产生失效破坏等问题，此时需要将热分析的结果作为温度载荷施加在单元网格上，此时若有之前的温度载荷（边界条件）会影响结构分析的结果。

9-8答：错误，ANSYS 在做热分析时其理论基础是傅里叶定律，而傅里叶定律只适用于宏观情况，即数量级在微米以上的情况，所以并不能用ANSYS 做微-纳米尺度的计算。

8-2答：不对。

网格质量的好坏将影响计算精度，质量太差的网格甚至会终止计算。

8-3答：因为高阶单元的边中点和面内点并不适合大应变问题；另外大量的面内点和体内点会占据内存资源，而同时对计算精度的提高帮助不大。