有限元考试试题及答案

一、 简答题（共40分，每题10分）1. 论述单元划分应遵循的原则。

2. 说明形函数应满足的条件。

3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。

4. 阐述边界元法的主要优缺点。

二、 计算题（共60分，每题20分）1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ⨯==，截面积2125.5in A =，2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。

备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。

（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分）2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比µ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。

（15分）学院 专业 学号 姓名 y图1图23. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。

图3一、简答题1. 答：1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量2. 答：形函数应满足的三个条件：a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。

b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。

当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。

c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。

3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。

意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。

4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。

有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。

它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。

三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。

分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。

在工程分析中的作用已从分析和校核扩展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合。

可以预计，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。

三、计算题1. 解：将杆件分解成两个元素， 元素1的刚度矩阵K 1=in Ibf /10125.13L E A 6111⨯=⨯， 元素2的刚度矩阵K2=in Ibf /10375.9L E A 6222⨯=⨯ 总刚度矩阵单元刚度矩阵形成后，应将各单元刚度矩阵组装集合成整体刚度矩阵（即总刚矩阵）。

如所示为杆系结构两单元节点编号示意图，可得总刚度矩阵为()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33232223222222121112111100k k k k k k k k K (3-11)图3-3 杆系结构两单元节点编号示意图引入边界条件求解节点位移总刚矩阵[]K 组集完成后，即可获得整个结构的平衡方程为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321222211113211101111011u u u l l l l l l l l E F F F (3-12) 整个结构的边界条件为01=u ，2F 、3F 已知，三个未知量三个方程，因此上式可求得唯一解。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221111321F F l l l l l E u u ()321F F F +-=解出节点位移：u 1=0 u 2=×10-5in u 3=×10-4in2. 解：(1)建立需要计算的力学模型以及划分单元由于该结构几何对称和受载也对称，故可利用其对称性，只需要取薄板的1/4作为计算对象。

为了简单起见，我们把它划分成4个三角形单元，单元和节点编号如图（b ）所示。

由于对称，节点1，2，4，不可能有水平位移，节点4，5，6不可能有垂直位移，故施加约束如图（b ）所示。

图 两类单元节点编号取总体y x ,坐标并确定各节点的坐标值。

由图看出，这里只有两类不同的单元，一类单元是1，2，4，另一类单元是3。

两类单元节点的编排如图所示。

单元1，单元节点 编排对应于结构的节点编号1，2，3。

三个节点坐标如下：0=i x ， 0=j x ， m x m 1=， m y i 2=， m y j 1=， m y m 1=代入得：0=-=m j i y y b ；1-=-=i m j y y b ；1=-=j i m y y b 1=-=j m i x x c ； 1-=-=m i j x x c ；0=-=i j m x x c三角形面积:221m =∆ 单元节点坐标以及单元和节点的编号是原始数据，可用手工输入，也可由计算机完成。

对于单元2，3，4定出单元节点 的坐标值后，同样可算出，以及各单元的面积。

（2）计算个单元的刚度矩阵e k 及组集成总刚K 由于m t 1=，0=μ，所以()2142EEt =∆-μ于是由式可求得单元刚度矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1331321311231221211131121111111111111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k mmmjmi jm jjjiimijii e ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=25.0025.025.0025.005.005.00025.0075.025.05.025.025.05.025.075.0025.0005.005.0025.0025.025.0025.0E同理可得单元2，4的刚度矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2552542522452442422252242222k k k k k k k k k k e，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4664654634564554534364354334k k k k k k k k k k e由于1，2，4单元算出的j i b b ,…等值以及三角形面积均相同，故算出2，4的单元刚度矩阵与单元1的刚度矩阵数值完全相同。

单元3的节点m j i ,,相应于总体编号中的2，5，3点，其节点坐标为my y m y m x m x x m j i m j i 1,0,11,1,0======由此得：.1,1,0,1,0,1m c m c c m b b m b m j i m j i =-====-=从而算出单元刚度矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3333353323533553523233253223333333333k k k k k k k k k k k k k k k k k k k mmmjmi jm jj jiimij ii e ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=75.025.05.025.025.0025.075.0025.025.05.015.005.000025.025.0025.025.0025.025.0025.025.0005.00005.0E根据各单元刚度矩阵组集成总刚度矩阵[]K 为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=4664564555525524524443643533543333313332522522432312332222212211311211100000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K 称）（对 由以上结果求得总刚度矩阵各元素为⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.00025.011111E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.025.011212－－－＝＝E k k⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.0011313－＝＝E k k⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.125.0005.05.00025.075.025.025.075.032222212222E E E E k k k k ＋＝＋＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.025.025.0125.025.005.025.0025.05.032312323E E E k k k ＝＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.0025.025.022424E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡025.025.00025.0000025.0032522525E E E k k k ＝＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.15.00025.075.025.025.075.025.0005.043333313333E E E E k k k k ＝＋＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---125.025.05.05.0025.025.05.025.0025.043533535E E E k k k ＝＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0025.0043636E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡75.025.025.075.024444E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.024545E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.175.025.025.075.05.00025.025.0005.045535525555E E E E k k k k ＝＋＋＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.045656E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.0005.046666E k k ＝＝ 把上面计算出的11k ，…，66k 对号入座放到总刚矩阵[]K 中去，于是得到[]K 的具体表达式。