部编版八年级数学下册期末复习资料
八年级数学下册知识点总结(全)
八年级数学下知识点总结函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线。
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
（如下图）4.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。
2023年部编版八年级下册数学必背公式(完整版)
2023年部编版八年级下册数学必背公式(完整版)结论公式1. 相同数的乘积：- 相同数相乘，底数不变，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)- 多个相同数相乘，底数不变，指数相加：a^m * a^n * a^p = a^(m+n+p)2. 幂的乘法：- 幂的乘法，底数不变，指数相乘：(a^m)^n = a^(m * n)3. 幂的除法：- 幂的除法，底数不变，指数相除：(a^m) / (a^n) = a^(m - n)4. 幂的负指数：- 幂的负指数，底数不变，指数变为负数取倒数：a^(-n) = 1 / a^n5. 幂的零次方：- 幂的零次方等于1：a^0 = 16. 乘方的分配律：- 两个数相乘后再取乘方，等于各自取乘方再相乘：(a * b)^n = a^n * b^n几何公式1. 长方形的面积公式：- 长方形的面积等于长乘以宽：面积 = 长 * 宽2. 三角形的面积公式：- 三角形的面积等于底乘以高再除以2：面积 = (底 * 高) / 23. 圆的面积公式：- 圆的面积等于半径的平方乘以π：面积 = π * 半径^24. 梯形的面积公式：- 梯形的面积等于上底加下底的和乘以高再除以2：面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2线性方程1. 一元一次方程：- 一元一次方程的一般形式：ax + b = 0- 求解一元一次方程：x = -b / a2. 一次函数：- 一次函数的一般形式：y = kx + b- 斜率：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)- 平行直线的斜率相等：k1 = k2- 垂直直线的斜率乘积为-1：k1 * k2 = -1这些是2023年部编版八年级下册数学必背的重要公式，掌握这些公式能够帮助你更好地理解和解决数学问题。
2022—2023年部编版八年级数学下册期末考试题及答案【必考题】
2022—2023年部编版八年级数学下册期末考试题及答案【必考题】班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣2020的倒数是（ ） A ．﹣2020B ．﹣12020C ．2020D ．120202．在平面直角坐标系中，点()3,5P --关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．()3,5-B ．()3,5-C ．()3,5D ．()3,5--3．已知点()()121,,2,A y B y 在抛物线2(1)2y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>4．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ） A ．-3B ．-1C ．1D ．35．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-6．如果2a a 2a 1-+，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或7．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁8．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P 3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a 、b 为两个连续的整数，且11a b <<，则a b +=__________． 2．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________． 3．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是______． 4．如图，直线y=x+b 与直线y=kx+6交于点P （3，5），则关于x 的不等式x+b＞kx+6的解集是_________．5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=6，D 是AB 的中点，则CD=_____．6．如图，ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ．如果CDM 的周长为8，那么ABCD 的周长是_____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程组：4311213x y x y -=⎧⎨+=⎩2．先化简，再求值：3x 4x 2x x 1x 1--⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中1x 2=．3．（1）若x y >，比较32x -+与32y -+的大小，并说明理由； （2）若x y <，且(3)(3)a x a y ->-，求a 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k、b的值；（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD =13S△BOC，求点D的坐标．5．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．6．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、C3、A4、D5、C6、C7、D8、C9、C 10、A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、72、22()1y x =-+3、720°．4、x ＞3.5、36、16三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、53x y =⎧⎨=⎩．2、x 2-，32-．3、（1）-3x +2＜-3y +2，理由见解析；（2）a ＜34、（1）k=-1，b=4；（2）点D 的坐标为（0，-4）．5、24°．6、（1）清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；（2）分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．。
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一：二次根式的非负性
部编人教版八年级数学下册重点强化专题一（含答案）二次根式的非负性【方法技巧】 a 表示非负数a 算术平方根，它具有双重非负性：（1）二次根式的结果是非负数，即a ≥ 0.（2）二次根式的被开方数是非负数，即a ≥0.一、利用二次根式的非负性求范围1. 二次根式4-x 有意义，则实数x 的取值范围是 .2. 若m m -=-1)1(2 ， 则m 的取值范围是 .二、利用二次根式的非负性化简3. 若a>2，则=+---12)2(22a a a . 4.化简：yy 1-- ＝ . 5.当 x<0时，化简 ： xx x x 24422-+-＝ 6.实数在数轴上的位置如图所示，化简：222)()2()2(b a b a ++--+三、利用二次根式的非负性求值7. 若| x+y-1|+0102=+-y x , 则4y-3x 的平方根是8. 311+=-+-a a a 求a 值。
9. 若433+---=x x y ， 求222244()2(y xy x y xy x +-++-的值.10. 已知实数x 、y 满足,0256102=+++-y x x ，求2020)(y x +的值.b-2-112参考答案1.∵ x-4≥0 ∴x ≥42.∵0)1(2≥-m 1.∴1-m ≥0 ∴m ≤1 3. ∵a >2 ∴=+---12)2(22a a a 22)1()2(---a a =1)1()2(-=---a a 4.∵01≥-y ∴y <0 ∴ y y y y y -=-=--215.∵x<0时x x x x x x x x x x x 1)2(2)2()2(244222-=--=--=-+-6. 如图可知:a+2>0 b-2<0 :a+b>0∴a b a b a b a b a 2)()2()2()()2()2(222=++--+=++--+ 7. ∵| x+y-1|≥0 ,0102≥+-y x∴ | x+y-1|＝0且 0102=+-y x∴ x+y-1＝0，2x-y+10=0解之得： x= -3 , y=4 , ∴4y-3x =25,则4y-3x 的平方根是58. 由，1≥a ,有321111+==-+-=-+-a a a a a a3=a 9. 由433+---=x x y 得4,3==y x O x ba -2-112321)2()(44()2(222222=+=-+-=+-++-y x y x y xy x y xy x 10. 1)y x (,6y ,5x ,0)6(y )5x (,025*********=+∴-===++-=+++-所以有：得：由y x x。
2023年部编版八年级数学下册期末考试题(加答案)
2023年部编版八年级数学下册期末考试题（加答案）班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．162．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（）A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．03．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．11m n==，B．10m n==，C．12m n==，D．21m n==，4．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣345．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A．20{3210x yx y+-=--=，B．210{3210x yx y--=--=，C．210{3250x yx y--=+-=，D．20{210x yx y+-=--=，6．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．50°7．下列说法中错误的是（ ）A ．12是0.25的一个平方根B ．正数a 的两个平方根的和为0C ．916的平方根是34D ．当0x ≠时，2x -没有平方根 8．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（ ）A ．32B ．3C ．1D ．439．如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=，则CBE ∠的度数为（ ）A ．20B ．35C ．55D ．7010．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=________．2．若最简二次根式1a +与8能合并成一项，则a ＝__________．3．将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________. 4．如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3—∠2的度数等于 _________．5．我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______。
2022—2023年部编版八年级数学下册期末考试【参考答案】
2022—2023年部编版八年级数学下册期末考试【参考答案】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．若2n +2n +2n +2n =2，则n=（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．0D ．142．将抛物线23y x =-平移，得到抛物线23(1)2y x =---，下列平移方式中，正确的是（ ）A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．对于函数y ＝2x ﹣1，下列说法正确的是（ ）A ．它的图象过点（1，0）B ．y 值随着x 值增大而减小C ．它的图象经过第二象限D ．当x ＞1时，y ＞04．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =-B ．1201508x x =+C ．1201508x x =-D ．1201508x x =+ 5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =．下列结论：①0abc <；②30a c +>；③()220a c b +-<；④()a b m am b +≤+(m 为实数)．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知2,1=⎧⎨=⎩xy是二元一次方程组7,{1ax byax by+=-=的解，则a b-的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．37．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N8．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E 为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°9．如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）C．∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD（两直线平行，同位角相等）10．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a、b满足（a﹣1）2+2b+=0，则a+b=________．2．计算1273-=___________．3．若分式1xx-的值为0，则x的值为________.4．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为_____________．5．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．6．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则AFE∠=____________;三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：（1）2450x x--=；（2）22210x x--=．2．先化简，再求值：2211(1)m mm m+--÷，其中3．3．已知22a b -=，且1a ≥，0b ≤．（1）求b 的取值范围（2）设2m a b =+，求m 的最大值．4．如图，已知一次函数y kx b =+ 的图象经过A （－2，－1） ， B （1，3）两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求该一次函数的解析式（2）△AOB 的面积5．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =63°，求∠DAC 的度数．6．为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．（1）求足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、D3、D4、D5、C6、A7、C8、B9、D10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、﹣123、1.4、10．5、46、60°三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）x1=5，x2=-1；（2）12x x==.2、33、（1）12b-≤≤；（2）24、（1）4533y x=+；（2）525、24°．6、（1）一个足球的单价103元、一个篮球的单价56元；（2）学校最多可以买9个足球．。
部编数学八年级下册二次根式的应用及探究材料大题专练(培优强化30题)2023复习备考【人教版】含答案
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.2二次根式的应用及探究材料大题专练（培优强化30题）A卷基础过关卷（限时30分钟，每题10分，满分100分）1．（2022秋•西安月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；（2）先根据公式t＝求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．【解答】解：（1）由题意知h＝60m，∴t＝＝＝2（s），故从60m高空抛物到落地的时间为2s；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当t＝3s时，3＝，∴h＝45，经检验，h＝45是原方程的根，∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．2．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 3dm ， 4dm ；（2）求剩余木料的面积；（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为dm和dm，再对二次根式进行化简即可；（2）矩形的长为7dm，宽为4dm，再求面积即可；（3）剩余木条的长为3dm，宽为dm，再由题意进行截取即可．【解答】解：（1）＝3dm，＝4dm，故答案为：3dm，4dm；（2）矩形的长为3+4＝7（dm），宽为4dm，∴剩余木料的面积＝（7×4）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；（3）剩余木条的长为3dm，宽为4﹣3＝（dm），∵3＜3×1.5，＞1，∴能截出2×1＝2个木条，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．3．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．4．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．记：Q＝．（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．【分析】（1）先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；（2）设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S＝c•h＝c，代入Q＝得到Q＝c，于是得到结论．【解答】解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p＝（a+b+c）＝，∴Q＝＝＝；（2）∵a＝b，∴设底边c上的高为h，∴h＝，∴S＝c•h＝c，∵a＝b，∴p＝（a+b+c）＝a+c，∴Q＝＝＝c，∴S＝Q．【点评】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积公式，正确的化简二次根式是解题的关键．6．（2019秋•会同县期末）已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．【解答】解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．【点评】此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．7．（2021春•广陵区校级月考）一个三角形的三边长分别为10、x和．（1）求它的周长（要求结果化简）（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】（1）利用二次根式的性质进行化简，进而求值计算即可；（2）如果一个二次根式化简后为整数，则被开方数就是一个能开得尽方的数，适当取值即可．【解答】解：（1）因为x＞0，所以三角形的周长为：10+x+＝10×++2＝2++2＝5；（2）当x＝5时，＝5，为整数，此时，三角形的周长为5＝5×5＝25．【点评】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．8．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），答：长方形ABCD的周长是16+14（米），（2）通道的面积＝＝56﹣（13﹣1）＝56（平方米），购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．答：购买地砖需要花费336﹣72元；【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．9．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出2和的范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（块），1.73÷1.5≈1（块），3×1＝3（块）．∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．10．（2022春•沂水县期中）座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中r表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），g为重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一台座钟的钟摆长为0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1min内，该座钟发出多少次滴答声？（≈3.16，π取3.14，结果保留整数）【分析】由给出的公式先计算出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到滴答次数．【解答】解：当l＝0.5m，g＝9.8m/s2时，r＝2π＝2π＝2π＝，≈（s），∴在1min 内，该座钟发出滴答声的次数为：60÷1.42≈42，答：在1min 内，该座钟发出约42次滴答声．【点评】本题主要考查了二次根式的应用，计算出钟摆的周期是解决本题的关键．B 卷 能力提升卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•伊宁市校级期末）已知矩形的长为a ，宽为b 且，．（1）求矩形的周长；（2）当S 矩形＝S 正方形时，求正方形的边长m 的值．（注：S 表示面积）【分析】（1）根据矩形的周长＝2×（长+宽），列式计算即可；（2）设正方形的边长为m ，根据S 矩形＝S 正方形，列出方程6×4＝72，解方程求出m 的值．【解答】解：（1）∵矩形的长为a ，宽为b 且＝6，＝4．∴矩形的周长＝2（a +b ）＝2（6+4）＝20；（2）设正方形的边长为x ，则m ＞0．∵S 矩形＝S 正方形，∴m 2＝ab ＝6×4＝72，∴m ＝6（负值舍去），∴正方形的边长m 为6．【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握矩形、正方形的周长与面积公式是解题的关键．12．（2022秋•攸县期末）已知长方形长a ＝，宽b ＝．①求长方形的周长；②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．【分析】①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．【解答】解：①长方形的周长为2×（+）＝2×（2+）＝6；②长方形的面积为×＝2×＝6，则正方形的边长为，∴此正方形的周长为4，∵6＝，4＝，且＜，∴6＞4，则长方形的周长大于正方形的周长．【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．13．（2022秋•南昌期末）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面积．【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案．【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；（2）把a＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得：（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2＝400﹣8﹣4×2＝400﹣8﹣8＝384．【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系．14．（2023•源城区开学）如图，B地在A地的正东方向，两地相距km．A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，且A，B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处，至上午8：20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶？【分析】根据题意得到AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，则∠ACP＝45°，∠BCQ ＝45°，作AH⊥PQ于H，根据题意有AH＝BQ，再证明△ACH≌△BCQ，得到AC＝BC＝AB＝14，根据等腰直角三角形的性质得PC＝AC＝28，CQ＝＝14，所以PQ ＝PC+CQ＝42，然后根据速度公式计算出该车的速度＝126（km/h），再与110km/h比较即可判断该车超速行驶了．【解答】解：如图，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，∴∠ACP＝45°，∴∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，则AH＝BQ，在△ACH和△BCQ中，∴△ACH≌△BCQ（AAS），∴AC＝BC，∴AC＝BC＝AB＝14，∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，∴PQ＝PC+CQ＝42，∴该车的速度＝＝126（km/h）∵126km/h＞110km/h，∴该车超速行驶了．【点评】本题考查了二次根式的应用：二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．15．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．仿照上述方法解决问题：（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；（2）已知，求代数式x3+2x2的值．【分析】（1）根据x＝﹣3求出x+3＝，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；（2）根据x＝求出2x+1＝，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣3，∴x+3＝，两边平方得：（x+3）2＝10，即x2+6x+9＝10，∴x2+6x＝1，∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；（2）∵x＝，∴2x＝﹣1，∴2x+1＝，两边平方，得（2x+1）2＝5，即4x 2+4x +1＝5，∴4x 2+4x ＝4，即x 2+x ＝1，∴x 3+2x 2＝x 3+x 2+x 2＝x （x 2+x ）+x 2＝x ×1+x 2＝x +x 2＝1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．16．（2016春•泰州校级期末）（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，设，则这个三角形的面积为．（2）应用：如图1，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC ＝4，求△ABC 面积．（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，它们的交点为I ，求：I 到AB 的距离．【分析】（2）先根据三边长度求出p 的值，再代入公式计算可得；（3）过点I 作IF ⊥AB 、IG ⊥AC 、IH ⊥BC ，由角平分线性质可得IF ＝IH ＝IG ，再根据S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI 即可求得IF 的长．【解答】解：（1）如图：在△ABC中，过A作高AD交BC于D，设BD＝x，那么DC＝a﹣x，由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，解出x得x＝，于是h＝，△ABC的面积S＝ah＝a即S＝，令p＝（a+b+c），对被开方数分解因式，并整理得到；（2）由题意，得：a＝4，b＝5，c＝6；∴p＝＝；∴S＝＝＝，故△ABC的面积是；（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，∵AD 、BE 分别为△ABC 的角平分线，∴IF ＝IH ＝IG ，∵S △ABC ＝S △ABI +S △ACI +S △BCI ，即＝×6•IF +×5•IG +×4•IH ，∴3•IF +•IF +2•IF ＝，解得IF ＝，故I 到AB 的距离为．【点评】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．17．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：问题：已知x ＝+2，求代数式x 2﹣4x ﹣7的值．小敏的做法是：根据x ＝+2得（x ﹣2）2＝5，∴x 2﹣4x +4＝5，得：x 2﹣4x ＝1．把x 2﹣4x 作为整体代入：得x 2﹣4x ﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x ＝﹣2，求代数式x 2+4x ﹣10的值；（2）已知x ＝，求代数式x 3+x 2+1的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出x 2+4x ＝1，代入计算即可；（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．【解答】解：（1）∵x ＝﹣2，∴（x +2）2＝5，∴x 2+4x +4＝5，∴x 2+4x ＝1，∴x 2+4x ﹣10＝1﹣10＝﹣9；（2）∵x ＝，∴x2＝（）2＝，则x3＝x•x2＝×＝﹣2，∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．18．（2021春•石城县期末）在二次根式中如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4﹣的有理化因式可以是 4+ ，分母有理化得 ．（2）计算：①已知x＝，求x2+y2的值；②．【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．【解答】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，＝＝．故答案为：4+，；（2）①当x＝＝＝＝2+，y＝＝＝＝2﹣时，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）＝14．②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．19．（2021秋•洪江市期末）阅读并解答问题：＝＝；＝＝；＝＝2﹣；……上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：（1）将的分母有理化；（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；（3）计算+…++．【分析】（1）利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算；（2）先利用平方差公式进行分母有理化计算，从而化简a和b的值，然后代入求值；（3）利用平方差公式进行分母有理化计算，然后通过观察数字变化的规律进行分析计算．【解答】解：（1）原式＝＝﹣2；（2）a＝＝﹣，b＝＝，∴a+b＝＝2；（3）原式＝++...++＝﹣1+﹣+...+﹣+﹣＝10﹣1＝9．【点评】本题考查二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．20．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式．（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填写序号即可）；（2）写出根分式中x的取值范围 x≥1且x≠2 ；（3）已知两个根分式，．①若M2﹣N2＝1，求x的值；②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．【解答】解：（1）①不是根分式，②不是根分式，③是根分式，故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故x的取值范围是：x≥1且x≠2；故答案为：x≥1且x≠2；（3）当，时，①M2﹣N2＝1，（）2﹣（）2＝1，，，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解；②M2+N2＝（）2+（）2＝+＝＝＝1+，∵M2+N2是一个整数，且x为整数，∴是一个整数，∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，经检验，x＝1符合题意，故答案为：1．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式有意义的条件，二次根式的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．C卷培优压轴卷（限时80分钟，每题10分，满分100分）21．（2022•南京模拟）请阅读下面材料，并解决问题：海伦——秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可．【解答】解：根据材料，得a＝6，b＝7，c＝8，∴，∴＝＝＝．【点评】本题考查二次根式的应用，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可．22．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC ．的周长为C△ABC（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；（用含x的代数式表示，结果要求化简）；（2）请求出C△ABC（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当C取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．△ABC【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．【解答】解：（1）当x＝2时，＝，，，∴△ABC的最长边的长度是3；（2）由题知：，解得﹣1≤x≤4．∴，，＝++＝+5−x+x＝+5；∴C△ABC（3）∵C＝+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，△ABC越大，∴x越大C△ABC∴当x＝4时，C取得最大值，此时三边为，1，4，△ABC∵+1＜4，∴不合题意舍去．当x＝3时，三边为2，2，3，∴S＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．23．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．例如：＝＝＝＝1+．解决问题：（1）在括号内填上适当的数：＝＝③①： 5 ，②： ，③ 3+ ．（2）根据上述思路，化简并求出+的值．【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，则①＝5，②＝，③＝3+，故答案为：①5；②；③3+；（2）+＝＝＝5﹣＝7．【点评】本题考查了二次根式的性质，完全平方式的应用，关键是把被开方数化成完全平方数．24．（2022秋•临汾期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F（n）可以表示为+，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．【分析】（1）根据F（n）＝+，将n＝1，2分别代入计算即可求解；（2）根据当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F（5），再进一步求出F（6）．【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2个数F（2）＝+＝1．故答案为：2；1；（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；F （4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，F （5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是掌握“卢卡斯数列”．25．（2022春•南城县校级月考）观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：（1）猜想：＝ ；（2）解方程：．【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；（2）根据阅读部分的方法把方程化为x＝3，再解方程即可．【解答】解：（1）由题意可得：．故答案为：；（2）∵，∴，∴x＝3，解得：x＝＝＝．【点评】本题属于阅读题，考查分母有理化，二次根式的化简，理解题意，根据阅读部分提供的信息解题是关键．26．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简+++…+；（2）比较﹣ ＞ ﹣；（填“＞”或“＜”）（3）A题：若a＝+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．B题：若a＝，则4a2﹣4a+7＝ 5 ．【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；（2）先将和化简，比较大小，从而可比较﹣和﹣；（3）A题：由a＝+1，可得a﹣1＝，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；B题：由a＝，可得a＝，从而可得2a﹣＝1，两边同时作平方，可得，进一步求解即可．【解答】解：（1）+++…+＝…+＝＝；（2）＝，＝，∵＜，∴﹣＞﹣，故答案为：＞；（3）A题：∵a＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，即a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴a2﹣2a+3＝4，故答案为：4；B题：∵a＝，∴a＝，∴2a﹣＝1，∴＝1，即，∴，∴4a2﹣4a+7＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，规律型，完全平方公式和平方差公式等，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．27．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，+1与﹣1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．（1）请你写出3+的有理化因式： 3﹣ ；（2）请仿照上面的方法化简（b≥0且b≠1）；（3）已知a＝，b＝，求的值．【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据＝，将a+b，ab的值代入即可求解．【解答】解：（1）∵（3+）（3﹣）＝9﹣11＝﹣2，∴3﹣是3+的有理化因式，故答案为：3﹣；（2）＝＝＝1+；（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，∴＝＝＝＝4．【点评】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．28．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x＝+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣2，∴x+2＝，∴（x+2）2＝（）2，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；（2）∵x＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝（）2，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+1＝+1＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、c，则三角形的面积．（公式里的p为半周长即周长的一半）请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为 ．（3）五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；（2）根据二次根式的计算解答即可；（3）根据二次根式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为；故答案为：；（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝5，∴△ABC的面积＝，∴△ACD的面积＝，∴四边形ABCD的面积为：，故答案为：；（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，∴AC＝6，∴△ABC的面积＝，∴CE＝10，∴△CDE的面积为：，∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，∴△ACE的面积＝，∴五边形ABCDE的面积为．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．。
2022—2023年部编版八年级数学(下册)期末考试题及答案
2022—2023年部编版八年级数学(下册)期末考试题及答案班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．-2的倒数是（）A．-2 B．12-C．12D．22．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（）A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．03．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°4．已知a为实数，则代数式227122a a-+的最小值为（）A．0 B．3 C．33D．95．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，2C．6，8，11 D．5，12，23 6．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．3， 4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12 7．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+18．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm9．如图，∠B的同位角可以是()A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠410．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．12B．1 C．2D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+2()a b+的结果是________．2．不等式组34012412xx+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩的所有整数解的积为__________．3．如果不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是3x>，那么m的取值范围是________.4．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S 2＋S 3＋S 4＝________．5．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则1∠=________度．6．如图，在平面直角坐标系中，在x 轴、y 轴的正半轴上分别截取OA 、OB ，使OA=OB ；再分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径作弧，两弧交于点P ．若点C 的坐标为(,23a a -)，则a 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解下列方程：（1）2410x x -+= （2）()()2411x x x -=-2．先化简，再求值[（x 2+y 2）-（x-y ）2+2y （x-y ）]÷2y ，其中x=-2，y=-12．3．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d +的值.4．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．5．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上.=；（1）求证：BG DE（2）若E为AD中点，2FH=，求菱形ABCD的周长．6．某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、D3、C4、B5、B6、A7、B8、B9、D10、B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、﹣2b2、03、3m ≤.4、a+c5、656、3三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）1222x x ==2）1241,3x x ==.2、2x-y ；-312． 3、0.4、（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.5、（1）略；（2）8.6、（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．。
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第十六章
1.分式的定义：如果a、b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
3.分式的通分和约分：关键先是分解因式
4.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即;当n为正整数时，? (
6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)
(1)同底数的幂的乘法：;
(2)幂的乘方：;
(3)积的乘方：;
(4)同底数的幂的除法：( a≠0);
(5)商的乘方：();(b≠0)
7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。
列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.
第十七章反比例函数
1.定义：形如y= (k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点
3.性质:当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小;
当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
第十八章勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的`两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
第十九章四边形
平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形;
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
ac=bd
矩形判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
菱形的定义：邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的判定定理：
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
s菱形=1/2×ab(a、b为两条对角线)
正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。
正方形既是矩形，又是菱形。
正方形判定定理：1.邻边相等的矩形是正方形。
2.有一个角是直角的菱形是正方形。
梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
解梯形问题常用的辅助线：如图
线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。
三角形的三条中线交于疑点，这一点就是三角形的重心。
宽和长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
第二十章数据的分析
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。
? 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median);如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数(mode)。
4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5. 方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
数据的收集与整理的步骤：1.收集数据2.整理数据3.描述数据4.分析数据5.撰写调查报告???6.交流
6. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。