十二次费马点及拓展PPT课件
2023-2024学年人教版初三下学期中考《旋转模型之费马点问题》知识点专题解析及练习PPT
图1 图2
4 费马点的性质
1. 到三个顶点的距离之和最短：费马点是三角形内唯一一 个使得从该点到三角形三个顶点的距离之和最短的点。 2. 等角性质：从费马点出发，向三角形的三个顶点引出的 三条线段与对应的三角形边所成的角均相等，且均等于120 度。 3. 唯一性：在三角形内部，费马点是唯一的具有上述性质 的点。
∵点A'可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA'为
定长，
∴当B、P、P'、A'四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小．最小
值为 BA' .
图2
【如图 1 和图 2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴在图2中，∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APB=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
情感、态度与价值观目标：
激发学生对于学习的热情，树立学生对于数学的追求。
五、教学过程
总结费马点的性质，构造
方法以及解题思路，最后
通过模型展示讲授费马点
布置作业。
的原理、证明过程以及如
何构建费马点。
讲解中考例题，引导学生
熟练运用费马点性质解题，
以介绍费马点
巩固加深学生的印象。
的来历和实践
开始课程。
中物理
（4）此时以BC为 边作等边△BCF。 连接AF必过点P。
这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°, 若∠BAC 120°, 这个图就会变成这
个样子：
D
E P
A
BHale Waihona Puke C此时CD与BE的交点P点还是我们的费马点吗？ 显然这时候就不是了，此时
费马点的应用举例课件
05
CATALOGUE
费马点在经济学中的应用
金融市场中的费马点
投资组合优化
费马点理论可以应用于投资组合 优化，通过计算不同资产之间的 费马点，投资者可以确定最佳的 资产配置策略，以实现风险和收
益的平衡。
股票价格预测
股票价格受到多种因素的影响， 但费马点理论可以用于分析历史 价格数据，预测未来的股票价格
财务资源配置
企业可以利用费马点理论来优化财务 资源配置，确保资金流向最具有盈利 潜力的项目或领域。
THANKS
感谢观看
航空航天中的费马点
飞行器设计
在飞行器设计中，费马点可以用于优化飞行 器的结构和布局，提高飞行器的性能和稳定 性。例如，在飞机设计中，利用费马点理论 可以确定最佳的机翼位置和角度，以最大化 飞机的升力和稳定性。
卫星轨道设计
在卫星轨道设计中，费马点可以用于优化卫 星轨道的位置和高度，提高卫星观测和通信 的效率和精度。例如，在地球同步卫星轨道 设计中，利用费马点理论可以找到最佳的轨 道位置和高度，以实现稳定的地球同步观测
通过分析供应链中的费马 点，企业可以优化物流和 运输策略，降低成本并提 高效率。
资源分配中的费马点
人力资本管理
物资采购
在人力资源管理中，费马点理论可以 用于分析员工的工作效率和绩效，以 及制定最佳的人才招聘和培训计划。
在物资采购中，通过分析供应商之间 的费马点，企业可以确定最佳的采购 策略，以实现成本效益最大化。
费马点的性质
01
02
03
唯一性
对于任意三角形ABC，费 马点是唯一的。
稳定性
费马点是相对稳定的，即 使三角形ABC发生微小变 化，费马点仍然会接近原 来的位置。
费马点
费马点就是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.回答者：幽幽￠晴空- 初入江湖二级7-12 20:59 浅谈三角形的费马点法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．1．三角形的费马点已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有(1)BE=CD=AF？(2)BE、CD、AF三线交于一点O？(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD ＋DC＞DE．得到下列命题．定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．思考3 根据上述定理，在图2中还有(1)OA＋OB＋OC=AF．(2)在ΔABC内另取一点O，总有O′A＋O′B＋O′C＞AF，即OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．2．水管线路最短问题如图4，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？这是一个很有意义的应用题，在公路，自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水，那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时，在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧，点C为L上一个动点的费尔马问题，下面分两类情况讨论这个问题．(1)AB与L的夹角小于30”．如图5，以AB为一边作正三角形ABM，并作ΔABM的外接圆．当所作外接圆与直线L相离或相切时，从M点作直线L的垂线，交圆于O点，垂足为C．C即为水泵站位置，先把水引到O点，再从O点分别向A、B两地供水，此时点O 更短，即在L上另选一点都不会改进．优的了，因为∠ABC≥120°，费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧，如图7，此时△ABC的费马点O必在在点P上，故L上点P的左侧不会有更好的点可选，同理Q点的右边也找不出更好的点．(2)AB与L的夹角不小于30°．如图8，若A点离直线L较近，作AC⊥L交于C，点C为水泵站位置，因为∠CAB≥120°，点A即为ΔABC的费马点，此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时，ΔABC′的费马点仍在A点，易知弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．3．两个应用题文(4)谈到95年全国高考命题组，对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？汤建新，赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论，并给出一个很巧妙的解答，使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图9，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC ＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得．关于(2)题如图10，易知不论如何连接，所求的网络必通过正方形中心O点，问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题，也可以转化为问题(1)，详细解答请同学们考虑费马点编辑本段费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
《尔马Fermat定理》课件
03
费马定理的推论
圆锥曲线上的费马定理
总结词
圆锥曲线上的费马定理指出，对于任何圆锥曲线，其上的任 意一点到曲线的焦点的距离与该点到曲线的准线的距离之比 等于该曲线的离心率。
详细描述
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。费马定理在圆锥曲线 上同样适用，并且离心率是圆锥曲线的一个重要几何参数， 它决定了曲线的形状和大小。
代数曲线上的费马定理
总结词
代数曲线上的费马定理指出，对于任何非退化的代数曲线，其上的任意一点到曲 线的奇点的距离的平方等于该点所在直线的斜率的四次方。
详细描述
代数曲线是由多项式方程定义的平面曲线，奇点是曲线上使导数不存在的点。费 马定理在代数曲线上同样成立，并且斜率是决定曲线形状的重要参数。
欧拉定理与费马定理的关系
定理证明
总结词
费马定理的证明需要用到代数和几何的知识，包括代数基本定理、无穷递降法和反证法 等。
详细描述
费马定理的证明过程比较复杂，需要用到代数和几何的知识。其中，代数基本定理是证 明过程中最关键的一步，它证明了任何n次多项式在模n意义下取值都是0，那么这个多 项式必定等于0。无穷递降法和反证法也被应用到证明过程中，最终证明了费马定理的
正确性。
定理应用
总结词
费马定理在数论、代数和几何等领域有广泛的应用，例如在解方程、证明不等式和解决几何问题等方面都有重要 的应用。
详细描述
费马定理的应用非常广泛，在数论中它可以用来证明一些数学猜想，如费马大定理和小定理等。在代数中它可以 用来解方程和证明不等式，如在解一元二次方程和证明一些代数恒等式时可以用到费马定理。在几何中它可以用 来解决一些几何问题，如证明一些几何命题和解决几何作图问题等。
THANKS
第十二次课费马点及拓展
特殊集散点-n个集散点构成正多边形
A
FP'BP NhomakorabeaE
C
D
E
A
D
s
s'
H
B
C
一般的费马点问题
平面上n个点Pi(xi,yi) 〔i=1,2,…,n〕，各点Pi的 “权重〞为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到n个 点的加权间隔 最小 ？
数学模型
n
mC (ix ,n y ) miW n i (x i x )2 (y i y )2
BN
BN
代数函数模型
A
y210x 02(3 0x)
10
M
CX
D
ADC
u2100x2 x
BN
y 2 s1 i0 n (3 0 1t0 g ) [1(2 0 sc i o n )s ],
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
B
A B1
S1 S
B
A Q
P
费马点如何画？
C
A C'
间隔 之和的最小值如何求？
H B
C
B' C
A'
一般费马点问题
F
A
E
有A,B,C三个村庄，各村庄的小 学生人数分别为a,b,c，把学校建 在什么地方，才能使所有学生所 走的路程总和最短？
2011第十二次课费马点及拓展
案例：费马点及拓展 案例：
已知点在同一条直线上的“费马点” 已知点在同一条直线上的“费马点”
• 1、一条笔直的流水线上有5个机器人。现要在流水线上设置 、一条笔直的流水线上有 个机器人 个机器人。 一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和最短， 一个零件供应站，使得各机器人到供应站的距离总和最短， 问供应站应设在哪里？ 问供应站应设在哪里？ • 2、上题如果有n个机器人，供应站应设在哪里？ 、上题如果有 个机器人 供应站应设在哪里？ 个机器人， • 3、求函数y=|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|的最小值。 、求函数 的最小值。 的最小值 (x1<x2< …<xn,i=1,2,…,n) • 4、如果这条流水线上的五个点依次有机器人 、3、2、5、2 、如果这条流水线上的五个点依次有机器人3、 、 、 、 个，供应站又应设在哪里呢？ 供应站又应设在哪里呢？ • 5、求函数y=k1|x-x1|+k2|x-x2|+…+kn|x-xn|最小值。 、求函数 最小值。 最小值 (其中 1<x2< …<xn,ki为自然数 其中x 为自然数,i=1,2,…,n) 其中 • 思考：6. （2011年北约 校自主招生数学试题） 思考： 年北约13校自主招生数学试题 年北约 校自主招生数学试题） • 求f(x)=|x-1|+|2x-1|+……+|2011x-1| 的最小值。 的最小值。 • 答案：f(1/1422)=832+491/711 答案：
B a100 l100 A j200 i150 0400 b100 C c200 D m400 k500 n300 p300 F E e100 d100
中考中的费马点详解加练习.pptx
A
APB源自CABC
P
B
C
9
书山有 路
26、如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角 线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接EN、AM、CM． 1 求证：△AMB≌△ENB； 2 ①当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； ②当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； 3 当 AM+BM+CM 的最小值为 时，求正方形的边长．
6
1 求抛物线的解析式；
2 等边△OMN 的顶点M 、 N 在线段 AE 上，求 AE 及 AM 的长； 3 点 P 为△ ABO 内的一个动点，设 m PA PB PO ，请直接写出m
的最小值,以及m 取得最小值时，线段 AP 的长.
2013 房山一摸 24．（1）如图 1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 B、C、D 三点共线，联结 AD、BE 相交于点P，求证：BE=AD． （2）如图 2，在△BCD 中，∠BCD＜120°，分别以 BC、CD 和 BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC、等边三角形 CDE 和等边三角 形 BDF，联结AD、BE 和 CF 交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE．
② 请写出求 AP+BP+CP 的最小值的解题思路（结果可以不化简）.
A
2016 一月昌平
P
B
图3
C
6
书山有路
湘教版八年级数学上册《费马点的应用问题举例》课件
B A
C
D
平移变换
A 村和B 村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6 千米 和2 千米，河宽2 千米，两村的水平距离为6 千米。现 欲在河上修建一座桥，使自A 村过桥到达B 村的距离最 短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。 请在图上标明桥址，并求出此最短距离。
A
河流
F C
D
E
B
“将军饮马”问题 对称变换
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
E
B
NC
问题9、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交 x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3）， P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值。
Y
X
问题10、在x轴上求一点P，使它到两个定点A(0， 2)，B(8，6)的距离之和最短。
(内江市06年中考题) 阅读并解答下面问题： （1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的 值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
在人脑的记忆中，相关信息和 技能越多，则迁移越可能发生
美国学者罗耶
问题1、 如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O 的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD， P是半径OC 上一个动点，求AP+PD的最小值。
问题2、 如图，已知正方形ABCD的边长为8， M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的动点。 求DN+MN的最小值。
白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个 有趣的数学问题： 诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向 交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样 走，才能使总的路程最短？
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a
b
c
AEBiblioteka PMBCD
特殊集散点-n个集散点构成正多边形
A
F
P'
B
P
E
C
D
E
A
D
s
s'
H
B
C
一般的费马点问题
已知平面上n个点Pi(xi,yi) （i=1,2,…,n），各点 Pi的“权重”为Wi，试确定一点P(x,y)，使它到 已知n个点的加权距离最小 ？
数学模型
n
min C(x, y) min Wi
• 2.若三角形有一内角大于等于120°，则此 钝角的顶点就是距离和最小的点。
• 4费马点的证明 • 三角形费马点 • 如右图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，
得到△ABP。 • 以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到
△EBD • ∵旋转60°，且BD=BP， • ∴△DBP 为一个等边三角形 • ∴PB=PD • 因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC • 由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小 • 若E、D、P共线时， • ∵等边△DBP • ∴∠EDB=120° • 同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120° • ∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点
• 三角形最大角
D
• 1、小于1200
• 2、不小于1200
B
A B1
S1 S
B
A Q
P
费马点如何画？
C
A C'
距离之和的最小值如何求？
H B
C
B' C
A'
一般费马点问题
F
有A,B,C三个村庄，各村庄的小 学生人数分别为a,b,c，把学校建 在什么地方，才能使所有学生所 走的路程总和最短？
sin BPC sin CPA sin APB
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
——运输优化问题
• 有一条笔直的河流，
仓库A到河岸所在直线
A
MN的距离是10千米，
AC⊥MN 于 C ， 码 头 B
MC
D
BN
到C为30千米，现有一
批货物，要从A运到B。
A1
已知货物走陆路单位
A
里程的运价是水路的2
倍，那么如何选择路
M CD D
BN
费马点
王佳阳 七（三）
作者介绍
• 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的 一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一 点，使该点到三角形三个顶点距离之和最 小．人们称这个点为“费马点”．这是一个 历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍． 本文试以课本上的习题、例题为素材，根据 初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一 则思维训练材料，引导学生通过自己的思维 和学习，初步了解这个问题的产生、形成、 推理和论证过程及应用．
• 四边形费马点
• 平面四边形中费马点证明相对于三角形中 较为简易，也较容易研究。
• （1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对 角线AC、BD交点P。
• （2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶 点D（P）。
• 平面四边形费马点证明图形
• 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点 的找法：当三角形有一个内角大于或等于120° 的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个 内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费 马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的 点。另一种更为简捷的证明 ：设O为三顶点连线 最短点，以A为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作 一面镜子。显然O点应该为B出发的光线经过镜子 到C的反射点（如果不是，反射点为O',就会有 BO’+ CO' < BO+ CO，而AO’= AO，就会有 AO’+ BO’+ CO' < AO + BO + CO）。
• 不失一般性。O点对于B、C为圆心的镜子也成立。 因此根据对称性AO、BO、CO之间夹角都是 120°
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/2
• 1四个点构成凸四边形； • 2四个点构成凹四边形； • 3四个点中三点共线
A
A
O' C
D
O
A
B
A
O
D
D O
O B
C
B
D
C
B
C
D
O
A
B
C
三角形费马点
• 定义
• 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条 距离连线正好三等分费马点所在的周角， 即该点所对三角形三边的张角相等，均为 120°。所以三角形的费马点也称为三角形 的等角中心。
• （托里拆利的解法中对这个点的描述是： 对于每一个角都小于120°的三角形ABC的 每一条边为底边，向外作正三角形，然后 作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指 出这三个外接圆会有一个共同的交点，而 这个交点就是所要求的点。这个点和当时 已知的三角形特殊点都不一样。这个点因 此也叫做托里拆利点。）
线，使总运价最少？
E E
F
代数函数模型
y 2 100 x2 (30 x)
u 2 100 x2 x
ADC
y 2 10 (30 10tg) [10(2 cos )],
s in
s in
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/2