两点间的距离公式
两点间距离的公式
两点间距离的公式嘿，咱来聊聊“两点间距离的公式”这事儿。
你知道吗？在数学的世界里，两点间距离的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多好多的难题。
先来说说这个公式到底是啥。
它就是：设两个点 A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么 A 和 B 两点之间的距离 d 就等于根号下[（x2 - x1）² + （y2 - y1）²] 。
这看起来好像有点复杂，别急，让我给您举个例子。
比如说，有两个点，一个是（1，2），另一个是（4，6）。
那咱们就按照公式来算算它们之间的距离。
首先，x1 = 1，y1 = 2，x2 = 4，y2 = 6 。
先算（x2 - x1）²，那就是（4 - 1）² = 9 ；再算（y2 - y1）²，就是（6 - 2）² = 16 。
然后把这俩加起来，9 + 16 = 25 。
最后再开个根号，距离就是 5 。
是不是还挺有意思的？我还记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难了吧！”我笑着对他说：“别着急，咱们慢慢来。
”然后我带着他们一步一步地推导公式，做了好多练习题。
到最后，那个小家伙终于恍然大悟，开心地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
这两点间距离的公式，在生活中也特别有用。
比如说，您要规划从家到学校的最短路线，或者计算两个城市之间的直线距离，都能用到它。
再比如说，建筑工人在盖房子的时候，要确定两个支撑点之间的距离，保证房子的结构稳定；设计师在设计图纸的时候，要精确计算两个关键部件之间的距离，以确保产品的质量和性能。
总之，两点间距离的公式虽然看起来简单，但用处可大着呢！它就像一个默默无闻的小英雄，在数学和生活的各个角落里发挥着重要的作用。
希望通过我的讲解，您能对这个公式有更清晰的认识和理解。
加油，让我们一起在数学的海洋里畅游，探索更多的奥秘！。
两点间的距离公式
两点间的距离公式两点间的距离是指在数学上，即几何空间中两点之间的直线距离。
在二维平面中，两点间的距离可以使用勾股定理来计算。
而在三维空间中，两点间的距离可以通过空间中的坐标来计算。
这篇文章将会详细介绍两点间距离的公式以及它们的推导过程。
首先，我们从二维平面开始讨论。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离记为d。
根据勾股定理d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式也可以写成：d=√(Δx²+Δy²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1这个公式是由勾股定理推导而来，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。
在计算机、几何学和物理学中，这个公式被广泛使用。
接下来我们来看三维空间中两点间距离的计算。
假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，它们之间的距离记为d。
我们可以使用三维空间中的向量来推导计算公式。
首先，我们可以将A和B的坐标表示为向量形式：A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)然后，我们可以定义从A到B的向量为V：V=B-AV=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)注意，这个向量的起点是A，终点是B。
根据向量的定义，我们可以使用向量的模长来计算A和B之间的距离。
向量的模可以表示为：V，=√(Δx²+Δy²+Δz²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，Δz=z2-z1这个公式给出了三维空间中两点间距离的计算方法。
与二维平面的情况一样，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。
最后，我们来看一些与两点间距离有关的常见应用。
在数学中，这个公式常常用于计算平面上两点的距离，或者计算线段、直线的长度。
同样，在几何学和物理学中，这个公式也被广泛应用。
在计算机图形学中，这个公式用于计算点之间的距离，从而实现线段、多边形之间的相交判断、碰撞检测等。
两点之间距离公式初中
两点之间距离公式初中在初中学习中，我们会接触到两点之间的距离公式。
两点之间的距离可以用直线距离来衡量，通常使用的公式是勾股定理或者坐标系中的距离公式。
下面将详细介绍这些公式。
1.勾股定理：勾股定理适用于平面上两个点之间的距离计算。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，边AB和AC分别表示直角三角形的两个边。
根据勾股定理，边AB的平方加上边AC的平方等于边BC的平方。
即：AB²+AC²=BC²。
我们可以利用这个定理计算两个点之间的直线距离。
例如，假设在平面上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们可以计算这两个点之间的距离（即边AB的长度）。
距离AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]其中，(x₂-x₁)表示两个点在x轴上的坐标差，(y₂-y₁)表示两个点在y 轴上的坐标差。
将这些差值的平方相加，然后取平方根，即可得到两个点之间的距离。
2.坐标系中的距离公式：在坐标系中，我们可以计算两个点之间的距离。
假设有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们知道两个点之间的水平距离等于x坐标的差值，垂直距离等于y坐标的差值。
因此，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离：距离AB=，x₂-x₁，+，y₂-y₁在计算距离时，我们使用绝对值符号，，取两个坐标差的绝对值，确保结果为正数。
需要注意的是，在计算距离时，我们通常使用绝对值符号来确保结果为正数，因为距离应该是非负的。
总结起来，初中学习中的两点之间的距离公式主要是勾股定理和坐标系中的距离公式。
这些公式可以用来计算平面上两个点之间的直线距离。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的公式进行计算。
任意两点之间的距离公式
任意两点之间的距离公式一、平面直角坐标系中两点间距离公式。
1. 公式推导。
- 在平面直角坐标系中，设两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 过A，B两点分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相交于点C。
- 则AC = x_2 - x_1，BC=y_2 - y_1。
- 根据勾股定理，直角三角形ABC中，AB^2 = AC^2+BC^2。
- 所以AB=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
2. 应用示例。
- 例：已知A(1,2)，B(4,6)，求AB的距离。
- 解：根据两点间距离公式，x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 4,y_2 = 6。
- 则AB=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(3^2 + 4^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
二、空间直角坐标系中两点间距离公式。
1. 公式推导。
- 在空间直角坐标系中，设两点A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)。
- 过A，B两点分别作三个坐标轴的垂线，得到一个长方体。
- 长方体的三条棱长分别为| x_2 - x_1|，| y_2 - y_1|，| z_2 - z_1|。
- 根据长方体的对角线公式（类比平面直角坐标系中的勾股定理推广到三维空间），AB=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2)。
2. 应用示例。
- 例：已知A(1,2,3)，B(4,5,6)，求AB的距离。
- 解：x_1 = 1,y_1 = 2,z_1 = 3,x_2 = 4,y_2 = 5,z_2 = 6。
- 则AB=√((4 - 1)^2+(5 - 2)^2+(6 - 3)^2)=√(3^2+3^2 + 3^2)=√(9 + 9+9)=√(27)=3√(3)。
两点间的距离公式
两点间的距离公式在数学中，我们经常需要计算两点之间的距离，无论是在平面上还是在空间中。
为了解决这个问题，数学家们提出了几种距离公式，其中最常用的是欧几里得距离公式和曼哈顿距离公式。
1. 欧几里得距离公式欧几里得距离是计算两点之间最短直线距离的方法，也称为直线距离或欧几里得度量。
它可以用于平面上的任意两点计算。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的欧几里得距离可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，`√`表示开平方根，`(x2 - x1)²`表示横坐标之差的平方，`(y2 - y1)²`表示纵坐标之差的平方。
利用这个公式，我们可以轻松计算出平面上任意两点之间的距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用欧几里得距离公式计算出它们之间的距离：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
2. 曼哈顿距离公式曼哈顿距离是计算两点之间沿着网格（或坐标轴）移动的最短距离的方法，也称为城市街区距离。
它可以被看作是沿着曼哈顿街道行走的距离。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的曼哈顿距离可以表示为：d = |x2 - x1| + |y2 - y1|其中，`|x2 - x1|`表示横坐标之差的绝对值，`|y2 - y1|`表示纵坐标之差的绝对值。
通过这个公式，我们可以简单地计算平面上任意两点之间的曼哈顿距离。
例如，假设有点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以使用曼哈顿距离公式计算它们之间的距离：d = |5 - 2| + |7 - 3|= |3| + |4|= 3 + 4= 7因此，点A和点B之间的距离为7个单位。
综上所述，欧几里得距离和曼哈顿距离是计算两点之间距离的常用公式。
解析几何中两点间距离公式
解析几何中两点间距离公式欢迎来到解析几何的世界。
你是否曾经在求两点间距离时使用过勾股定理？如果这还是你的唯一方法，那么我建议你应该试试使用解析几何中的公式来求解两点间的距离。
在此，我将会向你介绍两点距离公式以及它的相关内容。
让我们开始吧！一、什么是两点间距离公式？两点间距离公式，是解析几何中用于计算两个点之间距离的公式。
它可以用于二维平面和三维空间中。
在二维平面中，两点间距离公式被表示为：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d为两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)是平面上的两个点。
在三维空间中，两点间距离公式被表示为：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)其中，d为两点之间的距离，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是空间中的两个点。
二、两点间距离公式的推导过程在计算两点间距离公式的推导过程中，我们使用了勾股定理（两边平方，然后开方），从而得到了该公式。
我们将在下面详细讲解推导过程。
二维平面:为了推导两点间距离公式，在平面上我们假设有两个点A和B。
如下图所示：我们可以通过画一个直角三角形来计算AB之间的距离。
我们可以看出，点A和点B之间的距离等于C点到直角三角形的对角线长度。
如下图所示：根据勾股定理，我们可以得出方程：C² = A² + B²其中，C为对角线的长度，A和B为直角三角形两条边的长度。
将上述方程稍加变换后，可以得出两点之间的距离公式：d = √ ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)三维空间：在三维空间中，我们同样假设有两个点A和B。
与二维平面的情况类似，我们可以通过画一个直角三角形来计算AB之间的距离。
如下图所示，假设我们要计算点A和点B之间的距离。
我们可以通过勾股定理来计算AB之间的距离。
两点间的距离公式及中点坐标公式
两点间的距离公式及中点坐标公式
两点间距离公式及中点坐标公式是数学中经常使用的公式，它们用来表示两点之间的距离和中点的坐标。
两点间距离公式是指在二维空间中，两点之间的距离的计算方法，它的计算公式为：d=√((x1-x2)²+(y1-y2)²)，其中d表示两点之间的距离，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示两个点的横纵坐标。
由此可见，两点之间的距离是由两点的坐标决定的，当两点的坐标相同时，距离就为0。
中点坐标公式是指在二维空间中，两点中心点坐标计算方法，它的计算公式为：(x3,y3)=(（x1+x2）/2,（y1+y2）/2)，其中(x3,y3)表示两点的中心点坐标，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示两个点的横纵坐标。
由此可见，两点的中心点坐标是由两点的坐标计算出来的，当两点的坐标相同时，中心点坐标就为这两点的坐标。
在现实生活中，两点间距离公式及中点坐标公式都被广泛应用，如在几何中，可以用它们来计算两点之间的距离和中点的坐标，从而分析几何图形；在地理学中，可以用它们来计算两地之间的距离和中点的地理位置，从而分析地理环境；在工程学中，可以用它们来计算两点之间的距离和中点的位置，从而分析工程结构等。
总之，两点间距离公式及中点坐标公式是数学中重要的公式，它们在日常生活中也有着广泛的应用。
两点之间的距离计算公式
两点之间的距离计算公式在数学中，两点之间的距离可以通过使用坐标系的方法来计算。
坐标系是一个图形化的方法，用于定位和测量点之间的距离。
假设我们有两个点A和B，它们分别具有(x1,y1)和(x2,y2)的坐标。
我们可以使用直角三角形的定理来计算两个点之间的距离。
直角三角形的定理是基于勾股定理。
根据这个定理，两个直角三角形的直角边的平方和等于斜边的平方。
在我们的例子中，斜边就是点A到点B的距离，而直角边就是每个点的x坐标和y坐标之间的差值。
因此，两点之间的距离d可以用以下公式计算：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式适用于任何两个二维坐标系中的点。
让我们通过一个简单的例子来解释：假设我们有两个点A(2,3)和B(5,7)。
我们可以使用上述公式计算它们之间的距离。
首先，我们计算x坐标之间的差值：5-2=3然后，我们计算y坐标之间的差值：7-3=4接下来，我们将这些差值的平方相加：3²+4²=9+16=25最后，我们将这个和开根号所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
这个公式也可以扩展到三维坐标系中。
在三维中，我们有三个坐标轴（x，y，z），因此两个点之间的距离公式变为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]这个公式适用于在空间中计算两个点之间的距离。
总结：两点之间的距离可以通过使用直角三角形的定理来计算，在二维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]的公式，在三维坐标系中使用d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]的公式。
这些公式是计算两点之间的距离的基础。
通过了解这些公式，我们可以在数学和物理中应用它们，计算点之间的距离。
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5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y =f （x +1）－2B.y =f （x －1）－2C.y =f （x －1）+2D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2， 即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得 （y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为A.83 B.38 C.－83D.－38解析：设A 点分所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分所成的比是λ（λ≠0），则点A 分所成的比是____________. 解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）. 答案：（－32，34） （文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】 已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31|AB |.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）. ②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD 可得=， 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x 由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y =sin （x －4π）+3 B.y =sin （x －4π）－3 C.y =sin （x +4π）+3D.y =sin （x +4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3， 即y =sin （x +4π）+3. 答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1） B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1） 解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）. 答案：x 2=61（y +31） （0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA .试求满足OD +OA =OC 的OD 的坐标.解：设=（x ，y ），则=（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1）， =－=（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ； （2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π）， 由1+2sin （2x +6π）=1－3，得 sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1. 8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2， 即y 2=λλ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥21. 故λ的取值范围为［21，+∞）. 思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑ 东北x y设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ， 由θ=arctan21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534， 即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： （1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.1.线段的定比分点公式P P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】 （2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1， 由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C =3π2或C =2π. （2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3. 从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.。