第七章非线性规划第二节一维搜索(1)
非线性最优化
定理5 设S为n维欧氏空间 En 上的开凸集, f(X)在S上二次可微,若任意x∈S,Hesse矩阵正定,则f是S 上的严格凸函数.
例如 分析f(x1,x2)= 2x12 +x22 -2 x1x2+x1+1的凸性. 解: H=A为正定阵，所以f为严格凸函数.
f(x)1 2(x1,x2)4 222x x1 2x11
一维搜索在搜索方向上所得最优点处的 梯度和该搜索方向正交.
定理8 设目标函数f(X)∈C(1)，X(k+1)按下 述规则产生
λk : Minf(X(k)+λP(k)) X(k+1)= X(k)+λkP(k)
则有 ▽f(X(k+1))TP(k)=0. 证 设φ(λ)=f(X(k)+λP(k)),则由
注2.gj(X)≤0→-gj(X) ≥ 0 ; 注3.hi(X)=0→hi(X) ≥ 0 , -hi(X) ≥ 0 .
1.2 极值问题
设f(X)为定义在n维欧氏空间 En 的某一区
域S上的n元实函数，其中X=(x1 ,x2 … xn)T . 局部极小点(值)：对于 X* ∈S，如果存在
某ε>0,使所有与X* 的距离小于ε的X∈S,均满足不等式f(X)≥f(X* ),则称X* 为f(X)在S上的局部极小点, f(X* )为局部极小值。
用反证法证明定理6： 设X* ∈S是一个局部极小点,则存在ε>0,使得对 任意X∈S∩Nε(X* ),恒有 f(X)≥f(X* ). 假设X*非全局最小,则存在X’∈S,使得f(X*)>f(X’). 由S的凸性,对任意λ∈[0,1],λX’+(1- λ)X*∈S, 由X*≠X’,取λ∈(0,1).因为λ<<1时,可使
最优化方法-一维搜索
按任务方式插入n个观测点后，剩下的搜索区间的长度不少于原初始长 度的1／ Fn
令缩短后的长度为Ｓ，有： Ｓ （b-a）/ Fn
• Ｆibonacci数列：
• ＝b- (b-a)=a+(1- )(b-a)
• =a+ (b-a)
•
• 2 0.618法算法
设
值
(t)是单谷函数，［ a
t
与精确极小点
t*
0的，最b大0 ］绝是对初误始差搜t索 区t * 间 ， 要求精确极小点近似
记：a= a0,b= b0 , =0.618.
(1) =a+(1- )(b-a), 1 = ()
进退算法的基本步骤：
（（（t0１ ２ ３点 回）））及升：：：，首若若t则0先［＋tt任t00h0＋＋选点，hh一t的点点n个函］的的初数就函 函始值是数 数点．一值 值个下 上t0搜降 升，索， ，初区继 则始间续 从步，前长t算进0h法点,，进停退直到止到到．t某0t个＋0 －ht，h0点并点．计的算函数值
4= a4 +( F0 / F2
b4
)(
=
b4
3 /a4
=2.5 , 4= 3 = 1.625
)=0.75+1/2*1.75=1.625
这时，
＝
4
，（因为已到k=3=n-2)
4
K=4, 因此
(5取5 =)a=0t5.41＝＝=410.,.6542（(5＝b,515).＋5=6=02a.550,47b+6）50,.＝1＝=2(1.b.05476)2255>＝2(.55 )
非线性规划问题的求解方法[优质ppt]
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3、问题：
4.1、外点法（外部惩罚函数法）：
如何将此算法模块化？
外点法框图： kk1
初始 x(0),1 0,1 0,k1
以x(k)为初始点 , 解
min f ( x) k p( x)
得到 x (k 1)
No
k1k
kp(x(k1)) yes
停 x (k 1) f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
非线性规划问题的求解方法
Content
无约束非线性规划问题 有约束非线性规划问题 Matlab求解有约束非线性规划问题
一.无约束问题
• 一维搜索
指寻求一元函数在某区间上的最优值点的方法。这类方法不仅有实用 价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
逐次插值逼近法 近似黄金分割法（又称0.618法） • 无约束最优化
一维搜索-最优化方法
������2=0.538， ƒ2 = 1.751， ������1=������3+������������23 ������3 − ������3 =0.231
则ƒ2 = 1.822， ƒ1 > ƒ2，故得新区间为 [������4，������4]=[0.231， 0.846]
第五次迭代：
取������2=0.538， ƒ2 = 1.751， ������1=������2 − 0.1 ������4 − ������4 =0.477
问题3：按什么方式取点，求n次函数值之后多长的原始区间 缩短为最终区间长度为1？
• １：Ｆibonacci数列：
• F0 =1 ;
F1 = 1 ;
F 迭代公式：Fn2 ＝ Fn1 ＋ n
•
；n 非负整数
n
0
1
2
3
4
5
6
7
…..
1
1
23ຫໍສະໝຸດ 5813 21 …..
Fn
设Ln表示试点个数为n，最终区间长度为1时的原始区间[a ,b] 的最大可能的长度，现在找出Ln的一个上界。设最初的两个 试点为x1,x2,且且x1< x2 。如果极小点位于[a , x1]内，则我们 至多还有n-2个试点，因此x1-a≤Ln-2；如果极小点位于[x1 , b] 内，则包括x2在内还可以有n-1个试点，因此b- x1≦Ln-1。
t （１中）任若设取［两 (a点t,1b)］t1<是<单(tt2谷2) ，函，则数那搜么(索t有) 区的：间一可个缩已短知为搜*［索a区, 间t2］，.在［a,b］
( 2 ) 若 (t1 ) (t2 )，则搜索区间可缩短为［ t1，b］
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k设Φ(a)=f(x k+ad k)这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
如果求得a k使目标函数沿方向d k达到极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。
《一维搜索方法》课件
1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例，用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值，确定左右指针在搜索范围内的位置，直到找到最接近目 标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点，但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割，选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围，逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少，但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份，并判断目标值位于左、中、右三个部分，逐步缩小搜索范 围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系，决定下一步搜索的范围，直到找到最接近目标值的 点。
3
优缺点
对于非单调函数，能更快地找到目标值，但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索，通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长，逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索，能更准确地找到目标值，但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始，依次向右增加或向左减小搜索范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂，但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二，并判断目标值位于左半部分还是右半部分，逐步缩小搜索 范围。
2
思路
《一维搜索方法》课件
02
线性搜索
线性搜索的定义
线性搜索是一种基本的搜索算法，它 从列表的第一个元素开始，逐个检查 每个元素，直到找到目标元素或遍历 完整个列表。
在线性搜索过程中，我们假设列表中 的元素是按顺序排列的，并且我们不 知道目标元素的确切位置，只知道它 存在于列表中。
线性搜索的步骤
初始化
选择一个起始位置，通常为列表的第一个元素。
抛物线搜索的步骤
3. 比较中间元素与目标值
2. 计算当前区间的中间元 素。
1. 初始化当前搜索区间为 整个数组。
01
03 02
抛物线搜索的步骤
01 如果中间元素等于目标值，返回该位置。
02
如果目标值小于中间元素，将左半部分区 间作为新的当前区间。
03
如果目标值大于中间元素，将右半部分区 间作为新的当前区间。
04
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或当前 区间为空。
抛物线搜索的时间复杂度
最坏情况下，抛物线搜索的时间复杂度为O(n)，其中n为数 组长度。
平均情况下，由于每次比较都可以将搜索区间缩小一半，因 此时间复杂度为O(log n)。
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
的单峰函数。
一维搜索方法的重要性
解决实际问题
一维搜索方法广泛应用于各种实 际问题中，如参数优化、函数逼 近、插值等。
算法基础
一维搜索方法是许多算法的基础 ，如梯度下降法、牛顿法等都需 要用到一维搜索方法来寻找迭代 步长。
理论分析
一维搜索方法在数学分析中也有 重要应用，如中值定理、单调函 数性质等都需要用到一维搜索方 法。
常用的一维搜索方法
线性搜索
一维搜索
非线性规划非线性规划问题是比线性规划问题更一般的数学规划问题，它的目标函数或约束函数中至少含有一个非线性函数，非线性规划就是研究非线性规划问题的有关理论和方法的学科。
非线性规划是运筹学的一个重要分支，它在军事、经济、工程、管理以及最优设计等方面都有着广泛的应用。
本部分介绍无约束非线性规划和约束非线性规划的基本理论和方法。
第三章 无约束优化方法无约束非线性规划问题是指可行域是整个决策空间的非线性规划问题。
本章首先分析无约束非线性规划问题的一阶和二阶最优性条件，包括必要条件和充分条件，然后讨论一维搜索问题，最后介绍无约束优化的求解方法，包括最速下降法，Newton 法共轭梯度法和拟Newton 法等。
补充：最优性条件现在考虑无约束非线性规划问题)(min x xf (UNP)其中决策变量n R ∈x ，目标函数1:R R f n →。
我们先引进下降方向的概念，并研究其充分条件，由此建立(UNP)的一阶和二阶最优性条件。
补.1 下降方向定义补.1 设函数1:R R f n →，n R ∈x ，nR ∈s 是非零方向。
若存在δ>0，使()(f f λ+<x s x ，(0,)λδ∀∈则称s 是f 在x 处的下降方向。
注补.1 设*x 是(UNP)的局部最优解，则f 在*x 处不存在下降方向。
定理补.1 设)(x f 在x 处可微，nR ∈s 是非零方向。
若()Tf ∇x s <0，则s 是f 在x 处的下降方向。
证明：对任意的λ>0，因为)(x f 在x 处可微，故由)(x f 在x 处的一阶Taylor 展开式知，()()()()()[()()/]T T f f f o f f o λλλλλλ+=+∇+=+∇+x s x x s x x s (补.1)根据条件()Tf ∇x s <0和0()lim0o λλλ→=知，存在δ>0，使()()0T o f λλ∇+<x s ，(0,)λδ∀∈代入(补.1)并由λ>0得到，()(f f λ+<x s x ，(0,)λδ∀∈由此知s 是f 在x 处的下降方向。
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(
X
0
0
p0
)
min 0
f
(
X
0
min
0
F0 ( )
f ( X 2 ) f ( X 1) f (X 0 )
p0 )
f (X k )
Xk X
f (X2)
f
(
X
1
1
p1
)
min
0
f
(
X
1
p1
)
min
0
F1 ( )
一维搜索
考虑一元函数极小化问题：min F ( ) R
思想: 首先定出一个包含 F() 的极小点的区间，然后不 断缩小区间的长度，当区间充分小时，取其中的一点 作为近似极小点。
0
a1
b1
2
[a,b1]
[a1,b]
[a,b1]+[a1,b] > [a,b]
说明缩小后的区间一般要大于原区间的一半
但是可以把计算函数值的点选得尽量靠近[a,b]的中点，对于长度为2 的单位长度的区间，缩短后的区间长度等于单位长度的（1+ε）倍， 从而使缩短后的区间长度接近于1个单位长度。
对称搜索法
长度为 4 的区间缩短到 1 需要插入 4 个点。
长度为 3 的区间缩短到 1 需要插入 3 个点。
F3 =3：插入 3 个点可使长度缩短为 1 的最大原区间长度为 3
长度为 5 的区间需要插入几个点才能缩短为 1？
中间点
①
对称搜索法
0
2
5
3
3
5
5
区间缩小为 3，然后可采取长度为 3 的插入方法再插入3个点
1. 递推公式 令 Fn 表示计算 n 个函数值能将区间长度缩短为 1 的最大原区 间长度，则 F0 =1：因为不计算任何函数值不能够使区间缩小，故原区 间长度必须是 1 。 F1=1：因为每次要缩小搜索区间都要计算两次函数值，而只 计算一次函数值无法将区间缩短，故原区间长度必须是 1。
下面来讨论长度为 2 个单位长度的区间需要插入几个点才能缩短为 1 。
第六章 非线性规划
第二节 一维搜索 在迭代法中确定搜索步长 需要一维搜索：
一维搜索要求沿射线 X(k+1)=X(k)+ λkP(k) 搜索，使目标函数 f(X)
极小：
k：min f ( X (k ) P (k ) )
一维搜索是求解一元函数的无约束极值问题 min F ( ) R
的数值解法。它是求解n元函数的无约束极值问题
长度为 5 的区间缩短到 1 也只需要插入 4 个点。
长度为 6 的区间需要插入几个点才能缩短为 1?
中间点
①
0
2
6
4
4
6
6
区间缩小为 4，然后可采取长度为 4的插入方法再插入4个点
长度为 6 的区间缩短到 1 需要插入 5 个点。
长度为 7 的区间需要插入几个点才能缩短为 1？
a a3 b3 b
第四次在新的 [a,b] 内插入一点同 上次保留下来的点值 比较，从而使搜索区间
进一步缩小：
假设f(a4) >f(b4)
a a4 b4 b
按照上述方法，随着计算函数值次数的增加，区间变得越 来越小，从而越接近极小点。 因此：区间缩短率和函数值计算次数之间存在一定的关系。
下面来讨论区间缩短率和函数值计算次数之间的关系。
一定在 t 的右端
f(a1) < f(b1)，极小点 t* 必在区间 [a , b1] 内。
可也在可t 在的左t 的端右端
x
a a1b1 t* b1
b
一定在 t 的左端
f(a1) ≥ f(b1)，极小点 t* 必 在区间 [a1 , b] 内
只要在区间 [a , b]内任取两个不同点，并算出它们的函数值 加以比较，就可以把搜索区间缩小为 [a1 , b] 或 [a , b1] 。 要进一步缩小搜索区间，只需在缩小后的区间内再取一点 ，并与 f(a1)或 f(b1)比较函数值大小。
在区间 [a , b]内任取两点 a1 和 b1 ，a1 < b1，并计算函数值
f(a1) 和 f(b1)，可能出现两种情况：
f(a1) < f(b1)， b1一定在 t*的右端。
f(x)
f(a1) ≥ f(b1)， a1一定在 t*的左端 。
f(x)
也可在可在t 的t 左的端右端
x a a1 t* a1 b1 b
min f ( X ) 的重要组成部分。
XRn
p0 X 0
X 0 p0
0
一维搜索性质：在搜索方向上所得到的最优点处的梯度和该 搜索方向正交。
min F( ) R
min f ( X )
XRn
p1 f ( X 1 )
X 2 X 1 1 p1
p0 f ( X 0 ) 搜索方向
f
(X1)
f
X 0 0 X 0 0 p0 X 1
第一次插入两个点：
假设f(a1) < f(b1) a
a1
b1
b
第二次在新的 [a,b] 内插入一点同 上次保留下来的点值 比较，从而使搜索区 间进一步缩小：
假设f(a2) >f(b2)
a
a2 b2
b
第三次在新的 [a,b] 内插入一点同 上次保留下来的点值 比较，从而使搜索区间
进一步缩小：
假设f(a3) <f(b3)
长度为 3 的区间缩短到 1 需要插入 3 个点。 长度为 2 的区间缩短到 1 需要插入 2 个点。
F2 =2：插入 2 个点可使长度缩短为 1 的最大原区间长度为 2
长度为 4 的区间需要插入几个点才能缩短为 1?
对称搜索法
中间点
①
0
1
4
3
4
4
3 区间缩小为 3，然后可采取长度为 3 的插入方法再插入3个点
主要方法：（1）斐波那契法 （2）0.618法
一、斐波那契法（分数法）
设 y=f(x) 是区间 [a , b] 上的下单峰函数，在此区间 内，有唯一极小点 t *。
单峰函数：在定义域内只有一个极值点的连续函数。 下单峰函数：在定义域内只有一个极小值点的连续函数。 在区间 [a , t*] 中严格单调下降，而在区间 [t* , b] 中严格单调上升，则称为 区间 [a , b] 上的下单峰函数。 上单峰函数：在定义域内只有一个极大值点的连续函数。 在区间 [a , t*] 中严格单调上升，而在区间 [t* , b] 中严格单调下降，则称为 区间 [a , b] 上的上单峰函数。
中间点 ①②
0
a1 b1
2
中间点-ε 中间点+ε
[a,b1]
[a1,b]
ε足够小，缩小后的区间可接近原区间的一半
长度为 2 的区间缩短到 1 需要插入 2 个点。
长度为 3 的区间需要插入几个点才能缩短为 1？ 对称搜索法
中间点 中间点
①
0
② 1③
2
3
3
3
2 区间缩小为 2，可采取区间长度为 2 的插入方法 缩小后的区间可接近 1