2.5.1平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
B m 1 即( n m )a ( n )b 0 2
n m 0 由于向量a , b 不共 线， m 1 n 2 0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
2 2 2 2
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆周角 是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？
D
C
A 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
B
V
分析：如图，已知v v1 v2， v1 10km / h, v2 2km / h， v v2，求t.
解：由已知条件得 v v2 0
| v | | v1 |2 | v2 |2 96( km / h),
则 AC a b, CB a b ， 由此可得： CB a b a b AC
2
a b a b
2
2
2
r2 r2 0
思考：能否用 向量坐标形式 证明？
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
例1。一条河的两岸平行，河宽d 500m，一艘 例3、 船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h， 问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
所以
d 0.5 t 60 3.1(min). |v| 96
C
A B
例4、 重为G的物体系在OA，OB两根等长 的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的 支架上，若固定A端的位置，将绳的B端沿 半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，OA绳和OB绳的拉力如何变化？
【思考】日常生活中,我们有时要用同样长 的两根绳子挂一个物体(如图).如果绳子的 最大拉力为F,物体受到的重力为G。你能否 用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大 小与两绳之间的夹角θ的关系？
B
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D 2 2 2 2 2 AB 2 求证： BC CD DA AC BD 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
二、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
作业: P113，A组：1、2、3、4
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
2.5.2 向量在物理中的应用举例
平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜 明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
例2、 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分 别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC 交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之 间的关系吗？
D
F T
C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b , AR r ,则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
a 2 b 2 2 a 2 b 2 a 2ab b a 2ab b 2 ∴ AB 2 BC 2 CD2 DA2 AC 2 BD2
1. 逐渐增大时， F1 的大小怎样变化，为什么？
2.为何值时，1 最小，最小值是多少？ F 3.为何值时， G ？ F1
小结： 一、用向量方法解决平面几何问题的
“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
1 1 所以 r b m(a b ) A 2 2
人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_23
向量在物理中的应用共1课时1教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
2学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
3重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题.难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.4教学过程 4.1 第一学时教学活动活动1【导入】预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
活动2【导入】情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O为重心,则+ + =（2）水渠横断面是四边形, = ,且|= |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
）活动3【讲授】合作探究、精讲点拨。
探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行中，设＝, ＝，则（平移），，（长度）．向量，的夹角为 .因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题。
高一数学2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例
2
体会
数学在现实生活中的作用 .
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算
.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题
.
教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解上节作业题 .
已知 A(1, 0), 直线 l : y 2 x 6, 点 R是直线 l上的一点 , 若 RA 2 AP ,求点 P的轨迹方程 .
教学过程： 一、复习引入：
2. 5.1 平面几何中的向量方法
1. 两个向量的数量积： a b | a || b | cos .
2. 平面两向量数量积的坐标表示 : a b x1x2 y1 y2.
3. 向量平行与垂直的判定 :
a // b x1 y2 x2 y1 0.
a b x1x2 y1 y2 0.
4
2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与平行四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例 1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在
单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力
. 你能从数学的角度解释这种形象吗？
探究 1.设两人拉力分别为 F1 ， F2 ，其夹角为 ，旅行包的重力为 G 。 (1) 为何值时， | F1 |最小，最小值是多少 ?
4. 平面内两点间的距离公式：
| AB | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
5. 求模：
a aa
a
x 2 y2
a
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二、讲解新课： 例 1. 平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模 型 . 如 图 ，
人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_24
2.5.2向量在物理中的应用举例
一、教材分析：
本节是在学生已经学习了平面向量有关知识以后，
进一步运用所学的平面向量的知识来解决一些物
理问题，通过运用既能让学生用所学的知识解决生
活中的问题，又能加深对平面向量知识的理解和掌
握。
二、学情分析：
前几节课已经学习了平面向量基本定理，坐标运
算、数量积及向量在几何中的应用，这些内容都为
本节课的学习奠定了基础。
三、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的
运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中
的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培
养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作
用.
3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的
工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养
创新精神。
四、教学重点、难点：
重点：通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中的相关问题的步骤难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
五、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
六、教学内容安排：。
251平面向量应用举例252向量在物理中的应用
2.5.1平面几何的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量ACCB，即 ACCB0。
解：设 AOa,OCb
则 AC ab,C Bab，
由此可得：AC C a B b a b
22
22
a b a b
r2r2 0
思考：能否用 向量坐标形式 证明？
即 ACCB0 ，∠ACB=90°
例例31。 、一条河的两岸平行，河宽d500m，一艘
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
uuur uuur uuur uuur uuur uuur DBABAD, ACABAD ,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
ERmEBm (a b)
n m 0
r
2
r
r
rn(ab),nR 线，
n
m 1 0 2
u u ur 所 以 uAuuRr1uAuuCr,同 理 TuuCur1uAuuCr,于 是 uRuTur1uAuuCr 33 3
AC
故AT=RT=TC
练习、证明直径所对的圆径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课堂导学
2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课堂导学三点剖析1.用平面向量解决物理问题【例1】如右图所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F 1，求：（1）|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要考查利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.解：(1)如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2.解直角三角形得，|F 1|=θcos ||G ,|F 2|=|G |·tan θ 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大.(2)令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |， 得cos θ≥21,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°. 温馨提示用向量知识解决相关的物理问题步骤是：（1）将物理问题抽象出数学模型，（2）用数学知识解决模型.(3)将解决的问题还原到物理问题中去.(4)在解决力的合成与分解问题时，一般用向量的平行四边形法则解决.2.物理量关系抽象成数学模型【例2】一自行车以6 m/s 的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南6π方向吹来，试求： （1）风相对于车的速度；（2）风相对于地的速度.思路分析：本题主要考查利用向量知识解决速度的合成问题.解：设v 风车、v 车地、v 风地分别是风对车，车对地，风对地的相对速度.如右图|v 车地|=6 m/s,方向正北，v 风车、v 风地的夹角为6π. ∴(1)风相对车的速度大小为|v 风车|=|v 车地|·c ot 6π=36m/s. (2)风相对于地面的速度大小为|v 风地|=126sin ||=π车地v m/s.温馨提示(1)解答本题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型，这也是今后能力培养的主要方面.(2)在解决速度的合成与分解问题时，一般利用向量的三角形法则.【例3】已知两恒力F 1(3,4)、F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F 1,F 2分别对质点所做的功;(2)F 1,F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题,由于给出各分力的坐标,采用坐标法计算,首先求出位移的坐标,代入F ·s 公式即可. 解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W 1=F 1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)；W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·=（F 1+F 2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.各个击破类题演练1用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如右图，已知灯具的重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小是___________.解析：因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10 N.答案：10 N变式提升1如左下图，在重300 N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅锤线的两侧，与铅锤线的夹角为30°和60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：如右上图，作OACB ，使∠AOC=30°，∠BOC=60°.在△OAC 中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，||=||·cos30°=1503(N),| |=||·sin30°=150(N),| |=||=150 N.答：与铅锤线成30°角的绳子拉力是1503N ，与铅锤线成60°角的绳子的拉力是150 N. 类题演练2一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h,则船到达B 处所需时间为____________min.解析：如右图所示，用v 1表示船速,v 2表示水速，v 表示船的实际航行速度.则|v |=2222211220||||-=-v v =16 km/h ， ∴t=16400.0=0.025(h) =1.5(min).答案：1.5变式提升2一艘船以5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.解：如右图，OA 表示水流速度，OB 表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC 表示船实际速度，∠AOC=30°，|OB |=5 km/h.∵OACB 为矩形， ||||OA OA =， ∴||=3530tan 5tan ||=︒=∠AOC OB km/h ， ∴||=︒30sin ||OB =10 km/h ， ∴水流速度为35km/h,船实际速度为10 km/h.类题演练3已知F=（2，3）作用于一物体，使物体从A （2，0）移动到B （-2，3），则力F 对物体做的功为__________________.解析：∵=(-4,3)，∴W =F ·s =F ·AB =(2,3)·(-4,3)=1.答案：1变式提升3已知力F 与水平方向的夹角为30°（斜向上），F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20 m,问F 和摩擦力f 所做的功分别是多少？ 解：设木块的位移为s ,则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×23=3500(J), F 在铅垂方向上分力大小为|F |sin30°=50×21=25(N), ∴摩擦力F 的大小为|f |=(80-25)×0.02=1.1(N).∴f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J),∴F 、f 所做的功分别是5003J 、-22 J.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举
2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
必修四2-5-1~2平面向量应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得 解 设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1． 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题及 其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运 算能力和解决实际问题的能力． 3． 掌握用向量方法解决实际问题的基本方法； 向量方法解决几 何问题的“三步曲”． 【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问 题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基 底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化 为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动
人教A版高中数学必修4《2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》_4
§2.5 平面向量应用举例内容要求 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题(重点).2.培养运算能力、分析问题和解决实际问题的能力(难点)．知识点1向量方法在几何中的应用用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”：1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系． 【预习评价】(1)在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC ( ) A ．是正三角形 B ．是直角三角形 C ．是等腰三角形D ．形状无法确定解析 (CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝CA →2－CB →2＝0，即|CA →|＝|CB →|，∴CA ＝CB ，则△ABC 是等腰三角形．答案 C(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b <0，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析 a ·b ＝AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A <0，即cos A <0， 所以π2<A <π，即△ABC 是钝角三角形．答案 A知识点2 向量在物理中的应用1．物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． 2．向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上． 3．动量m v 是向量的数乘运算． 4．功是力F 与位移s 的数量积． 【预习评价】力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．解析 由题意知W ＝F ·s ＝(－1)×3＋(－2)×4＝－11． 答案 －11题型一 平面几何中的垂直问题 【例1】如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ． 证明 方法一 设AD →＝a ，AB →＝b ， 则|a |＝|b |，a ·b ＝0．又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0． 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE ．规律方法 利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0． 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．【训练1】 已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且四边形PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF ．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ．∵|P A →|＝⎝⎛⎭⎫1－22λ2＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF ．P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF .【例2】 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n ． (1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于F ，求AF 的长度(用m ，n 表示)．(1)证明 以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，m )，B (n,0)，因为D 为AB 的中点，所以D (n 2，m 2)，所以|CD →|＝12m 2＋n 2，|AB →|＝m 2＋n 2，所以|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB ．(2)解 设F (x,0)，因为D (n 2，m 2)，所以E (n 4，m4)．AE →＝(n 4，－34m )，AF →＝(x ，－m )，由AE →∥AF →可知存在实数λ，使得AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ(n 4，－34m )，即⎩⎨⎧x ＝n 4λ，－m ＝－34λm ，解得⎩⎨⎧λ＝43，x ＝n3，所以AF →＝(n3，－m )，则|AF →|＝19n 2＋m 2＝13n 2＋9m 2， 即AF ＝13n 2＋9m 2．【迁移1】 若例2的条件不变，求AE 的长． 解 由例2解析知|AE →|＝116n 2＋916m 2＝14n 2＋9m 2，即AE ＝14n 2＋9m 2． 【迁移2】 若例2的条件不变，求DF 的长． 解 由例2的解析知F (n 3，0)，D (n 2，m2)，所以DF →＝(－n 6，－m 2)，故|DF →|＝136n 2＋14m 2＝16n 2＋9m 2， 即DF ＝16n 2＋9m 2．规律方法 1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底，用公式|a |2＝a 2求解．(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2． 2．用向量法解决平面几何问题的两种思想方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．【训练2】 在△ABC 中，已知A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( ) A ．2 5 B ．52 5C ．3 5D ．725解析 BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝52 5．答案 B题型三 向量在物理中的应用【例3】 (1)一艘船以5 km/h 的速度垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km/h ；解析 如图所示，船速|v 1|＝5，水速度为v 2，实际速度|v |＝10，∴|v 2|＝|v |cos 30°＝53(km/h)．答案 5 3(2)如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量)．解 设A ，B 处所受绳子的拉力分别为F 1，F 2，物体10 N 的重力用F 表示，则F 1＋F 2＝F .以点C 为F 1，F 2的始点，作平行四边形CFWE ，则CW 为对角线，CF →＝F 2，CE →＝F 1，CW →＝F ，∠ECW ＝180°－150°＝30°， ∠FCW ＝180°－120°＝60°， ∴∠FCE ＝90°． ∴四边形CFWE 为矩形．∴|CE →|＝|CW →|cos 30°＝10×32＝53(N)．|CF →|＝|CW →|cos 60°＝10×12＝5(N)．∴A 处受绳子的拉力大小为5 3 N ，B 处受绳子的拉力大小为5 N ． 规律方法 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化：即把物理问题转化为数学问题； (2)模型的建立：即建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值； (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．【训练3】 已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J ．解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)． 答案 300课堂达标1．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形解析 由AB →＝DC →知四边形ABCD 是平行四边形，又AB →·BC →＝0，故角B ＝90°，所以四边形ABCD 是矩形．答案 C2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析 易知F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝4＋16＝20，∴|F 3|＝25．答案 C3．已知点A (1,1)，M (x ，y )，且A 与M 不重合，若向量AM →与向量a ＝(1,2)垂直，则点M 的轨迹方程为________．解析 AM →·a ＝(x －1，y －1)·(1,2)＝x －1＋2y －2＝x ＋2y －3＝0.又A 与M 不重合，所以x ≠1．答案 x ＋2y －3＝0(x ≠1)4．一条河宽为8 000 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________h ．解析 v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2 |v 1|＝20，|v 2|＝12， ∴|v |＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)． ∴所需时间t ＝816＝0.5(h)．∴该船到达B 处所需的时间为0.5 h ． 答案 0.55．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )， 不妨设AC →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45．故所求钝角的余弦值为－45．课堂小结1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象．基础过关1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N解析 |F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ． 答案 B2．已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 AB →＝(21,7)，AC →＝(1，－3)，∴AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，则∠A ＝90°，所以△ABC 是直角三角形．答案 C3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0． ∴OB →·CA →＝0．∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点． 答案 D4．飞机以300 km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h ．解析 如图所示，|v 1|＝|v |cos 30°＝300×32＝1503(km/h)．答案 150 35．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________．解析 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝5， 设OC 与AB 交于D (x ，y )点， 则AD ∶BD ＝1∶5.即D 分有向线段AB 所成的比为15.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3×151＋15＝－12，y ＝1＋4×151＋15＝32，∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32. 又∵|OC →|＝2，∴|OC →|＝2OD →|OD →|＝⎝⎛⎭⎫－105，3105 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，31056．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J ． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB → ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．7．已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF ．(2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)， FC →＝(2,1)，∵FP →∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4得⎩⎨⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为(65，85)．∴|AP →|＝(65)2＋(85)2＝2＝|AB →|， 即AP ＝AB ．能力提升8．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，且DE →⊥AC →，则|DE →|＝( )A ．52B ．2 3C ．3D ．2 2解析 建立如图所示的直角坐标系．设|AD →|＝a (a >0)，则A (0,0)，C (4，a )，D (0，a )，E (2,0)，所以DE →＝(2，－a )，AC →＝(4，a )．因为DE →⊥AC →，所以DE →·AC →＝0，所以2×4＋(－a )·a ＝0，即a 2＝8．所以a ＝22，所以DE →＝(2，－22)，所以|DE →|＝22＋(－22)2＝23．答案 B9．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)解析 设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν．即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5. 答案 C10．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．解析 设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0，AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0，可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．答案 (3,3)11．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．解析 如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．答案 31612．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R ．(1)若a ，b 的起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解 (1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线， 则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ， 化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b ． 因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧ 23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上． (2)因为|a |＝|b |，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34|a |2， 所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |． 13．(选做题)某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解 设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a ．于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →．由题意：∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即：|v |＝2a ． 所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．。
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例课件
2．向量在物理中的应用： (1)物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__等． (2)向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解__． (3)动量 mv 是向量的__数__乘__运算． (4)功是_力__F___与_所__产__生__的__位__移__s__的数量积．
2用向量法证明平面几何中 AB∥CD 的方法： 法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示A→B和C→D)；③寻找实数 λ，使 A→B＝λC→D，即A→B∥C→D；④给出几何结论 AB∥CD. 法二：先求A→B，C→D的坐标，A→B＝x1，y1，C→D＝x2，y2.利用向量共线的坐 标关系 x1y2－x2y1＝0 得到A→B∥C→D，再给出几何结论 AB∥CD.,以上两种方法， 都是建立在 A，B，C，D 中任意三点都不共线的基础上，才有A→B∥C→D得到 AB ∥CD.
依题意 OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40， ∴∠BOC＝30°. 故船应向上游(左)与河岸夹角为 60°的方向行进．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．过点 M(2,3)，且垂直于向量 u＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
同学们： 不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪
律秩序。 听课时有问题，应先举手，经教师同意后，
起立提问。
现在开始上课啦！！！
第二章 平面向量
2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标：1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际 问题．(重点)2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．(重点)3. 培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．(难点)
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1-2.5.2向量在物理中的应用举例优化练习新
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2。
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5。
2 向量在物理中的应用举例［课时作业］[A组基础巩固］1．在△ABC中，已知A(4,1)，B（7，5)，C(－4,7),则BC边的中线AD的长是（) A．2错误!B。
错误!错误!C．3 5 D.72错误!解析：BC的中点为D错误!，错误!＝错误!,所以|错误!|＝错误!错误!.答案:B2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为（)A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1｜－｜v2｜D。
错误!解析：根据速度的合成可知．答案:C3．给出下面四个结论:①若线段AC＝AB＋BC，则错误!＝错误!＋错误!;②若错误!＝错误!＋错误!,则线段AC＝AB＋BC；③若向量错误!与错误!共线，则线段AC＝AB＋BC；④若向量AB，→与错误!反向共线,|错误!＋错误!|＝AB＋BC；其中正确的结论有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：结论①正确，当AC＝AB＋BC时,B点在线段AC上，这时错误!＝错误!＋错误!.结论②不正确,A,B，C三点不共线时，也有向量错误!＝错误!＋错误!，而AC≠AB＋BC。