方程和方程的解
沪教版五年级-方程及方程解应用题,带答案
1、2x+6=21-3x5x +8=2x +14 7x -9=2x +6解：x =3 解：x =2 解：x =32、（4.7-2.7）x =0.8 7.5+4x =7x5（x +14）=80解：x=0.4 解：x =2.5 解：x =23、45-x =23+x5+3x =33- x26- x =5+6x解：x =11 解：x =7 解：x =3三、文字理解1、35.5比一个数的3倍少20，求这个数？解答：（35.5+20）÷3 =18.52、某电脑车间有男职工256人，比女职工的2倍少50人，女职工有多少人？解：设有女职工x人，则2 x -50 = 256 解得：x=1533、植树节的时候，四、五年级共植树130棵，五年级植的棵数比四年级的2倍多10棵，四、五年级各植树多少课？解：设四年级植树x棵，则五年级植树（130 - x）棵。
2x +10 =130 – x 解得：x =40精解名题例1、某数的4倍与它的2倍加上12的和相等，求某数？解：设某数为x。
则：4x =2x +12 解得x =6例2、某数的小数点向右移动了一位，结果比原数大16.92，求原来的小数？解：设原来的小数为x。
则10x - x =16.92 解得：x =1.883）厘米 3]266366233323015x x x x x x x ）（） 318（厘米） 答：长方形的长18厘米，长方形的宽是15厘米．厘米，长方形的宽是abcdefg (20000000)3104x x ，759999996x ，8571428x ，即七位数应是8571428。
解方程和方程组知识点总结
解方程和方程组知识点总结一. 解一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数且未知数的最高次幂是1的方程。
通常可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知的数，a≠0，x是未知数。
2. 一元一次方程的解法一元一次方程的解法主要有两种，分别是如下两种：（1）等式两边同加（或同减）一个数；（2）等式两边同乘（或同除）一个不等于0的数。
例如：求方程2x-5=3的解。
解：将方程两边加5，得到2x=8，再将方程两边除以2，得到x=4。
3. 一元一次方程的解的检验解一元一次方程的过程中，解必须代入原方程中进行检验。
若代入原方程后等式成立，那么求出的数就是方程的解；若代入原方程后等式不成立，那么求出的数不是方程的解。
4. 一元一次方程的应用一元一次方程的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如数学中的运算问题、几何中的计算问题等。
因此，学好一元一次方程对解决实际问题非常有帮助。
二. 解一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数且未知数的最高次幂是2的方程。
一般写为ax^2+bx+c=0，其中a，b，c是已知的数，且a≠0。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有如下几种：（1）用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解。
例如：求方程x^2-5x+6=0的解。
解：使用公式法，先求出Δ=b^2-4ac，发现Δ=1，然后求出x=(-b±√Δ)/2a，得到x=2或x=3，因此方程的解是x=2或x=3。
3. 一元二次方程的解的检验解一元二次方程的过程中，解必须代入原方程中进行检验。
若代入原方程后等式成立，那么求出的数就是方程的解；若代入原方程后等式不成立，那么求出的数不是方程的解。
4. 一元二次方程的应用一元二次方程的应用非常广泛，可以解决许多实际问题，如物体自由落体的问题、抛物线的性质问题等。
因此，学好一元二次方程对解决实际问题非常有帮助。
三. 解一元非线性方程1. 一元非线性方程的定义一般形式为f(x)=0的方程，其中f(x)是x的函数。
第08讲一元一次方程的概念与解法(8大考点)(原卷版)
第08讲一元一次方程的概念与解法（8大考点）一、方程和一元一次方程的概念 1）方程：含有未知数的等式。
如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．例：3x=5y+2；100x=200；3x 2+2y=3等2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1. 例：3112=+x ；3112=+x ；3m-2n=5；3m=5；6x 2-12=0 二、方程的解与解方程1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值 解方程：求方程的解的过程 三、等式的性质1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。
即：c b c a ±=±=，则若b a （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：⎩⎨⎧≠÷=÷⨯=⨯=0c c b c a cb c a b a ，，则若（此处字母可表示数字，也可表示式子）例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x ÷5=-5÷5 x=-13）其他性质：①对称性：若a=b ，则b=a ；②传递性：若a=b ，b=c ，则a=c 。
四、合并同类项解一元一次方程（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程 方法：1）合并同类项；2）系数化为1 五、移项解一元一次方程 （1）移项 例：2x-3=4x-72x-3+3=4x-7+3（利用等式的性质） （左边的﹣3变到右边变成了+3） 2x=4x-4考点考向2x-4x=4x-4-4x （利用等式的性质） （右边的4x 变到左边变成了－4x ） -2x=-4 x=24−− x=2①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。
方程的解的公式
方程的解的公式
一元二次方程的解的公式：
1、定义：
一元二次方程是指一个用一个未知变量以及次幂（二次幂）的一个等式构成的方程，通常以ax² + bx + c = 0的形式表示。
2、计算公式：
一元二次方程计算公式定义如下：
X＝ (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)
其中，
a＝两个变量之乘积；
b＝一个变量之和；
c＝常数。
3、解的性质：
（1）如果b² - 4ac > 0，则有两个不同的实数根；
（2）如果b² - 4ac = 0，则有两个相同的实数根；
（3）如果b² - 4ac < 0，则方程没有实数根。
4、应用范围：
一元二次方程公式广泛用于统计学、工程学、物理学、建筑学、计算
机科学等领域。
在实际工程中我们经常会遇到一些由于不确定性因素引起的方程，这些方程因为未知量的性质而被称为一元二次方程，其解可以通过一元二次方程的计算公式，以得出最佳解决方案。
方程的解与应用
方程的解与应用一、引言方程作为数学的重要工具，在各个学科领域都有着广泛的应用。
本文将探讨方程的解及其在实际问题中的应用。
二、方程的解1. 解的定义与表示方程的解是指使得方程等式两边成立的未知数的值。
一元方程的解可以用数或者数的集合表示，多元方程的解则需要用向量或者几何对象表示。
2. 解的分类根据方程的次数不同，解可以分为一次方程的解、二次方程的解等。
一次方程的解为线性函数，二次方程的解为二次函数。
3. 解的求解方法解方程的求解方法有代入法、消元法、配方法、分解因式法、图像法等。
不同的方程类型需要选择不同的解题方法。
三、方程解的应用1. 科学领域中的应用（1）物理学：方程在物理现象的分析和计算中起到重要作用，如牛顿力学中的运动方程、电磁学中的麦克斯韦方程等。
（2）化学：方程在化学反应中的平衡、速率等方面有重要应用，如化学平衡常数的计算。
（3）工程学：方程在工程领域中的应用广泛，如电路分析中的基尔霍夫方程、热传导方程等。
2. 经济领域中的应用（1）成本计算：利用成本方程可以计算各种成本的变化与关系，从而分析经济效益。
（2）收益预测：利用收益方程可以预测不同条件下的收益情况，为经济决策提供依据。
（3）市场需求分析：利用需求方程可以分析市场需求的变化规律，为市场策略制定提供参考。
3. 生活中的应用（1）借贷计算：利用利率方程可以计算贷款的利息和还款计划，帮助人们合理规划财务。
（2）比例问题：利用比例方程可以解决各类比例问题，如物品折扣、食谱换算等。
（3）交通运输规划：利用交通流方程可以对交通拥堵情况进行预测和规划，提高交通效率。
四、方程的挑战与进展1. 方程在实际问题中的应用常常面临挑战，如复杂问题的建模、多元方程组的求解等。
2. 随着计算技术的发展，数值方法和计算机模拟的应用逐渐成为解决复杂方程问题的有效手段，为方程的应用拓展了新的可能性。
五、结论方程的解在数学以及各个学科领域中具有重要的地位和应用。
差分方程与微分方程的求解
求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令311201112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.则231121(2)(1)0112λλλλλλ---=-=--=--A E可解得1232,2,1λλλ===设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β设方程组的通解为：111222333()nnnx n c c c λλλ=++βββ代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===得到12123322122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得123120c c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 求差分方程之通解：2(4)2(2)()32nx n x n x n n n+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：42210λλ-+= 即22(1)0λ-=从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：()(1)()1()n n xn A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()nxn A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.从而原方程具有如下的特解形式：221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++将特解形式代入原方程，可得0010120014811922402244883914890A A A A A AB B B =⎧⎪+=⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎪+=⎩，从而0120114816124194881A A A B B ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎩综上，原方程的通解为22111148()()()(1)()()2()48624981n n x n xn x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：211212212121120d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x tt t xx x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩解：方法一：降阶法令13d d x x t =，则原方程组可表示为：13323122312d d d d 320d d d 20d x x t xx x x x tt x x x x t ⎧=⎪⎪⎪++++=⎨⎪⎪++-=⎪⎩化简得：132123323d d d 2d d 22d x x t xx x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，特征方程是01211(2)(2)(1)0022λλλλλλλ--=---=+-++=---A E特征根为1232,2,1λλλ=-==-求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T .故方程组的通解为1222123311()121()e 0e 2e 221()1t t t x t x t C C C x t --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭根据初值1120d (0)1,-1,(0)0d t x x x t====得12312323112211202C C C C C C C C ⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪⎪-+=⎩解得123112,,463C C C === 则原方程组的解为：22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩方法二：消元法设dd t λ=，则原方程组可化为21212(32)(1)0(1)(2)(1)0(2)x x x x λλλλλ⎧++++=⎨++-=⎩(1)(2)λ-得21(2)(21)0(3)x λλλ++--= (2)(3)-得22(2)0x λλ--=解得两个特征根为122,1λλ==- 则2x 可表示为：2212e e ttx C C -=+ 根据初值2(0)0x =得22e e ttx C C -=- 将2x 代入(2)得212e 2e ttx C C λ-+=+ 即211d 2e 2e (4)d t t x x C C t-+=+ 下面用常数变易法求解(4) 先解对应齐次方程11d 20d x x t+=得齐次通解211e t x C -= 由常数变易法，令211(t)etx C -=为非齐次方程(4)的解，代入后得221()e e 2e t t t C t C C --'=+积分得41()e 2e 4tt C C t C =+ 则（4）的通解为2211e e 2e 4t tt C x C C --=++ 根据初值110d (0)0,-1d t x x t===得112142212C C C C C C ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩解得11314C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则221112()e e e 4123t t tx t --=++ 将13C =代入22e e t tx C C -=-得方程组的解为 22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4. 利用待定系数法求解下列初值问题之解：Td (),(0)(0,1)d xA x f t x t=+= 其中TT 1235(,),,()(e ,0)53t x x x A f t -⎛⎫===⎪-⎝⎭解：方法一：待定系数法原方程组所对应的齐次方程组为112212d 35d d 53d x x x tx x xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩特征方程235(3)25053λλλλ--==-+=--A E求得特征根为1,235i λ=±下求135i λ=+所对应的特征向量，设112αα⎛⎫=⎪⎝⎭ξ 则111225i 50()55i 0ααλαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 从而可取11α=，则2i α= 于是由132()1e (cos5isin 5)()i t x t t t x t ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到齐次方程的通解为：11322()cos5sin 5e ()sin 5cos5t xt C t t x t C t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下求非齐次方程的特解利用待定系数法，可设特解为12()e ()e t t x t A x t B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其代入原方程组，可得e 3e 5e ee 5e 3et t t tt t tA AB B A B -------⎧-=++⎪⎨-=-+⎪⎩ 即451540A B A B +=-⎧⎨-=⎩,从而求得441541A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此原方程的通解为113224()cos5sin 541e e ()sin 5cos5541t t x t C t t x t C t t -⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为：13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：常数变易法利用常数变易法，可设特解为11322()()cos5sin 5e ()()sin 5cos5t x t C t t t x t C t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 带回到原方程，可得到132()cos5sin 5e e ()sin 5cos50t tC t t t C t t t -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而1132()cos5sin 5e e cos5e ()sin 5cos50e sin 5t t t t C t t t t C t t t t ----'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而4142()e cos5()e sin 5t tC t t C t t --'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭两边积分可得414254()e (sin 5cos5)414145()e (sin 5cos5)4141t t C t t t C t t t --⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩因此原方程组的通解为111222()()()()()()x t xt x t x t x t x t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13254sin 5cos5cos5sin 5cos5sin 54141e e sin 5cos5sin 5cos545sin 5cos54141t t t t C t t t t C t t t t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-- ⎪⎝⎭344cos5sin 54141e e sin 5cos54654141t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
方程的意义和解简易方程
方程的意义和解简易方程课时教学内容：教学要求：使学生初步认识方程的意义，知道方程的解和解方程的区别以及解简易方程的一般步骤。
教学重点：掌握解方程的依据、步骤和书写格式。
教学难点：方程的解和解方程两个概念间的联系及区别。
教学用具：简易天平、砝码、标有“20"、“30'和“?”的方木块、画有P.97页上图的挂图、小黑板或投影片若干张。
教学过程：一、激发根据加法与减法、乘法与除法的关系，说出求下面各数的方法。
．一个加数=．被减数=．减数=．一个因数=．被除数=．除数=二、尝试．方程的意义出示简易天平，将天平、砝码摆在讲台上，这是一台天平，它是用来用来称物品的重量的。
怎样用它来称物品的重量呢?在天平的左边盘内放置所称的物品，右边盘内放置砝码。
当天平的指针在标尺中间时，表示天平平衡，即天平两端的重量相等。
砝码上所标的重量就是所称物品的重量。
师演示如何用天平称物品。
问：那么，使天平平衡的条件是什么呢?天平的指针指在什么地方才能说明天平是平衡的?教师强调说明：天平两边放上重量相等的物品时，天平就平衡。
反过来说，天平保持着平衡，就说明天平两边所放的物品重量相等。
问：那么，我们能不能用式子来表示出这种平衡的情况呢?试试看!先让学生自由地说一说，根据学生的发言，教师写出算式20+30=50。
问：20+30=50是一个什么式子?什么叫等式呢?师改变天平上所放的物品和砝码，使之与P.105页的下图相同。
引导学生观察、思考并回答下列问题:①图中的天平是否平衡?说明了什么?②怎样用式子来表示这种平衡的情况呢?再试试看!板书；20十?＝100。
③“?”是不是要求的未知数?我们以前学习过，一般用什么字母表示未知数?④20+x＝100是一个什么式子?⑤这道等式与20+30＝50有什么不同?⑥左盘中这个标有“?”的方木块应该是多少克，才能使天平保持平衡呢?这就是这个等式中的x是多少才能使等式左、右两边正好相等呢?可以是一个随便的重量吗?生自由说，师总结：这里的x所表示的未知重量不是随便确定的，它必须是使天平保持平衡的重量，也就是说未知数所代表的数值必须使等号左、右两边正好相等。
小升初数学《解方程》完整知识点讲解与专项练习题及答案
小升初《解方程》专题知识点整理+列方程解应用题专项训练《解方程》知识点列方程解应用题题型汇总练习1、0.3乘以14的积比这个数的3倍少0.6，求这个数是多少？2、甲数比乙数多34，甲数是乙数的3倍，甲乙各是多少？3、今年10月份，李明家用电131度，王强家用电120度，王强家少缴电费5.5元。
平均每度电多少元？4、长方形养鸡场的栅栏长400米，长是宽的3倍，求养鸡场的面积是多少？5、鸡兔同笼，头共有20个，腿共有56条，鸡兔各有多少只？6、鸡兔数量相同，鸡腿比兔腿少30条，鸡兔各有多少只？7、爷爷比小明大52岁，今天爷爷的年龄是小明的5倍，爷爷和小明今年各是多少岁？8、甲乙两地相距360km，张三由甲地开往乙地，李四以45km/时的速度由乙地开往甲地，3个小时后，两人相距15km，张三的速度是多少千米？9、沈阳与北京相距约700km，土豆与地瓜分别从沈阳和北京出发，相向而行，土豆每小时行驶80km，地瓜每小时行驶70km。
土豆出发5个小时后，地瓜才出发，在经过多少小时才能相遇？10、长方形养鸡场的一个长面靠墙，栅栏长400米，长是宽的2倍，养鸡场的面积是多少？11、甲乙两人骑自行车，同时从相距65km的两地相向而行，甲车每小时行驶17.5km，1小时候，两人相距32.5km，乙车每小时行驶多少千米？12、一个三层书架共有书159本，第一层比第二层的4倍少2本，第三层比第二层的3倍多1本。
第三层书架有多少本书？13、土豆和地瓜同时分别从两地相向而行，8小时相遇。
如果他们每小时多行2.5km，那么就6小时相遇。
问两地相距多少千米？14、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍，甲、乙两人平均每人有82本书，求甲、乙两人各有书多少本？15、汽车从甲地到乙地，去时每小时行60千米，比计划时间早到1小时；返回时，每小时行40千米，比计划时间迟到1小时。
求甲乙两地的距离？16、一把直尺和一把小刀共1．9元，4把直尺和6把小刀共9元，每把直尺和每把小刀各多少元?17、三个连续的一位小数的和是1.5，这三个小数分别是多少？18、甲乙两个书架，若从甲书架取出8本放入乙书架，两个书架的本数就一样多；如果从乙书架取出13本放入甲书架，甲书架的书就是乙书架的2倍。
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《方程和方程的解》教学设计
昌邑市实验中学孙绍斗
【教学目标】
1
否是某个一元方程的解；
2
【教学重点和难点】
重点：方程和方程的解的概念；
难点：方程的解的概念
【课堂教学过程设计】
一、从学生原有的认知结构提出问题
1
(1)什么叫等式?等式的两个性质是什么?
(2)下列等式中x取什么数值时，等式能够成立?
1x-7=2.
(i)4+x=7；(ii)
3
2
在小学学习方程时，学生们已知有关方程的三个重要概念，即方程、方程的解和解方程
面地理解这些概念，并同时板书课题：方程和它的解.
二、讲授新课
1
在等式4+x=7中，我们将字母x称为未知数，或者说是待定的数
例1 (投影)判断下列各式是否为方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么.
(1)5-2x=1；(2)y=4x-1； (3)x-2y=6； (4)2x 2+5x+8
分析：本题在解答时需注意两点：一是已知数应包括它的符号在内；
二是未知数的系数若是1，这个省写的1也可看作已知数 (本题的解答应由学生口述，教师利用投影片打出来完成) 2
在方程4+x=7里，未知数x 的值是3时，能够使方程左右两边的值相等，我们将3叫做方程4+x=7的解解呢?
(此问题应先让学生回答，教师引导、补充，并板书) 能够使方程左右两边相等的未知数值叫方程的解
(此时，教师还应
指出：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根) 例2 根据下列条件列出方程： (1)某数比它的5
4大
16
5
；
(2)某数比它的2倍小3
分析：(1)“某数比它的5
4大
165”即是某数与它的54的差是16
5
；(2)
“某数比它的2倍小3”即为某数的2倍与它的差为3
(本题的解答由学生口述，教师板书完成，应注意书写格式) 在解答完本题后，教师应引导学生总结出解答本类问题需应注意，此类问题的条件表面上是“谁比谁大(小)”，实际上是给出一个相等关系，因此，在解题时，要特别留心
例3 检验下列各数是不是方程2x-3=5x-15的解?
(1)x=6； (2)x=4
思路将所给数值分别代入原方程的左边和右边，通过计算左、右两边的数值，进行比较，看左边与右边的值是否相等，若相等，则所给数值是原方程的解，反之，则不是
(解答过程由学生口述，教师引导并板书(1)，(2)请一名学生板演，其余学生在笔记本上完成)
注意 (1)本题的书写格式应严格按课本上的要求进行；(2)本旨在巩固方程的解的概念，使学生学会检验一个数是否为某方程的解的基本方法
3
启发学生得出什么叫解方程?即求方程的解的过程叫做解方程
解方程呢?这个问题留待下节课研究解方
程是两个不同的概念
三、课堂练习(投影)
1
(1)3y-1=2y； (2)3+4x+5x2； (3)7×8=8×7 (4)6=0.
2方程：
(1)某数的一半比某数的3倍大4；
(2)某数比它的平方小42
3
(1)6(x+3)=30； (x=5,x=2)； (2)2x=2
1 (4x-2)； (x=4，x=2
1)
四、师生共同小结 1
(1)本节课学习了哪些内容? (2)方程与代数式，方程与等式的区别是什么?
(3)方程的解与解方程有何不同? 2
(1)方程、等式、代数式，这三者的定义是正确区分它们的唯一标准； (2)方程的解是一个数值(或几个数值)，它是使方程左、右两边的值相等的未知数的值，它是根据未知数与已知数之间的相等关系确定的而解方程是指确定方程的解的过程，是一个变形过程 五、作业 1
(1)某数与6的和的3倍等于21； (2)某数的7倍比某数大5； (3)某数与3的和的平方等于这数的15倍减去5； (4)矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长与宽；
(5)三个连续整数之和为75，求这三个数 2
(1)3x=x+3， (x=2，x=2
3
)； (2)2x=2
1(4x-2)， (x=4，x=2
1)；
(3)x(x+1)=12， (x=3，x=4) 3
(这里，“求作”的意思是“写出”)一个方程，使它的解是：
1
(1)1； (2) -2； (3) 0； (4)
2。