高中物理竞赛之力学部分：刚体力学大解析(可编辑精品)
高中物理竞赛-刚体
速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：不妨设静摩擦力f的方向向左， 则由质心运动定理：
aC F
F f ma C
由转动定律：F l f R JC
纯滚动条件：aC R
圆柱对质心的转动惯量为
JC
1 2
m R2
27
联立以上四式，解得
2F( R l ) aC 3mR f R 2l F
3R
讨论： l<R/2, f >0,方向向左； l>R/2, f<0, 方向向右； l=R/2, f=0.
地面参考系：aC R（纯滚动条件） 最低点：a1 (ac at )2 an2 R 2t 2
C aC
R
最高点：a2 (ac at )2 an2
(2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
8
二、刚体的动量和质心运动定理
z
1、刚体的质心
质量分立分布：
质心C的位矢为
rC
mi m
d
dt
方向:与转向成右手螺旋关系。
v v r
r
at r
an r 2
3
4、刚体的平面（平行）运动 定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些
平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面
（平行）运动。
车轮滚动
木梯下滑
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点 轴（⊥固定平面）的转动的合成。
1B A
2 A 刚体由1→2可分为
1、刚体平面运动的基本动力学方程
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基
点轴的转动。通常选质心为基点。 惯性系
y y
F外
maC（o系，质心运动定理）
C
x M外 J（C系，转动定律）
高中物理竞赛讲座6(刚体力学word)
第五章 刚体力学研究有一定大小及质量分布的物体的动力学规律。
（对于刚体可以看作（利用微元法）由无数质点构成的质点组，从而利用质点动力学规律推导刚体的动力学规律。
）平动规律（1）、平衡条件 0=F （2）、牛顿定律 ma F = （3）、动量定理 p I ∆= （I 为冲量） （4）、动量守恒 0=∆p （合外力为0 ） （5）、动能定理 K E W ∆=（6）、机械能守恒 0=∆E （只有重力做功） （7）、总能量守恒 0=∆总E转动规律（1）、平衡条件 0=M （M 为力矩） （2）、转动定律 βI M = （I 为转动惯量）（3）、角动量定理 L t M ∆=∆ （L 为角动量ωI =） （4）、角动量守恒 0=∆L （条件：M=0）研究转动规律关键是过轴的力不产生力矩，对转动无影响。
转动规律独立于平动规律。
知识点1、刚体：刚体的形状不能发生变化。
刚体上各点的相互距离不变。
2、刚体的运动 （1）、平动：刚体上各点的运动完全相同。
（2）、定轴转动 角位移θ 角速度 d dt θωθ== 角加速度 ==d dtωβωθ= 某点角量与线量之间的关系 θr l = ωr v = βr a t = rv r a n 22==ω（3）、一般运动（平动+转动）运动=随A 点的平动+绕A 点的转动（一般A 点取质心）某点的速度 A V V r ω=+ 22A t A a a a r a r r ωβω=++=++ 3、质心 1122c mx m x m x =+=⎰xdm1122c mv m v m v =+ 1122c ma m a m a =+4、牛顿定律 1122c F m a m a ma =+=合5、转动平衡 M=06、转动定律 M I β= 或 211112222M ()()m r r m r rr d m βββ=+=⎰7、转动惯量 2I mr = r 为质点到轴的距离22221122i i I m r m r m r r dm =++⋅⋅⋅=∑∆=⎰质点对转轴 2I m l =细圆环对经过中心的垂直于环面的转轴的转动惯量2I mR = 匀质实心圆柱体对中心轴的转动惯量 212I m R = 匀质杆过中点轴的转动惯量 I =2112ml 匀质球，以任一直径为转轴的转动惯量225I mR =8、平行轴定理：2c I I mD =+ 正交轴定理： z x y I I I =+ 9、角动量定理 21=Mt I I L ωω=-∆2211()Mt dm r v rv =-⎰10、角动量守恒定律 I ω=恒量 或 2211()()=d m vr d m v r -⎰⎰恒量条 件： 0M =11、重力势能 p c E mgh = 12、动能 221122K c c E I mv ω=+第一讲 刚体动力学规律一、刚体的运动 1、平动刚体上各点的运动完全相同。
高中物理奥林匹克竞赛专题--力学4
F
dr
r
x
一长为L、质量为m的均匀直棒,在重力(矩) O
作用下,绕一端由水平位置无初速转至竖直位
置。试用力矩作功的定义式求出整个过程力 矩作的功及棒在竖直位置时的角速度。
J 1 mL2 3
习题1
• 极坐标系中方程r=A(1-cosθ)，对应一条心脏线，求心底P处曲
率半径ρ。 解：设质点以θ=ωt方式沿心脏线运动，则：
Page 11
习题2
• 刚性的圆环t=0时刻从静止开始做角加速度为β的纯滚动，求任 意t时刻环上最高点加速度a上与最低点的加速度a下的比值。
解：在地面系S中，圆心的速度与加速度分别为：
v0 dl R d Ri, a0 dv R i
dt dt
dt
在随圆心平动的S'中，圆环在S'中绕环心以β作匀加速转动，对最高点：
T1 m1
解：对m1，取向上为正 T1–m1g = m1a
①
T
T2
m2
T
对m2，取向下为正 m2g –T2= m2a
②
1
2
对m，顺时针为正 T2r – T1r – Mf =J ③
a = r
④
m1g m2g
a (m2 m1)g M f r
m2 m1 m / 2
T1
m1[(2m2 m 2)g M m1 m2 m 2
力学选讲 （第五讲）
预习：§4-1、 §4-2
第五讲 刚体的定轴转动 名词、概念较多
刚体：在任何情况下,形状和大小都不发生变化的力学研究对象。
理想 即:其上任意两质元的间距无论施加多大外力均保持不变。
模型
高二物理竞赛刚体力学基础课件
m
m2 m1
对m1 、m2分析受力。由牛顿定律：
对 m1 对 m2
T1m 1gm 1a （1） m 2gT2m 2a（2）
m
1
对滑轮分析力矩，由转动定律：
T2rT1rMf 1 2m2r （3）
关联方程：T 1T 1 , T 2T 2 （4）
①加速阶段 ②匀速阶段
③制动阶段
1 1t1 2 1t2 1 3t3
210211
21 233
1
12 21
1t1
2
3
12 23
1t3
2
而 1 ＋ 2 ＋ 310 2 0
2 1t11t22 1t3 200
t2 20 1 0 (t1 t3 )/2 20 /1 0 (t1 t3 )/2 1.9 8 s2 1
O 到力的作用点 P 的径矢。 M ZrF
大 M Z 小 rs F ： i n F F d tr
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向： 由右手螺旋定则确定。
M rFZ有o两个方向，可用正o负表Fr示。
MZ 0
MZ 0
MZ
z
o rp
F
d
•
o
z
r
Ft
P
F
d
•
Fn
2、F不在转轴平面内
2、刚体的平动: 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。
注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。
3、刚体的转动 : 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 定轴转动 :转轴在空间的位置固定不动。 特征： 1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。
高中物理竞赛 第三章刚体力学_2
本章主要讨论刚体的定轴转动运动。
2018/6/26 4
§3.2 刚体定轴转动定律
一、转动刚体的运动描述：
由于刚体定轴转动时刚体上 的角速度相同，因此用角量描述刚 体运动比较方便。
VB
B
角 位置 t
角位移 t t t t d t 角速度
2 Fr sin f r sin m r i i i i i i
M Fi M fi mi ri
2
fi
d
Ft
A
Fn
刚体内每一点都可以表达成 为上式。整个刚体是上式的和。
r
F
M Fi M fi mi ri 2
A
M
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1
§3.1 刚体的平动和转动
§3.2 刚体定轴转动定律 §3.3 刚体转动的功和能 §3.4 刚体角动量与角动量守恒定律 §3.5 进动
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§3.1
刚体的平动和转动
刚体的定义：
特殊的连续分布的质点系，该质点系在运动过 程中质点间距在任何条件下都保持为定值。刚体时固 体物件的理想化模型。或说，刚体是受力时不改变形 状和体积的物体。
dt 2 d t d 角加速度 dt dt
A
VA
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角量与线量的联系： 速度
v r
v r
dv at r dt v2 2 an r r
加速度
匀变速转动公式
0 t
2
2 2 0
高中物理竞赛讲座：第一章刚体力学
描述质点位置变化的快慢和方向 r r(t t ) r(t ) v 平均 t t
r dr v lim t 0 t dt
3
7.加速度 描述质点速度变化的快慢和速度变化 的方向 v a平均 t
v dv d r a lim 2 t 0 t dt dt
第一章 刚体力学
1-1 质点力学基础
1-2 刚体的转动
1-3 转动动能 转动惯量 1-4 转动定律
1-5 角动量守恒定律
1
1-1质点力学基础
一、描述质点运动的基本物理概念
1.质点 只有质量没有大小和形状的几何点， 理想化力学模型
2.参考系 描述某物体运动时，用来作参考的另 一物体或物体系统
3.坐标系 用来定量地确定质点的位置，描述其 运动 4.位置矢量 用来确定质点在空间的位置
x
17
A
B
解：建立坐标(如图)，取微元
x
L
m dm dx dx L
得连续分布刚体的转动惯量
A L/2
C L/2
B x
IA
IC
L
0
m 1 x dx mL2 L 3
2
2
可以看出：
L 2 L 2
m 1 2 x dx mL L 12
同一刚体对不同的转轴转动惯量也不同。
2
8.运动方程 位置矢量与时间的函数关系
r r(t )
4
例题1 已知一质点是在OX轴线上运动且满足 运动方程 x 6 t 3 12 t 2 36 (m )，求 第2秒内的平均速度，第2秒末的速度 和加速度 解： x x 2 x1 x(2) x(1) 36 30 6 (m )
高中物理竞赛辅导习题力学部分
力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力 1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。
以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过的路程。
如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。
[答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离92L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体力学基础(共14张PPT)
四、角动量问题举例
例 3-5 设一质量为m的滑块在水平面(Oxy)内以初速度 u0 u0i
从原点O出发沿x轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力 f f i
恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量.
解
t=0时， u0 u0i 质点受力 f f i
滑块任意时刻t的速度
u
u0
ft m
Lrprm v
圆周运动的质点、定轴转动刚体的角动量
Lm2 rJ
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
2 角动量定理(对定轴转动刚体)
t
L
t0M dtL 0dLLL 0JJ0
3 角动量守恒定律 若系统所受合外力矩为零，则系统 角动量保持不变.
3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
第三章 刚体力学基础
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
一、角动量
1.
质点的角动量
质量为 m的质点以速度
v
z
在 O 的空位间矢运为动，r，某质时点刻相相对对于原原点
L
点的角动量：
O
Lrprm v x r
解 碰撞过程质点和刚体的系统动量、
O
能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外
力矩为零，角动量守恒。有
mlu0mluJ
M
J 1 Ml2
3
u l
解以上三式，得 3m2u0
v0
(3m M )l
l mv
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
质点以角速度 作半径为 r的圆运动，
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判天地之美，析万物之理—庄子
高中物理竞赛之力学大解析
刚体力学
概述：刚体指大小和形状都不变的物体，实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两质量元之间距离保持不变的质点系。
一、刚体的状态 1．静止的刚体
条件： （1）所受的合外力为零
（2）所受的合力矩为零 例题：1—82
2．运动的刚体（刚体的平面运动）
刚体运动过程中的特点：其上任意两点的连线始终保持平行。
（1）定轴转动
转动：刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动，这种运动称为刚体的转动，这条直线称为转动轴。
定轴转动：转动轴固定不动 （2）角速度、角加速度
角速度是矢量，方向由右手法则确定如图所示说明；角速度与线速度的关系：r v ∙=ω 角加速度：dt
d ω
β=
，角加速度也是矢量，方向：对于定轴转动来说与角速度的方向相同。
（3）定轴转动定律
※对转轴的力矩M =Fl ，作用效果使刚体绕轴转动，逆转取正，顺转取负
※角动量L ：一质点绕某转动轴做圆周运动，则该质点绕此转动轴的角动量为L =mvr ；假如有许多质点呢？质点系绕该转动轴的角动量为L =∑m i v i r i ，对于定轴转动的刚体的角动
量L =∑m i v i r i =∑m i r i 2
ω ※转动惯量J ：刚体中各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，即J =∑m i r i 2，
刚体中各质元是连续分布的则J =⎰
dm r 2
，所以L =J ω
例题分析（关于转动惯量的计算） 例1．薄圆环对中心轴线的转动惯量 分析：如图所示J =mR 2 （微元法）
常见的刚体的转动惯量
圆柱体对柱体轴线的转动惯量：J =
221
mR 圆柱环对柱体轴线的转动惯量：J =)(2
12
221R R m +（割补法）
细杆对过中心且与杆垂直的轴线的转动惯量：J =ml 2/12 实圆柱体对中心直径的转动惯量J= mR 2/4+ ml 2/12
l
分析：左右两部分对中心转轴的转动惯量是一样的，则只要算出其中一部分的转动惯量就可以了，则将左边部分分成n 等份，每分的质量为m /2n ，
J /2=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→2
2222223222222lim n l n n m n l n m n l n m n l n m n
=()
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n l n m n 2
22232122lim =()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→1216122lim 2n n n n l n m n 实球体对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/5
薄球壳对任意直径的转动惯量：J =2mR 2/3 ※关于转动惯量的两个定理： ①平行轴定理：J =J C +md 2 ②垂直轴定理：J z = J x + J y
利用上述定理分析细圆环对任意切线的转动惯量：J =3mR 2/2
※定轴转动定律
刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受到的合外力距成正比，与刚体的转动惯量成反比。
即M =J β（类比与牛二定律F =ma ） 例题分析：
例2．质量为M =16kg 的实心滑轮，半径R 为0.15m 。
一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m =8kg 的物体。
求（1）静止开始1秒钟后，物体下降的距离。
（2）绳子的张力。
分析：R
a
MR TR 221=
ma T mg =-
则a =5m/s 2，2
2
1at h ==2.5m T =40N
练习：1—78答案加速度为5.79m/s 2，绳子的张力分别为69.9N ，和75.8N 。
（4）定轴转动的功能原理
转动动能：定轴转动的刚体中，所有的质元作圆周运动的动能之和即刚体的转动动能，
22
1
ωJ E K =
力矩的功：力矩作用下，使刚体发生转动，转动过程中转动动能发生变化，则力矩对刚
体做了功，即力矩的功。
定轴转动的动能定理：
合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增加量 即2022
121ωωJ J W -=
例题分析：
例：一质量为M ，半径为R 的圆盘，盘上绕有绳子，一端挂一质量为m 的物体。
问物体由静止开始下落高度h 时，其速度为多大呢？
l
2022121ωωϕJ J TR =
∆ 2
022
121mv mv Th mgh -=-
又因 ϕ∆=R h ωR v = 00=v 00=ω 22
1
MR J =
解得：m
M mgh
v 222
+=
练习：匀质杆的质量为m ，长为l ，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求杆在铅垂直位置时，其下端点的线速度v 。
（gl v 3=） ※机械能守恒定律（对刚体也是适用的） （5）刚体定轴转动的角动量守恒 角动量：L =J ω
冲量矩：Mt （时间t 内）适用力矩不变，如果力矩随时间变化则在t 时间内冲量矩：⎰
Mdt 类比动量定理得到角动量定理：
⎰Mdt =112
2
ωω
J J -
例题分析 例题1—79
分析：对木块用动量定理 t f mv mv ∆-=-0 对圆柱体用角动量定理 t fR J J ∆=-0ωω 又因
00=ω R v ω=
则 2
01m R J v v +
=
角动量守恒定律：
当M 合=0时，则1122ωωJ J =
刚体所受的合力矩为零时，则刚体的角动量保持不变 延伸：物体系的角动量守恒
内容：若选一系统，此系统中，有质点（多个）和刚体，此系统对于某一转动轴的合力矩为零，则整个系统对该转动轴的角动量守恒。
即
i
i
i i
i
r v m J ∑∑+ω=恒量
例题分析
例1：一长为l ，质量为M 的杆，可绕支点O 自由转动，另一质量为m ，速度为v 的子弹射入距支点为a 的棒内。
问子弹刚穿进棒内时，棒的角速度为多少？（设棒穿进棒的时间很短）
分析：对M 和m 的系统角动量守恒
则ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=2
231ma Ml mva 所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
2231m a Ml m va ω
再问能偏转的最大角度是多少呢？
v 0 R
v
分析：利用转动动能定理
)cos 1(2)cos 1(31212
22ααω-+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+l Mg mga ma Ml 解得：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=Mgl mga ma Ml a v m 213121cos 222
22α
例题2：1—85
分析：m 离盘时的速度为R v ω=0，则g
R g v h 222
22
0ω=
= 盘破碎前后系统角动量守恒：R mv mR MR MR 02222121+'⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ωω
所以ωω='，角速度不变，余下部分的角动量是ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2221mR MR 转动动能为：2
222121ω⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=mR MR E k
练习1—87、1—88
（6）刚体的平面运动
一般的刚体的运动既有平动又有转动，这为了分析问题的方便，可以把刚体的运动看成是质心的平动和绕质心的转动。
所以在分析刚体运动时，一方面要运用质点的动力学方程及动量定理、动量守恒定律，另一方面要运用转动的动力学方程及角动量定理、角动量守恒定律。
注意对于平面运动的刚体运用功能原理时，不能分别列方程，因为能量标量，则注意平面运动的刚体的重力势能等于质心的的重力势能，刚体的动能等于质心的平动动能加上绕质心的转动动能，即
222
1
21ωc c k J mv E +=
例题分析
例题1：1—80
分析：A 做转动，B 刚体做一般的平面运动，看成质心向下加速运动和刚体B 绕质心转动则：
对A ：A A A A r m Tr β221=
对B ：B B B B r m Tr β22
1=
C B B a m T g m =-
又因：A A
A r a =β
B B B r a =β B
C A a a a -=
解得：()g m m m m a B A B A C 232++= g m m m m T B
A B
A +=3
例题2：1—90
B A
r B
m A
m B r A
C B
A
r B
m A
m B r A
C m B g
T
T。