全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习

中考要求

知识点睛

基本知识

把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．

很明显，旋转变换具有以下基本性质：

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；

②对应直线的交角等于旋转角．

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．

重、难点

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是

本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定

是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，

决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，

其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________．

【解析】 A

【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG

可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。

A ．顺时针旋转60°得到

B ．顺时针旋转120°得到

C ．逆时针旋转60°

120°得到

【解析】 D

【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边

△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

K

G

F

E

D

C B

A

【解析】 C

【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：

AN BM =．

M D N

E

C B

F

A

例题精讲

【解析】 ∵ACM ?、CBN ?是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM =

【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．

【例5】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD ，AE 分

别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．

N

M

E

D

C

B

A

【解析】 ∵ABC ?与DCE ?都是等边三角形

∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=? ∵B ，C ，E 三点共线

∴180BCD DCE ∠+∠=?，180BCA ACE ∠+∠=? ∴120BCD ACE ∠=∠=? 在BCD ?与ACE ?中

BC AC

BCD ACE DC EC =??

∠=∠??=?

∴BCD ACE ??≌， ∴CAN CBM ∠=∠

∵120BCD ACE ∠=∠=?，60BCM NCE ∠=∠=? ∴60ACD ∠=? 在BCM ?与ACN ?中

60BC AC BCM ACN CBM CAN =??

∠==???∠=∠?

∴BCM ACN ??≌，∴CM CN =．

【补充】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

G

M H D N

E

C B

F A

【解析】 过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ??≌， 利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．

【补充】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．

请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；

⑶CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．

60MCN ∠=与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；

AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥

ACN MCB ??≌，ADC MCE ??≌，NDC BEC ??≌； DEC ?为等边三角形．

⑴∵ACM ?、CBN ?是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ??≌，∴AN BM =

⑵由ACN MCB ??≌易推得NDC BEC ??≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ?为等边三角形．易得DE AB ∥．

⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ??≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，

连接AE 、CG ．求证：AE CG =．

G F

E D

C

B

A

【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠

∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ?和ADE ?中

CD AD

CDG ADE DG DE =??

∠=∠??=?

∴CDG ADE ??≌ ∴AE CG =

【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形，D 是AN 中点，E

是BM 中点，求证：CDE ?是等边三角形．

M D

N

E

C

B

A

【解析】 ∵ACN MCB ??≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠

又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，

∴BCE NCD ??≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠ ∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? ∴CDE ?是等边三角形

【补充】(2008年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角

形ABC ?和CDE ?(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点，则CPM ?是_____________。

P

M

B

C D

E

A

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．非等腰三角形

【解析】 易得ACD BCE ??≌．所以BCE ?可以看成是ACD ?绕着点C 顺时针旋转60?而得

到的．又M 为线段AD 中点，P 为线段BE 中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得．所以CP CM =且，60PCM ∠=°，故CPM ?是等边三角形，选C ．

【例8】 如图，等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =．

D

E

C

B

A

【解析】 ∵ABC ?是等边三角形，∴60ACB ∠=?，AC BC =．

∴60BCD DCA ∠+∠=?，同理60ACE DCA ∠+∠=?，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ?与ACE ? 中，

BC AC

BCD ACE DC EC =??

∠=∠??=?

∴BCD ACE ??≌，∴BD AE =．

【例9】 如图，D 是等边ABC ?内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问

BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

P

D

C B A A

B C D

P

【解析】 连接CD ，将条件BD AD =，BP AB =这两个条件，易得ACD BCD ??≌(SSS )，

得1

302

BCD ACD ACB ∠=∠=∠=?，由B P A B B

==，DBP DBC ∠=∠，BD BD =(公共边)，知B

D P B D C ??≌(SAS )，∴30BPD BCD ∠=∠=?．故BPD ∠的度数是定值．

【例10】 (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =?∠，AB a =，O 为

AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．

O

B

E

C F A 4

3

21O

B E

C

F A

【解析】 连结OB 由上可知，1290+∠=?∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=?∠，

OB OC =．

∴OBE OCF ??≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．

【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．

5

432

1

O

H

B

E D

K

G C

F A

【解析】 正方形ABCD 中，1245∠==?∠，OA OB =

而3490∠+=?∠，4590∠+=?∠ ∴35=∠∠，∴AOE BOF ??≌

∴AE BF =，∴AE FC BF FC BC AB +=+==

【例11】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线

上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．

F

E

D C

B

A

【解析】 证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD =，

90BAD ADE ABF ?∠=∠=∠=．因为EA AF ⊥，

所以90BAF BAE BAE DAE ?∠+∠=∠+∠=，所以

BAF DAE ∠=∠，故Rt ABF ?≌Rt ADE ?，故DE BF =．

【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=?，AD CD =，DP AB ⊥于P ，

若四边形ABCD 的面积是16，求DP 的长_____________。

P

D

C B

A

A

B

C

D

E

P

【解析】 如图，过点D 作DE DP ⊥，延长BC 交DE 于点E ，容易证得ADP CDE ??≌(实

际上就是把ADP ?逆时针旋转90?，得到正方形DPBE )

∵正方形DPBE 的面积等于四边形ABCD 面积为16，∴4DP =．

【例12】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =?∠，AH EF ⊥，

H 为垂足，求证：AH AB =．

C

H

F E

D B

A

C

H F

E

G

D B

A

【解析】 延长CB 至G ，使B G D F =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，

AG AF =．

再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有

AH AB =．

【例13】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ，使

45MCN ∠=?，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是_____________。

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x 、m 、n 的变化而变化

M

N

C

B

A

D

C

B

A

【解析】 如图，将CBN ?绕点C 顺时针旋转90?，得CAD ?，连结MD ，

则AD BN n ==，CD CN =，ACD BCN =∠∠，

∴MCD ACM ACD =+∠∠∠ACM BCN =∠+∠904545MCN =-==∠． ∴MDC MNC ??≌，∴MD MN x ==

又易得454590DAM ∠=+?=，∴在Rt AMD ?中，有222m n x +=，故应选(B )

【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．

⑴求证：AF DF BE =+．

⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ?与ABE ?的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．

F

E

D

C B

A

G

A

B

C D

E

F

【解析】 ⑴ 证明： 如图，延长CB 至点G ，使得BG DF =，连结AG ．

因为ABCD 是正方形，所以在Rt ADF ?和Rt ABG ?中，AD AB =， 90ADF ABG ∠=∠=°，DF BG =．

∴Rt Rt (SAS)ADF ABG ??≌， ∴AF AG =，DAF BAG ∠=∠． 又 ∵ AE 是BAF ∠的平分线． ∴EAF BAE ∠=∠，

∴DAF EAF BAG BAE ∠+∠=∠+∠． 即EAD GAE ∠=∠．

∵AD BC ∥，∴GEA EAD ∠=∠， ∴GEA GAE ∠=∠，∴AG GE =． 即AG BG BE =+．

∴AF BG BE =+，得证．

⑵ ADF ABE S S S ??=+11

22

DF AD BE AB =?+?．

∵1AD AB ==，

∴()1

2

S DF BE =+

由⑴知，AF DF BE =+，

所以1

2

S AF =．

在Rt ADF ?中，1AD =，DF x =，

∴AF =

∴S =

由上式可知，当2x 达到最大值时，S 最大．而01x ≤≤， 所以，当1x =时，

S

【例14】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=?．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ?绕点A 顺时针旋转90?，得到ABE '?，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

【解析】 ⑴ 2

2

2

DE BD EC =+

证明：根据AEC ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABE '?

∴AEC ABE '??≌

∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ?中 ∵AB AC =

∴45ABC ACB ∠=∠=? ∴90ABC ABE '∠+∠=? 即90E BD '∠=? ∴222E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=?

∴45BAD EAC ∠+∠=? ∴45E AB BAD '∠+∠=? 即45E AD '∠=?

∴AED AED '??≌ ∴DE DE '=

∴222DE BD EC =+

E'

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B A

⑵ 关系式2

2

2

DE BD EC =+仍然成立

证明：将ADB ?沿直线AD 对折，得AFD ?，连FE ∴AFD ABD ??≌ ∴AF AB =，FD DB =

FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠

又∵AB AC =，∴AF AC =

∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+?

()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=?-∠-∠=?+∠ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ??≌

∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=? 180135AFD ABD ABC ∠=∠=?-∠=?

∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=?-?=? ∴在Rt DFE ?中

222DF FE DE +=即222DE BD EC =+

【例15】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ?是边长为1的正

三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长_____________。

N

M D

C

B

A

N

M E

D

C B

A

【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =．

在BDM ?与CDE ?中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ??≌，故MD ED =．

因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=． 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=．

在MND ?与END ?中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ??≌，则NE MN =，所以AMN ?的周长为2．

【例16】 在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ?外一点，

且60MDN ∠=?，120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系及AMN ?的周长与等边ABC ?的周长L 的关系_____________。

⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM=DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数

量关系式__________；此时Q

L

=__________

⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q =_________(用x ，L 表示)

【解析】 B M+NC=MN ;2

3

Q L =

(2)猜想：仍然成立

证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE

,120BD CD BDC =∠=?且，

30DBC DCB ∴∠=∠=?

由ABC ?是等边三角形，90MBD NCD ∴∠=∠=?，()MBD ECD SAS ∴??≌

,DM DE BDM CDE ∴=∠=∠，60EDN BDC MDN ∴∠=∠-∠=?

在MDN ?与EDN ?中 DM DE

MDN EDN DN DN =??

∠=??=?

()MDN EDN SAS ∴??≌ MN NE NC BM ∴==+

AMN ?的周长Q AM AN MN =++=()()AM BM AN NC +++=2AB AC AB +=

而等边ABC ?的周长3L AB =

23

Q L ∴

= (3)2

23x L +

【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90?，E 、F 分别是边BC 、

CD 上的点，且∠EAF=1

2

∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;

F

E

D C

B

A

(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180?，E 、F 分别是边BC 、

CD 上的点，且∠EAF=1

2

∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．

F

E

D

B A

【解析】 证明：延长EB 到G ，使BG=DF ，联结AG ．

∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90?， AB ＝AD ， ∴ABG ADF ??≌． ∴AG ＝AF ， 12∠=∠．

∴1

13232

EAF BAD ∠+∠=∠+∠=∠=∠． ∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ， ∴AEG AEF ??≌． ∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG ．

∴EF= BE ＋FD

(2) (1)中的结论EF BE FD =+仍然成立．

【例17】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD

平分．

F

E

D

B

C

A

【解析】 连接DE 与DF

∵DBA EBC ∠=∠，BAD CAF ∠=∠ ∴DBE ABC ∠=∠，BAC DAF ∠=∠ ∴在DBE ?与ABC ?中 DB AB

DBE ABC BE BC =??

∠=∠??=?

∴(SAS)DBE ABC ??≌ ∴DE CA FC == 在DFA ?与BCA ?中 DA BA DAF BAC AF AC =??

∠=∠??=?

∴(SAS)DFA BCA ??≌ ∴DF BC EC == ∴DECF 为平行四边形， ∴EF ，CD 互相平分．

【例18】 已知：如图，ABC ?、CDE ?、EHK ?都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，

AD DK =．求证：HBD ?也是等边三角形．

E

K

H

C

D

B

A

M A

B D

C

H

K

E

【解析】 连结EB ，∵CE CD =，CE EA =，BE AD =，

所以BE AD =，并且BE 与AD 的夹角为60?， 延长EB 交AK 于M ，

则360300EBH BHD HDE BED HDM MDE MED ∠=?-∠-∠-∠=?-∠-∠-∠

()180********HDM MDE MED HDM HDK =?-∠+?-?-∠-∠=?-∠=． 又因为HK AD BE ==，BH HD =． 所以BEH DKH ??≌． 所以HK HE =，

EHD EHD DHK BHE ∠=∠+∠=∠．

【例19】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为

△ABC 的高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =

G

H

F

M

E

D

B A

【解析】 证明△ABH ≌△AFC ;(2)作FP MD P ⊥于，HQ MD Q ⊥于，先证△AFP ≌△BAD ，△

ACD ≌△HAQ ，再证△FPM ≌△HQM

【补充】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．

O

G

F

E

D

C

B A

【解析】 易证AEC ABG ??≌，故ACE AGB ∠=∠，又AC AG ⊥，AOG BOC ∠=∠，故

CE BG

⊥．

【例20】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=?，

AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积_____________。

E

D

C

B

A

F

E D

C

B

A

【解析】 我们马上就会想到连接AC 、AD ，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求

各三角形的面积并不容易，至此思路中断．

我们回到已知条件中去，注意到1BC DE +=，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把BC 拼接到DE 的一端且使

EF BC =呢(如图所示)？据此，连接AF ，则发现ABC ?≌AEF ?，且1FD =，

AF AC =，AE AB =，ADF ?是底、高各为1的三角形，其面积为1

2

，而A CD ?与

AFD ?全等，从而可知此五边形的面积为1．

【例21】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，

BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

【解析】 连接AC ．由于AB AE =，180ABC AED ∠+∠=．

我们以A 为中心，将ABC ?逆时针旋转到AEF ?的位置．因AB AE =，所以B 点与

E 点重合，而180AE

F AED ABC AED ∠+∠=∠+∠=，

所以D 、E 、F 在一条直线上，C 点旋转后落在点F 的位置，且AF AC =，

EF BC =．

所以DF DE EF DE BC CD =+=+=． 在ACD ?与AFD ?中，

因为AC AF =，CD FD =，AD AD =， 故ACD ?≌AFD ?，

因此ADC ADF ∠=∠，即AD 平分CDE ∠．

1. 如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与

AC CD +相等的理由．

E

D

C

B

A

答案：∵AC AB =，CAE BAD ∠=∠，AE AD =

∴AEC ADB ??≌

家庭作业

∴CE BD =

又∵BD BC CD AC CD =+=+ ∴CE AC CD =+

2. (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB

上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．

F

E

D

C

B

A

答案：∵ADC EDF ∠=∠

∴ADE CDF ∠=∠ 在ADE ?和CDF ?中 DAE DCF AD CD

ADE CDF ∠=∠??

=??∠=∠?

∴ADE CDF ??≌ ∴DE DF =

3. (2008山东)在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=?，2AB =，3BC =，1CD =，E 是

AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．

A

B

C

D

E

F

E D

C

B

A

答案：延长BE 交CD 延长线于点F ．

E ∵是AD 中点，DE AE =∴，

AB CD ∵∥，90A ∠=?，90EDF EAB ∠=∠=?∴，ABE DFE ∠=∠

在AEB ?和FED ?中， ABE DFE EAB EDF AE DE ∠=∠??

∠=∠??=?

∵ AEB FED ??∴≌，FE BE =∴

又2,3,1AB BC CD ===∵，CF BC =∴ 在FCE ?和BCE ?中， FC BC CE CE FE BE =??

=??=?

∵ FCE BCE ??∴≌，CE EB ⊥∴

4. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．CG 、CH 分别

是ACN ?、MCB ? 的高．求证：CG CH =．

H

G N

M C B

A

答案：由ACN MCB ??≌，利用AAS 进而再证BCH NCD ??≌，可得到CG CH =．

5. 在等腰直角ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C

运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ?的形状和面积将如何变化．

A P

M

C

Q B

A

P

M

C Q

B

答案：连接CM ．因为AC BC =且90ACB ∠=，所以45B ∠=．

因为M 是AB 的中点，所以90AMC BMC ∠=∠=，45ACM ∠=且CM BM =，则A C M B ∠=∠．

因为MQ MP ⊥，所以90QMC CMP PMB ∠=-∠=∠，所以QCM PBM ??≌， 所以QM PM =．因此MPQ ?是等腰直角三角形，在P 的运动过程中形状不变． MPQ ?的面积与边MP 的大小有关．

当点P 从B 出发到BC 中点时，面积由大变小； 当P 是BC 中点时，三角形的面积最小；P 继续向点C 运动时，面积又由小变大．

6. 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．

F

E

D

C

B

A

F

E

D

M

C

B

A

答案：延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM ．

易

证

得

：

ABM ADF ??≌，从而

可

得

：

AFD BAF EAF BAE BAM BAE EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠，

AMB EAM ∠=∠，故AE EM BE BM BE DF ==+=+．

7. 等边ABD ?和等边CBD ?的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是

CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ?的形状．