内蒙古北重三中20162017学年高二数学下学期期中试题理
内蒙古北重三中20162017学年高二数学下学期4月月考试题文
北重三中2016年-2017学年度第二学期高二年级月考考试文科数学试题考试时间：2017年4月7日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数)1()1(i i +⋅-的值是（ ）A ．－2iB ．2iC ．2D ．-2 2.下列各命题中是真命题的为（ ）A ．如果a b >，那么ac bc >B ．如果a b >，那么22ac bc >C ．如果a b >，那么nna b > D ．如果a b >，c d <， 那么a c b d ->- 3. 已知函数()2cos 3sin f x x x =-的导数为'()f x ，则'()f x =( )A. '()2sin 3cos f x x x =--B.'()2cos 3sin f x x x =-+C. '()2sin 3cos f x x x =-+D.'()2sin 3cos f x x x =- 4．下面是关于复数iz +-=12的四个命题： 2:1=z P ，i z P 2:22=， z P :3的共轭复数为i +1， z P :4的虚部为1-.其中的真命题为（ ）A. 32,P PB. 21,P PC. 42,P PD. 43,P P5．某样本数据如下表: 由该样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若a ^＝7.9，则b ^的值为 ( )x 3 4 5 6 7 y4.02.5－0.50.5－2.0A ．1.4B ．－1.4C ．1.2 D. －1.2 6. 如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导数y=f ′(x)的图象是如图所示的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限8. 已知ax x x f -=3)(在)1[∞+上是单调增函数，则a 的最大值（ ）A.0B.1C.2D.39. 等比数列{}n a 中，公比,2=q 首项21=a ，函数))(()(21a x a x x x f --=，则)0(f '= （ ） A ．8B ．-8C ．82D ．- 8210. 已知函数m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在]2,2[-上有最大值3，那么此函数在]2,2[-上的最小值为（ ）A.-3B.-37C.-28D.-1311. 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f的最小值为 ( )A ．3B ．52 C ．2 D ．32第二部分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若 z 1=a+2i, z 2=3-4i ，且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ； 14.若0x <，则函数1y x x=+的最大值为 ； 15.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且在),0(+∞上有0)(>'x f ，若0)1(=-f ，那么关于x 的不等式0)(<x xf 的解集是 ； 16. 已知点P 在曲线)0(1>=x ey x 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 。
2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i2．（文）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为（）A．2x+y+1=0 B．2x﹣y+1=0 C．2x﹣y﹣1=0 D．x﹣2y+1=03．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的4．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有（）A．50 B．45 C．36 D．355．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有两个钝角B．假设至少有一个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6．函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（）A．（，） B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．68．在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．2079．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤10．函数f（x）=﹣x3﹣2x2+4x，当x∈时，有f（x）≥m2﹣14m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，11）B．（3，11） C． D．11．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2二、填空题：（每小题5分，共20分）13．若z（1+i）=i（其中i为虚数单位），则|z|等于．14．现有5种不同的颜色要对图形中（如图）的四个部分着色；要求有公共边的两部分不能用同一颜色，则不同的着色方法有种．15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是．16．已知函数f（x）的定义域为，部分对应值如图：f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0；④函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：（共6小题，）17．已知复数z=a2﹣7a+6+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．18．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？19．设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．21．已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）n展开式中x2项的系数．22．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．2016-2017学年内蒙古巴彦淖尔市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】利用虚数单位i的性质，再利用2个复数相等的充要条件列方程组解出a，b的值，即得结果．【解答】解：∵（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，∴2+ai=b﹣i，∴a=﹣1，b=2，故a+bi=﹣1+2i，故选B．2．（文）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为（）A．2x+y+1=0 B．2x﹣y+1=0 C．2x﹣y﹣1=0 D．x﹣2y+1=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，由导数的几何意义“切点处的导数值是切线的斜率”，求出点（1，3）处的导数值得出切线的斜率，由点斜式求出切线方程即可．【解答】解：∵y=f（x）=x3﹣x+3，∴f′（x）=3x2﹣1．设所求切线的斜率为k．∵点（1，3）在y=f（x）的图象上，是切点，∴k=f′（1）=3×12﹣1=2，∴所求曲线的切线方程为：y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0；故选：B．3．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．4．在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有（）A．50 B．45 C．36 D．35【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，按个位数字的不同分9种情况讨论，分别求出每一种情况的符合条件的两位数数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，按个位数字的不同分9种情况讨论：①、当个位数字为0时，其十位数字可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9，共9种情况；②、当个位数字为1时，其十位数字可以为2、3、4、5、6、7、8、9，共8种情况；③、当个位数字为2时，其十位数字可以为3、4、5、6、7、8、9，共7种情况；④、当个位数字为3时，其十位数字可以为4、5、6、7、8、9，共6种情况；⑤、当个位数字为4时，其十位数字可以为5、6、7、8、9，共5种情况；⑥、当个位数字为5时，其十位数字可以为6、7、8、9，共4种情况；⑦、当个位数字为6时，其十位数字可以为7、8、9，共3种情况；⑧、当个位数字为7时，其十位数字可以为8、9，共2种情况；⑨、当个位数字为8时，其十位数字可以为9，共1种情况；则十位数字大于个位数字的两位数共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个；故答案为：45．5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．假设至少有两个钝角B．假设至少有一个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选A．6．函数y=xcosx﹣sinx在下面哪个区间内是增函数（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）【考点】HA：余弦函数的单调性；3E：函数单调性的判断与证明；H5：正弦函数的单调性．【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．【解答】解：y'=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx欲使导数为正，只需x与sinx符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故应选B．7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是（）A．﹣297 B．﹣252 C．297 D．207【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先将多项式展开，转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为5，2求出二项展开式的系数．【解答】解：（1﹣x3）（1+x）10=（1+x）10﹣x3（1+x）10∴（1﹣x3）（1+x）10展开式的x5的系数是（1+x）10的展开式的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数∵（1+x）10的展开式的通项为T r+1=C10r x r令r=5，2得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105；展开式的含x2的系数为C102C105﹣C102=252﹣45=207故选项为D9．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤【考点】F1：归纳推理；F5：演绎推理的意义．【分析】本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．【解答】解：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D10．函数f（x）=﹣x3﹣2x2+4x，当x∈时，有f（x）≥m2﹣14m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，11）B．（3，11） C． D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】要使原式恒成立，只需 m2﹣14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）=﹣x3﹣2x2+4x，当x∈的最值即可．【解答】解：因为f（x）=﹣x3﹣2x2+4x，当x∈所以f′（x）=﹣3x2﹣4x+4，令f′（x）=0得，因为该函数在闭区间上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f（﹣3）=﹣3，f（﹣2）=﹣8，f（）=，f（3）=﹣33，所以该函数的最小值为﹣33，因为f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需m2﹣14m≤f（x）min，即m2﹣14m≤﹣33，即m2﹣14m+33≤0解得3≤m≤11．故选C．11．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，令y1=e x，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，故选A．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数a的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣，从而令F（x）=x3﹣3x+3﹣，求导以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：f（x）≤0可化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈，部分对应值如图：f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在是减函数；③如果当x∈时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0；④函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是②③④．【考点】2K：命题的真假判断与应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点，结合函数f（x）在定义域内的部分对应值表，可以作出函数f（x）图象的大致形状，由图象形状可以判断四个命题的真假．【解答】解：①由函数图象可知函数不具备周期性，故①错误．②由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函数单调递减，所以当x=0和x=4时，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2）=0，所以f（x）的极小值为0，故②正确．③若当x∈时，f（x）的最大值是2，则0≤t≤5，故t的最小值为0，故③正确．④∵f（﹣1）=1，f（0）=2，f（4）=2．f（5）=1，∴根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以④正确故答案为：②③④三、解答题：（共6小题，）17．已知复数z=a2﹣7a+6+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用实数、虚数、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：（1）∵z为实数，∴虚部a2﹣5a﹣6=0，解得a=6或﹣1．（2）∵z为虚数，∴虚部a2﹣5a﹣6≠0，解得a≠6，且a≠﹣1．（3）∵z为纯虚数，∴，解得a=1．综上可知：（1）当a=﹣1或6时，z为实数；（2）当a≠6，且a≠﹣1时，z为虚数；（3）当a=1时，z为纯虚数．18．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【考点】D3：计数原理的应用．【分析】（1）5位同学站成一排，全排列即可．（2）利用捆绑和插空法排列即可．（3）分组（3，1，1），（2，2，1）两组，计算即可．【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．19．设函数f（x）=x3﹣3ax2+3bx的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．【考点】62：导数的几何意义；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．（Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2﹣6ax+3b．由于f（x）的图象与直线12x+y﹣1=0相切于点（1，﹣11），所以f（1）=﹣11，f′（1）=﹣12，即：1﹣3a+3b=﹣11，3﹣6a+3b=﹣12解得：a=1，b=﹣3．（Ⅱ）由a=1，b=﹣3得：f′（x）=3x2﹣6ax+3b=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；又令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）是增函数，当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，但当x∈（﹣1，3）时，f（x）是减函数．20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），由x=3取得极值得到f'（3）=0，求解得到a的值即可；（2）因为函数在（﹣∞，0）上为增函数令f'（x）=0得到函数的驻点，由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）．因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0．解得a=3．经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．（2）令f'（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0得x1=a，x2=1．当a＜1时，若x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，a）和（1，+∞）上为增函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．当a≥1时，若x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）和（a，+∞）上为增函数，从而f（x）在（﹣∞，0]上也为增函数．综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．21．已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求（1﹣x）3+（1﹣x）4+…+（1﹣x）n展开式中x2项的系数．【考点】DA：二项式定理；DB：二项式系数的性质．【分析】（1）根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，写出所有系数的和的表示形式，得到n=10，写出通项式，使得通项式中x的指数等于整数，求出所有的项．（2）根据二项式系数的性质，变形整理把一项移项，写出展开式中x2项的系数，把系数写成两项的差，依次相加得到结果．【解答】解：（1）C n0+C n2+…=2n﹣1=512=29∴n﹣1=9，n=10=（r=0，1，10）∵5﹣Z，∴r=0，6有理项为T1=C100x5，T7=C106x4=210x4（2）∵C n r+C n r﹣1=C n+1r，∴x2项的系数为C32+C42+…+C102=（C43﹣C33）+…+（C113﹣C103）=C113﹣C33=16422．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据极值与最值的求解方法，连续函数在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值；（2）先确定函数的定义域然后求导数Fˊ（x），讨论a在函数的定义域内解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；（3）要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）即可．【解答】（1）解：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得．∵当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0，∴当时，．（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（3）证：．要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．。
内蒙古北重三中高二数学下学期期中试题 理
北重三中2017～2018学年第二学期高二年级期中考试理科数学试题考试时间：2018年5月10日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i z +=1（i 是虚数单位），则复数22+z z对应的点位于( )A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．曲线34x x y -=在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）A.74y x =+B.72y x =+C.2y x =-D.4y x =- 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数2)1(22211441222222+++++≥++++aa aa aa a在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ） A ．35 B ．50 C ．70 D ．100 5.若1021022012100210139),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为（ ） A ．0B ．2C ．－1D ．16. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= （ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．27．已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xx f x f x3)1()1(lim 0+--→= ( )A ．3B ．32-C ． 13D ．23- 8．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316B ．310C ．4D ．6 9.用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）A.111313233k k k +++++ B.112313233k k k +-+++ C.11331k k -++ D.133k + 10.已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四图象中()y f x =的图象大致是( )11.在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A. 72 B. 60 C. 36 D. 3012.定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数)(/x f 。
内蒙古包头2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
内蒙古包头2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一. 选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名，从这人中用分层抽样的方法抽取容量为的样本，则在高二年级学生中应该抽取的人数为（）A. B. C. D.2．如右图，茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为（）A. 2，6B. 2，7C. 3，6D. 3，7若y关于x的线性回归方程为ˆ 2.1 1.25=-，则m的值为（）．y xA．1 B．0.85 C．0.7 D．0.54在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80-100分的学生人数是（）A. 15B. 18C. 20D. 255.的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若17480-=，则展M N开式中含3x项的系数为（）A. 40B. 30C. 20D. 156. 某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）A. 24B. 32C. 48D. 847. 已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.08.在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ）9. 已知()()()()10210012101111x a a x a xL a x+=+-+-++-，则8a 等于（ ）A ．5-B ．5C ．90D ．18010. 一个袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和小于15的概率为( )11.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为（ ）A. B. C. D.12.两位同学约定下午5：30-6：00在图书馆见面，且他们在5：30-6：00之间到达的时刻是等可15 ）二.填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
北重三中2017～2018学年第二学期高二年级期中考试理科数学试题考试时间：2018年5月10日满分：150分考试时长：120分钟第一部分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设（是虚数单位），则复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意可得：，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，本题选择A选项.2. 曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题：，求导：点处的（－1，－3）切线斜率为；则切线方程为：考点：曲线上某点处切线方程的算法.3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：对于可导函数，极值点的导数值为零，导数值为零的点不一定是极值点.详解：因为对于可导函数，如果，那么不一定是函数的极值点，所以大前提错误，选A. 点睛：本题考查三段论以及极值概念,考查学生对知识点识别能力.4. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A. 35B. 50C. 70D. 100【答案】B【解析】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果.详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为因此不同的乘车方法数为选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：5. 的值为（）A. 0B. 2C. －1D. 1【答案】D【解析】分析：求二项展开式系数和一般方法为赋值法，即分别令x=1与x=-1得，最后相乘得结果.详解：令，则，令，则，因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.6. 设函数的导函数为，且，则（）A. 0B. -4C. -2D. 2【答案】B【解析】分析：先求导数，再令x=1得，最后求).详解：因为，所以，，选B.点睛：区别导函数与函数值，是一个具体数值，先求导函数，再求导数值.7. 已知函数在处的导数为1，则= ( )A. 3B.C.D.【答案】D【解析】分析：先根据导数定义将极限化成在的导数定义形式，再代入求结果.详解：,选D.点睛：函数在处的导数为,形式多样，注意实质.8. 由曲线，直线及轴所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D. 6【答案】A【解析】分析：先求，交点，再根据定积分求封闭图形的面积.详解：由，解得，所以围成的封闭图形的面积为选A.点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．9. 用数学归纳法证明，从到，不等式左边需添加的项是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：时，左边为,时，左边为,所以左边需添加的项是，选B.点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.10. 已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四图象中的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据函数的图象，确定符号，再根据符号变化规律确定的图象.详解：由图可知因此即先在增后在减再在增，从而的图象大致是C点睛：研究函数与导函数图像关系，需明确研究方向，原函数的图像研究是单调性，导函数图像研究的是正负符号.11. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( )A. 72B. 60C. 36D. 30【答案】B【解析】分析：先按第一个分类讨论，再根据条件确定后续排法，不相邻问题一般采用插空法.详解：如第一个为男生，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为如第一个为女生，则先排剩下女生，再在产生的三个空中安排男生，此时排法种数为因此出场顺序的排法种数为选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12. 定义在R上的奇函数f(x)的导函数。
2016-2017年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
6． （5 分）函数 f（x）＝（x﹣2） •ex 的单调递增区间是（ A． （﹣∞，1） B． （0，2） C． （1，+∞）
7． （5 分）随机变量 X～B（6， ） ，则 P（X＝3）＝（ A． B． C．
8． （5 分）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数 为（ A．24 9． （5 分）二项式（ A．360 ） B．48 ﹣ C．60 ）10 展开式中的常数项是（ C．90 D．72 ） D．45
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2016-2017 学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数 学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1． （5 分）i 是虚数单位，复数 A．﹣1﹣i 【解答】解：复数 故选：D． 2． （5 分）曲线 y＝x3﹣2x+4 在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ A．30° B．45° C．60° ） B．1﹣i ＝ ＝ 等于（ ） C．﹣1+i ＝i﹣i2＝1+i， D．1+i
在点 M（π，0）处的切线方程
16． （5 分）将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至 少 1 本，则不同的分法有 种．
三．解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17． （10 分）已知函数 f（x）＝ln（2x+a）+x2，且 f′（0）＝ （1）求 f（x）的解析式；
D．120°
【解答】解：y′＝3x2﹣2，切线的斜率 k＝3×12﹣2＝1．故倾斜角为 45°． 故选：B． 3． （5 分）由直线 x＝ ，x＝2，曲线 y＝ 及 x 轴所围成的图形的面积是（ A． B． C． ． D．2ln2 ）
内蒙古北重三中20162017学年高二数学下学期期末考试试题文
北重三中2016-2017学年度第二学期高二年级期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}22,0,2,20A B x x x =-=--=，则A B ⋂=( )A ．φB ．{}2C ．{}0D ．{}2- 2. 若43z i =+，则zz=（ ） A.1 B.1- C.4355i + D. 4355i - 3. 设,a b 是实数，则“0a b >>”是“22a b >”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 命题“任意的x R ∈，都有20x ≥成立”的否定是( )A ．任意的x R ∈，都有20x ≤成立B ．任意的x R ∈，都有20x <成立C ．存在0x R ∈，使得00x ≤成立D ．存在0x R ∈，使得00x <成立 5. 函数lg xy x=的图象大致是( )6.已知命题:p 存在0x R ∈，使得0010lg x x ->；命题:q 对任意x R ∈，都有20x >，则( )A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题 C.q ⌝是假命题 D ．p q ∧⌝是真命题7. 实数20.220.2log0.2,(2)a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<8.已知函数()21,()f x x g x kx =-+=.若函数()()y f x g x =-有两个零点,则实数k 的取值范围是( )A.1(0,)2 B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞9. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是增函数，则( )A ．(15)(0)(5)f f f <<-B ．(0)(15)(5)f f f <<-C ．(5)(15)(0)f f f -<<D ．(5)(0)(15)f f f -<<10. 当(,1]x ∈-∞-时，不等式2()420xxm m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2,1)- B ．(4,3)- C ．(1,2)- D ．(3,4)-11. 已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则不等式1(21)()2f x f -<的解集为（ ）A.13(,)44B.3(,)4-∞C.3[0,)4D. 13[,)2412. 已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x .若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线2()23f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为__________. 14.函数223x xy -=的单调递减区间是________．15.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过点1(,2)2P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++=________．16．定义域为R 的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()(),f x f x >(0)1f =，则不等式()1xf x e <的解集为________． «Skip Record If...»三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数2(),f x ax x a a R =+-∈ (1)若函数()f x 有最大值178，求实数a 的值；(2)当2a =-时，解不等式()1f x >. 18.（本小题满分12分）“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．(1)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？(2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：接受挑战 不接受挑战合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计7030100附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.87919．（本小题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=.曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数). (1)求曲线1C 的普通方程；(2)若点M 在曲线1C 上运动,试求出M 到曲线C 的距离的最小值.20.（本小题满分12分）已知函数()3f x m x =--,不等式()2f x >的解集为(2,4). (1)求实数m 的值；(2)若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
内蒙古包头市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理
高考资源网（ ），您身边的高考专家投稿兼职请联系：2355394692 内蒙古包头市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
每题只有一个正确答案) 1．已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋25．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE所成角的余弦值为( ) A.1010 B.3010 C.21510D.310106.若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A.13 B. 3 C ．1 D.337．函数y ＝x2e x的图像大致( )投稿兼职请联系：2355394692 28．已知点F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，在此椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.22 C.33D.669.已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D .9410．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)11. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52C ．3D ．212．已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(－π2，π2)满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( ) A.2f (－π3)<f (－π4) B.2f (π3)<f (π4) C ．f (0)>2f (π3)D ．f (0)>2f (π4) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.动圆与定圆A ：()2221x y ++=外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是 。
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北重三中2016-2017学年度第二学期高二年级期中考试数学试题（理）考试时间：2017年5月10日 满分：150分 考试时长：120分钟第一部分一．选择题（本题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 是虚数单位，复数=-31ii（ ） A ．i --1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i +1 2．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．由直线21=x ，2x =，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 417C. 2ln 2D. 2ln 214．下列求导运算正确的是（ ） A. 21(log )'ln 2x x =B. 211()'1x x x+=+ C. 3(3)'3log x xe = D. 2(cos )'2sin x x x x =-5.已知随机变量ξ服从正态分布()20,N σ，若()20.023P ξ>=，则()22P ξ-≤≤= ( )A ．0.477 B. 0.628 C. 0.954 D.0.977 6．函数()(2)xf x x e =-的单调递增区间是( )A ．(,1)-∞B ．（0，2）C ．（1，3）D ．(1,)+∞7.设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3P X ==( ) A.516 B. 316 C. 58 D. 388.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （ ） A ．24 B.48 C.60 D.729.二项式1022x x ⎫-⎪⎭展开式的常数项是 （ ）A ．360 B.180 C.90 D.4510．设()f x '是函数()f x 的导函数, ()y f x '=的图象如左图所示,则()y f x =的图象最有可能是下图中的（ ）A B C D11.若()21()ln 22f x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B. ()1,-+∞ C. (],1-∞- D. (),1-∞-12.已知函数()f x 的导函数为()f x '，满足()21()2xf x f x x'+=，且()11f =，则函数()f x 的最大值是 （ ）A ．2e B. e e 2e 第二部分二．填空题（每小题5分，共20分） 13.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11i z i +=-+，则复数2017z =__________14.已知()3|10P B A =，()15P A =，则()P AB =________ 15.曲线sin xy x=在点(),0M π处的切线方程为______________16.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有_________种。
三．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17. （本小题10分）已知函数()()2ln 2f x x a x =++，且()203f '=. （1）求()f x 的解析式（2）求曲线()f x 在1x =-处的切线方程18. （本小题12分）现有4个同学去看电影，他们坐在同一排，且一排有6个座位。
（1）所有可能的坐法有多少种？ y x O 1 2 -1()f x 'yx O 1 2 -2 yx O 1 2 -2 yx O 1 2 -2 y x O 1 2 -2（2）此4人中甲、乙两人相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答） 19. （本小题12分）已知函数()3222f x x ax a x =+-+（1）若1a =，求函数()y f x =的极值 （2）讨论函数()y f x =的单调区间20. （本小题12分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，顾客不放回的每次摸出一球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将盒中的球全部摸出才停止，规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励。
（1）求一名顾客摸球3次停止的概率（2）记X 为一名顾客摸球获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望 21．（本小题满分12分）已知某公司生产一种仪器元件，年固定成本为20万元，每生产1万件仪器元件需另外投入8.1万元，设该公司一年内共生产此种仪器元件x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为()f x 万元，且22132.4(0<10)10()3241000(10)x x f x x xx ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（Ⅰ）写出年利润y （万元）关于年产品x （万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，该公司生产此种仪器元件所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入－年总成本）22.（本小题12分）已知函数()ln f x ax x =，()0,a a R ≠∈（1）求函数()f x 的单调区间. （2）当()1,x e ∈时，不等式1ln x x a-<恒成立，求实数a 的取值范围.北重三中2016-2017学年度第二学期高二年级期中考试数学试题参考答案一．选择题1-5 DBCAC 5-10 DADBA 11-12 CD 二．填空题13. i - 14.350 15. 0x y ππ+-= 16.28 17.解：（1）()222f x x x a '=++，()2203f a '==，3a ∴=，()()2ln 23f x x x ∴=++ （2）()2223f x x x '=++，()10f '-=，又()11f -=()f x ∴在1x =-处的切线方程为1y =18.解：（1）46360A = （2）2325120A A =19.解：（1）当1a =时，32()2f x x x x =+-+，()'2321f x x x =+-令()'0fx =，解得：1x =-或13x =当(),1x ∈-∞-时，()'0f x >11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >()()13f x f ∴=-=极大值，()149327f x f ⎛⎫∴==⎪⎝⎭极小值 （2）()3222f x x ax a x =+-+，()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-当0a >时，()0f x '>得：x a <-或3a x >∴()f x 的增区间为(),,,3a a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当0a <时，()0f x '>得：3ax <或x a >- ∴()f x 的增区间为,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(),a -+∞，减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当0a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增。
20.解：（1）设“1名顾客摸球3次停止”为事件A ，则共有基本事件111432C C C =24个 事件A 包含的基本事件有11113211C C C C =6个，则()61244P A == （2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=()1222341156C A P X A ===，()33441204A P X A ===所以随机变量X 的分布列为：()E 10X ∴=21．解：（Ⅰ）当010x <≤时，3()(208.1)24.32010x y xf x x x =-+=-- 当10x >时，1000()(208.1)3048.1y xf x x x x=-+=-- 所以324.320,(010)1010003048.1,(10)x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩（Ⅱ）①当010x <≤时，由2324.3010x y '=-=，得9x =（负值舍去）.当(0,9)x ∈时，0y '>；当(9,10)x ∈时，0y '<；∴当9x =时，y 取得极大值也是最大值，3max 124.39920125.810y =⨯-⨯-= ②当10x >时，10001000304(8.1)3048.1124y x x x x =-+≤-⨯= 当且仅当10008.1x x=，即1009x =时，max 124y =. 综合①、②知9x =时，y 取最大值，X0 5101520P 1416 16 16 14所以当年产量为9万件时，该公司生产此种仪器获利最大.22.解：（1）()ln f x ax x =，0x >，()()'ln ln 1f x a x a a x =+=+令()'0fx =，则1x e=当0a >时，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0fx <；1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()'0f x > ()f x ∴的单调减区间为10,e⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当0a <时，()f x ∴的单调减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）当0a <时，10x a -<， ln 0x >，()1,x e ∈，故1ln x x a-<恒成立 当0a >时，ln 0x >， 11ln ln x x x a a x--<⇔>令()1ln x g x x -=，()1,x e ∈，则()()'2ln 1ln x x x g x x x -+= 令()ln 1h x x x x =-+，则()'ln h x x =当()1,x e ∈时，()'0h x >，()h x ∴在()1,e 上单调递增，()()10h x h ∴>=()()'2ln 10ln x x x g x x x -+∴=>，()g x ∴在()1,e 上单调递增，()()1g x g e e ∴<=-1a e ≥-综上所述：0a <或1a e ≥-。