苏教版数学中考总复习[中考总复习：二次函数--重点题型巩固练习](基础)

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苏教版九年级下册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0．由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限．同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ．【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA •OB=OC 2．以上说法正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证．【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元（x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

苏教版九年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式过程，正确求出二次函数解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ； ∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0). 举一反三：【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ，所得函数为5422-+-=x x y 对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得： a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三：【课程名称：待定系数法求二次函数的解析式 356565 ：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有930,3,1,2a b c c ba⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式； (2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-，∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)， ∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△．【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2014秋•招远市期末）已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y=﹣6x 2+3x+4 B ． y=﹣2x 2+3x ﹣4 C ． y=x 2+2x ﹣4D ． y=2x 2+3x ﹣42．二次函数225y x x =+-有( )A ．最小值-5B ．最大值-5C ．最小值-6D ．最大值-63．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A . y=3(x －3)2+2B .y=3(x+3)2+2C .y=3(x －3)2－2D . y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y ＝2x bx c ++的对称轴为x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数2y x x =+的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2 Y-27-13-3353A ．5B ．-3C ．-13D ．-27二、填空题7．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．第7题第10题8．（2014秋•江宁区校级月考）已知二次函数图象经过点（2，﹣3）．对称轴为x=1，抛物线与x 轴两交点距离为4．则这个二次函数的解析式为．9．已知抛物线222y x x =-++．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____ ____．11．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：x (3)2- -1 12- 0 12 1 32 … y…54- -294- -254- 074…则该二次函数的解析式为_____ ___．12．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(3，-2)，且与x 轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式． (1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点； (3)已知抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y ＝-2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．15．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】设抛物线的解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，将A 、B 、C 三点代入解得a=2,b=3,c=-4.故所求的函数的解析式为y=2x 2+3x ﹣4．故选D ．2.【答案】C ；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即2225216y x x x x =+-=++-2(1)6x =+-，∵ a ＝1＞0，∴ x ＝-1时，6y =-最小． 3.【答案】A ； 4.【答案】D ；【解析】∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， ∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称，又∵ A(0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3， ∴ 点B 的坐标为(4，3)． 5.【答案】B ；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，2y x x =+的顶点坐标是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，232y x x =-+的顶点坐标是31,24⎛⎫-⎪⎝⎭，∴ 移动的距离31222a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．6.【答案】D ；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x ＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x ＝-4和x ＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x ＝-3，再由对称性可知x ＝1的函数值必和x ＝-7的函数值相等，而x ＝-7时y ＝-27．∴ x ＝1时，y ＝-27．二、填空题7．【答案】223y x x =-++；【解析】由图象知抛物线与x 轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则(1)(3)y x x =-+-． 8．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3；【解析】∵抛物线与x 轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴∴抛物线与x 轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）设抛物线的解析式y=a （x+1）（x ﹣3）又∵抛物线过（2，﹣3）点 ∴﹣3=a （2+1）（2﹣3）解得a=1∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x ﹣3）,即二次函数的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3．9．【答案】(1)x ＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式2bx a =-和顶点公式24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即可.10．【答案】12x ≥；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入2y x bx c =++中得b ＝-1，∴ 对称轴为12x =，在对称轴的右侧，即12x ≥时，y 随x 的增大而增大. 11．【答案】22y x x =+-；【解析】此题以表格的形式给出x 、y 的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x 、y 值，从中选出较简单的三对x 、y 的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式2y ax bx c =++，用待定系数法求解．设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由表知2,2,0.a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=⎩ 解得1,1,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴ 二次函数解析式为22y x x =+-． 12．【答案】21(3)22y x =--；【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵ 顶点是(1，2)，∴ 设2(1)2y a x =-+(a ≠0)．又∵ 过点(2，3)，∴ 2(21)23a -+=，∴ a ＝1． ∴ 2(1)2y x =-+，即223y x x =-+． (2)设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得1,1,13,a b c c a b c ++=-⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得5,7,1.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的函数解析式为2571y x x =-+．(3)由抛物线与x 轴交于点(1，0)，(3，0)，∴ 设y ＝a(x-1)(x-3)(a ≠0)，又∵ 过点(0，-3)， ∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a ＝-1，∴ y ＝-(x-1)(x-3)，即243y x x =-+-．14.【答案与解析】过C 点作CD ⊥x 轴于D ．在y ＝-2x+2中，分别令y ＝0，x ＝0，得点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，2)．由AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，得△BAO ≌△ACD ， ∴ AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1， ∴ C 点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则有0,9312,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得5,61762.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴ 所求抛物线的解析式为2517266y x x =-+．15.【答案与解析】解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x 2+2x+4；（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6， ∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）a <要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点；当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成．要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1．已知二次函数y=(m-2)x 2+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方. 【答案与解析】∵-1<m<2.∴m-2<0，抛物线开口向下，又m+1>0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.Δ=4m 2-4(m-2)(m+1)=4m 2-4(m 2-m-2) =4m+8=4(m+1)+4>0.∴抛物线与x 轴有两个不同的交点.【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x 轴有两个不同交点(用抛物线与y 轴的交点C 在x 轴上方，开口向下，必与x 轴有两个不同交点). 举一反三：【课程名称：用函数观点看一元二次方程 356568 ：例3-4】【变式】二次函数y=mx 2+(2m-1)x+m+1的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。

苏教版数学中考总复习(知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ，若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).pp a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: =______．0ab（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ；（2）-a-b ；（3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：0 0 |||| 0 ||().a b a b a b a b a b a b ><<∴+<=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、、3.14159、(2- ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【课程名称：实数 369214 ：经典例题1】【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,2),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π,cos30,2-0.1010010001,都是无理数.3．（2015•梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【课程名称：实数 369214 ：经典例题8-9】【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯ 【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n =n 2+3n+1=n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a1（a ≠0）【答案与解析】（140=>，40=>，4+与4+440>+>，44-<- （2）当a<-1或O<a<1时，a<a1；当-1<a<0或a>1时，a>a1；当a=1±时，a=a1.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小：（1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，1785840= ，1188540=， 171185<，所以171185->-.（2）277+=+=+)2277+=+=+<2+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 2690y y +-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14.2690y y -+=2(3)0y +-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，0=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3又∵axy-3x=y，∴ a=43()33134433x yxy⨯-++==-⨯.【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21222312,213,214,2SSS+==+==+==1A2AA（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++=)10321(41++++=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 在实数－23，0，－3.1415，2－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30° 这8个实数中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（） A ．66.6×107B ．6.66×108C ．0.666×108D ．6.66×1073．（2015•杭州）若k ＜＜k+1（k 是整数），则k=（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．在三个数0.5、、中，最大的数是( )A ．0.5B ．C ．D ．不能确定5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（） A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.050（精确到0.001）D ．0.05（精确到千分位）6．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是( )二、填空题7． ()0201112=-++y x 则x y= .8．（2014•辽阳）5﹣的小数部分是．9．若22+-b a 与互为相反数，则a+b 的值为________． 10．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，则2m cd mba +-+的值为________．11．已知：22222233445522 33 44 55338815152424+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯，，，，，若21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a+b=________．12．将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20 ……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．三、解答题13．计算：（1）2012201280.125⨯ （2）222121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e e e14．若333)43(,)43(,)43(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。

苏科版数学中考复习专题练习— 二次函数及其应用(含答案)

二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。

江苏省苏州市中考数学总复习：二次函数

2021年江苏省苏州市中考数学总复习：二次函数解析版一．选择题（共50小题）1．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+4，∴该函数的顶点坐标为（3，4），故选：A．2．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2−1 xC．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）【解答】解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2−1x不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．3．抛物线y＝（x+1）2+2与y轴的交点坐标是（）A．（0，﹣1）B．（0，3）C．（0，2）D．（0，﹣2）【解答】解：将x＝0代入y＝（x+1）2+2，得y＝3，所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，3）．故选：B．4．若点（﹣3，y1）、（1，y2）、（3，y3）都在二次函数y＝（x+1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＝y3＞y2C．y1＝y2＜y3D．y1＝y2＞y3【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+k，∴开口向上，对称轴为x＝﹣1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，根据二次函数图象的对称性可知，（﹣3，y1）与（1，y2）关于对称轴对称，因为﹣1＜1＜3，所以y1＝y2＜y3．故选：C．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④b2﹣4ac＜0，其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵x=−b2a＞0，∴b＞0，∵图象与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x=−b2a＜1，a＜0，∴b＜﹣2a，∴2a+b＜0，故②正确；∵当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；∵图象和x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，故④错误．故选：C．6．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与x轴的轴交于点A，与二次函数交于点B、点C，点A、B、C三点的横坐标分别是a、b、c，则下面四个等式中不一定成立的是（）。

中考数学《一元二次方程》总复习(苏教版)共17页

文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
中考数学《一元二次方程》总复习（苏教版）
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7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。
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9、陶渊明（约 365年 —427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散

【中考复习】苏教版2023学年中考数学专题复习二次函数

二次函数一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝24．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．35．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3 7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1 9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为元时, 该文具每天的销售利润最大．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．2023年中考数学专题复习--二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2,∴其顶点坐标为（1, 2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质, 熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x2【分析】根据二次函数的性质, 开口向下, 二次项系数小于0, 二次项系数的绝对值越小, 开口越大解答．【解答】解：∵抛物线开口向下,∴二次项系数小于0,∵|﹣|＜|﹣3|,∴y＝﹣x2的开口更大．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质, 熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝2【分析】由于x＝1和2时的函数值相等, 然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1,∴对称轴为直线x＝＝．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质, 主要利用了对称性, 掌握对称轴的求解方法是解题的关键．4．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．3【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 可以得到0＝﹣a﹣1, 然后求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点,∴0＝﹣a﹣1,解得a＝﹣1,故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）【分析】根据二次函数的顶点式, 可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+4,∴该函数的顶点坐标为（﹣3, 4）,故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质, 解答本题的关键是明确题意, 由顶点式可以写出顶点坐标．6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0）, 平移后抛物线顶点坐标为（1, ﹣1）, 由此确定平移的步骤．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1,∴该抛物线的顶点坐标是（1, ﹣1）,∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0, 0）,∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位, 再向下平移1个单位．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移, 寻找平移方法．8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是y＝（x﹣1+2）2+2﹣1, 即y＝（x+1）2+1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．3【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2, 且m2+m≠0,解得：m＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的定义, 正确把握定义是解题关键．10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离, 二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近, 对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系．【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）∴抛物线开口向上, 对称轴为x＝1, 开口向上．∵点A横坐标到对称轴的距离是|﹣1|＝,点B到横坐标对称轴的距离是|1|,∴y1＞y2．故选：B．【点评】本题考查判断函数值大小, 正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为35元时, 该文具每天的销售利润最大．【分析】设该文具定价为x元, 每天的利润为y元, 根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式, 用函数的性质求最值．【解答】解：设该文具定价为x元, 每天的利润为y元,根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250,∵﹣10＜0,∴当x＝35时, y最大, 最大值为2250,故答案为：35．【点评】本题考查二次函数的实际应用, 关键是找到等量关系列出函数解析式．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为1．【分析】将原点坐标代入解析式求出m的值, 再由m+1≠0求解．【解答】解：将（0, 0）代入y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1,解得m＝1或m＝﹣1,∵m+1≠0,∴m≠﹣1, m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质, 解题关键是掌握二次函数与方程的关系．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】根据“左加右减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y ＝（x﹣2）2+1,故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是（0, 4）．【分析】根据题意得出x＝0, 然后求出y的值, 即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0, 得y＝4,故与y轴的交点坐标是：（0, 4）．故答案为：（0, 4）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识, 正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键, 此题难度不大．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．【分析】根据抛物线与直线交点坐标, 结合图象求解．【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为M（﹣1, 4）, N（2, 1）,∴x＜﹣1或x＞2时, 抛物线在直线上方,∴当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系, 解题关键是结合图象求解．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；（2）由函数解析式可得结论；（3）由函数解析式可得结论．【解答】解：（1）依题意得, 矩形的另一边长为m,则y＝x×＝﹣x2+14x,自变量x的取值范围是0＜x≤18,∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+14x（0＜x≤18）；（2）由（1）中解析式知, 二次项系数为, 一次项系数为14, 常数项为0；（3）对称轴为直线x＝﹣＝14．【点评】本题考查二次函数的应用, 关键是列出函数解析式．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．【分析】把A、B的坐标代入y＝x2+mx+n, 根据待定系数法即可求得一般式, 化成顶点式即可求得顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）；∴,解得：,∴y＝x2﹣2x+1,∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2,∴函数图象的对称轴为直线x＝1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 熟知待定系数法是解题的关键．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数, 利用二次函数的性质, 可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y＝w（x﹣10）＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400；（2）y＝﹣2（x﹣15）2+50,∵10＜x＜20, a＝﹣2＜0,∴当x＝15时, y最大值＝50．答：当销售单价定为每双15元时, 每天的利润最大, 最大利润为50元．【点评】本题考查的是二次函数的应用, 解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）利用二次函数的性质求出最大值．19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标, 则可设顶点式y＝a（x﹣2）2+3, 然后把（0, 1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2+3,把（0, 1）代入, 得4a+3＝1, 即a＝﹣,∴该二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣2）2+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地, 当已知抛物线上三点时, 常选择一般式, 用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时, 常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．【解答】解：（1）由题意得：x2+20x,自变量x的取值范围是0＜x≤18；∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200,∵﹣＜0, 0＜x≤18,∴当x＝18时, y有最大值, 最大值为192,即当x＝18时, 满足条件的绿化带面积最大．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法, 第一种可由图象直接得出, 第二种是配方法, 第三种是公式法, 常用的是后两种方法．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式, 令x＝0, 求得y的值, 即可求得B的坐标, 求得对称轴, 根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式, 把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E, 表示出DE, 然后根据三角形面积公式得到关于x的方程, 解方程求得x的值, 进而求得D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3, 0）,∴﹣9+6+m＝0, 解得m＝3,∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3,令x＝0, 则y＝3,∴B（0, 3）,∵对称轴为直线x＝﹣＝1,∴点A（3, 0）关于对称轴的对称点为（﹣1, 0）, ∴C（﹣1, 0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b,把A（3, 0）, B（0, 3）代入得,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,把x＝1代入y＝﹣x+3得, y＝2,∴P的坐标为（1, 2）；（3）∵抛物线有一点D（x．y）,∴D（x, ﹣x2+2x+3）,过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E,∴E（x, ﹣x+3）,∵A（3, 0）, B（0, 3）, C（﹣1, 0）,∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6,∴S△ABD＝S△ABC＝3,∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE,∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3,解得x1＝1, x2＝2,∴D（1, 4）或（2, 3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式, 函数图象上点的坐标特征, 二次函数的性质, 三角形的面积, 表示交点的坐标是解题的关键．。

5.1二次函数-苏科版九年级数学下册巩固训练

2020-2021学年度苏科版九年级下学期数学5.1二次函数巩固训练卷一、填空题1、已知函数c bx ax y ++=2（其中c b a ,,为常数），当a 时，它是二次函数；•当a _______，b _______时，它是一次函数；当a ______，b ，c ______时，它是正比例函数．2、下列函数：（1）y=3x 2+x2+1；(2)y=61x 2+5；(3)y=(x-3)2-x 2；(4)y=1+x-22x ，属于二次函数的是 (填序号).3、已知二次函数y ＝ax 2，当x=3时，y=-5。

当x=-5时，y 的值为4、已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，则m 的值为5、函数y ＝－2x 2＋4x 中，自变量x 的取值范围是__________6、菱形的两条对角线的和为26cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系是 7、某工厂第一年的利润为20万元，年平均增长率为x ，第三年的利润为y 万元．写出y 与x 的函数关系式是8、某店销售一种小工艺品，该工艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，每周就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y 元．每件工艺品售价提高x 元后的利润为________ 元，每周可售出工艺品________ 件，y 关于x 的函数表达式为____________；若y ＝384，则每件工艺品的售价应定为元.9、如图，用长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场ABCD ，已知墙长为14 m ，设边AD 的长为x(m)，矩形ABCD 的面积为y(m 2)．则y 与x 之间的函数关系式是________________________，自变量x 的取值范围是________________.10、用一根长为8 m 的木条，做一个矩形的窗框.如果这个矩形窗框宽为x m ，那么这个窗户的面积y(m 2)与x(m)之间的函数关系式为 . 二、选择题11、下列函数是二次函数的是（）A.y=2x-3B.y=x 8+1 C.y=232-xD.y=2x - 12、函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m ．n 为常数，且m ≠0B ．m ．n 为常数，且m ≠nC ．m ．n 为常数，且n ≠0D ．m ．n 为常数 13、下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．s ＝2t 2－2t ＋1D ．y ＝x 2＋1x14、若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数,则( )A.a ＝1B.a ＝±1C.a ≠1D.a ≠－115、已知二次函数y=ax 2+c (c ≠0)当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，该函数解析式为（）.A ．y=x 2-2B ．y=x 2-2x+1C ．y=x 2-1D ．y=x 2-x+116、若二次函数y=ax 2的图象经过点P （﹣2，4），则该图象必经过点（）A. （2，4）B. （﹣2，﹣4）C. （﹣4，2）D. （4，﹣2） 17、在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系；②x 个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场数y 与x 之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系； ④若一辆汽车以120 km/h 的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系． 18、已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x ，则直角三角形的面积y 与x 之间的函数关系式是( )A ．y ＝－12x 2＋5xB ．y ＝－x 2＋10xC ．y ＝12x 2＋5x D. y ＝x 2＋10x三、解答题19、当m 为何值时，y ＝(m ＋1) 2-m 3-m 2x 是二次函数？20、下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数.(1)y ＝1－3x 2 (2)y ＝3x 2＋2x (3)y ＝x (x －5)＋2 (4)y ＝3x 3＋2x 2(5)y ＝x ＋1x21、已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)xm 2＋m －4＋(m ＋2)x ＋2.(1)当函数是二次函数时，求m 的值； (2)当函数是一次函数时，求m 的值22、某工厂前年的生产总值为10万元，去年相对前年的年增长率为x ，预计今年相对去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元． (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当x ＝20%时，今年的总产值为多少？(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？23、如图，在△A BC 中，∠B＝90°，AB ＝12 cm ，BC ＝24 cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 cm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 cm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为y cm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 cm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.2020-2021学年度苏科版九年级下学期数学5.1二次函数巩固训练卷（答案）一、填空题1、已知函数c bx ax y ++=2（其中c b a ,,为常数），当a 时，它是二次函数；•当a _______，b _______时，它是一次函数；当a ______，b ，c ______时，它是正比例函数．答案：,0≠=0，,0≠=0，,0≠=0；2、下列函数：（1）y=3x 2+x2+1；(2)y=61x 2+5；(3)y=(x-3)2-x 2；(4)y=1+x-22x ，属于二次函数的是（1）（2）（4） (填序号).3、已知二次函数y ＝ax 2，当x=3时，y=-5。

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苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：二次函数—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是( ) A ．(-1，8) B ．(1，8) C ．(-1，2) D ．(1，-4)2．若123A(-3,y )B(-2,y )C(-1,y )、、，三点都在函数1y x=-的图象上，则123y y y 、、的大小关系是( ) A. 123y y y ＜＜ B. 123==y y y C. 132y y y ＜＜ D. 123y y y ＞＞3．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )4.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0； ④5a ＜b ．其中正确结论是（）． A ．②④ B. ①④ C. ②③ D. ①③5.抛物线y =ax 2+bx +c 图象如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数xcb a y ++=在同一坐标系内的图象大致为（）6.矩形ABCD 中，8cm 6cm AD AB ==，．动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ，设运动时间为x （单位：s ），此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm )，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（）二、填空题7．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是． 8．二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 .9．给出下列命题：命题1．点(1，1)是双曲线xy 1=与抛物线2x y =的一个交点．命题2．点(1，2)是双曲线xy 2=与抛物线22x y =的一个交点．命题3．点(1，3)是双曲线xy 3=与抛物线23x y =的一个交点．……请你观察上面的命题,猜想出命题n (n 是正整数): .10．抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2组成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 . 11．如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH⊥x 轴于点H ．在抛物线y=x 2（x ＞0）上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是．第11题12．已知函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 .三、解答题 13．已知双曲线xk y =与抛物线y=zx 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积.14. 已知：二次函数y =x 2＋bx －3的图像经过点P （－2,5）．（1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上．第13题图①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．15．关于x 的方程012)31(2=-+--a x a ax（1）当a 取何值时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2；（2）求证：a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.16. 如图，开口向上的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1x ，0）和B （2x ，0）两点，1x 和2x 是方程0322=-+x x 的两个根（21x x <），而且抛物线交y 轴于点C ，∠ACB 不小于90°. （1）求点A 、点B 的坐标和抛物线的对称轴；（2）求系数a 的取值范围；（3）在a 的取值范围内，当y 取到最小值时，抛物线上有点P ，使32=∆APB S ，求所有满足条件的点P 的坐标.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A ；【解析】求抛物线的顶点坐标有两种方法：①抛物线2(0)y a x b x c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将2365y x x =--+中的a ，b ，c 直接代入即可求出；②采用配方法，即将2365y x x =--+变形为23(1)8y x =-++，所以2365y x x =--+的顶点坐标为(-l ，8)．2.【答案】A ；【解析】主要考查反比例函数的图象和性质.解答时，应先画出1y x=-的图象，如图，然后把 123A(-3,y )B(-2,y )C(-1,y )、、三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知123y y y ＜＜，故应选A.3.【答案】C ；【解析】当a >0时，抛物线开口向上，一次函数图象过一、三象限，所以排除A 选项，再看B 、C 选项，抛物线对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，所以一次函数应与y 轴交于负半轴，排除B 选项；当a <0时，抛物线开口向下，而一次函数图象过二、四象限，排除D 选项.所以答案选C.4.【答案】B ；5.【答案】D ；【解析】从二次函数图像可看出a >0，2b a->0,得b ＜0,c ＜0,b 2-4a c>0.又可看出当x=1时，y ＜0. 所以a b c ++＜0，由此可知D 答案正确. 6.【答案】A ；【解析】分段函数y 1=-2x 2+48 (0≤x<4)； y 2=-8x+48 (4≤x<6),故选A.二、填空题 7．【答案】－1；【解析】图象经过原点（0,0），把点（0,0）代入2231y ax x a =-+-得1a =±，因为抛物线开口向下，所以1a =-.8．【答案】P<Q ；【解析】由抛物线的图象可以知道：（1）开口向下， a ＜0；（2）抛物线过原点，c=0 ；（3）对称轴x=﹣ab2＞1，则b ＞﹣2a ，即b+2a ＞0；（4）当x=﹣1时，y =ax 2＋bx ＋c= a －b+ c ＜0；（5）当x=1时，y =ax 2＋bx ＋c= a+b+ c ＞0；（6）因为a ＜0，b ＞﹣2a ，所以，b ＞0，因此，2a －b ＜0；则：P －Q=[﹣（a －b+c ）+(2a+b)]－[(a+b+c)－(2a －b)] =﹣a+b －c+2a+b －a －b －c+2a －b =2a ＜0所以，P ＜Q 9．【答案】点(1，n )是双曲线xn y =与抛物线2nx y =的一个交点． 10．【答案】【解析】如图，四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成正方形ABCD ，因为抛物线与正方形有公共点，所以可得a ＞0，而且a 值越大，抛物线开口越小，因此当抛物线分别过A （1，2），C （2，1）时，a 分别取得最大值与最小值，代入计算得出：a=2，a=；由此得出a 的取值范围是．11．【答案】（3，）、（，）、（2，2）、（，）．【解析】由题可得A 的纵坐标是横坐标的倍，故设A 的坐标为（t ，t ）；则Q 的坐标为（0，2t ）或（0，t ）；可求得P 点对应的坐标，解得t 的值有4个，为，，2，；故点A 的坐标是（3，）、（，）、（2，2）、（，）．12．【答案】3；【解析】函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 有恰好有三个，∴k=3．三、解答题13.【答案与解析】(1)把点A(2,3)代入xky =得：k=6. ∴反比例函数的解析式为：xy 6=.把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入xy 6=得：把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax 2+bx+c ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++239239324c b a c b a c b a 解之得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33231c b a ∴抛物线的解析式为：y=-332312++x x . (2)描点画图 S △ABC =21(1+6)×5-21×1×1-21×6×4=1221235--=5.14.【答案与解析】解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b －3，解得b=－2. 当1＜x ≤3时y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m=4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于，第13题图m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0，当m 不小于5时成立，即y 1＋y 2＞y 3成立．所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，15.【答案与解析】(1)解：∵二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2 ∴22)31(-=---aa 解得a=-1经检验a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数12)31(2-+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2；（2）①当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；②当a≠0时，原方程为一元二次方程，012)31(2=-+--a x a ax ，当时，042≥-ac b 方程总有实数根， ∴()[]0)12(4a 312≥----a a整理得，0122=+-a a0)1(2≥-a∵a≠0时， 0)1(2≥-a 总成立所以a 取任何实数时，方程012)31(2=-+--a x a ax 总有实数根.16.【答案与解析】（1）A （－3，0）B （1，0），对称轴1-=x ；（2）⎩⎨⎧=++=+-0039c b a c b a 化简得⎩⎨⎧-==ac ab 32 OC ＝a 3.若∠ACB ＝90°，则OB OA OC ⋅=2，3=OC ，33=a ；若∠ACB ＞90°，则3<OC ，33<a ；所以330≤<a .（3）由（2）有a ax ax y 322-+=，当a 在取值范围内，y 取到最小值时，33=a ，3332332-+=x x y ，由AB ＝413=--，32=∆APB S 得：3±=P y . 当3=P y 时，711+=x ，712-=x ，∴1P （71＋-，3），2P （71--，3）；当3-=P y 时，03=x ，24-=x ， ∴3P （0，3-），4P （－2，3-）.。