2020年许昌市九年级数学上期中试卷(及答案)
2020年许昌市九年级数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ）A ．16B ．29C ．13D ．234．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，AD 、BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O→C→D→O 的路线匀速运动．设∠APB=y （单位：度），那么y 与点P 运动的时间x （单位：秒）的关系图是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D6．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7 7．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 8．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶310．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④11．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.15．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．16．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．17．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；18．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F ．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm ，则CF=______cm ．20．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：75≤x ＜80；B 组：80≤x ＜85；C 组：85≤x ＜90；D 组：90≤x ＜95；E 组：95≤x ＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C 组对应的圆心角是多少度？E 组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E 组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．（2016内蒙古包头市）一幅长20cm 、宽12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm ，图案中三条彩条所占面积为ycm 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．23．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．24．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：等级成绩（s）频数（人数）A90＜s≤1004B80＜s≤90xC70＜s≤8016D s≤706根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n=，C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a1，a2表示）和两名女生（用b1，b2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．2．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D ．3．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P （一红一黄）=26=13．故选C ． 4．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方，∴244ac b a-＞0，④错误； 故选B.5．B解析：B【解析】试题分析：（1）当点P 沿O→C 运动时，当点P 在点O 的位置时，y=90°，当点P 在点C 的位置时，∵OA=OC ，∴y=45°，∴y 由90°逐渐减小到45°；（2）当点P 沿C→D 运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；（3）当点P 沿D→O 运动时，当点P 在点D 的位置时，y=45°，当点P 在点0的位置时，y=90°，∴y 由45°逐渐增加到90°．故选B ．考点：动点问题的函数图象．6．C解析：C【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+=故选C .【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.7．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=. 故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.8．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP PB ，∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ，∴PP PB =，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0）， 当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：2 13a-≤≤-，故③正确；④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a->得：248ac a b->，∵a＜0，∴224bca-<，∴c﹣2＜0，∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．12．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．二、填空题13．20【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x因为经过两年时间让市区绿地面积增加44则有（1+x）2=1+44解这个方程即可求出答案【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x根据题意得（1解析：20%【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）2=1+44%，解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．故答案为20%【点睛】此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．14．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．15．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x米则纵向的甬路宽为2x米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：（20﹣2×2x）（12﹣3x）=144整理得：x2﹣9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12﹣3x=﹣12，∴x=8不合题意，舍去，∴x=1，∴3x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D ＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB解析：70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CBA=90°-20°=70°故答案为：70°【点睛】考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．17．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．18．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，解得x 1=4,x 2=8，即移动的距离AA ′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置使点A 恰好落在边DE 上∴DC=AC ∠D=∠CAB ∴∠D=∠DAC ∵∠ACB=∠DCE=90°∠B=30°∴∠D=∠CAB=6解析：【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，∴DC =AC ，∠D =∠CAB ，∴∠D =∠DAC ，∵∠ACB =∠DCE =90°，∠B =30°，∴∠D =∠CAB =60°，∴∠DCA =60°，∴∠ACF =30°，可得∠AFC =90°，∵AB =8cm ，∴AC =4cm ，∴FC =4cos30°． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC 的度数是解题关键．20．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23． 【解析】【分析】（1）用A 组人数除以A 组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B 组所占百分比得到B 组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C 组所占百分比得到C 组对应的圆心角度数，用E 组人数除以总人数得到E 组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23． 22．（1）2354y x x =-+；（2）横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．【解析】【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为32xcm ，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的25”，可列出关于x 的一元二次方程，整理后求解即可．【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为32xcm ，∴y=20×32x+2×12•x﹣2×32x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=25×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴32x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．23．(1) 14；(2)14【解析】【分析】(1)由概率公式即可得出结果；(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41 164．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b=+⎧⎨=+⎩解得：k2b200=-⎧⎨=⎩∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。
2019-2020学年河南省许昌一中九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年河南省许昌一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若关于x的方程(a−1)x2+2x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围是()A. a≠1B. a>1C. a<1D. a≠02.下列图形不是中心对称图形()A. B.C. D.3.在平面直角坐标系中，点M(−2,m)关于原点的对称点为N(n,−3)，则m+n的值()A. 1B. −1C. 5D. −54.若关于x的方程x2=x与x2+mx−3=0有相同的实数根，则m的值为()A. 2B. −2C. 1D. −15.抛物线y=2x2−4x−3的顶点坐标为()A. (1,5)B. (1,−5)C. (−1,5)D. (−1,−5)6.若关于x的一元二次方程(k−1)x2−3x−1=0有实数根，则k的取值范围为()A. k≥−54B. k≥−54且k≠1C. k≥−45D. k≥−45且k≠17.某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别为1m，2m，且四个种花区域的面积相同，均为10m2.设原正方形空地的边长为x m，则下列方程正确的是()A. x2−3x−40=0B. x2−3x−38=0C. x2+3x−40=0D. x2+3x−40=08.对于二次函数y=−12x2−x+2，下列说法正确的是()A. 该函数图象开口向上B. 该函数图象与y轴的交点为(2,0)C. 该函数有最小值且最小值为52D. 当x>−1时，函数值y随x的增大而减小9.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象大致为()A.B.C.D.10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(0,4)，△OAB为等腰直角三角形，且∠OAB=90°，点P是线段AB的中点，将△OAB绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，则第2019秒时点P的坐标为()A. (3√2,√2)B. (2,−1)C. (√2,−3√2)D. (−1,−2)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.将一元二次方程(1−x)(2+x)=3−2x2化为一般形式为______．12.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．13.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D为AC边中点，将该图形绕点D旋转180°，所得图形与原图形组成的四边形的周长是______．14.阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则根与系数之间有如下的关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca.根据上述材料计算：已知m，n是方程2x2−3x−1=0的两个根，则m2+n2的值为______．15.已知二次函数ax2+bx+c=0(a≠0)的图形如图所示，且其顶点坐标为(−1,n).则下列结论：①abc<0；②2a=b；③4a+c<2b；④方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根；⑤设函数图象与x轴的交点为A(x1,0)，B(x2,0)，则1x1+1x2<0，其中正确的有______.(填正确结论的序号)三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.解下列方程：(1)3x2+6x−1=0．(2)(x−1)2=(5−2x)2．17.如图，在平面直角坐标系中，网格的单位长度为1，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，点P的坐标为(0,−1)．(1)利用图中网格，先画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，再画出△A1B1C1关于P点成中心对称的△A2B2C2；(不写画法，保留作图痕迹)(2)填空：点C2的坐标为______，以B1，B2，C三点为顶点的三角形面积为______．18.已知关于x的方程x2−mx+(m−2)=0．(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．19.已知抛物线y=2x2+(m−3)x+m2+2m与直线y=3x−1交A(0,−1)，B两点．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)请求出点B的坐标．20.如果两个函数的图象关于原点对称，那么我们把这两个函数称为中心对称函数，如y=(x−1)2+2与y=−(x+1)2−2互为中心对称函数．根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：函数y=−2(x+4)2−1的中心对称函数为______．(2)若函数y=3(x+m)2−4与y=a(x+m)2+n互为中心对称函数，请求出两函数顶点的距离d．21.农民张伯伯种植某种水果喜获丰收，计划以每千克20元的价格对外销售，根据市场行情经过两次价格下调，决定以每千克16.2元价格出售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某水果店与张伯伯签订了长期供销合同，以每千克16元的价格购进一批该水果，经市场调查发现，该水果每天的销售量y(单位：千克)与销售单价x(单位：元)之间存在怎样的函数关系为y=−5x+200.设该水果店每天销售这种水果每天获取的利润为W(元)，请判断当x为多少时，所获得的利润W最大？最大利润是多少元？22.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，点D，E分别为边AB，BC上的中点，且BD=BE=√2．(1)如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转任意角度α，连接AD，EC，则线段EC与AD的关系是______；(2)如图3，DE//BC，连接AE，判断△EAC的形状，并求出EC的长；(3)继续旋转△BDE，当∠AEC=90°时，请直接写出EC的长．23.如图，抛物线y=ax2+x+c与x轴交A，B两点，与y轴交于点D，其顶点为P，对称轴交x轴于点N，直线y=mx+n经过点A，且与抛物线的对称轴交于点M，与y轴交于点D，(点D在x轴的下方).已知点A的坐标为(−6,0)，点C的坐标(0,−3)．(1)求抛物线的解析式．(2)当S△PMD：S△AOD=1：3时，求直线AD的解析式和点D的坐标；(3)在(2)的条件下，若平面内存在直线l，使点A，P，D到直线的距离都相等，请你写出直线l的解析式．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由题意得：a−1≠0，解得：a≠1．故选：A．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a−1≠0，再解即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】C【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项不合题意；B.是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项符合题意；D.是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．3.【答案】C【解析】解：∵点M(−2,m)关于原点的对称点为N(n,−3)，∴n=2，m=3，则m+n的值为：2+3=5．故选：C．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．4.【答案】A【解析】解：方程x 2=x 可变形为x 2−x =0，即x(x −1)=0，解得：x 1=0，x 2=1．∵关于x 的方程x 2=x 与x 2+mx −3=0有相同的实数根，∴方程x 2+mx −3=0的一根为x =1．将x =1代入原方程得：12+m −3=0，∴m =2．故选：A ．利用因式分解法解方程，可得出方程x 2=x 的两根为x 1=0，x 2=1，由关于x 的方程x 2=x 与x 2+mx −3=0有相同的实数根，可得出方程x 2+mx −3=0的一根为x =1，代入x =1即可求出m =2．本题考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，通过解方程找出方程x 2+mx −3=0的一根为x =1是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵y =2x 2−4x −3=2(x −1)2−5，∴抛物线y =2x 2−4x −1的顶点坐标是(1,−5)，故选：B ．将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案．本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将抛物线的一般式配方成顶点式．6.【答案】B【解析】解：∵关于x 的一元二次方程(k −1)x 2−3x −1=0有实数根，∴{k −1≠0△=(−3)2−4×(k −1)×(−1)≥0， 解得：k ≥−54且k ≠1．故选：B ．由二次项系数非零及根的判别式Δ=b 2−4ac ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b2−4ac≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：设原正方形的边长为x m，依题意有(x−1)(x−2)=4×10，化简得：x2−3x−38=0，故选：B．可设原正方形的边长为x m，则剩余的空地长为(x−1)m，宽为(x−2)m.根据长方形的面积公式可列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．8.【答案】D【解析】解：在y=−12x2−x+2中，当x=0时，y=2，∴函数图象与y轴的交点为(0,2)∵y=−12x2−x+2=−12(x+1)2+52，a=−12<0，∴开口向下，顶点(−1,52)，对称轴是直线x=3，∴抛物线有最大值52，，当x>−1时，y随x的增大而减小．故选：D．根据二次函数的性质求解即可．本题考查抛物线与y轴的交点，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：∵y=ax+b的图象经过一、二、三象限，∴a>0，b>0，∴−b2a<0，∴二次函数y=ax2+bx+1的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，故选：B．由y=ax+b的图象判断出a>0，b>0，于是得到二次函数y=ax2+bx+1的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，交y轴的正半轴，即可得到结论．本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．10.【答案】C【解析】解：∵将△OAB绕点O以每秒45°的速度顺时针旋转，360°÷45°=8，∴8秒循环一次，∵2019÷8=252余数为3，∴第2019秒时，点P旋转到如图P′处，∵点A坐标为(0,4)，△OAB为等腰直角三角形，∴OA=AB=4，∵点P是线段AB的中点，∴AP=2，作A′E⊥OB′于E，P′F⊥A′E，由题意△P′A′F，△OEA′都是等腰直角三角形，∴OE=A′E=√22×4=2√2，P′F=A′F=√22×2=√2，∴P′(√2,−3√2).故选：C．将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°=8，8秒循环一次，因为2019÷8=252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．本题考查矩形的性质，旋转变换，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．11.【答案】x2−x−1=0【解析】解：(1−x)(2+x)=3−2x2，2−x−x2=3−2x2，x2−x−1=0，故答案为：x2−x−1=0．首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可．此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12.【答案】y=3(x+2)2+3【解析】解：将抛物线y=3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3．故答案为：y=3(x+2)2+3．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．13.【答案】4√2+4【解析】解：如图，△ABC绕点D旋转180°，所得图形为△CB′A，∵AC=BC=2，∠ACB=90°，∴AB=√2AC=2√2，∴四边形ABCB′是平行四边形，∴AB =B′C =2√2，BC =AB′=2，∴四边形ABCB′的周长=2(2√2+2)=4√2+4，故答案为：4√2+4．由旋转的性质可得AD =CD ，BD =B′D ，可证四边形ABCB′是平行四边形，可得AB =B′C =2√2，BC =AB′=2，即可求解．本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14.【答案】134【解析】解：∵m ，n 是方程2x 2−3x −1=0的两个根，∴m +n =−b a =32，mn =c a =−12， ∴m 2+n 2=(m +n)2−2mn =(32)2−2×(−12)=134．故答案为：134．由m ，n 是方程2x 2−3x −1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m +n =32，mn =−12，再将其代入m 2+n 2=(m +n)2−2mn 中即可求出m 2+n 2的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−b a ，两根之积等于c a ”是解题的关键． 15.【答案】④【解析】解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，∴a <0．由对称轴在y 轴的左侧知b <0，∵抛物线与y 轴正半轴相交，∴c >0，∴abc >0．故①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为x =−1，∴−b 2a =−1，∴2a =b ，故②正确；③当x =−2时，y >0，∴4a +c >2b ，故③不符合题意；④∵抛物线的顶点坐标(−1,n)，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =n 有一个交点，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =n 有两个相等的实数根，所以④正确；⑤∵函数图象与x 轴的交点为A(x 1,0)，B(x 2,0)，抛物线的对称轴为x =−1， ∴x 1+x 22=−1，∴x 1+x 2=−2，又∵x 1x 2<0，∴x 1+x 2x 1x 2>0．故⑤不符合题意．故答案为④．①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y 轴的交点坐标即可确定；②根据抛物线的对称轴可得出结论；③当x =−2时，y >0，可得出答案；④根据抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y =n 有一个交点可对④进行判断；⑤得出x 1+x 2=−2，x 1x 2<0，可得出答案．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题．16.【答案】解：(1)∵3x 2+6x −1=0，∴3x 2+6x =1，则x 2+2x =13，∴x 2+2x +1=13+1，即(x +1)2=43，∴x +1=±2√33， ∴x 1=−1+2√33，x 2=−1−2√33．∴x−1=5−2x或x−1=2x−5，解得x1=2，x2=4．【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用直接开平方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.【答案】(−1,−5)9【解析】解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；(2)点C2的坐标为(−1,−5)，以B1，B2，C三点为顶点的三角形面积=4×5−12×5×1−12×4×2−12×3×3=9．故答案为：(−1,−5)，9．(1)利用关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，再描点得到△A1B1C1，接着延长A1P到A2使PA2=PA1，延长B1P到B2使PB2=PB1，延长C1P到C2使PC2=PC1，从而得到△A2B2C2；(2)利用(1)所画图形写出点C2的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△B1B2C的面积．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．18.【答案】(1)证明：∵a =1，b =−m ，c =m −2，∴b 2−4ac =(−m )2−4×1×8(m −2)=m 2−4m +8=(m −2)2+4， ∵(m −2)2≥0，∴(m −2)2+4>0，即△>0，∴不论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；(2)解：设方程的另一个为t ，根据题意得，2+t =m ，2t =m −2，∴2+t −2t =2，解得t =0，∴m =2，∴m 的值为2，另一个根为0．【解析】(1)先计算判别式的值得到△=(m −2)2+4，然后根据判别式的意义得到结论；(2)设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2+t =m ，2t =m −2，然后解方程组即可．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a .也考查了判别式的意义．19.【答案】解：(1)∵抛物线y =2x 2+(m −3)x +m 2+2m 过点A(0,−1)， ∴m 2+2m =−1，∴m =−1，∴抛物线的解析式为y =2x 2−4x −1．∵y =2x 2−4x −1=2(x 2−2x)−1=2(x −1)2−3，∴顶点坐标为(1,−3)；(2)解方程组{y =2x 2−4x −1y =3x −1， 得{x =0y =−1或{x =72y =192， 所以点B 的坐标为(72,192).【解析】(1)将A(0,−1)代入y=2x2+(m−3)x+m2+2m，求出m，可得函数解析式，利用配方法求出顶点坐标；(2)把抛物线与直线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点B的坐标．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，是基础知识，需熟练掌握．20.【答案】y=(x−4)2+1【解析】解：(1)函数y=−2(x+4)2−1的中心对称函数为y=(x−4)2+1；故答案为：y=(x−4)2+1．(2)∵函数y=3(x+m)2−4与y=a(x+m)2+n互为中心对称函数，∴m=0，n=4，∴两个函数的顶点分别为(0,−4)，(0,4)，∴两函数顶点的距离d为：4+4=8．(1)根据中心对称函数的定义，两个函数形状相同，开口方向相反，顶点关于原点对称对称即可．(2)根据中心对称函数的定义，得到二次函数的顶点，进而即可求得d的值．本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键．21.【答案】解：(1)设每次下调的百分率为x，依题意得：20(1−x)2=16.2，解得：x1=0.1=20%，x2=1.9(不合题意，舍去)．答：每次下调的百分率为10%；(2)由题意得：W=(x−16)y=(x−16)(−5x+200)=−5x2+280x−3200=−5(x−28)2+720，∵−5<0，∴当x=28时，W有最大值，最大值为720，答：当x为28元时，所获得的利润W最大，最大利润是720元．【解析】(1)设每次下调的百分率为x，利用经过两次下调售价后的价格=原价×(1−每次下调的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；(2)根据利润=每千克的利润×销售量列出函数关系式，根据函数的性质求最值．本题考查二次函数以及一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．22.【答案】EC=AD，EC⊥AD【解析】解：(1)EC与AD垂直且相等，理由如下：延长CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD=BE，AB=BC，∠DBE=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴∠BCE=∠BAD，CE=AD，∵∠AOF=∠BOC，∴∠AFE=∠ABC=90°，∴AD⊥CE，∴故答案为：EC=AD，EC⊥AD；(2)设DE与AB的交点为H，∴∠AHE=∠ABC=90°，∵BD=BE，∴AB是DE的垂直平分线，∴AD=AE，由(1)知AD=CE，∴AE=CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE=√2，∴BH=HE=1，∴AH=AB−BH=4−1=3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE=√AH2+HE2=√10，∴CE=AE=√10；(3)如图4，当点E在BC上方时，过点B作BG⊥DE于G，∵∠AEC=90°，CE⊥AD，∴A、E、D三点共线，∴AG=√AB2−BG2=√15，∴AD=AG+DG=√15+1，∴CE=AD=√15+1；如图，当点E在BC下方时，同理可得CE=CG−GE=√15−1．综上：CE=√15+1或√15−1．(1)延长CE交AD于F，交AB于O，证明△ABD≌△CBE(SAS)，得∠BCE=∠BAD，CE=AD，再由∠AOF=∠BOC，可得∠AFC=∠ABC=90°，即可得到结论；(2)设DE与AB的交点为H，可得AB是DE的垂直平分线，利用勾股定理可求出AE的长，由(1)知CE=AD，从而得出答案；(3)分当点E在BC上方时和当点E在BC下方时，分别画图，利用勾股定理计算即可．本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识，根据前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．23.【答案】解：(1)由抛物线y=ax2+x+c过A(−6,0)，C(0,−3)．∴{0=36a−6+cc=−3，∴{a=1 4c=−3，∴抛物线的解析式：y=14x2+x−3；(2)在y=14x2+x−3中，a=14，b=1，c=−3，∴对称轴为：x=−b2a=−2，∴B(2,0)，P(−2,−4)，∵直线y=mx+n经过点A(−6,0)，∴−6m+n=0，∴n=6m，即y=mx+6m，当x=0时，6m=y，则D(0,6m)，当x=−2时，−2m+6m=y，则M(−2,4m)，11S△PMD=12MP⋅ℎ=12×|4m+4|×2，∵S△PMD：S△AOD=1：3，∴|4+4m|：18m=1：3，∴m=2或−25，此时，AD：y=2x+12，D(0,12)或y=−25x−125，D(0,−125)；(3)到A，P，D的距离相等，①y=2x+12，D(0,12)，A(−6,0)，P(−2,−4)，∴AD、AP、DP的中点坐标为(−3,6)，(−4,−2)，(−1,4)，∴l//PD且过AD中点，此时l：y=8x+30，l//AP且过PD中点，此时l：y=−x+3，l//AD且过AP中点，此时l：y=2x+6；②y=−25x−125，D(0,−125)，A(−6,0)，P(−2,−4)，∴l//PD且过AD中点，此时l：y=45x−185，l//AP且过PD中点，此时l：y=−x−215，l//AD且过AP中点，此时l：y=−25x−185，综上所述，当y AD=2x+12，D(0,12)时，l：y=8x+30或y=−x+3或2x+6；当y AD=−25x−125，D(0,−125)时，l：y=45x−185或y=−x−215或y=−25x−185．【解析】(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)利用二次函数的性质得B(2,0)，P(−2,−4)，再利用直线y=mx+n的解析式得D、M 的坐标，然后由三角形的面积公式及已知条件可得答案；(3)分两种情况讨论：①y=2x+12，D(0,12)，A(−6,0)，P(−2,−4)，②y=−25x−125，D(0,−125)，A(−6,0)，P(−2,−4)，然后利用中点坐标公式及选定系数法可得答案．此题考查的是二次函数综合题目，涉及到的知识点有待定系数法求函数和直线解析式、二次函数的性质、中点坐标公式、两点间距离公式，分类讨论是解决此题关键．第21页，共21页。
河南省许昌市九年级上学期数学期中试卷
河南省许昌市九年级上学期数学期中试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017七上·乌鲁木齐开学考) 下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A . 圆B . 长方形C . 等腰三角形D . 直角三角形2. （2分） (2020九上·河南月考) 用配方法解一元二次方程时，以下变形正确的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020九上·杭州月考) 已知二次函数图象的顶点在第一象限，且图象经过点，若a+b为整数，则的值为（）A . -2B . 1C .D .4. （2分）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（）A . 168（1+a）2=128B . 168（1-a%）2=128C . 168（1-2a%）=128D . 168（1-a2%）=1285. （2分） (2018八上·丹徒月考) 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝20°，则∠BAD 为（）A . 50°B . 70°C . 80°D . 120°6. （2分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下列说法中，与此函数的系数相关的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，说法正确的是（）A . 方程有两个相等的实数根B . 方程的实数根的积为负数C . 方程有两个正的实数根D . 方程没有实数根7. （2分） (2016九上·越秀期末) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于（）A . 30°B . 40°C . 60°D . 80°8. （2分） (2020九上·灵璧期中) 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（）A . 4B . 1C . ﹣1D . ﹣49. （2分）(2020·宿州模拟) 如图，AB＝12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连接PQ ，则PQ的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分） (2019九上·泰山期末) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个11. （2分） (2017九上·辽阳期中) 若关于x的方程2xm－1＋x－m＝0是一元二次方程，则m为（）A . 1B . 2C . 3D . 012. （2分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：① ac＜0；②a+b+c＜0；③ 4a＋2b＋c＞0；④2a+b=0；其中正确的结论有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共8题；共9分)13. （1分） (2020九上·江城月考) 把方程3x2+x=5x-2整理成一元二次方程的一般形式为________。
2020-2021学年河南省许昌市襄城县九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年河南省许昌市襄城县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列事件中是不可能事件的是()A. 守株待兔B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 百步穿杨(x<0)的图象位于()2.反比例函数y=1xA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是()A. B. C. D.4.如图，反比例函数y=4图象的对称轴的条数是()xA. 0B. 1C. 2D. 35.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随即地选择一条路径，则它获得食物的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 166.已知圆柱体的底面半径为3cm，高为4cm，则圆柱体的侧面积为()A. 24πcm2B. 36πcm2C. 12cm2D. 24cm2)，实际生活中，7.已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR(或者I=UR 由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是()A. B.C. D.(k>0)与⊙O的一个8.如图，点P(3a,a)是反比例函y=kx交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的关系式为()A. y=3xB. y=5xC. y=10xD. y=12x9.如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分，点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()A. √2B. 1C. √22D. 12(x>0)的图象上，点E(1,0)和点10.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kxF(0,1)在AB边上，AE=EF，连接DF，DF//x轴，则k的值为()A. 2√2B. 3C. 4D. 4√2二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.矩形的面积为2，一条边的长为x，另一条边的长为y，则用x表示y的函数解析式为______(其中x>0)．12.从−12，−1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为______．13.若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只(摘B前需先摘C)，直到摘完，则最后一只摘到B的概率是______．14.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为______．15.将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则(a−1)(b+2)=______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.已知反比例函数的图象经过点A(2,6)．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？(3)点B(3,4)，C(5,2)，D(−212,−445)是否在这个函数图象上？为什么？17.这是一个两人转盘游戏，准备如图三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录指针停下时所指的数字，当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．(1)画树状图或列表计算甲赢的概率；(2)请判断这个游戏是否公平，如果不公平，请修规则，使之公平．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+(k≠0,x>0)b(a≠0)的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(1,5)，B(m,1)两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA，OB．(k≠0,x>0)和一次函数(1)求反比例函数y=kxy=ax+b(a≠0)的表达式；(2)求△AOB的面积．19.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．当R=4Ω时，I=9A．(1)写出I关于R的函数解析式；(2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；R…______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ …/ΩI…______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ …/A(3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围内？20.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______.(精确到0.01)，由此估出红球有______个．(2)现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．21.如图，一个圆锥的高为3√3cm，侧面展开图是半圆．求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比；(2)求∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．22.阅读材料，回答问题：材料题1：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少要两辆车向左转的概率题2：有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁(一把钥匙只能开一把锁)，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？我们可以用“袋中摸球”的试验来模拟题1：在口袋中放三个不同颜色的小球，红球表示直行，绿球表示向左转，黑球表示向右转，三辆汽车经过路口，相当于从三个这样的口袋中各随机摸出一球问题：(1)事件“至少有两辆车向左转”相当于“袋中摸球”的试验中的什么事件？(2)设计一个“袋中摸球”的试验模拟题2，请简要说明你的方案(3)请直接写出题2的结果．23.阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．问题解决：(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数______；(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；(3)若A(m,y1)，B(m+1,y2)，C(m+3,y3)三个点均在反比例函数y=4的图象上，x且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；故选：C．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2.【答案】C(x<0)中，k=1>0，【解析】解：∵反比例函数y=1x∴该函数图象在第三象限，故选：C．根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3.【答案】D【解析】解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，故选：D．各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．本题主要考查可能性的大小．4.【答案】C【解析】解：沿直线y=x或y=−x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故选：C．任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．本题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．5.【答案】B，故选B．【解析】解：共有6条路径，有食物的有2条，所以概率是13看有食物的情况占总情况的多少即可．本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n6.【答案】A【解析】解：圆柱的侧面积=2π×3×4=24π．故选：A．圆柱的侧面积=底面周长×高，把相应数值代入即可求解．本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法．7.【答案】A，I与R反比【解析】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I=UR例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；当I一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，故选：A．分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项．本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够根据不同的定值确定函数关系类型，难度不大．8.【答案】D圆【解析】解答：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为14面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P(3a,a)在第一象限，则a>0，3a>0，根据勾股定理，OP=√(3a)2+a2=√10a.于是π(√10a)2=40π，a=±2，(负值舍去)，故a=2．P点坐标为(6,2)．，将P(6,2)代入y=kx得：k=6×2=12．．反比例函数解析式为：y=12x故选：D．分析：根据P(3a,a)和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．9.【答案】D【解析】解：设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD=AE=4，∠DAE=45°，∴2πr=45×π×4，180解得r=1．2．答：该圆锥的底面圆的半径是12故选：D．根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．10.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，∵DF//x轴，∴得矩形OFDH，∴DF=OH，DH=OF，∵E(1,0)和点F(0,1)，∴OE=OF=1，∠OEF=45，∴AE=EF=√2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵∠AEG=∠OEF=45°，∴AG=AE=√2，∴EG=2，∵DH=OF=1，∠DHG=90°，∠DGH=∠AGE=45°，∴GH=DH=1，∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4，∴D(4,1)，(x>0)的图象上，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=kx∵k=4．则k的值为4．故选：C．过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上，AE=EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，解决本题的关键是掌握反比例函数图象和性质．11.【答案】y=2x．【解析】解：由题意得：x与y的函数关系式是y=2x．故答案为：y=2x根据等量关系“另一边的长=面积÷一条边的长”可列出关系式．本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．12.【答案】35【解析】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y=ax2+ bx+c的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的概率为3，5．故答案为：35使抛物线y=ax2+bx+c的开口向上的条件是a>0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．13.【答案】23【解析】解：画树状图如图：共有3个等可能的结果，最后一只摘到B 的结果有2个， ∴最后一只摘到B 的概率为23； 故答案为：23．画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．14.【答案】0【解析】解：∵直线y =x 与双曲线y =mx 交于A ，B 两点， ∴联立方程组得：{y =xy =m x，解得：{x 1=√m y 1=√m ，{x 2=−√my 2=−√m ，∴y 1+y 2=0， 故答案为：0．联立方程组，可求y 1，y 2的值，即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．15.【答案】−3【解析】解：一次函数y =kx −2−k(k >0)的图象过定点P(1,−2)，而点P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y =3x 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y =kx −2−k(k >0)相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为(a −1,3a−1)，(3b+2,b +2)， ∴a −1=−3b+2，∴(a −1)(b +2)=−3， 故答案为：−3．由于一次函数y =kx −2−k(k >0)的图象过定点P(1,−2)，而点P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y =3x 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y =kx −2−k(k >0)相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．16.【答案】解：(1)设反比例函数解析式y =kx (k 为常数，k ≠0)，把A(2,6)代入得k =2×6=12， 所以反比例函数解析式y =12x；(2)这个函数的图象位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； (3)因为3×4=12，5×2=10≠12，−52×(−245)=12， 所以点B 、D 在这个函数图象上，点C 不在这个函数图象．【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式； (2)根据反比例函数的性质求解；(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y =kx (k 为常数，k ≠0)；再把已知条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质．17.【答案】解：(1)列表可得：共8种情况，其中有6种情况是甲赢，故其赢的概率为68=34；(2)这个游戏不公平，可改为只用第一个转盘；转到1为甲胜，转到2为乙胜．还有其他修改方法，只需是甲乙取胜概率相等即可．【解析】本题考查概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.【答案】解：(1)将点A(1,5)代入y =kx (k ≠0,x >0)得：5=k1，解得k =5，故反比例函数的表达式为：y =5x ， 将点B(m,1)代入y =5x 得：m =5， 故点B(5,1)，将点A(1,5)，B(5,1)代入y =ax +b 得{a +b =55a +b =1，解得{a =−1b =6，故一次函数表达式为：y =−x +6；(2)由一次函数y =−x +6可知，D(0,6)，则△AOB 的面积=△BOD 的面积−△AOD 的面积=12×6×5−12×6×1=12．【解析】(1)把A 点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B 的坐标，把A 、B 的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式； (2)△AOB 的面积=△BOD 的面积−△AOD 的面积．本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．19.【答案】解：(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I=k，R∵R=4Ω时，I=9A∴9=k，4解得k=4×9=36，∴I=36；R(2)列表如下：R/Ω3456891012I/A1297.26 4.54 3.63 (3)∵I=10，I=36，R∴R=3.6，若I⩽10，根据图像可得用电器可变电阻应控制在3.6欧及以上的范围内．【解析】本题考查了反比例函数的应用，运用待定系数法求函数解析式，画反比例函数的图象，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．(1)先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=k，将R=4Ω时，I=9A代入利用待定系R数法即可求出这个反比例函数的解析式；(2)将R的值分别代入(1)中所求的函数解析式，即可求出对应的I值，从而完成图表；(3)先求出I=10时的R值，然后根据函数图像求解即可．20.【答案】解：(1)观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近，由此估出红球有2个．故答案为：0.33，2；(2)画树状图为：由图可知，共有9种等可能的结果数，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果数为4，．所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为49【解析】(1)通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，估计得出答案；(2)画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好摸到1个白球、1个红球的结果数，然后利用概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了利用频率估计概率．21.【答案】解：(1)设此圆锥的高为ℎ，底面半径为r，母线长AC=l，∵2πr=πl，∴l：r=2：1；=2，(2)∵AO⊥OC，lr∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC=60°；(3)由图可知l2=ℎ2+r2，ℎ=3√3cm，∴(2r)2=(3√3)2+r2，即4r2=27+r2，解得r=3cm，∴l=2r=6cm，∴圆锥的侧面积为πl22=18π(cm2).【解析】(1)直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得比值；(2)利用圆锥的高，母线和底面半径构造的直角三角形中的勾股定理和等腰三角形的基本性质解题即可；(3)圆锥的侧面积是展开图扇形的面积，直接利用公式解题即可，圆锥的侧面积为πl22．本题主要考查圆锥的特点和圆锥侧面面积的计算．易错易混点：学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，从而造成错误．22.【答案】解：题1：画树状图得：∴一共有27种等可能的情况；至少有两辆车向左转的有7种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，则至少有两辆车向左转的概率为：727．题2：列表得：锁1锁2钥匙1(锁1，钥匙1)(锁2，钥匙1)钥匙2(锁1，钥匙2)(锁2，钥匙2)钥匙3(锁1，钥匙3)(锁2，钥匙3)所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的2种，则P=26=13．问题：(1)至少摸出两个绿球；(2)一口袋中放红色和黑色的小球各一个，分别表示不同的锁；另一口袋中放红色、黑色和绿色的小球各一个，分别表示不同的钥匙；其中同颜色的球表示一套锁和钥匙．“随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率”，相当于，“从两个口袋中各随机摸出一个球，两球颜色一样的概率”； (3)13．【解析】题1：因为此题需要三步完成，所以画出树状图求解即可，注意要做到不重不漏；题2：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率； 问题：(1)绿球代表左转，所以为：至少摸出两个绿球； (2)写出方案； (3)直接写结果即可．此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用类比法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．23.【答案】如12,13,15【解析】解：(1)根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，12，13，15； 理由：12的倒数为2，13的倒数为3，15的倒数为5，而2+3=5， ∴12,13,15能过程“和谐三数组”， 故答案为：如∴12,13,15；(2)证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a,b,c 均不为0)的两根， ∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=ca ， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−bc ，∵x 3是关于x 的方程bx +c =0(b,c 均不为0)的解，∴x3=−cb，∴1x3=−bc，∴1x1+1x2=1x3，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；(3)A(m,y1)，B(m+1,y2)，C(m+3,y3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∵A(m,y1)，B(m+1,y2)，C(m+3,y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，∴y1=4m ，y2=4m+1，y3=4m+3，∴1y1=m4，1y2=m+14，1y3=m+34，∵A(m,y1)，B(m+1,y2)，C(m+3,y3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∴①1y1+1y2=1y3，∴m4+m+14=m+34，∴m=2，②1y2+1y3=1y1，∴m+14+m+34=m4，∴m=−4，③1y3+1y1=1y2，∴m+34+m4=m+14，∴m=−2，即满足条件的实数m的值为2或−4或−2．(1)根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；(2)先根据材料2，得出1x1+1x2=−bc，再求出一元一次方程的解，进而得出1x3=−bc，即可得出结论；(3)先用m表示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．此题主要考查了新定义的理解和运用，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．第21页，共21页。
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年河南省许昌市禹州市九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°4．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）A．2018B．2019C．2020D．20225．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．07．如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，CP：PO＝1：2，则AB的长为（）A．B．C．16D．88．函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，OA＝2，将四边形OABC绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）10．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m二、填空题（每题3分，共15分）11．若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为．12．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为．13．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为．14．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，若△OAB恰为等边三角形，则的长度为．15．如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至OP，当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．解方程：（x﹣3）2＝2x﹣617．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．18．如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，且AB＝6cm，过点P作PC⊥AB交半圆O 于点C，连接BC，过点P作PD⊥BC于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如下表：位置长度位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10AP/cm0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.390.890.48在AP，CP，PD的长度这三个量中，若确定AP的长度是自变量，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为cm．（精确到0.1cm）19．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售．已知这种玩具销售量y（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线．（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝时，四边形ABOF为菱形；②若OC＝2DC，当AB＝时，△AGE为等腰直角三角形．21．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x ＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．22．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为，位置关系为；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x 轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，1）D．（1，﹣2）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可得答案．解：∵抛物线为y＝﹣2（x﹣1）2+1，∴顶点坐标（1，1）．故选：C．3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（）A．16°B．24°C．34°D．46°【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝56°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，∴∠BCD＝∠A＝34°，故选：C．4．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2020﹣2a﹣4b的值为（）A．2018B．2019C．2020D．2022【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+2b＝﹣1，再把2020﹣2a﹣4b变形为2020﹣2（a+2b），然后利用整体代入的方法计算．解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，∴a+2b＝﹣1，∴2020﹣2a﹣4b＝2020﹣2（a+2b）＝2020﹣2×（﹣1）＝2022．故选：D．5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】由正六边形的性质得出∠AOB＝120°，由圆周角定理求出∠APC＝30°．解：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝＝60°，∴∠APC＝∠AOC＝30°，故选：B．6．若关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．0【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围即可．解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，∴Δ＝4+4k≥0，解得：k≥﹣1．故选：D．7．如图，⊙O的直径CD＝12，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P，CP：PO＝1：2，则AB的长为（）A．B．C．16D．8【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AP＝BP，再计算出OP的长，然后根据勾股定理计算出AP的长，从而得到AB的长．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AP＝BP，∵CD＝12，∴OC＝6，∵CP：PO＝1：2，，∴OP＝4，在Rt△OAP中，AP＝＝2，∴AB＝2AP＝4．故选：A．8．函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax﹣a（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知C正确．故选：C．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC关于x轴对称，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，OA＝2，将四边形OABC绕点O逆时针旋转90°后得到四边形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到四边形OA2021B2021C2021，那么点B2021的坐标是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣3，0）【分析】连接AC交OB于E．解直角三角形求出点B的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．解：连接AC交OB于E．由题意，OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∠ABC＝90°，∵四边形AOCB关于x轴对称，∴∠AOE＝30°，∠ABE＝45°，∴OE＝OA•cos30°＝．AE＝EB＝OA•sin30°＝1，∴B（+1，0），B1（0，+1），B2（﹣﹣1，0），B3（0，﹣﹣1），观察图象可知，4次一个循环，∵2021÷4＝505…1，∴B2021的坐标与B1相同，故选：A．10．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【分析】根据所建坐标系特点可设解析式为y＝ax2+c的形式，结合图象易求B点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；再根据对称性求B3、B4的纵坐标后再求出总长度．解：如图，由题意建立坐标系，得B（0，0.5），C（1，0）．设抛物线的解析式为y＝ax2+c，代入得，，∴抛物线的解析式为．当x＝0.2时，y＝0.48，当x＝0.6时，y＝0.32．∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4＝2×（0.48+0.32）＝1.6m，故选：B．二、填空题（每题3分，共15分）11．若一元二次方程x2﹣c＝0的一个根为x＝，则另一个根为x＝﹣．【分析】把x＝代入方程求出c的值，进而求出另一根．解：把x＝代入方程得：c＝3，方程为x2﹣3＝0，即x2＝3，开方得：x＝或x＝﹣，则另一根为x＝﹣．故答案为：x＝﹣．12．将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后经过点A（2，m），则m的值为2．【分析】先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（2，m），所以再把点（2，m）代入新的抛物线解析式即可求出m的值．解：把抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向右平移1个单位长度后得到y＝（x﹣3﹣1）2﹣2，即y ＝（x﹣4）2﹣2．∵经过A（2，m），∴m＝（2﹣4）2﹣2＝2，解得：m＝2．故答案是：2．13．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝45．【分析】利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣1）＝45．故答案为：x（x﹣1）＝45．14．如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+2相交于A，B两点，若△OAB恰为等边三角形，则的长度为．【分析】根据题意和图形，可以得到OA的长度，然后利用弧长公式，即可得到弧AB的长度．解：如图，设直线y＝﹣x+2交坐标轴于点C、D，作OE⊥CD于点E，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝2，∴点C的坐标为（0，2），点D（2，0），∴CD＝2，∵S△COD＝CD•OE＝OC•OD，∴OE＝，∵△OAB是等边三角形，∴OA＝＝＝，∴的长度为：＝．故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边AB的中点，将OA绕点O逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至OP，当△BCP恰为以BC为腰的等腰三角形时，θ的值为40°或100°．【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB＝90°，当BC＝BP 时，得到∠BCP＝∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP＝∠ABC＝25°，于是得到α＝2×20°＝40°，当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB＝90°，根据等腰三角形的性质得到α＝2×50°＝100°．解：当BC＝BP时，如图1．∵∠ACB＝90°，O为斜边AB的中点，∴CO＝OA＝OP＝OB，∴△COB≌△POB，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴θ＝2×20°＝40°；当BC＝PC时，如图2，同理可证△COB≌△COP，∴∠P＝∠ABC＝∠OCB＝∠OCP＝20°，∴∠COP＝∠COB＝140°，∴θ＝140°﹣40°＝100°．故答案为：40°或100°．三、解答题（共8小题，满分75分）16．解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6【分析】利用因式分解法求解可得．解：∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝5．17．如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A （﹣4，5），B（﹣3，0），C（﹣2，2）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（3，2），写出顶点A1，B1的坐标，并画出△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．（3）若△ABC和△A3B3C3关于原点O成中心对称，画出△A3B3C3．【分析】（1）利用点C和C1的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移的坐标规律写出点A1，B1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A2、B2、C2即可；（3）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后就描点即可．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（1，5），B1（2，0）；（2）如图，△A2B2C2为所作．（3）如图，△A3B3C3为所作．18．如图，在半圆O中，P是直径AB上一动点，且AB＝6cm，过点P作PC⊥AB交半圆O 于点C，连接BC，过点P作PD⊥BC于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几组值，如下表：位置长度位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9位置10AP/cm0.370.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.390.890.48在AP，CP，PD的长度这三个量中，若确定AP的长度是自变量，CP的长度和PD的长度都是这个自变量的函数．（1）在同一平面直角坐标系xOy中，分别画出CP，PD的长度关于AP的长度的函数图象．（2）结合函数图象，解决问题：当CP＝2PD时，AP的长度约为 4.50cm．（精确到0.1cm）【分析】（1）先描点，再画出图象即可；（2）由图象推断即可得出答案．解：（1）作函数图象如下：（2）由图象可推断：当CP＝2PD时，线段AP的长度约为4.50．故答案为：4.50．19．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售．已知这种玩具销售量y（个）与每个降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，当x＝1时，y＝110；当x＝4时，y＝140，∴解得∴y与x之间的函数解析式为y＝10x+100（0＜x＜20）．（2）设该玩具每个降价x元时，小王获利最大，最大利润是w元．根据题意得w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000，∴w＝﹣10（x﹣5）2+2250，故该玩具每个降价5元时，小王获利最大，最大利润是2250元．20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC和⊙O于点E，F，连接AG，已知AG＝EG．（1）求证：AG为⊙O的切线．（2）已知AG＝2，填空：①当∠AEG＝60°时，四边形ABOF为菱形；②若OC＝2DC，当AB＝4时，△AGE为等腰直角三角形．【分析】（1）连接OA．证明OA⊥AG即可解决问题．（2）①连接OA，AF，OF．证明△ABO是等边三角形，推出∠B＝60°即可解决问题．②证明四边形AODG是矩形，△DEC，△ABC都是等腰直角三角形，求出BC的长即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DG⊥BC，∴∠GDC＝90°，∴∠ACO+∠DEC＝90°，∵∠DEC＝∠GEA，∴∠GEA+∠ACO＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAO+∠GAE＝90°，即∠GAO＝90°，∵OA为半径，∴OA⊥AG，∴AG为⊙O的切线；（2）解：①如图，连接OA，OF，AF，∵四边形ABOF是菱形，∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA，∴△ABO是等边三角形，∴∠B＝60°，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵ED⊥BC，∴∠DEC＝90°﹣∠ACB＝60°，∴∠AEG＝∠DEC＝60°．故答案为：60°；②如图，连接OA，∵△AGE是等腰直角三角形，∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°，∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形，∵OB＝OC，∴AO⊥OC，∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°，∴四边形AODG是矩形，∴AG＝OD＝2，∴OC＝2OD＝4，∴BC＝2OC＝8，∴AB＝AC＝4，故答案为：4．21．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x ＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝3，x3＝﹣1．（2）求方程x3＝6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．【分析】（1）用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3＝0可得结论；（2）仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；（3）方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0．∴x﹣3＝0或x+1＝0．∴x＝3或x＝﹣1．故答案为：3，﹣1；（2）方程x3＝6x2+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，∴x（x+2）（x﹣8）＝0．∴x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8．（3），方程两边平方，得﹣2x+15＝x2，即x2+2x﹣15＝0，∴（x+5）（x﹣3）＝0，∴x+5＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣5，x2＝3．当x＝﹣5时，＝＝5≠﹣5，故﹣5不是原方程的解，舍去；当x＝3时，＝＝3．∴x＝3是原方程的解．22．问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为AE＝BD，位置关系为AE⊥BD；拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．【分析】（1）延长BD交AE于H，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，根据三角形内角和定理得到∠EHD＝90°，证明结论；（2）证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质证明；（3）连接BD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出AD，结合图形计算，得到答案．解：（1）如图1，延长BD交AE于H，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠CDB＝∠HDE，∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；（2）AE与BD之间的关系仍然成立，理由如下：如图2，设BD，CE交于P，∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，∵∠FPE＝∠CPB，∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；（3）如图3，连接BD，由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，当点A在BD上时，BD最大，最大值为5+3，∴线段AE的最大值为5+3．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为（﹣4，0），AO＝2BO．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段AC，x 轴于E，F两点，请问线段DE是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPC＝∠OAC，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）求出B（2，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将点C（0，﹣3）代入即可求解；（2）求直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，设D（m，m2+m﹣3），则点E的坐标为（m，﹣m﹣3），DE＝﹣（m+2）2+，当m＝﹣2时，DE有最大值，则点E的坐标为（﹣2，﹣）；（3）以线段AC为直径作⊙M，分别交抛物线的对称轴于P，Q两点，连接MP，MQ，作MN⊥PQ，垂足为N，可求M的坐标为（﹣2，﹣），MN＝1，在Rt△MNP中，PN ＝由点N的坐标，可求点P的坐标为（﹣1，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，可求点P的坐标为（﹣1，﹣+）或（﹣1，﹣﹣）．解：（1）∵点A的坐标为（﹣4，0），AO＝2BO，∴点B的坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），且过点C（0，﹣3），∴﹣8a＝﹣3，解得，∴抛物线的解析式为，即；（2）存在，理由如下：如图1，设直线AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A（﹣4，0）代入y＝kx﹣3，得，∴直线AC的解析式为，设点D的坐标为（m，m2+m﹣3），则点E的坐标为（m，﹣m﹣3），∴，∵，∴当m＝﹣2时，DE有最大值，∴点E的坐标为（﹣2，﹣）；（3）如图2，以线段AC为直径作⊙M，分别交抛物线的对称轴于P，Q两点，连接MP，MQ，作MN⊥PQ，垂足为N，∵点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴AC中点M的坐标为（﹣2，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴MN＝﹣1﹣（﹣2）＝1，由勾股定理得AC＝5，∴，在Rt△MNP中，，MN＝1，∴，∵点N的坐标为（﹣1，﹣）；∴点P的坐标为（﹣1，﹣+），点Q的坐标为（﹣1，﹣﹣），由圆周角定理知∠OPC＝∠OQC＝∠OAC，故点P的坐标为（﹣1，﹣﹣）或（﹣1，﹣+）．。
河南省许昌市九年级上学期期中数学试卷
河南省许昌市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2012·梧州) 关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣4x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A . a＞﹣5B . a＞﹣5且a≠﹣1C . a＜﹣5D . a≥﹣5且a≠﹣12. （2分） (2019九上·龙岗月考) 若m是方程的根，则的值为（）A . 0B . 1C .D . 23. （2分）(2020·石家庄模拟) 关于的方程有两个相等的实数根.则反比例函数的图象在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分） (2019九上·台州月考) 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017九上·上城期中) 函数与的图象可能是（）．A .B .C .D .6. （2分） (2017八下·姜堰期末) 用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5=0，此方程可化为（）A .B .C .D .7. （2分）要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（）A . 向上平移1个单位；B . 向下平移1个单位；C . 向左平移1个单位；D . 向右平移1个单位．8. （2分）(2018·遵义模拟) 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则CD的长为（）A .B .C .D .9. （2分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）A . 20（1+2x）=80B . 2×20（1+x）=80C . 20（1+x2）=80D . 20（1+x）2=8010. （2分） (2016九上·永嘉月考) 如果二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点在x轴上方，那么（）A . b2﹣4ac≥0B . b2﹣4ac＜0C . b2﹣4ac＞0D . b2﹣4ac=0二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020九下·丹阳开学考) 已知点，在二次函数的图象上，若，则当 ________时， .12. （1分）已知是关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根为x1 ， x2 ，且，则a=________ 。
河南省许昌市九年级上学期数学期中考试试卷
河南省许昌市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）下列的平面几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A . 圆弧B . 角C . 扇形D . 菱形2. （2分）抛物线y=﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A . （2，3）B . （﹣3，2）C . （3，2）D . （﹣3，﹣2）3. （2分）(2017·冠县模拟) 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A . （0，0）B . （﹣1，1）C . （﹣1，0）D . （﹣1，﹣1）4. （2分）(2020·温岭模拟) 如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A . 80°B . 140°C . 20°D . 50°5. （2分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC 的度数为130°，则∠C的度数是（）A . 25°B . 30°C . 35°D . 40°6. （2分）(2019·河南模拟) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020九下·西安月考) 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，则下列结论正确的是（）A . abc＜0B . b2-4ac＜0C . a-b+c＜0D . 2a+b＝08. （2分）(2018·萧山模拟) 如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a=3；②当CF= 时，点E的运动路程为或或，则下列判断正确的是（）A . ①②都对B . ①②都错C . ①对②错D . ①错②对二、填空题 (共8题；共9分)9. （1分） (2019九上·武昌期中) 若点与点关于原点对称，则 ________.10. （1分） (2017九上·黄冈期中) 已知的半径，到直线的距离，点在直线上，如果线段，则点在 ________．11. （1分）(2016·巴彦) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是________．12. （1分） (2018九上·佳木斯期中) 将抛物线y=x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的解析式为________.13. （1分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于________.14. （1分） (2016九上·端州期末) 抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是________15. （1分）(2012·营口) （2012•营口）若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为________．16. （2分）(2016·南沙模拟) 如图，AC是▱ABCD的对角线，CE⊥AD，垂足为点E．（1）用尺规作图作AF⊥BC，垂足为F（保留作图痕迹）；（2）求证：△ABF≌△CDE．三、解答题 (共12题；共110分)17. （10分） (2016九上·港南期中) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）①请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．18. （10分）(2019·龙岗模拟) 如图，抛物线y＝ax2+（a+4）x+4（a≠0）与x轴交于点A（3，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝2，求m的值；（3）在y轴上有一点F（0，t），若∠AFB＜45°，请直接写出t的取值范围．19. （5分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．20. （10分） (2018九上·江苏月考) 已知：关于x的方程．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值.21. （10分）如图，△ABC中AB＝AC ，∠C＝30°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N ，试探究BM与CM之间的数量关系.22. （10分） (2012·辽阳) 某商场将进价为4000元的电视以4400元售出，平均每天能售出6台．为了配合国家财政推出的“节能家电补贴政策”的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：这种电视的售价每降价50元，平均每天就能多售出3台．（1）现设每台电视降价x元，商场每天销售这种电视的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写出自变量的取值范围）（2）每台电视降价多少元时，商场每天销售这种电视的利润最高？最高利润是多少？（3）商场要想在这种电视销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到更多实惠，每台电视应降价多少元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3600元？23. （10分） (2018九下·滨湖模拟) 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，有一个格点三角形ABC．（注：顶点均在网格线交点处的三角形称为格点三角形．）（1）△ABC是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）若P、Q分别为线段AB、BC上的动点，当PC＋PQ取得最小值时，① 在网格中用无刻度的直尺，画出线段PC、PQ．________（请保留作图痕迹．）② 直接写出PC＋PQ的最小值：________.24. （10分）(2020·西安模拟) 如图，△ABC为等边三角形，O为BC的中点，作⊙O与AC相切于点D．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）延长AC到E，使得CE＝AC，连接BE交⊙O与点F、M，若AB＝4，求FM的长．25. （8分） (2017九上·鄞州月考) 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）26. （10分）(2016·泰州) 已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1 ，当x=2时，该函数取最小值．（1）求b的值；（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．27. （11分） (2017七下·东营期末) 在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。
2019-2020学年河南省许昌十二中九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年河南省许昌十二中九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣23．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝36°，则∠BOD等于（）A．18°B．36°C．54°D．72°4．已知函数y＝（m+2）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．±15．一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.4米，最深处水深0.1米，则此输水管道的直径等于（）A．0.2米B．0.25米C．0.4米D．0.5米6．下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，交x轴于（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，若y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1 8．今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰，前三天的游客人数共计约5.1万人，其中第一天的游客人数是1.2万人．假设每天游客增加的百分率相同，且设为x，则根据题意可列方程为（）A．1.2（1+x）2＝5.1B．1.2（3+x）2＝5.1C．1.2（1+2x）2＝5.1D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝5.19．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共15分）.11．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为．12．已知点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M关于原点对称的坐标为．13．若抛物线y＝x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0．其中正确的有．三、解答题（共7小题，满分75分）.16．解方程：①2x2﹣5x﹣3＝0②（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．17．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．18．如图，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（4，0）．点C的坐标为（0，﹣1）．（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形△A′B′C；（2）直接写出：点A′的坐标（，），点B′的坐标（，）．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．（1）求证：BE＝EC（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝；②当∠B＝度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．20．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利最大？21．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC 交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长．22．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM 的周长．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：D．2．把二次函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣2【分析】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．解：原抛物线的顶点为（0，0），先向右平移1个单位，再向上平移2个单位那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k代入2得：y＝﹣（x﹣1）2+2．故选：A．3．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝36°，则∠BOD等于（）A．18°B．36°C．54°D．72°【分析】由在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝36°，根据平行线的性质，可求得∠C的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解：∵弦AB∥CD，∠ABC＝36°，∴∠C＝∠ABC＝36°，∴∠BOD＝2∠C＝72°．故选：D．4．已知函数y＝（m+2）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．±1【分析】根据二次函数的定义，令m2﹣2＝2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．解：∵y＝（m+2）是二次函数，∴m2﹣2＝2，且m+2≠0，∴m＝2，故选：B．5．一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.4米，最深处水深0.1米，则此输水管道的直径等于（）A．0.2米B．0.25米C．0.4米D．0.5米【分析】过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，由垂径定理可知AD＝AB，再设OA＝r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.1，再在Rt△OAD中利用勾股定理即可求出R的值，进而求出输水管道的直径．解：过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD＝AB＝×0.4＝0.2米，设OA＝r，则OD＝r﹣DE＝r﹣0.1，在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即r2＝0.22+（r﹣0.1）2，解得r＝0.25米，故此输水管道的直径＝2r＝2×0.25＝0.5米．故选：D．6．下列语句中：①过三点能作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆的认识、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一判断即可．解：①经过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，故本小题错误；②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本小题错误；③长度相等的弧不一定是等弧，故本小题错误；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，故本小题正确；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，故本小题正确．故选：B．7．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，交x轴于（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，若y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣4或x＞1D．x＜﹣3或x＞1【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点坐标，然后写出x轴上方部分的x的取值范围即可．解：设抛物线与x轴的另一交点坐标为（m，0），则＝﹣1，解得：m＝﹣3，∴另一交点坐标为（﹣3，0），∴y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故选：B．8．今年福安白云山千古冰臼群迎来旅游高峰，前三天的游客人数共计约5.1万人，其中第一天的游客人数是1.2万人．假设每天游客增加的百分率相同，且设为x，则根据题意可列方程为（）A．1.2（1+x）2＝5.1B．1.2（3+x）2＝5.1C．1.2（1+2x）2＝5.1D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝5.1【分析】如果每天的增长率都为x，利用三天的和共5.1万人列出方程即可；解：设增长率为x，根据题意得：1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2＝5.1故选：D．9．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【分析】由y＝（x﹣1）2﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线开口向上，而点A（﹣2，y1）到对称轴的距离最远，B（1，y2）在对称轴上，∴y2＜y3＜y1．故选：B．10．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y＝ax2开口向上，过原点，y＝ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y＝ax2开口向下，过原点，y＝ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选：D．二、填空题（每题3分，共15分）.11．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为x2﹣8x﹣4＝0．【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可．解：（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1，可化为：x﹣3+3x2﹣9x＝2x2+1，化为一元二次方程的一般形式为x2﹣8x﹣4＝0．12．已知点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M关于原点对称的坐标为（2，3）．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．解：点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M关于原点对称的坐标为（2，3），故答案为：（2，3）．13．若抛物线y＝x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为m＞1．【分析】根据题意可知Δ＜0，求出m的范围即可．解：根据题意可知Δ＜0，∴4﹣4m＜0，m＞1，故答案为：m＞1，14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝．【分析】根据等边三角形的判定得出△BCC′是等边三角形，再利用已知得出DC′是△ABC的中位线，进而得出DC′＝BC＝．解：∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，BC＝BC′＝AC＝5，∴△BCC′是等边三角形，∴CC′＝5，∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，∴DC′＝BC＝，故答案为：．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当x≠1时，a+b＞ax2+bx；④a﹣b+c＞0．其中正确的有②③．【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，得到b ＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则abc＜0；由于抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，得到2a+b＝0；由于x＝﹣1时，y＜0，于是有a﹣b+c ＜0．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴2a+b＝0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＝1时的函数值是最大值，∴a+b+c＞ax+bx+c（x≠1），∴a+b＞ax+bx，所以③正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误．故答案为②③．三、解答题（共7小题，满分75分）.16．解方程：①2x2﹣5x﹣3＝0②（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】①根据因式分解法可以解答此方程；②根据因式分解法可以解答此方程．解：①2x2﹣5x﹣3＝0（2x+1）（x﹣3）＝0∴2x+1＝0或x﹣3＝0，解得，x1＝3，x2＝﹣0.5；②（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（x﹣3）[（x﹣3）+2x]＝0（x﹣3）（3x﹣3）＝0∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0解得，x1＝3，x2＝1．17．已知：关于x的方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，Δ＞0，由此可求k的取值范围；（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）＝0有两个不相等的实数根，∴42﹣4（2﹣k）＞0，即4k+8＞0，解得k＞﹣2；（2）若k是负整数，k只能为﹣1；如果k＝﹣1，原方程为x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．18．如图，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（4，0）．点C的坐标为（0，﹣1）．（1）请在直角坐标系中画出△ABC绕着点C逆时针旋转90°后的图形△A′B′C；（2）直接写出：点A′的坐标（﹣4，2），点B′的坐标（﹣1，3）．【分析】（1）利用旋转的性质，找出各个关键点的对应点，连接即可；（2）根据（1）得到的图形即可得到所求点的坐标．解：（1）如图所示：；（2）由（2）可得，点A′的坐标（﹣4，2），点B′的坐标（﹣1，3）．故答案为：﹣4，2，﹣1，3．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线．交BC于点E．（1）求证：BE＝EC（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DB＝3；②当∠B＝45度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC＝ED，再求得EB＝ED，即可得出结论；（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再根据BD＝BC •cos30°计算即可；②由等腰三角形的性质，得到∠ODA＝∠A＝45°，于是∠DOC＝90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．【解答】（1）证明：连接DO．∵∠ACB＝90°，AC为直径，∴EC为⊙O的切线；又∵ED也为⊙O的切线，∴EC＝ED，又∵∠EDO＝90°，∴∠BDE+∠ADO＝90°，∴∠BDE+∠A＝90°又∵∠B+∠A＝90°，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝ED，∴BE＝EC；（2）解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC＝＝6，∵AC为直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴BD＝BC•cos30°＝3故答案为：3；②当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝45°，∴∠AOD＝90°，∴∠DOC＝90°，∵∠ODE＝90°，∴四边形DECO是矩形，∵OD＝OC，∴矩形DECO是正方形．故答案为：45．20．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利最大？【分析】（1）找出定价为140元时的日销售量，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出商场获得的日盈利；（2）根据日盈利＝每件利润×销售数量列出函数关系式，根据函数的性质求最值．解：（1）140﹣130＝10（元），70﹣10＝60（件），∴（140﹣120）×60＝1200（元）．答：每天可销售60件商品，商场获得的日盈利是1200元；（2）设每件商品售价为x元，商场日销售利润为w元，由题意，得w＝（x﹣120）[70﹣（x﹣130）]＝（x﹣120）（200﹣x）＝﹣x2+320x﹣24000＝﹣（x﹣160）2+1600，∵﹣1＜0，∴当x＝160时，w有最大值，最大值为1600，∴每件商品的销售价定为160元，商场日盈利最大．21．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC 交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长．【分析】（1）如图1，由平行线分线段成比例定理可得：BD＝CE；（2）如图2，证明△BAD≌△CAE，得BD＝CE；（3）分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG＝1，由勾股定理求出AG＝，得出BG，从而计算出BD的长．②如图4，求EF的长和CF的长，根据勾股定理在Rt△EFC中求EC的长，所以BD＝EC＝2．解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴，∴BD＝CE；（2）结论仍然成立，如图2，由图1得，△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，由旋转得：∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（3）当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时，有两种情况：①如图3，∵△ADE是等边三角形，AF⊥DE，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，∴∠BAD＝30°，过D作DG⊥AB，垂足为G，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵AB＝2，∴BG＝AB﹣AG＝2﹣＝，∴BD＝＝＝2．②如图4，同理得：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∵AD＝AE，DE⊥AC，∴∠EAF＝∠FAD＝30°，∴EF＝FD＝AD＝1，∴AF＝，∴CF＝AC+CF＝2+＝3，在Rt△EFC中，EC＝＝＝＝2，∴BD＝EC＝2，综上所述，BD的长为2和2．22．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM 的周长．【分析】（1）直接将（﹣1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；（2）分别得出AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，再求△ACM周长最小值．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．y＝（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标为：（，﹣）；（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）如图所示：连接AM，点A关于对称轴的对称点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MA的值最小，即△ACM周长最小，设直线BC解析式为：y＝kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y＝x﹣2，当x＝时，y＝﹣，∴M（，﹣），△ACM最小周长是：AC+AM+MC＝AC+BC＝+2＝3．。
2019-2020学年河南省许昌八中九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年河南省许昌八中九年级（上）期中数学试卷1.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.已知x=2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0的一个根，则m的值为()A. 0B. 0或−2C. −2或6D. 63.下列方程中不一定是一元二次方程的是()A. ax2+bx+c=0B. (a−3)x2=8(a≠3)x−2=0C. (x+3)(x−2)=x+5D. √3x2+3574.抛物线y=−5(x+2)2−6的对称轴和顶点分别是()A. x=2和(2,−6)B. x=2和(−2,−6)C. x=−2和(−2,−6)D. x=−2和(2,−6)5.用配方法解一元二次方程x2−4x+3=0时可配方得()A. (x−2)2=7B. (x−2)2=1C. (x+2)2=1D. (x+2)2=26.不解方程，判断方程x2−4√2x+9=0的根的情况是()A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 以上三种情况都有可能7.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦AB=8，则弦CD的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√38.如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x(s)，y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为()A. B.C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=1，下列结论中正确的是()A. ab>0B. b=2aC. 4a+2b+c<0D. a+c<b10.如图，⊙O的弦CD与直径AB的延长线相交于点E，AB=2DE，∠E=12°，则∠BAC=()A. 60°B. 72°C. 75°D. 78°11.已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，点(x1,y1)，(x2,y2)是图象上的两点，当2<x1<x2时，y1，y2的大小关系是______．13.三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2−10x+21=0的解，则三角形的周长为______．14.将抛物线y=x2−4x−4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为______．15.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3)，B是x轴正半轴上一动点，将点A绕点B顺时针旋转60°得点C，OB延长线上有一点D，满足∠BDC=∠BAC，则线段BD长为______．16.解方程：(1)x2+4x−1=0(2)3x(x−2)=5(x−2)17.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△AB1C1.当B1B//AC时，求∠BAC1的度数．18.如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC//BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6√3cm．(1)直线AC与⊙O有怎样的位置关系？为什么？(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)19.如图，平面直角坐标系中，以点C为坐标原点，点A(0,−1)，B(−2,0)，将△ABC绕点A顺时针旋转90°．(1)在图中画出旋转后的△AB′C′，并写出点B′、C′的坐标；(2)已知点D(3,−2)，在x轴上求作一点P(注：不要求写出P点的坐标)，使得PC′+PD的值最小，并求出PC′+PD的最小值；(3)写出△ABC在旋转过程中，线段AB扫过的面积______．20.如图，⊙O中，AB=CD.求证：AD=CB．21.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资4000元．已知绿茶每千克成本40元，经研究发现销量y(kg)与销售单价x(元/kg)之间的函数关系是y=−2x+240(40≤x≤90)，设该绿茶的月销售利润为w(元)[销售利润=(每千克单价−每千克成本)×销售量](1)求w与x之间的函数关系式，并求出x为何值时，w的值最大？(2)若在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于85元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到2200元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？22.△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且AC=AB，AD=AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．(1)如图1，当点D、E分别在边AB、AC上，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)把等腰Rt△ADE绕点A旋转到如图2的位置，连接MN，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)把等腰Rt△ADE绕点A在平面内任意旋转，AD=2，AB=6，请直接写出△PMN的面积S的变化范围______．23.如图所示，已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(−1,−1)，B(2,−4)两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．(1)请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2<kx−2的解集；(2)当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；(3)是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：∵x=2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0的一个根，∴4(m+2)+4−m2=0，∴m2−4m−12=0，∴(m−6)(m+2)=0，∴m=6或−2，m=−2时不合题意舍弃，∴m=6，故选：D．把x=2代入一元二次方程(m+2)x2+2x−m2=0求出m的值，再检验上方符合题意即可．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于基础题，中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：A、方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程；B、由于a≠3，所以a−3≠0，故(a−3)x2=8(a≠3)是一元二次方程；C、方程展开后是：x2−11=0，符合一元二次方程的定义；D、符合一元二次方程的定义．故选：A．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴和顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=−5(x+2)2−6，∴该抛物线的对称轴是直线x=−2，顶点坐标为(−2,−6)，故选：C．5.【答案】B【解析】解：∵x2−4x+3=0，∴x2−4x=−3，∴x2−4x+4=−3+4，∴(x−2)2=1.故选B．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程无实数根．熟练掌握一元二次方程实数根的情况和根的判别式的关系是解题的关键找出方程a，b，c的值，计算出根的判别式的值，即可判断．【解答】解：∵a=1，b=−4√2，c=9，∴△=(−4√2)2−4×1×9=32−36=−4<0，则方程x2−4√2x+9=0无实数根，故选A．7.【答案】A【解析】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴CD=√AE2−AB2=√102−82=6，故选：A．延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．8.【答案】C【解析】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm(0≤x≤3)；根据余弦定理知cosA=AP2+AC2−PC22PA⋅AC，即12=x2+9−y6x，解得，y=x2−3x+9(0≤x≤3)；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=32√3cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5−x|cm，∴y=PC2=(32√3)2+(1.5−x)2=x2−3x+9(0≤x≤3)该函数图象是开口向上的抛物线；②当3<x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=(6−x)cm(3<x≤6)；则y=(6−x)2=(x−6)2(3<x≤6)，∴该函数的图象是在3<x≤6上的抛物线；故选：C．需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=AP2+AC2−PC22PA⋅AC，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3<x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=(6−x)2=(x−6)2(3<x≤6)，根据该函数关系式可以确定该函数的图象．本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．9.【答案】D【解析】解：由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，=1，得2a=−b，∴a、b异号，即b>0，即ab<0，b=−2a，∴c>0，对称轴为x=−b2aA、B选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故C错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=−1时，y<0，∴a−b+c<0，故D正确；故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2−4ac的符号，此外还要注意x=1，−1，2及−2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角和定理，熟练掌握三角形外角定理是关键．根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．【解答】解：∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD=12°，在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=24°，∵OC=OD，∴∠DCO=∠ODC=24°．∴∠AOC=∠E+∠ECO=12°+24°=36°，∵OA=OC，∴∠BAC=180°−36°2=72°，故选：B．11.【答案】7或1【解析】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，∵AB//CD，∴OE⊥CD，∴E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=BE=12AB=3cm，CF=DF=12CD=4cm，在Rt△COF中，OC=5cm，CF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，在Rt△AOE中，OA=5cm，AE=3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．故答案为：7或1．分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，由AB//CD，得到OE⊥AB，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE 中，利用勾股定理求出OE的长，由OE−OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题12.【答案】y1<y2【解析】解：如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向向上，对称轴是直线x=2，且当x>2时，y随x的增大而增大，∴当2<x1<x2时，y1<y2．故答案是：y1<y2．根据抛物线的对称轴是直线x=2，开口方向向上可知，当x>2时，y随x的增大而增大，据此判断y1<y2．考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．解题时，利用了抛物线的增减性和数形结合的数学思想来解题．13.【答案】15【解析】解：x2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7，当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案为：15．首先利用因式分解法计算出x的值，再根据三角形的三边关系确定出x的值，然后再计算出周长即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确计算出x的值．14.【答案】y=(x+1)2−3【解析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的解析式．【解答】解：∵y=x2−4x−4=(x−2)2−8，∵将抛物线y=(x−2)2−8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=(x−2+3)2−8+5，即y=(x+1)2−3，故答案为：y=(x+1)2−3．15.【答案】2√3【解析】解：如图，在DO上取一点H，使得DH=CD.设AH交BC于点K．∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵DC=DH，∠CDH=60°，∴△CDH是等边三角形，∴CA=CB，CH=CD，∠ACB=∠HCD=60°，∴∠ACH=∠BCD，∴△ACH≌△BCD(SAS)，∴∠CAH=∠CBD，AH=BD，∵∠AKC=∠BKH，∴∠KHB=∠ACB=60°，在Rt△AOH中，∵OA=3，=2√3，∴AH=OAsin60∘∴BD=AH=2√3．故答案为2√3．如图，在DO上取一点H，使得DH=CD.设AH交BC于点K.只要证明△ACH≌△BCD(SAS)，推出∠CAH=∠CBD，AH=BD，由∠AKC=∠BKH，推出∠KHB=∠ACB=60°，求出AH即可解决问题；本题考查坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.【答案】解：(1)∵x2+4x−1=0，∴x2+4x=1，则x2+4x+4=1+4，即(x+2)2=5，∴x+2=±√5，∴x1=−2+√5，x2=−2−√5；(2)∵3x(x−2)=5(x−2)，∴3x(x−2)−5(x−2)=0，∴(x−2)(3x−5)=0，则x−2=0或3x−5=0，解得：x1=2，x2=5．3【解析】本题考查了解一元二次方程的方法：因式分解法和配方法．(1)利用配方法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得．17.【答案】解：∵B1B//AC，∴∠ABB1=∠BAC=30°．∵由旋转的性质可知：∠B1AC1=∠BAC=30°，AB=AB1．∴∠ABB1=∠AB1B=30°，∴∠BAB1=180°−∠ABB1−∠AB1B=120°，∴∠BAC1=∠BAB1−∠B1AC1=120°−30°=90°．【解析】本题主要考查的是旋转的性质、平行线的性质，求得∠BAB1的度数是解题的关键．先依据平行的性质可求得∠ABB1的度数，然后再由旋转的性质得到△AB1B为等腰三角形且∠ABB1=∠AB1B=30°，再求得∠BAB1的度数，最后依据∠BAC1=∠BAB1−∠C1AB1求解即可．18.【答案】解：(1)直线AC与⊙O相切．理由如下：连结BC、OD、OC，OC交BD于E，如图，∵∠BOC=2∠BDC=2×30°=60°，∵AC//BD，∴∠A=∠OBD=30°，∴∠ACO=180°−∠A−∠AOC=90°，∴OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线；(2)解：∵OC⊥AC，BD//AC，∴OC⊥BD，∴BE=DE=12BD=3√3，∵∠OBE=30°，∴OE=√33BE=3，OB=2OE=6，∴CE=OE，∴OC和BD互相垂直平分，∴四边形BODC为菱形，∴S△CDE=S△OBE，∴由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积=S扇形BOC =60⋅π⋅62360=6π(cm2).【解析】(1)连结BC、OD、OC，OC交BD于E，根据圆周角定理得∠BOC=2∠BDC=60°，再根据平行线的性质，由AC//BD得∠A=∠OBD=30°，则∠ACO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC为⊙O的切线；(2)根据平行线的性质，由OC⊥AC，BD//AC得OC⊥BD，再利用垂径定理得BE=DE=1 2BD=3√3，则利用∠OBE=30°，可计算出OE=√33BE=3，OB=2OE=6，接着判断四边形BODC为菱形，得到S△CDE=S△OBE，所以由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积，然后根据扇形面积公式求解．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了扇形的计算．19.【答案】54π【解析】解：(1)如图所示，△AB′C′即为所求，点B′、C′的坐标分别为(1,1)和(1,−1)；(2)如图所示，点B′与点C′关于x轴对称，连接B′D交x轴于点P，则PC′+PD的值最小，PC′+PD的最小值为√22+32=√13；(3)线段AB扫过的面积为：90×π×(√5)2360=54π，故答案为：54π．(1)依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到旋转后的△AB′C′，并写出点B′、C′的坐标；(2)点B′与点C′关于x轴对称，连接B′D交x轴于点P，则PC′+PD的值最小，依据勾股定理即可得到PC′+PD的最小值；(3)依据扇形的面积计算公式，即可得到线段AB扫过的面积．此题主要考查了旋转变换以及扇形面积求法，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】证明：∵AB=CD，∴AB⏜=BC⏜，∴AC⏜+BC⏜=AC⏜+AD⏜，∴AD⏜=BC⏜，∴AD=BC．【解析】由AB=CD，推出AB⏜=BC⏜，推出AD⏜=BC⏜可得结论；本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．21.【答案】解：(1)由题意可得，w与x的函数关系式为：w=(x−50)⋅y=(x−40)⋅(−2x+240)=−2x2+320x−9600；∵w=−2x2+320x−9600=−2(x−80)2+3200，∴当x=80时，w的值最大为3200元；(2)∵在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售所获利润为3200元，∴第1个月还有4000−3200=800元的投资成本没有收回，∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到2200元，即w=2200+800= 3000才可以，∴−2(x−80)2+3200=3000，解得，x1=70，x2=90，根据题意，x2=90不合题意应舍去．答：当销售单价为70元时，利润达到2200元．【解析】(1)根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；(2)根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少．本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，会将函数解析式化为顶点式，求函数的最值，可以根据实际问题确定问题的答案．22.【答案】PM=PN PM⊥PN2≤S≤8【解析】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，BD，∴PN//BD，PN=12∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM//CE，PM=12CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN//BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM//CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM//CE，∴∠DPM=∠DCE，同(1)的方法得，PN//BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB +∠ABC =90°，∴∠MPN =90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；(3)由(2)知，△PMN 是等腰直角三角形，PM =PN =12BD ，∴PM 最大时，△PMN 面积最大，PM 最小时，△PMN 面积最小∴点D 在BA 的延长线上，△PMN 的面积最大，∴BD =AB +AD =8，∴PM =4∴S 最大=12PM 2=12×42=8， 当点D 在线段AB 上时，△PMN 的面积最小，∴BD =AB −AD =4，∴PM =2，S 最小=12PM 2=12×22=2，∴2≤S ≤8，故答案为：2≤S ≤8．(1)利用三角形的中位线得出PM =12CE ，PN =12BD ，进而判断出BD =CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE 得出∠DPM =∠DCA ，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE ，得出BD =CE ，同(1)的方法得出PM =12BD ，PN =12BD ，即可得出PM =PN ，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出BD 最大时，△PMN 的面积最大，而BD 最大是AB +AD =14，再判断出BD 最小时，△PMN 最小，即可得出结论．此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM =12CE ，PN =12BD ，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE ，解(3)的关键是点D 在线段AB 和BA 的延长线上时，△PMN 的面积最小和最大．23.【答案】解：(1)把A(−1,−1)，代入y =ax 2中，可得：a =−1，把A(−1,−1)，B(2,−4)代入y =kx +b 中，可得：{−k +b =−12k +b =−4，解得：{k =−1b =−2， 所以a =−1，k =−1，b =−2，关于x 的不等式ax 2<kx −2的解集是x <−1或x >2，(2)过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两者交于点C ．∵A(−1,−1)，B(2,−4)，∴C(−1,−4)，AC =BC =3，设点P 的横坐标为m ，则点P 的纵坐标为−m 2．过点P 作PD ⊥AC 于D ，作PE ⊥BC 于E.则D(−1,−m 2)，E(m,−4)，∴PD =m +1，PE =−m 2+4．∴S △APB =S △APC +S △BPC −S △ABC=12AC ⋅PD +12BC ⋅PE −12AC ⋅BC =12×3(m +1)+12×3(−m 2+4)−12×3×3 =−32m 2+32m +3．∵−32<0，m =−322×(−32)=12，−1<m <2， ∴当m =12时，S △APB 的值最大．∴当m =12时，−m 2=−14，S △APB =−32m 2+32m +3=338，即△PAB 面积的最大值为338，此时点P 的坐标为(12,−14)(3)存在三组符合条件的点，当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，∵AP=BQ，AQ=BP，A(−1,−1)，B(2,−4)，可得坐标如下：①P′的横坐标为−3，代入二次函数表达式，解得：P′(−3,−9)，Q′(0,−12)；②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，解得：P″(3,−9)，Q″(0,−6)；③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，解得：P(1,−1)，Q(0,−4)．故：P的坐标为(−3,−9)或(3,−9)或(1,−1)，Q的坐标为：Q(0,−12)或(0,−6)或(0,−4)．【解析】(1)根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；(2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC.根据三角形的面积公式解答即可；(3)根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
河南省许昌市第一中学2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年河南省许昌一中九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）A．B．C．D．2．（3分）方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（ ）A．2x2和8B．2x2和﹣8C．2和﹣8D．2和83．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y24．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3）C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+36．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）A．B．C．D．7．（3分）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数与n的关系式是（ ）A．y＝n2﹣n+2B．y＝n2﹣2n+1C．y＝n2﹣n﹣1D．y＝n2﹣n+18．（3分）电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x（ ）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝109．（3分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方（ ）A．3.2B．0.32C．2.5D．1.610．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜02﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝02+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）11．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．12．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．13．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合 度．（写出一个即可）14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则当y＜0时，x的取值范围是 ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为 ．三．解答题（共8小题）16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：小敏：小霞：两边同除以（x ﹣3），得3＝x ﹣3，则x ＝6．移项，得3（x ﹣3）﹣（x ﹣3）2＝0，提取公因式，得（x ﹣3）（3﹣x ﹣3）＝0．则x ﹣3＝0或3﹣x ﹣3＝0，解得x 1＝3，x 2＝0．请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．（4分）17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A （﹣1，4），B （﹣4，2），C （﹣3，5）．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）平移△ABC 得到△A 1B 1C 1，若A 1的坐标为（2，2），则B 1的坐标为 ；（2分）（2）若△A 2B 2C 2和△ABC 关于原点O 成中心对称，则C 2的坐标为 ；（2分）（3）△ABC 的面积为 ；（2分）（4）将△ABC绕点O 逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 3B 3C 3．（2分）18．已知关于x 的方程x 2﹣2（m +1）x +m 2﹣3＝0．（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2分）（2）设x 1、x 2是方程的两根，且（x 1+x 2）2﹣（x 1+x 2）﹣12＝0，求m 的值．（2分）19．请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2分）（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？（3分）20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（3分）（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．（5分）21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（3分）（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（5分）22．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…0﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4﹣30…其中，a＝ ，b＝ ；（2分）（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；（2分）（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；（2分）（4）探究与应用：①方程ax2+b|x|﹣2＝0有 实数根；（2分）②若有关于x的不等式ax2+b|x|＞x，则x的取值范围是 ．（2分）23．综合与实践﹣﹣﹣﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题．问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 时，△AMC是等腰三角形；（2分）（2）深入探究：敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3分）（3）拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角α的度数，请说明理由．（3分）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解析：解：选项A、B、C不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．故选：D．2．解析：解：2x2﹣5x＝8，整理得：2x3﹣5x﹣8＝7，∴方程2x2﹣4x＝8的二次项系数和常数项分别为2和﹣5，故选：C．3．解析：解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）8+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，而A（﹣3，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（3，y3）点离直线x＝﹣1最远，∴y4＜y2＜y3．故选：C．4．解析：解：A．点A与点B关于x轴对称，﹣3）；B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，2）；C．点A与点B关于原点中心对称，﹣6）；D．点A先向上平移3个单位，则点B的坐标为B（2，故本选项符合题意，故选：D．5．解析：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移8个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）6；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣6）2﹣3．故选：C．6．解析：解：A、对于直线y＝bx+a来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣，应在y 轴的左侧，图形错误．B、对于直线y＝bx+a来说，a＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，图形错误．C、对于直线y＝bx+a来说，a＜5；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下位于y轴的右侧，D、对于直线y＝bx+a来说，a＞6；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，故不合题意．故选：C．7．解析：解：设点的个数和n的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将点（1，（7，（3，，∴第n个图形中点的个数与n的关系式是y＝n5﹣n+1．故选：D．8．解析：解：∵某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率x增长，∴该地第二天票房约3（3+x）亿元，第三天票房约3（1+x）5亿元，又∵三天后票房收入累计达10亿元，∴根据题意可列方程3+3（2+x）+3（1+x）4＝10．故选：D．9．解析：解：如图所示，以AE所在直线为x轴，方法一：∵AB＝DE＝1.5m，∴点B与点D关于对称轴对称，∴AE＝6×1.6＝5.2（m）；方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.7，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，将点B（7，1.5）代入得，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）6+2.5，当y＝7.5时，﹣（x﹣1.6）7+2.5＝7.5，解得x＝0（舍）或x＝2.2，所以茶几到灯柱的距离AE为3.6米，故选：A．10．解析：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣5，∴b＝4a，ab＞0，∴b﹣7a＝0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，4处两点，∴b2﹣4ac＞5，方程ax2+bx＝0的两个根为x8＝0，x2＝﹣3，∴②⑤正确，∵当x＝﹣3时y＞0，即7a﹣3b+c＞0，∴③正确，故正确的有②③④⑤．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解析：解：a＝1，b＝﹣2．∵Δ＝b7﹣4ac＝（﹣2）4﹣4×1×c＞4，∴c＜1．故答案为：0（答案不唯一）．12．解析：解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝7解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为7s故答案为4．13．解析：解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．14．解析：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，2），由图象可知，当y＜0时．故答案为：﹣3＜x＜7．15．解析：解：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+6，则抛物线的顶点坐标为（1，2），∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴对角线BD的最小值为7，故答案为：2．三．解答题（共8小题）16．解析：解：小敏：错误；小霞：错误．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣4）2＝0，提取公因式，得（x﹣2）（3﹣x+3）＝4．则x﹣3＝0或2﹣x+3＝0，解得x3＝3，x2＝4．17．解析：解：（1）∵A（﹣1，4），A2（2，2），∴△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A1B3C1，∵B（﹣4，3），∴B1的坐标为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，0）．（2）∵△A6B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，C（﹣4，∴C2的坐标为（3，﹣3）．故答案为：（3，﹣5）．（3）△ABC的面积为＝．故答案为：．（4）如图，△A3B3C3即为所求．18．解析：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（m+1）]2﹣7×1×（m2﹣4）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2＝7（m+1），∵（x1+x7）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+2）]2﹣2（m+6）﹣12＝0，解得：m1＝5或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．19．解析：解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据题意，可得（1+x）2＝121，解得x2＝10，x2＝﹣12（舍去），答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；（2）根据题意，121×10＝1210（名），答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．20．解析：解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，且经过点O（0，B（10，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5，把点（5，0）代入得：0＝a（4﹣5）2+4，即a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，故答案为：方案二，（10；（2）由题意知，当x＝5﹣6＝2时，﹣2+5＝，所以水面上涨的高度为米．21．解析：解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，由题意得，100（1+x）2＝144，解得x＝20%或x＝﹣5.2（舍去），∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，整理得m2﹣130m+4000＝4，解得m＝50或m＝80，∵尽可能让顾客得到实惠，∴m＝50，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．22．解析：解：（1）将（﹣4，0），﹣8）代入y＝ax2+b|x|得，解得，故答案为：1，﹣4．（2）如图，（3）由图象可得函数图象对称轴为y轴，函数最小值为y＝﹣2．（4）①∵Δ＝b2﹣4a×（﹣7）＝（﹣4）2+5×1＝16+8＝24＞4，∴方程ax2+b|x|﹣2＝8有两个实数根．②当x≤0时，令x2+4x＝x，解得x1＝﹣3，x2＝0，当x＞0时，令x5﹣4x＝x，解得x1＝8（舍），x2＝5，∴直线y＝x与函数y＝x6﹣4|x|的图象交点横坐标为﹣3，5，5，如图，可得x＜﹣3或x＞8时，ax2+b|x|＞x，故答案为：两个，x＜﹣3或x＞2．23．解析：（1）解：当AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°时；∵∠BAC＝90°，∴α＝90°﹣30°＝60°，当AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA时，∵∠C＝30°，∴∠CAM＝∠AMC＝75°，∵∠BAC＝90°，∴α＝15°，综上所述，当旋转角α＝60°或15°时，故答案为：60°或15°；（2）证明：由题意可知，AB＝AF，∠E＝∠C，∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），∴∠BAM＝∠FAN，在△ABM与△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM＝AN，∵AE＝AC，∴EM＝CN，∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，∴△MPE≌△NPC（AAS），∴PE＝PC，∴点P在CE的垂直平分线上，∵AE＝AC，∴点A在CE的垂直平分线上，∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3）解：如答题图1所示：当∠CNP＝90°时．∵∠CNP＝90°，∴∠ANF＝90°，又∵∠AFN＝60°，∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠α＝30°，如答题图6所示：当∠CPN＝90°时．∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，∴∠CNP＝60°，∴∠ANF＝60°，又∵∠F＝60°，∴∠FAN＝60°，∴∠α＝60°，综上所述，∠α＝30°或60°．。
河南省许昌市九年级上学期数学期中考试试卷
河南省许昌市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分） (2017七上·乌鲁木齐开学考) 在数值比例尺是1：100的图纸上，1分米长表示的实际距离是（）A . 1分米B . 100分米C . 101分米D . 0.01分米2. （2分）如图，，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（）A .B .C .D .3. （2分）将一张矩形纸片ABCD（如图）那样折起，使顶点C落在C'处，测量得AB=4，DE=8．则sin∠C'ED 为（）A . 2B .C .D .4. （2分）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A . ∠ABD=∠ACBB . ∠ADB=∠ABCC . AB2=AD•ACD .5. （2分） (2018九上·林州期中) 如图，l1与l3交于点P，l2与l3交于点Q，∠1＝104°，∠2＝87°，要使得l1∥l2 ，下列操作正确的是（）A . 将l1绕点P逆时针旋转14°B . 将l1绕点P逆时针旋转17°C . 将l2绕点Q顺时针旋转11°D . 将l2绕点Q顺时针旋转14°6. （2分）(2017·于洪模拟) 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若2AD=DB，则△ADE 的面积与△ABC的面积的比等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共11题；共11分)7. （1分） (2015七下·杭州期中) 将方程4x+3y=6变形成用y的代数式表示x，则x=________．8. （1分）(2014·绵阳) 如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=________．9. （1分）(2016·黔南) 如图，矩形ABCD的对角线AC的中点为O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OD，已知AB=6，BC=8，则四边形OECD的周长为________．10. （1分） (2016九上·市中区期末) 已知抛物线y=x2+（m+1）x+m﹣1与x轴交于A，B两点，顶点为C，则△ABC面积的最小值为________．11. （1分）(2017·兴化模拟) 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在边AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形ABCD的对角线上，则AP的长为________．12. （1分） (2016九上·浦东期中) 已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=4cm，则较长线段AP的长是=________cm．13. （1分）(2016·浙江模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是________．14. （1分）如图，已知△ABC∽△DEF，且相似比为k，则k=________，直线y=kx+k的图象必经过________象限．15. （1分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长________.16. （1分）已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB 的值等于________ ．17. （1分）(2016·张家界) 如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm．三、解答题 (共8题；共76分)18. （1分）化简：=________ ．19. （5分）(2017·郴州) 计算：2sin30°+（π﹣3.14）0+|1﹣ |+（﹣1）2017 ．20. （10分）(2020·长宁模拟) 如图，在梯形ABCD中，点E ， F分别在边AB ， CD上，AD∥EF∥BC ， EF 与BD交于点G ， AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝________，＝________．（用向量、表示）21. （10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t 的取值范围．22. （10分） (2017九上·渭滨期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t 秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．23. （10分）(2012·成都) 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△C EQ；并求当BP=a，CQ= 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．24. （15分）(2018·福建) 已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2 x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．25. （15分）(2017·宛城模拟) 问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．（1）小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是________海里．（4）能力提高：如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为________．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共11题；共11分)7-1、8-1、9-1、10、答案：略11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共8题；共76分)18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、25-4、。