2021届河南省六市高三第一次模拟调研试题数学(文)试题Word版含答案
2021届河南省六市高三第一次模拟调研试题
数学（文）试题
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必用0.5毫来黑色签字笔将自已的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．
3．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
第I 卷选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z 满足i z i 21)1(+=+，则z =（ ） A ．22 B ．23 C ．210 D ．2
1 2．集合{}Z x x y y M ∈-==,42的真子集的个数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．31
D ．32
3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古
人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分
别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从五类
元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为（ ）
A ．51
B ．41
C ．31
D ．2
1 4．已知)2,
0(,)(cos )(πθθ∈=x x f ，设)7log 21(2f a =，)3(log 4f a =，)5log 2
1(16f c =，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>
5．已知3cos()25πα+=，且3cos()25
πα+=，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34
± 6．设函数x x x x f -+=11ln
)(则函数的图像可能为（ ）
7．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高
B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低
C ．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元
D ．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收
益 8．已知向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，且|a|=3，|b|=1，则向量b 与a-b
的夹角为
A.
35 B.932 C.34 D.9
25
9．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部
影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干?”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为
A ．84
B ．56
C ．35
D ．28
10．已知点M 是抛物线x 2=4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：(x-1)2+(y-4)2
=1上一动点，则|MA|+MF|的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且b=2，A=2B ，则a 的取值范围为（ ）
A ．
B ．(2,
C ．4)
D ．(0,4)
12．设F 1，F 2分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，过点F 1作圆x 2+y 2=b 2的切线与双曲线的左支交于点P ，若|PF 2|=2|PF 1|，则双曲线的离心率为（ ）
B 第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y=xsinx 在点(π，0)处的切线方程为 ．
14．已知等比数列{an}的前n 项和为S n 若S 3=7，S 6=63，则a 1= ．
15．已知函数()cos f x x x ωω=+f(x) (ω＞0)，当()-(n)=4f x f 时，|m-n|的最小值为3
π，若将函数f(x)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位后所得函数图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值为 ．
16．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1=3，底面三边长分别为3、5、7，P 是上底面AA 1B 1C 1所在平面内的动点，若三被锥P 一ABC 的外接球表面积为
2443
π，则满足题意的动点P 的轨迹对应图形的面积为 ．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分
17．(本小题满分12分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一。
为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80，100]的为优等品;指标在区间[60，80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
乙种生产方式：
(1)在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品采用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各有多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率;
(2)所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元．甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元．用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位应选择哪种生产方式来帮助该扶贫村脱贫?
18．(本小题满分12分)
已知等差数列{a n}的公差d>0，其前n项和为S n，且S5=20，a3，a5，a8成等比数列．
(1)求数列{ a n }的通项公式；
(2)令11n n n b n a a +=
+⋅，求数列{b n }的前n 项和T n ．
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面PCD ．
(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD;
(2)若AB=2，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q-PCD
的体积
20．（本小题满分12分） 设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x C ：的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，动点),(00y x P 在椭圆C 上运动，当x PF ⊥2轴时，e y x ==00,1．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长21,PF PF 分别交椭圆C 于A ，B （A ，B 不重合）两点，设P F BF P F AF 2211,μλ==，求μλ+的最小值．
21．（本小题满分12分） 已知函数()ln ()a f x x a R x
=+∈． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）令(5)2()a k g a a
--=
，若对任意的x ＞0，a ＞0，恒有()()f x g a ≥，求满足条件的最大整数k 的值．
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且
半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状
像心形而得名。
在极坐标系Ox 中，方程ρ=a （1-sin θ（a>0）
表示的曲线C 1就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为
x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线C 2的参
数方程为13
33x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
（t 为参数）． （1）求曲线C 2的极坐标方程；
（2）若曲线C 1与C 2相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长
23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数f （x ）=|x+a|+|x-2|，a ∈R
（1）当a=1时，求不等式f （x ）≥7的解集；
（2）若f （x ）≤|x-4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求a 的取值范围．。
2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三(上)第一次调研数学试卷(文科)(解析版)
2021-2022学年河南省信阳市罗山县高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、单选题（共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0 4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7107．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．参考答案一、单选题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】先利用绝对值不等式的解法求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜3}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{2，3}．故选：B．2．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．解：∵函数y＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵ω＝2，∴T＝π，故选：C．3．使得a＞b＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．B．e a＞e b C．a b＞b a D．lna＞lnb＞0【分析】求不等式a＞b＞0成立的一个充分不必要条件，首先分清条件和结论，求的是条件，已知的是结论；根据充分不必要条件的定义，再看条件能推出结论，但结论推不出条件的即满足．解：对于A，推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出，故是a＞b＞0的必要不充分条件；对于B，e a＞e b推不出a＞b＞0；但a＞b＞0能推出e a＞e b，故e a＞e b是a＞b＞0的必要不充分条件；对于C，当a＝3，b＝﹣1时，a b＝＞b a＝﹣1，故a b＞b a推不出a＞b＞0；反之，当a ＝4，b＝2时，a b＝b a，故a＞b＞0推不出a b＞b a，故a b＞b a是a＞b＞0成立的既不充分也不必要条件；对于D，lna＞lnb＞0⇔a＞b＞1，由于a＞b＞1⇒a＞b＞0，但a＞b＞0推不出a＞b＞1，所以lna＞lnb＞0是a＞b＞0的充分不必要条件；故D正确．故选：D．4．已知a＝log20.3，b＝log23，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝log23＞log22＝1，0＝log0.21＜c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：B．5．指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增【分析】根据指数函数f（x）的单调性判定a的取值范围，从而结合二次函数的单调性，得出正确选项．解：∵指数函数f（x）＝a x在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，函数y＝在（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；故选：C．6．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【分析】对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．7．设命题p：∀x，x．若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（﹣∞，D．（﹣∞，2]【分析】据所给的全称命题写出它的否定，根据命题否定是真命题，利用基本不等式求解不等式的最小值，即可得到a的范围．解：由题意可得，命题p：∀x，x．若￢p是∃x，x，是真命题，因为：∀x，x+≥2，当且仅当x＝1时，取得最小值，由命题否定是真命题，可知a≥2，故选：B．8．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．9．将函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x＝（）A．B．C．D．【分析】可先计算出平移后的函数解析式，再根据三角函数的性质进行求解即可．解：函数y＝2cos（2x+）的图象向右平移个单位长度得，令，解得，当k＝0时，，所以与y轴最近的对称轴方程是，故选：C．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x＝R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f（x）＝，则函数y＝[f （x）]的值域为（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】先化简f（x）的解析式，利用不等式的性质，求出函数f（x）的值域，可得函数y＝[f（x）]的值域．解：∵f（x）＝＝﹣＝﹣，e x∈（0，+∞），∴∈（0，2），f（x）∈（﹣，），故函数y＝[f（x）]的值域为{﹣2，﹣1，0}，故选：C．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2﹣x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则（）A．f（2021）＝0B．2是f（x）的一个周期C．当x∈（1，3）时，f（x）＝（1﹣x）3D．f（x）＞0的解集为（4k，4k+2）（k∈Z）【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析f（x）的周期，可得B错误，再利用周期和解析式求出f（2021）的值，可得A错误，进而求出f（x）在区间[﹣1，3]上的解析式，可得C错误，利用周期性分析f（x）＞0的解集，可得D正确，即可得答案．解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又由f（2﹣x）＝f（x），则f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，B错误，又由x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则f（2021）＝f（1+4×505）＝f（1）＝1，A错误，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3，则在区间[﹣1，1]上，f（x）＝x3，当x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，则f（2﹣x）＝（2﹣x）3，又由f（2﹣x）＝f（x），则f（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）3，C错误，综合可得：f（x）＝，在区间[﹣1，3]上，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，又由f（x）是周期为4的周期函数，则f（x）＞0的解集为（4k，4k+2），D正确，故选：D．12．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝e x和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论：①x1+x2＝2；②；③x1lnx2+x2lnx1＜0；④，则其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，可得A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造y＝，判断其单调性，即可判断③，由x1•x2＝x1•，判断其单调性，即可判断④．解：由题意直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，函数y＝e x和y＝lnx的图象关于y＝x对称，∴A（x1，y1）、B（x2，y2），关于y＝x对称，则x1+x2＝2；∴①正确；对于②：由，因为x1≠x2，则；∴②正确；对于③：构造函数g（x）＝（x＞0）；则g（x）′＝，当g（x）′＞0时，可得x∈（0，e），∴函数g（x）在（0，e）单调递增；当g（x）′＜0时，可得x∈（e，+∞），∴函数g（x）在（e，+∞）单调递减；∵0＜x1＜，1＜x2＜2，那么：∴③正确；对于④：x1•x2＝x1•∵0＜x1＜，令函数h（x）＝x•e x则h′（x）＝e x（1+x）当h（x）＜′0时，可得x∈（﹣∞，﹣1），∴函数h（x）在（0，e）单调递减；当h（x）′＞0时，可得x∈（﹣1，+∞），∴函数h（x）在（﹣1，+∞）单调递增；∴h（x）max＜h（）＝∴不对，即④不对．故选：B．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若α满足tan（α+）＝，则sin2α＝﹣．【分析】先利用两角和的正切公式求得tanα的值，再结合二倍角公式，以及“同除余弦可化切”的思想，即可得解．解：因为tan（α+）＝＝，所以tanα＝﹣，所以sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）＝，若f（t）+f（﹣1）＝0，则t＝．【分析】根据题意，求出f（﹣1）的值，计算可得f（t）＝﹣2，结合函数的解析式分t ≤0与t＞0两种情况讨论，求出t的值，综合可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝21＝2，若f（t）+f（﹣1）＝0，则f（t）＝﹣2，若t≤0，则f（t）＝2﹣t≥1，f（t）＝﹣2无解，若t＞0，则f（t）＝log2t＝﹣2，则t＝，综合可得：t＝，故答案为：．15．若点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，则绝对值最小的θ值为．【分析】由题意利用两个点关于y轴对称的性质，可得cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），再利用诱导公式可得θ＝kπ+，k∈Z，从而得出结论．解：∵点P（cosθ，sinθ）与点Q（cos（），sin（））关于y轴对称，∴cosθ＝﹣cos（），sinθ＝sin（），∴θ＝2kπ+π﹣（θ+），即θ＝kπ+，k∈Z，则绝对值最小的θ值为，故答案为：．16．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（1，1+）．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性变化情况，作出函数f（x）的图象，由已知方程得f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，利用函数图象交点的个数与方程根的个数得m的范围．解：化简得f（x）＝，当x≥0时，f（x）≥0，，若0＜x＜1时，f′（x）＞0，若x＞1时，f′（x）＜0，所以当x＝1时，函数f（x）有极大值f（1）＝，当x＜0时，＜0，f（x）为减函数，作出函数f（x）的图象如图所示，由方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0得，（f（x）﹣（m﹣1））（f（x）﹣1）＝0，所以f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由图象知方程f（x）＝1有1个解，要使关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1＝0恰好有4个不相等的实数根，则f（x）＝m﹣1要有三个解，由函数图象知0＜m﹣1＜，所以1＜m＜1+．故答案为：（1，1+）三、解答题17．（1）设集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，求实数a的取值集合；（2）设A＝{x|x2﹣（a+1）x+a＜0}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（2）由A∩B＝A，得A⊆B，则A＝B，即可求实数a的取值范围．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），分a＞1，a＝1，a＜1三种情况讨论，并取其并集，即可求解．解：（1）∵A＝{x∈R|x2﹣2x﹣1＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣5＝0}．A∩B＝A，得A⊆B，而B集合为一元二次方程的解集，A集合也是一元二次方程的解集且A集合有两个元素，又因为A⊆B，所以B集合里必有两个元素，所以必有A＝B，即，得a＝﹣2．（2）由题意可得B＝（﹣1，4），∵x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时，A＝（1，a），∵A⊆B，∴1＜a≤4，当a＝1时，A＝∅，满足条件，当a＜1时，A＝（a，1），∵A⊆B，∴﹣1≤a＜1，综上所述，a∈[﹣1，4]．18．设a∈R，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的取值范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【分析】（1）根据题意，p∧q是真命题，即p真q真，求出不等式的交集即可；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分情况讨论，最后求出并集．解：（1）p真，则，或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，故a的取值范围为；（2）由（￢p）∧q为假，（﹣p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，得a≤﹣2；若p真q真，则，所以，；综上a≤﹣2或．故a的取值范围是．19．已知函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）．（1）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，求k的值；（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，求实数k的取值范围．【分析】（1）解法一、利用奇函数的定义f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出k的值；解法二、由f（0）＝0求得k的值，再根据奇函数的定义验证即可；（2）不等式化为k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；利用换元法求出右边函数的最大值，即可求得实数k的取值范围．解：（1）解法一、函数f（x）＝（k﹣1）2x+2﹣x（k∈R）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）对任意的x∈R恒成立，即（k﹣1）2﹣x+2x＝﹣（k﹣1）2x﹣2﹣x对任意的x∈R恒成立；整理得k（22x+1）＝0对任意的x∈R恒成立，所以k＝0．解法二、由奇函数的定义知，f（0）＝0，即（k﹣1）20+20＝0，解得k＝0，此时f（x）＝2﹣x﹣2x，x∈R；因为f（﹣x）＝2x﹣2﹣x＝﹣（2﹣x﹣2x）＝﹣f（x），所以f（x）是定义域R上的奇函数；综上知，k＝0．（2）当﹣1≤x≤1时，f（x）≥4，即不等式（k﹣1）•2x+2﹣x≥4对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；也即不等式k﹣1≥﹣对任意的x∈[﹣1，1]恒成立；设＝t，则t∈[，2]，得函数g（t）＝﹣t2+4t，t∈[，2]；所以k﹣1≥g（t）max；由函数g（t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4在t∈[，2]上单调递增，所以g（t）max＝g（2）＝4，即k﹣1≥4，解得k≥5；所以实数k的取值范围是[5，+∞）．20．设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【分析】（Ⅰ）由y＝[f（x+）]2，可得y＝1﹣sin2x，然后利用周期公式求出周期；（Ⅱ）y＝f（x）f（x﹣）＝sin（2x﹣）+，由x∈[0，]，得到的取值范围，再利用整体法求出y＝f（x）f（x﹣）的最大值．解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T ＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x ﹣）＝＝sin x+cos x）sin x ＝＝＝sin（2x ﹣）+，因为x，所以2x ﹣，所以当2x ﹣，即x ＝时，f（x）max＝1+．21．已知函数，f（x）＝x2（x＞0），g（x）＝alnx（a＞0）．（Ⅰ）若f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．【分析】（Ⅰ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），则h′（x ）＝，利用当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况可得当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立；（Ⅱ）当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），则＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．通过对x变化时，m′（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案．解：令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣alnx（x＞0），所以h′（x）＝2x ﹣＝，令h′（x ）＝＝0，解得x ＝，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）h′（x），﹣0+h（x），减极小值增所以在（0，+∞）的最小值为h （）＝﹣aln ＝﹣ln，令h （）＞0，解得0＜a＜2e，所以当0＜a＜2e时，h（x）＞0恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立．（Ⅱ）可作出2条切线．理由如下：当a＝1时，g（x）＝lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）＝lnx相切于点P（x0，y0），g′（x0）＝，即＝，整理得x0lnx0﹣2x0+1＝0，令m（x）＝xlnx﹣2x+1，则m（x）在（0，+∞）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m′（x）＝lnx﹣1，令m′（x）＝lnx﹣1＝0解得x＝e．当x变化时，m′（x），m（x）的变化情况如下表：x（0，e）e（e，+∞）m′（x）﹣0+m（x）减极小值增所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，且m （）＝ln ﹣+1＝﹣+1＞0，m（e）＝elne﹣2e+1＝﹣e+1＜0，m（e2）＝e2lne2﹣2e2+1＝1＞0，所以m（x ）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx﹣2x+1＝0有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线．22．已知函数f（x）＝ax a lnx（a＞0）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；（2）若f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．【分析】（1）由求导公式求出f′（x），由导数的几何意义求出切线的斜率k＝f′（e），利用点斜式方程求出切线的方程；（2）将不等式转化为x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，利用导数求得g（x）单调递增，从而不等式等价于x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，利用导数求得h（x）的最小值，从而可得a的取值范围，即可得解．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y＝2x﹣e．（2）当a＞0且x＞1时，由于f（x）≤xe x⇔ax a lnx≤xe x⇔x a lnx a≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x，构造函数g（x）＝xlnx，得g′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），所以g（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，f（x）≤xe x⇔x a lnx a≤e x•lne x⇔g（x a）≤g（e x），f（x）≤xe x对于任意的x＞1都成立，又x a＞1，e x＞1，再结合g（x）的单调性可知，x a≤e x对于任意的x＞1都成立，即a≤对于任意的x＞1都成立，令h（x）＝，则h′（x）＝，h′（x）＞0⇒x＞e，h′（x）＜0⇒1＜x＜e，则h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（e）＝e，故a≤e，所以a的最大值为e．。
河南省郑州市2021届高三一模数学试题及答案(文科)
2021年高中毕业年级第一次质量预测文科数学试题卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}21,2,5,40A B x x x m ==-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】 【分析】首先求m ，再求集合B .【详解】由{}1A B ⋂=可知21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：1x =或3x =，即{}1,3B =.故选：C2. 已知i为虚数单位，复数z满足21zi=-，则在复平面内z的共轭复数z对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】首先化简z，以及求得z，最后根据复数的几何意义判断选项.【详解】()()()2121111iz ii i i+===+--+，则1z i=-，z对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：D3. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到6sin的近似值为（）A.30π B.60π C.90π D.180π【答案】A 【解析】 【分析】首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求sin 6的近似值.【详解】圆的周角为360，360606=，所以当等腰三角形的顶角为6时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为r ，则由题意可知22160sin 62r r π⨯⨯≈，解得：sin 630π≈，所以sin 6的近似值是30π. 故选：A4. 设,a b 为单位向量，且1a b -=，则2a b +=（ ） A. 37 C. 3D. 7【答案】B 【解析】 【分析】先根据1a b -=得12a b →→⋅=，再根据向量模的公式计算即可得答案. 【详解】因为,a b →→为单位向量，且1a b -=，所以()21a b -=，所以222+1a a b b -⋅=，解得12a b →→⋅=， 所以222+2+2+447a b a ba ab b ==⋅+=.故选：B.5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.【详解】对于选项A ，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6%和17%，则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的()56%39.6%17%31.7%⨯+≈. “80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A 正确；对于选项B ，因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56%， 其中从事技术岗位的人数占的比为39.6%，则“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈.“80前”和“80后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20%，故选项B 正确；对于选项C ，“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为56%17%9.5%⨯≈，大于“80前”的总人数所占比3%，故选项C 正确；选项D ，“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.2%⨯≈，“80后”的总人数所占比为41%，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D 错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用扇形统计图和条形统计图解决实际问题，解本题的关键就是利用条形统计图中“90后”事互联网行业岗位的占比乘以“90后”所占总人数的占比，再对各选项逐一分析即可.6. 设函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间(,)63ππ内，且()f x 的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（ ）A. 1(,1)2B. (0,2)C. (1,2)D. [1,2)【答案】C 【解析】由题意()cos 2sin()(0)6f x x x x πωωωω=+=+>．令,62x k k Z ππωπ+=+∈，得,3k x k Z ππωω=+∈， ∵函数图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，∴,633k k Z ππππωω<+<∈， ∴3162,k k k Z ω+<<+∈．又()f x 的最小正周期大于π， ∴2ππω>，解得02ω<<．∴ω的取值范围为(1,2)．选C ．7. 运行如图所示的程序框图，若输入的a 值为2时，输出的S 的值为12，则判断框中可以填（ ）A. 3?k <B. 4?k <C. 5?k <D. 6?k <【答案】B 【解析】 【分析】本题可模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的S 的值为12时判断框中可以填的条件.【详解】运行该程序： 输入2a =， 第一次循环：20212S ，2a =-，112k =+=； 第二次循环：22226S ，2a =，213k =+=；第三次循环：262312S，2a =-，314k =+=，因为输出的S 的值为12，所以判断框中可以填4k <， 故选：B.8. 2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙.丙三名医生，抽调,,A B C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为（ ）A.118B.112 C. 19D. 16【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】选一名护士和一名医生去第一医院，共有11339C C =种方法，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率19P =. 故选：C 9.设120212020,a b log ==20211log 2020c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. c b a >> C. b a c >> D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】首先根据指对数的性质，三个数先和中间值0,1比较大小，再比较,,a b c 的大小关系. 【详解】1202120201a =>，20202020log log 20201b =<=，20202020log log 10>=，()0,1b ∴∈，202120211log log 102020c =<=， 所以a b c >>.故选：A10. 设()f x 是R 上的奇函数且满足()()11f x f x -=+，当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，则()2020.6f -=（ ）A.2125B.710C. 85-D. 65-【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，()f x 是以2为周期的周期函数，进而可得出()()2020.60.6f f -=-，再利用奇函数的性质可求得结果.【详解】对任意的x ∈R ，()()11f x f x -=+，即()()2f x f x =+， 所以，函数()f x 是以2为周期的周期函数，()()2020.60.6f f ∴-=-， 由于函数()f x 为R 的奇函数，且当01x ≤≤时，()()51f x x x =-，因此，()()()()62020.60.60.650.610.65f f f -=-=-=-⨯⨯-=-.故选：D.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.11. 已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A. 65B.2【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆焦点得双曲线焦点，从而得双曲线的c ，利用勾股定理和椭圆的定义求得12AF AF -得双曲线的实轴长，可得双曲线离心率．【详解】易知椭圆221:14x C y +=的焦点坐标为(，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则c =记12,AF m AF n ==，由A在椭圆上有2224x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴22222()2()()21248x y x y x y -=+-+=⨯-=，即2a x y =-=，a =∴双曲线离心率为2c e a ===． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是利用双曲线与已知椭圆共焦点，有公共点求出半焦距c 和半实轴长a ，注意点椭圆与双曲线的定义的不同：椭圆中是122PF PF a +=，双曲线中是122PF PF a -=． 12. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ）A. 1256-B. 85256-C. 11024-D. 3411024-【答案】B 【解析】 【分析】由1n =求得1a ，在2n ≥时，由1n n n a S S -=-得{}n a 的递推式，按n 的奇偶分类讨论求得n a ．然后由已知式计算1(1)2nn n nS a =--，再计算{}n S 的前7项和． 【详解】∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n nS a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n n a S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n n a =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得 n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的前n 项和．解题关键是确定通项公式n a ，为此利用2n ≥时，1n n n a S S -=-得递推关系，然后按n 的奇偶分类计算求解．最后确定数列{}n S 中的各项，求出前7项和．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件20,20,2,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_______________________．【答案】4【解析】 【分析】作出可行域，由2z x y =+可得22x zy -=+，作01:2l y x =-将其沿可行域的方向平移即可求解.【详解】作出可行域如图所示：由2z x y =+可得22x zy -=+，作01:2l y x =-将其沿可行域的方向平移可知过点()0,2A 时2z最小，也即z 最小，所以min 0224z =+⨯=， 故答案为：4【点睛】方法点睛：线性规划求最值的常见类型：（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.14. 已知函数()f x lnx x =-，则()f x 的最大值为________________________． 【答案】1- 【解析】 【分析】利用导数得出单调性即可得出最值.【详解】11()1,0x f x x x x-'=-=> ()001,()01f x x f x x ''>⇒<<<⇒> 则函数()f x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减即max ()(1)ln111f x f ==-=- 故答案为：1-15. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，前n 项和为n S ，且3544,,2a a a 成等差数列，11a =，则5S =_______________________．【答案】31 【解析】 【分析】首先由条件可知534242a a a =+，再根据数列{}n a 是等比数列，求公比q ，最后根据公式求5S .【详解】由条件可知534242a a a =+，即2333242a q a a q =+，即()()220120q q q q --=⇔+-=，{}n a 是正项数列，0q ∴>，即2q，又11a =，55512213112S -∴==-=-.故答案为：3116. 如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为4,MN 是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，的PM PN ⋅取值围是_______________________．【答案】[]0,8 【解析】 【分析】首先确定弦MN 过球心O ，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到()()()22224PM PN x y z z ⋅=-+---，再通过构造几何意义求PM PN ⋅的最大值和最小值.【详解】当弦MN 的长度最大时，弦过球心O ，如图，建立空间直角坐标系，不妨设,M N 是上下底面的中心，则()2,2,4M ，()2,2,0N ，(),,P x y z ，()2,2,4PM x y z =---，()2,2,PN x y z =---， 则()()()22224PM PN x y z z ⋅=-+---()()()2222224x y z =-+-+--，而()()()222222x y z -+-+-表示点(),,P x y z 和定点()2,2,2距离的平方，很显然正方体的顶点到定点()2,2,2距离的平方最大，最大值是2221444122++= 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4，所以PM PN ⋅的最小值是440-=，最大值是1248-=.故答案为：[]0,8【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定MN 过球心O ，利用对称性设()2,2,4M ，()2,2,0N ，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义()()()2222224PM PN x y z ⋅=-+-+--求最大值和最小值.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：每题12分，共60分.17. 河阴石榴是河南省荥阳市的特产，距今已有2100多年的历史，河阴石榴籽粒大；色紫红，甜味浓，被誉为“中州名果”.河阴石榴按照果径大小可以分为四类；标准果、优质果、精品果、礼品果.某超市老板从采购的一批河阴石榴中随机抽取100个，根据石榴的等级分类标准得到的数据如表所示:（1）求a的值并计算礼品果所占的比例；（2）用样本估计总体，超市老板参考以下两种销售方案进行销售：方案1；不分类卖出，单价为20元/kg；方案2；分类卖出，分类后的水果售价如表所示:从超市老板的角度考虑，应该采用哪种方案较好?并说明理由.a ，礼品果所占的比例为0.2；（2）见解析.【答案】（1）20【解析】【分析】（1）求出a的值，再得出礼品果所占的比例；（2）求出方案2中水果的平均价格，并与方案一中的平均价格比较，从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好，从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好.【详解】（1）20a =，比例是200.2100= （2）理由一:设方案2的石榴售价平均数为.13421618222420.610101010x =⨯+⨯+⨯+⨯= 因为20.620x =>所以从超市老板的销售利润角度考虑，采用方案2比较好. 理由二:设方案2的石榴售价平均数为x13421618222420.610101010x =⨯+⨯+⨯+⨯= 虽然20.620x =>，但20.6200.6-=从超市老板后期对石榴分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好. 18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,2,45b c B ==∠=.（1）求边BC 的长﹔（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB，求sin DAC ∠的值.【答案】（1）3BC =；（2 【解析】 【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABC 中，由正弦定理可以求出sin C =，再利用ADC ∠与ADB ∠互补可以求出4cos 5ADC ∠=-，得出ADC ∠是钝角，从而可得C ∠为锐角，即可求出cos C 和sin ADC ∠的值，利用sin sin()DAC ADC C ∠=∠+∠展开代入数值即可求解.【详解】在ABC 中，因为b =c =45B ∠=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2522a a =+-所以2230a a --=解得：3a =或1a =-（舍） 所以3BC =.（2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，245sin C=.所以sin C =在ADC 中，因为()4cos 180cos cos 5ADB ADB ADC -∠=-∠∠=-=，所以ADC ∠为钝角.而180ADC C CAD ∠+∠+∠=， 所以C ∠为锐角故cos C ==因为4cos 5ADC ∠=-，所以35sin ADC ∠===，()sin sin 180sin()DAC ADC C ADC C ∠=-∠-∠=∠+∠， sin cos cos sin ADC C ADC C =∠∠+∠∠34555525=⨯-⨯=【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出4cos 5ADC ∠=-，可得ADC ∠为钝角，从而C ∠为锐角，可确定cos C 的值.19. 如图，四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.（1）证明:平面ACD ⊥平面ABC ；（2）设AB 长为1,点E 为BD 的中点，求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，根据题中的垂直关系，可判断ACD △是等腰直角三角形，且AD DC =，利于垂直关系证明OB DO ⊥，OB AC ⊥，即可证明OB ⊥平面ACD ；（2）利于等体积转化,D ACE E ACD V V --=求点到平面的距离.【详解】()1证明:如图所示，取AC 的中点,O 连接,BO OD .ABC ∆是等边三角形，,OB AC ∴⊥ABD ∆与CBD ∆中，,,AB BD BC ABD CBD ==∠=∠,ABD CBD ∴∆≅∆AD CD ∴=ACD ∆是直角三角形，AC ∴是斜边，90,ADC ∴∠=︒12DO AC ∴=2222DO BO AB BD ∴+==90,BOD =∴︒∠OB OD ∴⊥又,DO AC O ⋂=OB ∴⊥平面ACD .又OB ⊂平面,ABC∴平面ACD ⊥平面ABC .()2设E 是BD 的中点，ABC ∆是等边三角形，边长为1，2cos ADB ∠==211112242242AE =+-⨯⨯=，122AE CE AE AC ====1124ACE S ∆==1111,3434D ACE E ACD V V h --=⨯⨯=，h =点D 到平面ACE 【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是证明,ABD CBD ∆≅∆才能确定ACD △的形状，为证明垂直关系打通桥梁，第二问的关键是求ACE △的面积.20. 已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为,F 点Р在抛物线E 上，点Р的横坐标为2,且2PF =.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若,A B 为抛物线E 上的两个动点(异于点P )，且AP AB ⊥，求点B 的横坐标的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)(,)610--⋃∞+∞，. 【解析】 【分析】()1由抛物线的定义可得022py =-，再代入可求得p ，可得抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由直线垂直的条件建立关于点A 、B 的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.【详解】解：()1依题意得0,,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭设()002,,22p P y y =-，又点Р是E 上一点，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =.()2由题意知()2,1P ， 设221212,,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()2111114224APx kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142AB k x =-+， AB 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立24x y =. 因为1x x ≠，得11(216(0))x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()224216)0(x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-经检验，当6x =-时，不满足题意.所以点B 的横坐标的取值范围是[)(,)610--⋃∞+∞，. 【点睛】关键点点睛：解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围.21. 已知函数()ln x af x x+=. （1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =，求()f x 的极值；（2）若()21xf x e x≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的极大值为1，不存在极小值；（2）3a ≤. 【解析】【分析】（1）利用()10f '=即可求出a 的值，可得()f x 的解析式，再对其求导判断单调性即可求出极值；（2）()21xf x e x ≤+-等价于ln 21x x a e x x+≤+-，分离a 可得()1ln 2x a x e x ≤--+ 构造函数()()1ln 2xF x x e x =--+，0x >，只需()min a F x ≤ 利用导数求()F x 最小值即可求解.【详解】（1）()21ln a xf x x --'=， 由题意可得：()2110af x-'==，解得：1a = 此时函数()11f a ==，函数()f x 的图象在1x =处的切线为1y =成立 所以()ln 1x f x x+=，()2ln xf x x -'=，由()0f x '>可得01x <<，由()0f x '<可得1x >， 所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞ 上单调递减. 所以()f x 的极大值为()11f =，不存在极小值.()2由()21x f x e x ≤+-可得ln 21x x a e x x+≤+- 分离a 可得：()1ln 2xa x e x ≤--+()0x >令()()1ln 2,0xF x x e x x =--+>()()()111111,0x x x x x F x e xe e x x e x x x x '=-+⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭=++> ()1,0.x h x e x x=->令()21'0xh x e x =+> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增()120,110,2h h e ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010xh x e x =-=当00x x <<时，()0h x <，即()0F x '<， 当0x x >时，()0h x >，即()0F x '>，故()F x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()()0000000min 12ln 2x x F x x e lnx x e x x =--+=--+，由于()00010x h x e x =-=，得001xx e =，再对001xx e =两边取对数可得：00ln 0x x +=所以()0000min ln 21023xF x x e x x =--+=-+=，所以3a ≤即实数a 的取值范围3a ≤【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.(二)选考题:共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线OP 的极坐标方程为6πθ=，若射线OP 与曲线C 的交点为A (异于点O )，与直线l 的交点为,B 求线段AB 的长.【答案】（1）()2211x y +-=，0x -=；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消参后得到曲线C 的普通方程，以及利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化为直线l 的直角坐标方程；（2）6πθ=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求得ρ，再利用公式12AB ρρ=-求解.【详解】()1由1x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩可得22221(1)x y cos sin θθ+-=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y +-=，由6sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1022sin cos ρθρθ+=，所以直线l 的直角坐标方程为0x +-=.()2曲线C 的方程可化为2220x y y +-=，所以曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，由题意设12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B将6πθ=代入12,sin ρθρ==1将6πθ=代入()6sin πρθ+=可得22ρ=， 所以121AB ρρ=-=.【点睛】方法点睛：本题考查弦长公式，一般求弦长的方法包含以下几点： 1.直角坐标系下的弦长公式AB=；2.利用直线参数方程t 的几何意义可知12AB t t =-；3.极坐标系下，过原点的直线与曲线相交的弦长12AB ρρ=-.23. 已知0a b >>，函数()()1f x x b a b =+-（1）若1a =，12b =，求不等式()2f x >的解集﹔（2）求证：()24f x x a +-≥.【答案】（1）{2x x >-或}6x <- ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得()4f x x =+，解不等式42x +>即可求解；（2）由题意可得需证()214x x a b a b ++-≥-，利用绝对值三角不等式可得()()2211x x a a b a b b a b ++-≥+--，再利用基本不等式结合0a b >>即可求证.31 / 31 【详解】（1）由1a =，12b =可得()4f x x =+， 则()2f x >即42x +>，所以42x +>或42x <-＋，解得：2x >-或6x <-故不等式()2f x >的解集为{2x x >-或}6x <-，（2）由题意即证，()214,x x a b a b ++-≥- 因()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ++-≥+--=+---， 因为0a b >>，所以0a b ->， 所以()2224b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭， 所以()()22221144a a a b a b b a b a +=+≥+≥=-- 当且仅当224a a b a b⎧=⎪⎨⎪=-⎩即a =2b = 所以()()22114x x a a b a b b a b ++-≥+≥-- 故()24f x x a +-≥成立. 【点睛】关键点点睛：本题要想到利用绝对值三角不等式得出()()221f x x a a b a b +-≥+-，这样不再含x ，而且()b a b a +-=即可用基本不等式消去b 转化为只含a 的代数式，再次利用基本不等式即可证明.。
2021年河南省高考数学一诊试卷(文科)及解析
河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B．2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，=，∴S△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DB A 1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分。
2021-2022年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案
2021年高三第一次模拟考试 文科数学 含答案xx.03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}lg 0,2,M x x N x x M N =>=≤⋂=则A. B. C. D.2.在复平面内，复数所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题中，真命题是A. B.C.函数的图象的一条对称轴是D.4.设a,b 是平面内两条不同的直线，l 是平面外的一条直线，则“”是“”的A.充分条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要条件5.函数的大致图象是6.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为A. B.C. D.7.已知等比数列的公比为正数，且，则的值为A.3B.C.D.8.设的最小值是A.2B.C.4D.89.右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是A.8B.C.16D.10. 已知实数，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为A. B. C. D.11.实数满足如果目标函数的最小值为，则实数m的值为A.5B.6C.7D.812.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确．．的是A.满足的点P必为BC的中点B.满足的点P有且只有一个C.的最大值为3D.的最小值不存在第II卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.抛物线的准线方程为____________.14.已知为第二象限角，则的值为__________.15.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分布五组：第一组，第二组，……，第五组.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于________________.16.记…时，观察下列，，观察上述等式，由的结果推测_______.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,若向量()()1cos ,sin ,cos ,sin ,.2m B C n C B m n =-=--⋅=且 （I ）求角A 的大小；（II ）若的面积，求的值.18.（本小题满分12分）海曲市教育系统为了贯彻党的教育方针，促进学生全面发展，积极组织开展了丰富多样的社团活动，根据调查，某中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人.（I ）求三个社团分别抽取了多少同学；（II ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.19.（本小题满分12分）如图，已知平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，且F 是CD 的中点.（I ）求证：AF//平面BCE ；（II ）求证：平面.20.（本小题满分12分）若数列：对于，都有（常数），则称数列是公差为d 的准等差数列.如数列：若是公差为8的准等差数列.设数列满足：，对于，都有.（I ）求证：为准等差数列；（II ）求证：的通项公式及前20项和21.（本小题满分13分）已知长方形EFCD，以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（I）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（II）在（I）的条件下，过点F做直线与椭圆交于不同的两点A、B，设，点T坐标为的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（III）若，使成立，求实数a的取值范围.xx届高三模拟考试文科数学参考答案及评分标准xx.03 说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，均应参照本标准相应评分。
河南省六市2021届高三数学第一次模拟(4月)调研试题 文.doc
河南省六市2021届高三数学第一次模拟（4月）调研试题 文 注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分。
考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
3.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I 卷 选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有，一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足(1＋i)z ＝1＋2i ，则|z|＝ A.2 B.32 C.10 D.122.集合M ＝{y|y ＝24x -，x ∈Z}的真子集的个数为A.7B.8C.31D.323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系。
若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为A.15 B.14 C.13 D.124.已知f(x)＝(cos θ)x ，θ∈(0，2π)，设a ＝f(12log 7)，b ＝f(log 43)，c ＝f(log 165)，则a ，b ，c 的大小关系是A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a5.已知cos(2π＋α)＝35，且a ∈(2π，32π)，则tan α＝ A.43 B.34 C.－34 D.±346.设函数f(x)＝1ln 1x x x +-，则函数的图像可能为7.已知某超市2021年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A.该超市2021年的12个月中的7月份的收益最高B.该超市2021年的12个月中的4月份的收益最低C.该超市2021年7至12月份的总收益比2021年1至6月份的总收益增长了90万元D.该超市2021年1至6月份的总收益低于2021年7至12月份的总收益8.已知向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，且|a|3，|b|＝1，则向量b 与a －b 的夹角为A.3πB.23πC.6π D.56π 9.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用。
2021年河南省六市高三第一次联合调研检测文科综合参考答案
块石等建筑材料缺 乏;早 期 经 济 发 展 水 平 低,收 入 低,无 钱 购 买 砖 石;地 窝 子 冬 暖 夏 凉 ,有 利 于 人 类 居 住 。 (6 分 )(任 答 三 点 给 6 分 )
高三文科综合答案 第1页 (共4页 )
维护市场秩序,营造 良 好 的 营 商 环 境。(2 分)② 有 利 于 激 励 创 新,延 长 产 业 链,增 加 附加值,优化产业结构,推 动 传 统 产 业 转 型 升 级。(2 分)③ 有 利 于 发 展 先 进 制 造 业, 推动供给侧结构改革,建设现代经济体系,推 动 经 济 高 质 量 发 展。(2 分)④ 有 利 于 发 展 更 高 层 次 开 放 型 经 济 ,助 推 国 际 国 内 双 循 环 协 调 发 展 。
意义:彰显了社会主义制度 的 优 越 性;促 进 了 博 物 馆 事 业 全 方 位 发 展;有 利 于 我 国文 化 的 传 承 和 发 展;有 利 于 丰 富 民 众 的 文 化 生 活;有 利 于 培 养 民 众 的 爱 国 主 义 意 识 ;加 强 了 社 会 主 义 精 神 文 明 建 设 。 (6 分 ,任 答 三 点 即 可 )
(4)冲积扇以河流堆 积 为 主 (2 分),与 河 道 垂 直 方 向 上,离 河 道 越 近,沉 积 越 多, 地势较高(2分);离河道越 远,沉 积 越 少,地 势 越 低(2 分),因 此 河 流 流 向 与 等 高 线 弯 曲 方 向 相 同 。 (6 分 )
37.(22 分 ) (1)油菜花花期 从 云 南,到 江 西,到 江 苏 呈 现 纬 度 地 带 性 变 化 规 律 (2 分 );从 江 苏,到甘肃,到新疆呈现经度地带性变化规 律(2分);从 新 疆,到 青 海 呈 现 垂 直 地 带 性 变 化 规 律 (2 分 )。 (6 分 ) (2)若开花期间,气温持续偏高,则会加速油菜花开花和凋谢 的 过 程,但 遇 上 较 低 气温,有利于延长花期,从而成为油菜花的“保 鲜 剂”(4分);冷 空 气 影 响 时 间 过 长,或 者剧烈降温,已 经 开 花 的 油 菜 花,会 迅 速 脱 落,从 而 成 为 花 期 的 “催 化 剂 ”(4 分 ).(8 分) (3)将种植油菜花,收获油菜,加工油菜籽的农村体验活动,与 单 一 的 油 菜 花 观 赏 相结合,丰富旅游项目,打破季 节 性 限 制,延 长 旅 游 期;加 大 科 技 投 入,注 重 油 菜 花 的 良品培育;建立菜油生产质量 检 测 中 心,保 证 菜 油 的 品 质,树 立 绿 色 无 污 染 的 菜 油 品 牌;积极推进菜油的深加工,延 长 产 业 链,既 增 加 产 品 的 附 加 值,又 增 加 了 当 地 就 业。 (8 分 )(答 的 合 理 ,可 酌 情 给 分 ,任 答 四 点 给 8 分 ) 38.(14 分 ) 积极影响:①加强知识产权 保 护 有 利 于 完 善 现 代 产 权 制 度,提 升 资 源 配 置 效 率,
河南省六市2021届高三第一次联考数学(文科)试题
河南省六市2021届高三第一次联考数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|24xA x =<，{|B x y ==，则A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,2D ．[)1,22．若复数z 在复平面内的对应点为()1,1-，则1iz+的虚部为（ ） A ．i -B ．1-C ．0D ．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则4S =（ ）A ．15B ．20C ．31D ．324．已知空间中不过同一点的三条直线,,a b l ，则“,,a b l 两两相交”是“,,a b l 共面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现．该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧最Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ．其耗氧量至少需要（ ）个单位． A ．70B ．60C ．80D ．756．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A ．()()P A P M >B ．()()P A P M <C ．()()P A P M =D ．()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关7．已知[x]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.48．函数()()2cos xx e e x f x x--=的部分图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆C ：2240x y x +-=的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN 的最小值是（ ） A ．43BCD ．610．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后，横坐标再缩短到原来的12倍得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()1π2sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()π2sin 44g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()1π2sin 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()π2sin 44g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．()2,0()ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12．侧棱长为V ABCD -内,有一半球,其大圆面落在正四棱锥底面上,且与正四棱锥的四个侧面相切,当正四棱锥的体积最大时,该半球的半径为（ ） A ．1 BC．2D ．2二、填空题13．已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．15．在数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-．则数列{}n a 的前20项之和为______．三、双空题16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点．（1）已知点P 是双曲线上不同于点A ，B 的任意一点，则PA PB k k ⋅=______（结果用a ，b 表示）（2）过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．四、解答题17．如图， DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，90ACB ∠= ，P、Q分别为DE、AB的中点. （1）求证：//PQ平面ACD；（2）求几何体B ADE-的体积.18．在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，ccos sin0B b A-=，（1）求角B的大小；（2）若b=5a c+=，求AC边上的高；19．近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，进行回归分折，得到两个回归摸型：模型①：(1)1. 6528. 57y x=-+，模型②：(2)26.6713. 50yx=+，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好； （2）视残差i e 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程.附：()()()121nii i nii xx y yb x x ==--=-∑∑，a y bx =-；222220.270.380.97 1.020.28 2.277++++=20．已知函数2()x f x e ax =-，其中常数a ∈R .（1）当(0,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，且[0,)x ∈+∞时，求证：2()414f x x x >+-.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A 、B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，以OD 为半径的圆与经过点F 且垂直于直线l 的直线l 相交于M ，N 两点，求MN 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值. 23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明:(1)43 ab bc ac++≤；(2)2228a b cb c a---⋅⋅≥.参考答案1．D 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}()24,2x A x =<=-∞，{[)1,B x y ===+∞，因此，[)1,2A B =.故选：D. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【分析】由题得1z i =-，化简1izi =-+，即得复数的虚部. 【详解】 由题得1z i =-，所以21(1)21i 1(1)(1)2z i i i i i i i ---====-+++-. 所以1iz+的虚部为1-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．A 【分析】求出3a 、5a 的值，进而可求得1a 、q 的值，然后利用等比数列的求和公式可求得4S 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，0n a >，1q >，则{}n a 为递增数列，352664a a a a ==，由已知条件可得3535352064a a a a a a+=⎧⎪=⎨⎪<⎩，解得35416a a =⎧⎨=⎩，2q ∴==，3121a a q ==， 因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--.故选：A. 4．A 【分析】由a ，b ，l ，在同一平面，则a ，b ，l ，相交或a ，b ，l ，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】空间中不过同一点的三条直线a ，b ，l ，若a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“a ，b ，l 在同一平面”成立，则“a ，b ，l 两两相交”不一定成立； 而若“a ，b ，l 两两相交”，则“a ，b ，l 在同一平面”成立． 故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 5．C 【分析】利用该种鸟类在静止的时间其耗氧量为20个单位求出a 的值，再由利用飞行的速度不能低于2/m s 建立不等式，求解得答案． 【详解】解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0/m s ，此时耗氧量为20个单位， 故有220log 010a +=，即1a =-． 21log 10Q v ∴=-+， 要使飞行速度不低于2/m s ，则有2v ，即21log 210Q -+，也就是2log 310Q，解得80Q ， 即飞行的速度不低于2/m s ，则其耗氧量至少要80个单位． 故选：C ． 6．C 【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解. 【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-，阴影部分M 的面积为：2222111122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．D 【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案. 【详解】由题意，输入 2.4x =，执行循环体 2.4,1y x ==，满足循环体的判断条件， 1.2x =； 执行循环体 1.2,0y x ==，满足循环体的判断条件，0.2x =； 执行循环体0.6,1y x ==-，不满足循环体的判断条件， 则输出0.4z x y =+=-，故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．A 【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，且在(0,)2π上，()0f x >，据此排除分析可得答案．【详解】解：根据题意，2()cos ()x x e e x f x x--=，其定义域为{|0}x x ≠， 则有2()cos ()()x x e e xf x f x x ---==-，即函数()f x 为奇函数，排除C 、D ；又由当(0,)2x π∈上时，()0x x e e -->，cos 0x >，20x >，则有()0f x >，排除B ；故选：A ． 9．B 【分析】由题可得要使MN 最小，即MCP ∠最小，即PC 最小，求出PC 的最小值，得出cos ∠MCN ，再由余弦定理即可求出.【详解】圆C ：2240x y x +-=化为22(2)4x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径2r ，要使MN 最小，则要使MCN ∠最小，即MCP ∠最小，||||tan 2∠PM PM MCP r ==， ∴当PM 最小时，MN 最小，||PM =PC 最小时，MN 最小，min ||PC ==cos ∠MCP ∴==25cos 2cos 19∠∠MCN MCP =-=-∴，min ||MN =∴故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相关的最值问题，解题的关键是将问题转化为当PC 最小时，MN 最小，求出PC 最小值.10．D 【分析】直接利用函数的图象确定函数的A 和ω及ϕ的值，进一步确定函数的解析式，最后利用函数的图象的变换求出结果． 【详解】解：函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示． 则：534884T πππ=-=，2A = 所以：T π=， 解得：2ω=， 当38x π=时， 3()08f π=， 即：32sin(2)08πϕ+=， 解得：34k πϕπ=-，()k ∈Z ， 当1k =时，4πϕ=，故：()2sin(2)4f x x π=+，现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到：2sin(2)4y x π=-，再横坐标再缩短到原来的12倍，得到()2sin(4)4g x x π=-11．A 【分析】对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，在坐标系中，画出()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】 解：()2,0()ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，则()21,10()1ln 11,0x x f x x x ⎧--≤≤⎪-=⎨+->⎪⎩. 在坐标系中，画出函数()1y f x =-与()1=+y a x 的图象，如图所示：对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -+，就是函数(1)y a x =+的图象都在()1y f x =-图象的上方， 则ln(1)1y x =+-.1(0)1y x x '=>+，设切点坐标(),m n ， 可得111nm m =++，可得1n =，此时ln(1)11m +-=， 解得21m e =-，所以切线的斜率为：221111e e =-+.可得21a e. 故选：A . 【点睛】本题考查导数的几何意义及数形结合思想的应用，属于中档题. 12．B 【分析】设2AD a =,再求出正四棱锥的体积关于a 的表达式,再记()()242912216g t V a a ==-,求导分析当V 取得最大值时a 的值,进而根据VOE 中的线段关系求解半径即可.如图,E 为AD 中点,O 为底面中心,OF VE ⊥交VE 于点F ,连接OA ．根据线面垂直的性质 可知OF ⊥平面VAD ,故半球的半径为OF .设2AD a =,则OA =,VO =正四棱锥的体积21433V AD VO a =⋅=,记()()242912216g t V a a ==-．令2t a =,(a ∈,则()0,6t ∈,()()232122212g t t t t t =-=-+,()()262464g t t t t t =-+'=--,因此当()0,4t ∈时,()0g t '>；当()4,6t ∈时, ()0g t '<,即()g t 在()0,4上单调递增,在()4,6单调递减,故当24t a ==时,体积最大．此时该半球的半径为OV OE OF EV ⋅===故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数分析立体几何中体积的最值问题,需要根据题意设底面边长,再求出体积的表达式,进而换元利用导数分析取得最大值时的底面边长值.属于难题. 13．32【分析】根据题设知122(3)0e e e λ+⋅=，又单位向量1e ，2e 的夹角是23π，即可得方程求λ值 【详解】由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅= ∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π∴23cos03πλ⨯+=，解得32λ=故答案为：32【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量的模为1，属于简单题 14．7- 【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距.15．210 【分析】根据递推关系可以得到该数列的性质，最后根据等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为()1121nn n a a n ++-=-，所以有：21324354652111,2213,2315,2417,2519,a a a a a a a a a a -=⨯-=+=⨯-=-=⨯-=+=⨯-=-=⨯-=由此可得出：132457682,8,2,24,a a a a a a a a +=+=+=+=，所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列， 所以数列{}n a 的前20项之和为：125(585416)2102⨯+⨯+⨯⨯⨯=， 故答案为：210 【点睛】关键点睛：通过递推关系得到该数列的性质是解题的关键.16．22b a【分析】（1）设()()()111100,,,,,A x y B x y P x y --，由,,A B P 在双曲线上可得2010120101y y y y b x x x x a-+⋅=-+，即可求出；（2）联立直线与双曲线方程求得,A B 坐标，以及AB，由直角三角形的性质可得|||AC AB =，设出直线AC 的方程，和双曲线联立，运用韦达定理得出C 的横坐标，由弦长公式化简计算可得a b =，进而可求离心率. 【详解】（1）由题可得,A B 关于原点对称，设()()()111100,,,,,A x y B x y P x y --， 则01010101,PA PB y y y yk k x x x x -+==-+，,,A B P 在双曲线上，则2211221x y a b -=，2200221x y a b-=，两式作差可得2010120101y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即22PA PB b k k a⋅=； （2）联立直线与双曲线方程可得22222222223,33a b a b x y b a b a==--，可设A ⎫，则||2||AB OA == 又在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，则|||AC AB ， 设直线AC的方程为y =，代入双曲线可得()42222222216303a b b a x x a b b a ---=-，则C x =则有22C A a b x x +-==可得22||2a b AC +==整理可得22223a b b a +=-，可得a b =，则c e a ===故答案为：22b a【点睛】思路点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 17．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）取BC 的中点M ，连接PM 、QM ，证明出平面//PQM 平面ACD ，由此可得出//PQ 平面ACD ；（2）证明出AC ⊥平面BCDE ，并计算出BDE 的面积，利用锥体的体积公式可计算得出几何体B ADE -的体积. 【详解】（1）如下图所示，取BC 的中点M ，连接PM 、QM ，P 、M 分别为DE 、AE 的中点，则//PM AD ，PM ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，//PM ∴平面ACD ，M 、Q 分别为AE 、AB 的中点，则//MQ BE ，//EB DC ，//MQ DC ∴，MQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，//MQ ∴平面ACD ，PM MQ M =，∴平面//PQM 平面ACD ，PQ ⊂平面PQM ，//PQ ∴平面ACD ；（2）DC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC DC ∴⊥，90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且BCDC C =，AC ∴⊥平面BCDE ，2112222BDE S BE BC =⋅=⨯=△， 所以，11422333B ADE A BDE BDE V V S AC --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．（1）3B π=（2）7【分析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，可得tan B 的值，即可求出角B ；（2）根据余弦定理结合已知条件求出ac ，进而求出ABC 的面积，即可求出AC 边上的高. 【详解】（1）在ABC cos sin 0B b A -=，cos sin sin 0A B B A -=，因为0A π<<,sin 0A >sin 0B B -=，所以tan B = 因为()0,B π∈，所以3B π=.（2）设AC 边上的高为h ，因为3B π=，b =5a c +=，所以222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即()273a c ac =+-，所以6ac =，11sin 22ABC S ac B bh ====△，h ∴=，所以AC 边上的高7.【点睛】本题考查正余弦定理、面积公式解三角形，考查运算求解、逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）表格答案见解析，模型①拟合效果比较好.（2）28480ˆ1717yx =-+ 【分析】（1）令3x =时，求得(2)y，()23e ，令5x =时，求得(1)y，()15e ，填入表格即可.根据残差平方和公式，分别求得模型①的残差平方和，模型②的残差平方和，再比较下结论. （2）根据视残差i e 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，应剔除第四组数据，分别求得x ，y ，利用公式进而求得b ，a ，写出回归方程.【详解】（1）当3x =时，(2)26.6713. 5022,393y =+=，()232422.39 1.61e =-=， 当5x =时，(1)1. 65528. 5720.32y=-⨯+=，()152220.32 1.68e =-=，完成表格如下：模型①的残差平方和为22222220.270.380.97 1.020.28 1.68 2.277 1.687+++++=+<， 模型②的残差平方和为2222221.84 1.610.83 1.31 2.463,179++++>>， 所以模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小， 所以模型①拟合效果比较好.（2）由题意知，应剔除第四组数据，()12347955x =++++=，()12524211614205y =++++=， ()()()()()()()()()()()515222222135441124465628341732124iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯--====-+-+-++-∑∑，284802051717a y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，∴所求回归方程为28480ˆ1717yx =-+. 【点睛】本题考查回归分析，线性回归方程模型的建立，还考查了数据处理能力和运算求解能力，属于中档题.20．（1）2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）问题等价于2x e a x<恒成立，构造函数2()(0)xe h x x x =>，利用导数求其最小值即可得到实数a 的取值范围；（2）不等式等价于证明224140x e x x -+->，设2()2414(0)x g x e x x x =--+≥，只需求出()g x 的最小值，并说明其大于0即可得证.【详解】（1）由题意知当(0,)x ∈+∞时，不等式2(0)x f x e ax =->恒成立，即2x e a x <， 设2()(0)x e h x x x=>，则3(2)()xx e h x x -'=， 当(0,2)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，∴()h x 的最小值为2(2)4e h =， ∴实数a 的取值范围为2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）证明：由题意知，要证2()414f x x x >+-，即证22414x e x x x -+->，即证224140x e x x -+->，设2()2414(0)x g x e x x x =--+≥，则()44x g x e x '=--，设()44x h x e x =--，则()4x h x e '=-，由()0h x '>得2ln 2x >；由()0h x '<得2ln 2x <；所以函数()h x 在[0,2ln 2)单调递减，在(2ln 2,)+∞单调递增；则()()min 2ln 28ln 20h x h ==-<，又(0)30h =-<，2(2)120h e =-<，3(3)160h e =->，所以存在()2,3m ∈，使得()0h m =，即44m e m =+，故当[0,)x m ∈时，()0g x '<，即函数()g x 单调递减；当(,)x m ∈+∞时，()0g x '>，即函数()g x 单调递增；∴22()()2414182m g x g m e m m m ≥=--+=-，由于23m <<，所以()2()290g x m≥->，即2()414f x x x >+-. 【点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法求函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（1）24x y =；（2）440y -+=440y +-=；②[)2,+∞．【分析】（1）由题意知1CF y -=，化简即可得出方程；（2）①设直线l 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程，由2AF FB =可得122x x -=，结合韦达定理即可求出斜率；②利用导数求出切线斜率，得出切线方程，联立可求得D 点的坐标，根据距离公式以及几何关系可得MN =21k t +=，[)1,t ∈+∞，利用导数求出最值即可得出结果.【详解】解：（1）设点C 到直线0y =的距离为y ．由题意知1CF y -=，∵0y ≥，1y =，化简得24x y =为所求方程． （2）①由题意知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124x x k +=，124x x ⋅=，又∵2AF FB =，∴122x x -=，∴1x =2x =或1x =-2x =∴k =或k =， ∴直线l440y -+=440y +-=．②∵24x y =，∴214y x =，12y x '=， 过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+即112x y x y =-，① 过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+即222x y x y =-，② 联立①②得()()12122x x x y y -=-，∴()12121222y y x x x x x -+==-，124x x y = ∴D 点的坐标为：1212,24x x x x +⋅⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -，∴OD =1l 的方程为11y x k=-+ 又∵点O 到直线1l的距离为d = ∴()222222101k OD d k +-=>+，∴k ∈R ． 又∵2MN =∴MN == 令21k t +=，[)1,t ∈+∞，()144f t t t=+-， ∴()2140f t t '=->， ∴()f t 在[)1,+∞上单调递增，∴()()11f t f ≥=，∴2MN ≥，∴MN 的取值范围为[)2,+∞．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b b-+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明. 【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥22b a c c b a c c c a a a-+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
2021年高三1月模拟调研数学(文)试题 含答案
试卷类型：A 2021年高三1月模拟调研数学（文）试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i为虚数单位，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2. 已知集合，，则A. B. C. D.3. 命题“若，则”的否命题是A．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则 4. 设向量，, , 则实数的值是A ．B ．C ．D ． 5. 函数的最小正周期为A ．B ．C ．D ．6. 一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为A ．B ．C ．D ．7. 用,,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题: ① 若, , 则∥; ② 若∥, ∥, 则∥; ③ 若∥, ∥, 则∥; ④ 若, , 则∥. 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③C ．① ④D ．8. 已知，则下列不等式一定成立的是 A ． B ． C ． D ．9. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的 图1直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为 A ． B ． C ． D ． 10. 已知函数, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭值为A ．B ．C ．D ．二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 不等式的解集是 ．12. 在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是 .13. 已知实数,满足，则的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）FEDCBA 如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点，若，设，则______．15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2 在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，， 则线段的垂直平分线的极坐标方程为______．三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R ，是函数的一个零点.（1）求的值，并求函数的单调递增区间； （2）若，且，，求的值.17．（本小题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C ）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； （2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程． （参考公式：．）18．（本小题满分14分） 如图3，在多面体中，平面， ∥，平面平面， ，，．（1）求证：∥；（2）求三棱锥的体积． 图319．（本小题满分14分）已知首项为，公比不等于的等比数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为，求证：.20．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数在点处的切线为．（1）求实数，的值；（2）是否存在实数，当时，函数的最小值为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；（3）若，求证：．xx年广州市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．12．13．14．15．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：∵是函数的一个零点，∴ . …………………………………………1分∴ . ………………………………………………2分∴………………………………………………3分. ………………………………………………4分由，Z，得，Z，………………………………………………5分∴函数的单调递增区间是Z. …………………6分（2）解：∵，∴.∴ . ………………………………………………7分∵，∴ . ………………………………………………8分∵，∴.∴ . ………………………………………………9分∵，∴ . ………………………………………………10分∴…………………………………………11分. ……………………………………………12分HFEDCBA17．（本小题满分12分）（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件. …………………………………1分所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种． …………3分事件包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． …………5分∴ ． …………………………………………6分 （2）解：由数据，求得，． ………8分()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+- ， …………………………………………10分 ∴ y 关于x 的线性回归方程为． …………………………………………12分 18．（本小题满分14分） （1）证明：∵∥，平面，平面， ∴ ∥平面. …………………2分又平面，平面平面，∴∥． ………………………………4分 （2）解: 在平面内作于点，∵平面，平面，∴. ………………………………5分 ∵平面，平面，，∴平面. ………………………………7分 ∴是三棱锥的高． ………………………………8分 在Rt △中，，，故. ………………………………9分 ∵ 平面，平面，∴ . ………………………………10分 由（1）知，∥，且∥，∴ ∥. …………………………………………11分∴ . …………………………………………12分∴三棱锥的体积． …………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：由题意得， …………………………………………1分即，即. …………………………………………2分 ∴ . …………………………………………3分 ∴ 公比. …………………………………………4分 ∴ . …………………………………………5分 另解：由题意得，， …………………………………………1分 ∴. …………………………………………2分化简得，解得， …………………………………………4分 ∴. …………………………………………5分 （2）解：， …………………………………………6分 ∴12312336932222n n nn T b b b b =++++=++++，① ……………………………7分， ② …………………………………………8分 ①②得，，…………………………………………10分∴ . …………………………………………12分∴ . …………………………………………14分20．（本小题满分14分） （1）解：∵ 椭圆过点，∴ . …………………………………………1分 ∵， …………………………………………2分∴． …………………………………………3分∴椭圆的方程为. …………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．①…………………7分，. ……………9分∴ 点的坐标为. ……………………………………10分由于，结合①式知，∴.……………………………………11分∴ 与不垂直. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………………5分∵直线与椭圆有且只有一个公共点，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得．……………………………………6分从而,化简得．①…………………7分，…………………………………………………8分由于，结合①式知，设,线段的中点为,由消去,得.………………………………9分∴ . ……………………………………10分若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分∴点与点不重合. ……………………………………12分∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分∴不成立. ……………………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵，其定义域为，∴. …………………………………………1分依题意可得…………………………………………2分解得. …………………………………………4分（2）解：2=-+-=--∈，()()(1)(1)2ln,(0,1]g x f x x m x m x x x∴. …………………………………………5分①当时，，则在上单调递减，∴. …………………………………………6分②当时，，则在上单调递减,∴. …………………………………………7分③当时，则时，；时，，∴在上单调递减，在上单调递增.故当时，的最小值为.∵.∴. …………………………………………8分综上所述，存在满足题意，其取值范围为. …………………………………………9分（3）证法1：由（2）知，当时，在上单调递减,∴时，, 即. …………………………………………10分∵,∴ . …………………………………………11分∴. …………………………………………12分∴. …………………………………………13分∵,∴. …………………………………………14分证法2：设，则.当，，…………………………………………10分∴在上单调递减∴. …………………………………………11分∴时，. …………………………………………12分,∴. …………………………………………13分,∴. …………………………………………14分- 20690 50D2 僒26132 6614 昔34616 8738 蜸38465 9641 陁c30959 78EF 磯j30066 7572 畲38019 9483 钃35786 8BCA 诊HfB。
2021年高三第一次调研数学文试题 含答案
2021年高三第一次调研数学文试题含答案一、选择题A x x N xB x x N x∈≤=∈≤，则|,||3,|,11．已知集合{}{}A． B． C． D．2．若，则复数的模是A．5 B．4 C．3 D．23．垂直于直线与圆相切于第一象限的直线方程是A． B． C． D．4．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图为正三角形，则侧视图的面积为A．8 B． C． D．45．某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填A． B． C． D．6．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A． B．2 C． D．47．设，则A． B． C． D．8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是A． B． C． D．9．设在内单调递增，，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．已知为定义在上的可导函数，对于恒成立，且为自然对数的底数，则A． B．C． D．与的大小不能确定12．有下列四个命题：①函数的值域是；②平面内的动点P到点和到直线的距离相等，则P的轨迹是抛物线；③直线与平面相交于点B，且与内相交于点C的三条互不重合的直线所成的角相等，则；④若，则A．①③ B．②④ C．②③ D．③④二、填空题13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过1，3，6，10，…，可以用如图的三角形点阵表示，那么第10个点阵表示的数是。
14．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为。
15．已知函数，则。
16．在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，点在线段的延长线上，且，则点横坐标的最大值为。
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷 含答案
2021年高三上学期第一次模拟考试数学文试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数=2+i，=3-i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）A．0 B．C．1 D．22．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件3．若平面向量与的夹角等于，，，则与的夹角的余弦值等于（）A．B．C．D．4．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．某连队身高符合中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年阅兵标准的士兵共有45人，其中18岁～21岁的士兵有15人，22岁～25岁的士兵有20人，26岁～29岁的士兵有10人，若该连队有9个参加阅兵的名额，如果按年龄分层选派士兵，那么，该连队年龄在26岁～29岁的士兵参加国庆阅兵的人数为( )A．5 B．4 C．3 D．26．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A． B． C． D．7．已知直线经过点，当截圆所得弦长最长时，直线的方程为（）A．B．C．D．8．已知A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（）A、钝角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形9．已知等差数列满足，则有（）A、B、C、D、10．直线的倾斜角等于（）A．B．C．D．11．点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.圆或线段D.线段12．已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则如果，，那么的取值范围为（）A．B． C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设则。