高一数学导数求函数单调区间问题
有关高一数学必修一函数知识点总结4篇
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下面就让小编给大家带来高一数学必修一函数知识点总结，希望大家喜欢! 高一数学必修一函数知识点总结篇1知识点总结本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。
函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。
所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。
一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。
四、常见考法本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。
选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。
在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。
多考查函数的单调性、最值和图象等。
五、误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。
2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。
3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。
4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。
5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。
高一数学必修一函数知识点总结篇2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f（x）=x3+ax-2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax-2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥-3．故选B．.【考点】利用导数研究函数的单调性．.2.已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；【答案】(1)详见解析（2）.【解析】（1）求出函数的导数，只要解导数的不等式即可，根据导数与0的关系判断函数的单调性；（2）函数f（|x|）是偶函数，只要f（x）＞0对任意x≥0恒成立即可，等价于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．试题解析：解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是． 4（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．.3.已知函数f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R．（1）若a＝－4，求函数f(x)的单调区间；（2）求y＝f(x)的极值点（即函数取到极值时点的横坐标）．【答案】（1）f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。
（2）ⅰ. 7分ⅱ.当时，若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点；有极大值点。
若时， f(x)有极大值点,无极小值点。
【解析】（1）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。
所以，，故，f(x)的单调增区间为（-1,3），单调减区间为（3,+∞）。
（2）因为，f(x)＝2x－－aln(x＋1)，a∈R，定义域为（-1，+∞）。
高一数学人必修件时函数的单调性
对于函数$f(x)$，在区间$I$内，若对任意$x_1, x_2 in I$，当$x_1 < x_2$时， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
判定方法及性质
01
02
判定方法：通过求导或 差分来判断函数的单调 性。若函数在某区间内 导数（或差分）大于0， 则函数在该区间内单调 递增；若导数（或差分 ）小于0，则函数在该区 间内单调递减。
拓展延伸：其他类型函数单调性探讨
分段函数的单调性
复合函数的单调性
分段函数在不同区间内的单调性可能不同 ，需要分别讨论。
复合函数的单调性取决于内外函数的单调 性，遵循“同增异减”的原则。
抽象函数的单调性
高次函数和三角函数的单调性
对于抽象函数，可以通过给定的性质或条 件来判断其单调性。
典型例题分析与解答
例题2
求函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间。
分析
由于余弦函数在$[0, pi]$内单调递减，因此我们需要找到满足$0 leqslant x^2 - 2x leqslant pi$的$x$的取值范围。
解答
解不等式得$x^2 - 2x geqslant 0$和$x^2 - 2x leqslant pi$，解得$x leqslant 0$或$x geqslant 2$， 且$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 leqslant 1 + pi$，所以函数$y = cos(x^2 - 2x)$的单调递减区间为$[ sqrt{1 + pi}, 0] cup [2, 1 + sqrt{1 + pi}]$。
02
余切函数$y = cot x$在区间 $[kpi, kpi + pi]$（$k in mathbf{Z}$）内单调递减。
函数的单调性与导数说课稿
函数的单调性与导数说课稿一、说教材1、地位和作用本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值，最值及函数的其他相关性质打好基础。
另外，由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多，充分展示了导数解决问题的优越性。
2．教学目标知识与技能：1．结合实例，借助几何直观探索并感受函数的单调性与导数的关系。
2．尝试利用导数判断简单函数的单调性。
3．能根据导数的正负性画出函数的大致图象过程与方法：1．通过具体函数单调性与其导数正负关系，归纳概括出一般函数单调性的判断方法。
2．体会函数单调性定义判断方法与导数判断方法的比较，进一步认识函数单调性与导函数正负性之间的关系。
3．通过实验操作，直观感知，结合函数图象，初步尝试从导数的角度解释函数在某一范围内增减的快慢。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯3、重点与难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
二、说教法1．教学方法的选择：本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
2．教学手段的利用：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
三、说学法为使学生积极参与课堂学习，主要采用自主探究法和实验教学法，让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
四、说教学过程（一）提问引入：1．判断函数的单调性有哪些方法？（意图：引导学生回顾单调性的定义及利用定义判断函数单调性的方法）（引导学生回答“定义法”，“图象法”。
高一数学试题答案及解析
高一数学试题答案及解析1.（3分）设函数f（x）在区间[a，b]上满足f′（x）＜0，则函数f（x）在区间[a，b]上的最小值为，最大值为．【答案】f（b） f（a）【解析】先利用导数的符号判断函数f（x）在区间[a，b]上的单调性，再求出f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值即可．解析：由f′（x）＜0，可知f（x）在区间[a，b]上为单调减函数，则最小值为f（b），最大值为f （a）．故答案为：f（b） f（a）点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．2.（3分）函数f（x）=x3﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值和最小值之和为．【答案】﹣14【解析】利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x的值，吧x值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做差．（1）解：f′（x）=3x2_3令f′（x）="0" 则x=±1，极值：f（1）=﹣1，f（﹣1）=3，端点值：f（﹣3）=﹣17，f（0）=1．所以：最大值为3 最小值为﹣17，最大值和最小值之和为﹣14故答案为：﹣14点评：该题考查函数求导公式，以及可能取到最值的点，属于基本题，较容易．3.（3分）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，则m的值为．【答案】3【解析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m的值．解析：f′（x）=6x2﹣12x，6x2﹣12x=0⇒x=0或x=2．当x＞2，或x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜2时，f′（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得极大值，当x=2时，f（x）取得极小值．又f（0）=m，f（2）=m﹣8，f（﹣2）=m﹣40，∴f（x）的最大值为f（0）=3．∴m=3．故答案：3．点评：本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．属于中档题．4.设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b，0＜a＜1．（1）求函数f（x）的单调区间、极值；（2）若x∈[0，3a]，试求函数f（x）的最值．【答案】（1）函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．（2）当x=a时，f（x）的最小值为﹣a3+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．【解析】（1）要求函数f（x）的单调区间，即求函数f（x）的f′（x），令f′（x）=0，解出x，再根据导数与单调性的关系求解即可得到函数f（x）的单调区间、极值；（2）由（1）知函数当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．进而得到函数f（x）在[0，3a]上的最值．解：（1）f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2．令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表：﹣a3+b由表可知：当x∈（﹣∞，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）．当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b；当x=3a时，f（x）的极大值为b．（2）x∈[0，3a]，列表如下：x0（0，a）a（a，3a）3a﹣a3+b由表知：当x∈（0，a）时，函数f（x）为减函数；当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数．∴当x=a时，f（x）的最小值为﹣a3+b；当x=0或x=3a时，f（x）的最大值为b．点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件，属于中档题．5.函数y=++的导数是．【答案】﹣x﹣2﹣4x﹣3﹣3x﹣4．【解析】利用导数的运算法则即可得出．解：y=++=x﹣1+2x﹣2+x﹣3，∴y′=（x﹣1+2x﹣2+x﹣3）′=﹣x﹣2﹣4x﹣3﹣3x﹣4．故答案为﹣x﹣2﹣4x﹣3﹣3x﹣4．点评：熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．6.函数的导数为．【答案】【解析】根据导数的运算法则可得答案．解：∵∴y'==故答案为：点评：本题主要考查导数的运算法则．属基础题．求导公式一定要熟练掌握．7.曲线y=x3在点（0，0）处的切线方程是．【答案】y=0．【解析】先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解：∵y′=（x3）′=3x2，∴k=3×02=0，∴曲线y=x3在点（0，0）切线方程为y=0．故答案为：y=0．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．8.已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．【答案】【解析】设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．解：设切点为（x0，y），则∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，又点（x0，lnx）在直线上，代入方程得lnx=•x=1，∴x=e，∴k==．故答案为：．点评：本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．9.函数y=（1﹣）（1+）的导数为．【答案】【解析】利用导数的运算法则和导数公式进行求导．解：因为y=（1﹣）（1+）=1﹣=，所以．故答案为：．点评：本题主要考查导数的计算以及导数的四则运算法则，比较基础．10.曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线方程．【答案】2x﹣y+1=0．【解析】先求曲线的导数，因为函数在切点处的导数就是切线的斜率，求出斜率，再用点斜式写出切线方程，再化简即可．解：的导数为y′=，∴曲线在点（﹣1，﹣1）处的切线斜率为2，切线方程是y+1=2（x+1），化简得，2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0．点评：本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系，属于导数的应用．11.求下列函数的导数：（1）y=+2x；（2）y=lgx﹣sinx；（3）y=2sinxcosx；（4）y=．【答案】见解析【解析】分别利用导数的公式求函数的导数．解：（1）．（2）．（3）y'=（2sinxcosx）'=2cosxcosx﹣2sinxsinx=2cos2x．（4）．点评：本题主要考查导数的运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式和导数的运算法则．12.航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t 的单位为s．（1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？（2）求第2s内的平均速度；（3）求第2s末的瞬时速度．【答案】（1）h（0）表示航天飞机发射前的高度；h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；（2）125米/秒；（3）225m/s．【解析】（1）由h（t）表示航天飞机发射t秒后的高度分别说明h（0），h（1），h（2）的意义；（2）直接由（h（2）﹣h（0））除以2得到第2s内的平均速度；（3）求出2秒时刻的瞬时变化率，取极限值求第2s末的瞬时速度．解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为===125（m/s）．答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为v====5（△t）2+60（△t）+225，当△t趋向于0时，v趋向于225，因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．点评：本题考查了变化的快慢与变化率，解答的关键是准确的计算，是基础的概念题．13.试求过点P（3，5）且与曲线y=x2相切的直线方程．【答案】y=2x﹣1和y=10x﹣25．【解析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点（x0，x2）处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后结合切线过点P（3，5）即可求出切点坐标，从而问题解决．解：y′=2x，过其上一点（x0，x2）的切线方程为y﹣x02=2x（x﹣x），∵所求切线过P（3，5），∴5﹣x02=2x（3﹣x），解之得x=1或x=5．从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）．当切点为（1，1）时，切线斜率k1=2x=2；当切点为（5，25）时，切线斜率k2=2x=10．∴所求的切线有两条，方程分别为y﹣1=2（x﹣1）和y﹣25=10（x﹣5），即y=2x﹣1和y=10x﹣25．点评：本小题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，考查运算求解能力．属于基础题．14.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度．【答案】（1）y2=18x，F（，0）．（2）6.5m．【解析】（1）先建立直角坐标系，得到A的坐标，然后设出抛物线的标准方程进而可得到P的值，从而可确定抛物线的方程和焦点的位置．（2）根据盛水的容器在焦点处，结合两点间的距离公式可得到每根铁筋的长度．解：（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是（2，6），设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则36=2p×2，p=9．所以所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦点坐标是F（，0）．（2）∵盛水的容器在焦点处，∴A、F两点间的距离即为每根铁筋长．|AF|==（或|AF|=+2=）．故每根铁筋的长度是6.5m．点评：本题主要考查抛物线的应用．抛物线在现实生活中应用很广泛，在高考中也占据重要的地位，一定要掌握其基础知识做到活学活用．15.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为4.5 cm，灯丝距顶面距离为2.8 cm，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳？试求这个曲线方程．【答案】+=1．【解析】采用椭圆旋转而成的曲面，效果最佳，如图建立平面直角坐标系，设出椭圆的方程，根据灯丝距顶面距离为p，根据椭圆的性质可知|F1F2|=2c，且△BF1F2为直角三角形，利用勾股定理即可表示出|BF2|的长，然后根据椭圆的定义可知|F1B|+|F2B|=2a，即可求出a与b的值，代入设出的椭圆方程即可确定出解析式．解：采用椭圆旋转而成的曲面，如图建立直角坐标系，中心截口BAC是椭圆的一部分，设其方程为+=1，灯丝距顶面距离为p，由于△BF1F2为直角三角形，因而，|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2，由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a，所以a=（p+）=（2.8+）≈4.05cm，b=≈3.37m．∴所求方程为+=1．点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．16.（3分）已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（﹣10，0），则焦点坐标为（）A．（±13，0）B．（0，±10）C．（0，±13）D．（0，±）【答案】D【解析】由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，利用c2=a2﹣b2即可得到c．解：由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，∴=．∴焦点为．故选D．点评：熟练掌握椭圆的性质是解题的关键．17.（3分）（2009•广东）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【答案】．【解析】由题设条件知，2a=12，a=6，b=3，由此可知所求椭圆方程为．解：由题设知，2a=12，∴a=6，b=3，∴所求椭圆方程为．答案：．点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．18.（3分）已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“￢p”中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】由集合之间的关系判断出命题p、q的真假，再由复合命题的真假性原则进行判断即可．解：由集合之间的关系得：命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，命题p是假命题，故选A．点评：本题考查了集合之间的关系，以及复合命题真假性原则的应用．19.（3分）命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为．【答案】方向相同或相反的两个向量共线．【解析】根据复合命题p∨q的定义和题意，直接写出命题“p∨q”即可．解：由命题p：方向相同的两个向量共线命题，q：方向相反的两个向量共线，得即命题“p∨q”为：“方向相同或相反的两个向量共线”．故答案为：方向相同或相反的两个向量共线．点评：本题考查了复合命题的定义，属于基础题．20.（3分）命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为，命题的否定为．【答案】否命题为：若a≥b，则2a≥2b命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b【解析】同时否定条件和结论得到命题的否命题．不改变条件，只否定结论，得到命题的否定．解：命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为：若a≥b，则2a≥2b，命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b．故答案为：否命题为：若a≥b，则2a≥2b命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b点评：本题考查了命题的否命题和命题的否定．。
高中数学_函数单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
会求单调区间，会讨论含参函数单调性2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)3.含参数的函数讨论单调性（难点）【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。
教学过程：（一）复习回顾，温故知新让学生填写导数公式，运算法则，复合函数求导法则（利用选号程序，挑选两名幸运的同学回答，可提升学生注意力）设计意图：通过复习回顾，加深对公式的记忆和理解，尤其是运算法则，复合函数求导公式的理解，有利于本节熟练应用。
新高一数学函数单调性知识点、解题方法总结
-1-常用函数单调性知识点总结判断函数单调性的常用方法有：图像法、性质法、复合函数法、定义法、导数法等.利用函数图象确定函数单调性及单调区间是一种直观又简单的方法，而对于较复杂函数的单调性和单调区间，往往利用一些基本函数的单调性、函数单调性定义或利用导数法来求.注：1.函数的单调区间应该用区间表示，不宜用集合或不等式表示。
2.如果一个函数有多个单调区间，则注意要分别写，往往不能用“ ”和“或”连接.3.“函数的单调区间”指的是函数所有单调增或单调减的最大区间。
“函数在某区间上单调”中的“区间”既可以是函数的某个最大的单调区间，也可以是函数的某个最大的单调区间的子区间.一、抽象函数单调性1.（1）()y f x =-与()y f x =的单调性相反.（2）()y f x c =+（其中c 为常数）与()y f x =的单调性相同.（3）()y c f x =⋅与()y f x =的单调性关系①当0c >时，两者的单调性相同.②当0c <时，两者的单调性相反.（4）设()y f x =在某区间D 上的函数值恒正或恒负，则有()y f x =在区间D 上具有单调性时，()1y f x =也在区间D 上具有单调性，且()1y f x =与()y f x =在该区间上的单调性相反.（5）若()0f x ≥，则()y f x α=（0α>）与()y f x =的单调性相同.（6）具有公共定义域的两个单调函数中，常用到以下结论：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数=增函数；④减函数-增函数=减函数.二、复合函数的单调性1.定义设()(),y f u u u x ==，则函数()()y f u x =叫做复合函数.2.复合函数单调性口诀：“同增异减”.（1）内外两层函数单调性相同时，复合函数为增函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .（2）内外两层函数单调性相反时，复合函数为减函数.即：①内 ，外 ⇒ ；②内 ，外 ⇒ .注：1.注意复合函数与两函数的四则运算的区别.2.运用复合函数口诀判定单调性时，一定要分清内外层函数对应的函数形式.三、函数单调性相关问题的常见类型和解题策略（1）比较大小。
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错解
C 一般地，由f ′(x)>0能推出f (x)为增函
错解分析
数，反之，则不一定．如函数f (x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f ′(x)≥0.因此f ′(x)>0是函 数f (x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
二、混淆概念 【例2】 已知x＝1是函数f (x)＝m x3－3(m ＋1)x2＋
nx＋1的一个极值点，其中m 、n∈R，m <0. (1)求m 与n的关系； (2)求f (x)的单调区间．
错解 (1)f ′(x)＝3m x －6(m ＋1)x＋n.因为x＝1
2
是函数f (x)的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即 3m －6(m ＋1)＋n＝0，所以n＝3m ＋6.
(2)因为f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数 是二次函数，它的对称轴为x＝ m ＋1 m m ＋ 1 上是增函数， －∞， 所以函数f (x)在x∈ m m ＋1 上是减函数． ，＋∞ 在x∈ m .又因为m <0，
错解分析 此题要求的是函数f (x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函 数f ′(x)的单调区间取代f (x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略． (2)f ′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n 2 1＋ ， ＝3m (x－1) x－ m 2 当m <0时，1>1＋ . m
备课资讯4
导数求函数单调区间问题 易错点分析
利用导数求函数的单调区间问题较复杂，学生在 学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的 错误分析如下，供大家参考． 一、未弄清逻辑关系 【例1】 “在区间(a，b)内f ′(x)>0”是“f (x)在 ( ) 该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2 2
， 3a
1
综上所述，a>0时，函数f (x)在R上为增函数；a<0时，函数 －∞，－ f (x)在 1 － 和 3a
错解分析
题意是求恰有三个单调区间时a满源自的条件，显然，a>0时，函数f (x)在R上为增函数不满足题 意；另外，a<0时没有研究f ′(x)>0的情况，更没有 讨论a＝0的情况． 正解
f ′(x)＝3ax2＋1，若a≥0时，f ′(x)＝3ax2＋ 1>0.f ′(x)>0恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 此时f (x)只有一个单调区间，与已知矛盾． 若a<0时，f ′(x)<0，即3ax2＋1<0， 解得x >－
2
1 3a
，
所以x>
－
1 3a
或x<－
－
1 3a
；
f ′(x)>0，即3ax2＋1>0， 解得－ － 1 3a <x< － 1 3a
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化如下表：
x f′(x) f(x)
2 ( ,1 ) 1＋ m
2 m
(1
2 ,1) m
1 0 极大 值
(1，＋∞) － 单调递减
－ 单调递减
0 极小 值
＋ 单调递增
2 －∞，1＋ 上单调 由上表可知，当m <0时，f (x)在 m 2 递减，在 1＋ ，1 上单调递增，在(1，＋∞)上单 m 调递减．
三、未理解题意 【例3】 设f (x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确
定a的取值范围，并求出这三个单调区间． 错解 f ′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f ′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f (x)在R上为增函数． 若a<0时，f ′(x)<0，得3ax ＋1<0，解得x >－ 所以x> － 或x<－ 3a 1 － . 3a － ，＋∞上为减函数． 3a 1 1
3
.
综上所述，a<0时，f (x)＝ax ＋x恰有三个单调区 －3a － 3 a ， 间．其中增区间为 ，－ 3a 3a － 3 a － 3 a 减区间为－∞， 、 － ，＋∞ . 3a 3a
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