三数加法交换律
数学加法交换律
数学加法交换律数学是一门既抽象又具体的学科，它在我们的生活中无处不在。
我们每天都会遇到各种各样的数学问题，在解决这些问题的过程中，数学中的一些基本原理和规律起到了至关重要的作用。
其中之一就是加法交换律。
本文将详细介绍加法交换律的定义、应用和证明，以及与之相关的一些例子。
一、加法交换律的定义加法交换律是指对于任意的实数a和b来说，a与b的和与b与a的和相等，即a + b = b + a。
换句话说，加法交换律表明了加法运算中的顺序可以改变，但结果不会变化。
二、加法交换律的应用加法交换律在日常生活中有着广泛的应用。
比如，在购物结账时，我们可以改变商品的顺序，但总金额是不变的。
又比如，在计算机编程中，使用加法交换律可以简化代码，提高运算效率。
三、加法交换律的证明加法交换律的证明可以通过数学归纳法来完成。
首先，我们需要证明当b为0时，交换律成立，即a + 0 = 0 + a。
根据加法的定义，0 + a 等于a，而a + 0也等于a，因此等式成立。
接下来，我们假设对于任意的正整数k，交换律也成立，即a + k = k + a。
我们来证明对于k + 1，交换律也成立。
根据加法的定义，(k + 1) + a等于k + (1 + a)。
由于加法结合律成立，等式可以变形为(k + a) + 1，再根据归纳假设，可以得到(k + a) + 1等于1 + (k + a)。
而根据加法结合律和加法交换律，1 + (k + a)等于(1 + k) + a，即k + (1 + a)等于(1 + k) + a。
因此，对于k + 1，交换律也成立。
由于基础情况和归纳步骤都成立，根据数学归纳法，加法交换律对于所有的正整数都成立。
四、加法交换律的例子下面通过一些例子来说明加法交换律的应用。
例子一：3 + 2 = 2 + 3根据交换律，3 + 2可以改写为2 + 3，结果都等于5。
例子二：7 + 9 = 9 + 7根据交换律，7 + 9可以改写为9 + 7，结果都等于16。
小学数学运算定律、法则与顺序
导读：很多孩子的数学不好，尤其是女孩子.家长往往认定为数学不好就是孩子不擅长，能力差.其实未必，有的孩子数学不好的原因并不在于智商，而是没有理解到数学的方法与逻辑，比如小学的运算中，很多孩子并没有了解到运算的定律、法则以及运算顺序，导致运算出现了很多毛病，导致孩子对数学兴趣降低，以后能补上来但是会影响接下来的学习，这里老师整理了小学数学的运算三个要点，希望对孩子有帮助.运算定律1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a .2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) .3. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a.4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) .5. 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c .6. 减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) .运算法则1. 整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一.2. 整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减.3. 整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来.4. 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面.如果哪一位上不够商1，要补“0”占位.每次除得的余数要小于除数.5. 小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足.6. 除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除.7. 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算.8. 同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变.9. 异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算.10. 带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来.11. 分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母.12. 分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数.运算顺序1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同.2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同.3. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法.4. 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的.5. 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算.6. 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算.。
数字的交换律结合律与分配律
数字的交换律结合律与分配律数字的交换律、结合律与分配律数字运算中的交换律、结合律和分配律是非常重要的基本规则，它们在许多数学领域和实际应用中起着至关重要的作用。
本文将介绍数字的交换律、结合律和分配律，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、交换律（Commutative Law）交换律是指在数字运算中，两个数字进行运算时，它们之间的顺序可以交换而结果保持不变。
交换律适用于加法和乘法运算。
1. 加法交换律加法交换律表示两个数相加的结果不受顺序影响。
例如，对于任意实数a和b，a + b = b + a。
这意味着无论a在b之前还是之后，它们的和都是相同的。
2. 乘法交换律乘法交换律表示两个数相乘的结果也不受顺序影响。
例如，对于任意实数a和b，a × b = b × a。
这意味着无论a在b之前还是之后，它们的乘积都是相同的。
交换律的应用广泛，例如在简化算式或证明数学等式时，可以有效地使用加法和乘法的交换律简化运算。
二、结合律（Associative Law）结合律是指在数字运算中，三个或多个数字进行运算时，它们之间的组合方式可以改变，但结果保持不变。
结合律同样适用于加法和乘法运算。
1. 加法结合律加法结合律表示多个数相加时，可以任意改变相加的顺序，结果保持不变。
例如，对于任意实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。
无论把a和b先相加，还是把b和c先相加，最终的结果都是相同的。
2. 乘法结合律乘法结合律表示多个数相乘时，可以任意改变相乘的顺序，结果保持不变。
例如，对于任意实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b × c)。
无论把a和b先相乘，还是把b和c先相乘，最终的结果都是相同的。
结合律在复杂的运算中起到关键作用，它可以简化运算步骤，减少错误的可能性。
在代数运算、矩阵运算以及计算机编程等领域，结合律被广泛应用。
人教版 四年级下册 3 加法交换律和结合律 教学设计(表格式)
教学设计结合律）二、探究新知,掌握定律1.探究加法交换律。
（1）在情境中初步感知规律。
看，李叔叔今天就遇到了难题。
课件出示教科书P17例1。
请同学们认真审题，题中告诉了我们哪些信息？要我们解决的问题是什么？【学情预设】已知李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km。
要求李叔叔今天一共骑了多少千米。
你能解决这个问题吗?学生独立列式解答,教师请学生把不同的算式板书在黑板上,并说一说思路。
请同学们观察这一组算式,你有什么发现?把你的发现和同桌交流一下。
这一组算式中两个加数分别李叔叔骑行的情境贴近学生生活实际,学生对场景、条件、问题都十分熟悉。
这样有利于激活学生的思维,为学生体会运算律提供现实背景。
同时,画出线段图,利用几何直观,方便后面对算理的探究。
让学生通过解决实际问题,亲身感受两个加数交换位置,表示的意义相同,计算结果也相同。
25分钟相同,只是交换了它们的位置,和不变。
是不是任意的两个数相加,都有这么一个规律呢?总结规律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变。
这叫作加法交换律。
通常情况下,我们可以用字母表示加法交换律：a+b=b+a。
（板书：a+b=b+a）完成教科书P18“做一做”第1题。
2.探究加法结合律。
(1)在情境中初步感知规律。
①师：转眼三天过去了，看看李叔叔在干什么。
课件出示教科书P18例2。
从题中可以知道哪些信息?要解决什么问题呢？放手让学生自己理解题意,分析题目的已知条件和问题,然后独立列出算式并计算。
集体交流，展示算法。
让学生用喜欢的方法表示规律,有利于培养学生的符号感,提高学生对抽象知识的概括能力,为以后正式教学“用字母表示数”打下基础。
引导学生用新知识去理解旧知识,可以促进学生更深入、更清晰地认识原来学过的知识和方法。
过去只知道“怎么做”,现在理解“为什么”。
这种“再认识”对于加强新知识的巩固与记忆很有帮助。
渗透“观察猜想——举例验证——得教师板书：(88+104)+96=88+(104+96)比较等号左右两边的算式，它们的相同点是什么?不同点是什么?观察下面这两组算式,你发现了什么?你有什么猜想吗?（出示课件）总结板书:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
加法交换律和结合律
下面等式满足加法结合律吗？为什？
(a+c)+b=a+(c+b)
满足
仔细观察，下面等式满足加法结合律吗？ 为什么？
(a+b)+c=b+(a+c)
①a+b+c=b+a+c 交换加数的位置 ②(a+b)+c=b+(a+c)
先运用了加法交换律，再运用了加法结合律。
下面等式运用了哪些运算定律？ 8+37+92=（8+92）+37
同学们，上节课我们学习了《乘法 结合律和交换律》，那么在加法中 是否也有同样的规律呢？
加法交换律:
交换 位置 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不 变,叫做加法交换律。
a+b=b+a
字母表示任意的数。
加法结合律:
三个数相加，先把前两个数相加，或先 把后两个数相加，和不变，这叫做加法 结合律。
(a+b)+c=a+(b+c)
=788 加法交换律
=658
129+235+171+165 =(129+171)+(235+165) =300+400 加法交换律和结合律
=700
完成课堂作业本P21。
(2)38+(76+24) (3)（88+45）+12 (4)45＋（88＋12） 你们觉得公平吗？ 为什么？
运用加法交换律和结合律可以简便计算。
什么情况下可以简便运算？
能运用运算定律； 数间有特征能凑整。
例如：
40+33+60
加法的交换律和结合律公式
加法的交换律和结合律公式一、加法的交换律在数学中，加法的交换律是指对于任意的实数a和b，a+b=b+a。
也就是说，两个数相加的顺序不影响最终的结果。
证明：设a和b为任意的实数，则有：a+b=b+a我们可以从几何直观和代数两个方面加以证明。
1.几何直观证明：在数轴上，可以将a理解为从原点出发，依次向右移动a个单位；b理解为从原点出发，依次向右移动b个单位。
那么，a+b就是从原点出发，先向右移动a个单位，再向右移动b个单位；而b+a就是从原点出发，先向右移动b个单位，再向右移动a个单位。
显然，无论先移动a个单位还是先移动b个单位，最终到达的点都是一样的，所以a+b=b+a。
2.代数证明：根据实数的运算性质，我们可以将交换律表示为：(a+b)+c=a+(b+c)将左边的式子展开得：(a+b)+c=a+b+c将右边的式子展开得：a+(b+c)=a+b+c可以发现，左边的式子和右边的式子完全一致，所以(a+b)+c=a+(b+c)，即加法满足结合律。
由此可以看出，加法既满足几何直观又满足代数表达。
因此，可以得出结论，加法具有交换律。
二、加法的结合律在数学中，加法的结合律是指对于任意的实数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。
也就是说，无论是先对两个数进行加法再与第三个数相加，还是先将后两个数相加再加上第一个数，最终结果都是一样的。
证明：设a、b和c为任意的实数，则有：(a+b)+c=a+(b+c)将左边的式子展开得：a+b+c=a+(b+c)将右边的式子展开得：a+b+c=a+b+c通过对比可以发现，左边的式子和右边的式子完全一致，所以(a+b)+c=a+(b+c)，即加法满足结合律。
结合律证明的过程比较简单，而且可以直观地理解。
因此，可以得出结论，加法具有结合律。
加法的交换律和结合律不仅仅适用于实数，对于其他类型的数，如自然数、整数、有理数和复数等，这两个规则同样适用。
无论是在基础数学领域还是在应用数学领域，交换律和结合律都是数学运算中最基本的规则之一，具有广泛的应用。
数学定律
数学定律1、加法交换律：两个加数交换位置，和不变。
这叫做加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
这叫做加法结合律。
用字母表示：（a+b）+c=a+(b+c)3、乘法交换律：两个因数交换位置，积不变。
这叫做乘法交换律。
用字母表示：a×b=b×a4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
这叫做乘法结合律。
用字母表示：（a×b）×c=a×(b×c)5、乘法分配率：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
这叫乘法分配律。
用字母表示：（a+b）×c=a×b+b×c a×(b+c)=a×c+a×c拓展：（a-b）×c=a×c×c a×(b-c)=a×b-a×c6、减法的性质：一个数连续减去两个数，可以减去这两个凑数的和。
用字母表示：a-b-c=a-(b+c) a-(b+c)=a-b-c7、一个数连续减去两个数，可以先减去第二个减数，再减去第一个减数。
用字母表示：a-b-c=a-c-b8、除法的性质：一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的和。
用字母表示：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b×c)=a÷b÷c9、一个数连续除以两个数，可以先除以第二个数，再除以第一个数。
用字母表示：a÷b÷c=a÷c÷b数学定律1、加法交换律：两个加数交换位置，和不变。
这叫做加法交换律。
用字母表示：a+b=b+a2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
这叫做加法结合律。
运算律知识点总结
第六单元运算律1、加法运算定律：（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
a＋b＝b＋a如:1+2=2+1 1+2+3=2+3+1（2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。
(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c)（3）加法的这两个定律往往结合起来一起使用。
（加法交换律与结合律）如：165＋93＋35＝93＋（165＋35）（4）简便计算几个加数是否能简便计算，关键是看加数的个位相加是否能凑整方法规律连加计算仔细看，考虑加数是关键。
整十、整百与整千，结合起来会简便。
交换定律记心间，交换位置和不变，结合定律应用广，加数凑整更简单。
2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。
(结合连除) a－b－c＝a－(b＋c)3、乘法运算定律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
a×b＝b×a（2）乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。
(a×b) ×c＝a×(b×c)乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。
如：125×78×8 简算。
（3）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。
(a+b)×c = a×c + b×c（合起来乘等于分别乘）(a-b)×c = a×c - b×c 4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
(结合连减) a÷b÷c＝a÷(b×c)5、相遇问题路程和=速度和×相遇时间。
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使学生理解并掌握加法交换律。
教学难点：
会用个性化的符号Hale Waihona Puke 字母表示加法交换律。教学准备：
情境图
教学过程：
一、创设情境，导入新课：
1.师：同学们，你们还记得08年春晚那个创造奇迹的魔术师吗？你们想不想在数学方面成为一名能创造奇迹的魔术师呢？现在请同学们打起十二分精神，一同进入今天的数学魔法世界。
（3）见证奇迹的时刻到了，谁来说说自己的最佳创意？学生汇报。
（4）同学们真是太有才了，创造了如此多而美妙的奇迹。请同学们观察，语言表达与符号表示，哪一种更一目了然？在这些符号表示方式中，你最喜欢哪一个？为什么？
（5）a、b在这里可以表示哪些数？
7、游戏。
下面我们轻松一下，做个根据加法交换律来对口令的游戏，想好就请起立抢答。师：25+65
《加法交换律》教学设计
教学目标：
1、使学生经历探索加法交换律的过程，理解并掌握加法交换律，初步感知加法交换律的价值，发展应用意识。
2、经历加法交换律逐步符号化，形式化的过程，使学生初步感受用字母表示运算定律的优越性，培养学生的符号感以及应用符号解决问题的意识。
3、使学生经历“形成猜想、举例验证”的完整、真实的过程，感悟数学研究的一般方法。
（2）骑车是一项有益健康的运动，这不，李叔叔正在骑单车旅行呢！（出示情境图）
2、获取信息，提出问题。
（1）从图中你可以得到哪些信息？
（2）学生汇报，老师相机出示线段图。
（3）看着线段图再来叙述一下图中信息，说明：简单的线段图可以帮助我们分析题中的数学关系。
3、解决问题
（1）能列式解决这个问题么？
（2）为什么用加法解决？你是怎么想的？
生：等于65+25
8、加法交换律的应用。
（1）咱们知道了加法交换律，并会用自己喜欢的方式来表示。请同学们想一想，以前学过的知识中，哪些地方用到过加法交换律？
（2）下面我们就来算几道题，并用加法交换律进行验算。
38+456 307+348
三、巩固提高，拓展延伸：
师：你们表现的真不错，数学的魔幻之门正等着你们用所学的知识去开启呢。你们有信心吗？
（3）还有其他做法么？
（4）两种算法，两个算式有什么关系？为什么?
4、通过实例发现规律
(1)生活中还有哪些问题可以用加法来解决？谁能提一个，能解决么？师板书算式。
(2)讨论：现在请同学们观察这几组算式，你能发现什么？把你的发现在小组内说说！
（3）从这些实例可以得出什么规律，请用最简洁的话概括出来。能给这条规律命个名么？板书：加法交换律
2.师出示有2—-10的扑克牌，请学生任意抽出两张，列出加法算式，计算出结果。
如：10+9=19
师：说说这个加法算式中各部分的名称。
今天我们就来共同探讨加法运算中的一些比较规律性的知识。
二、探索新知
1、出示情境图，激发求知欲。(也可根据班级学生数进行情境创设)
（1）同学们，你们喜欢运动么？有多少同学会骑车，最远骑到过什么地方？
1、找朋友
请你根据加法交换律给下面的括号里填上适当的数。
300+600=（）+300
（）+65=( )+35
432+168=（）+（）
280+（）=（）+（）
2、公正的小法官
判断下面等式是否符合加法交换律，说明理由。
a+45=45+b
380+20=30+370
3Ｘ60=60Ｘ3
3、同学们可真棒，作为奖励，老师要教你们一种魔法，只要学会它，你就会拥有比别人计算更快的能量，你们信吗？
5、验证规律。
（1）通过这几组算式我们发现了加法交换律，是不是任意两个数相加都有这种规律呢？请同学们先在自己的练习本上举几个例子验证一下。
（2）汇报。
6、用喜欢的方式表示定律。
（1）经过同学们的努力，我们不但发现了加法交换律，还通过大量实例进行了验证，你们真了不起！
（2）这个定律能不能用你喜欢的方式表示出来呢？能不能用一些符合表示两个加数，在练习本上用这样的式子表示加法交换律。
56+40=96（千米）32+48=48+32＠+＃=＃+＠
64+59=59+64 a+b=b+a
请运用加法交换律，使计算更简便。
25+49+75
四、总结全课。
1.这节课你有什么收获？
2.师：数学是一个充满神奇力量的世界，它会使你变得更聪明，孩子们，只要你肯努力，下一个奇迹就一定会是你创造的！
板书设计：
加法交换律
两个加数交换位置，和不变，这叫做加法交换律。
40+56=96（千米）49+58=58+49＆+＄=＄+＆