初一数学实数复习资料
七年级实数重点知识点
七年级实数重点知识点实数是数学中重要的一个概念，也是数与数之间的关系的基石。
在七年级学习实数时，有许多重要的知识点需要掌握。
下面让我们一起来了解一下七年级实数的重点知识点。
一、实数的概念实数是指可以表示成有限小数、无限小数或分数的数，包括正数、负数和零。
例如，2、-3、0、0.5、-2.7、1/4等都是实数。
二、实数的大小关系实数的大小关系有四种情况：1.正数与正数之间的大小关系：数值越大，实数越大。
例如，2>1，所以2比1大。
2.负数与负数之间的大小关系：数值越小，实数越大。
例如，-3>-5，所以-3比-5大。
3.正数与负数之间的大小关系：正数比负数大。
例如，3>-2，所以3比-2大。
4.相等关系：相等的实数大小相同。
例如，3=3，所以3和3相等。
三、实数的运算实数的运算有四种：加法、减法、乘法和除法。
1.加法运算：且取它们的公共符号。
例如，2+3=5，-2+(-3)=-5。
当两个实数异号时，它们的和是它们的绝对值之差，并且取绝对值大的实数的符号。
例如，2+(-3)=-1，-2+3=1。
2.减法运算：减法运算可以转化为加法运算。
即，a-b=a+(-b)。
例如，2-3=2+(-3)=-1。
3.乘法运算：且取它们的公共符号。
例如，2×3=6，(-2)×(-3)=6。
当两个实数异号时，它们的积是它们的绝对值相乘取负数。
例如，2×(-3)=-6，(-2)×3=-6。
4.除法运算：当两个实数同号时，它们的商是这两个实数的绝对值之商，并且取它们的公共符号。
例如，6÷2=3，(-6)÷(-2)=3。
当两个实数异号时，它们的商是这两个实数的绝对值之商，并且取负数作为商的符号。
例如，6÷(-2)=-3，(-6)÷2=-3。
四、实数的绝对值和相反数1.实数的绝对值：实数的绝对值是这个实数到0的距离，它永远是非负数。
例如，|-2|=2，|5|=5。
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
实数(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分： 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：3256412-+-．（2）求x 的值：2(1)225x -=．【答案】（1）2； （2）16x =或14x =-【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；2a 0a ≥0a ≥（2）根据平方根的定义解方程即可求解． 解：（1）32564|12|-+-；5421=-+-2=；（2）开平方得115x -=±，解得16x =或14x =-．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的x ．(1) 29160x -=； （2）()3164x +=-． 【答案】(1) 43x =±(2) 5x =-【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可； （2）利用求立方根的方法解方程即可． （1）解：∵29160x -=，∵2916x =， ∵2169x =， 解得43x =±；（2）解；∵()3164x +=-，∵14x +=-， ∵5x =-．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“2=3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为410=915--，所以2525410=91544-+-+， 22225555222=3232222⎛⎫⎛⎫-⨯⨯+-⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，552=322--，所以2=3． “2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流． 【答案】错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步【分析】由22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，所以错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步． 解：错在由22552=322⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得552=322--这一步，显然52<02-，5302->，所以5523022-≠->． 【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意22x y =可得出x y =，但不能得出x y =，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2． (1) 求a ，b 的值； (2) 求a b +的算术平方根． 【答案】(1) 5a =，8b =；(2) a b +的算术平方根为13．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得219a -=，318a b -+=，从而可求得a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入求得代数式a b +的值，最后再求其算术平方根即可． （1）解：∵21a -的平方根是3±，31a b -+的立方根是2，∵219a -=，318a b -+=， 解得：5a =，8b =；（2）解：∵5a =，8b =，∵5813a b +=+=，∵a b +的算术平方根为13．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求44a b -的立方根．【答案】44a b -的立方根为2【分析】分别根据1a -的算术平方根为3，31b +的一个平方根为5-，求出a b 、的值，再求出44a b -的值，最后求出其立方根即可．解：1a -的算术平方根为3，∴19a -=，即10a =，31b +的一个平方根为5-，∴3125b +=，即8b =， ∴4440328a b -=-=， ∴44a b -的立方根为382=．故答案为：44a b -的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出a b 、的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是3a -和215a +，b 的立方根是2-，求 (1) 该正数是多少？ (2) 2a b --的算术平方根． 【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出a 的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出,a b ，代入代数式求出2a b --，再求出算术平方根即可． （1）解：由题意，得：32150a a -++=，解得：4a =-；∵()()2234349a -=--=； ∵该正数是：49；（2）解：∵b 的立方根是2-，∵()328b =-=-；∵()()22488816a b --=-⨯---=+=， ∵2164a b --==．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，07，4π，38227，36 1.414320.2121121112-（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{ }； （2）无理数集合：{ }； （3）负实数集合：{ }．【答案】（1）3223.1415926,0,8,,36,1.414,7---；（2）37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；（3）33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可． 解：有理数集合：3223.1415926,0,8,,36,1.414,7⎧⎫---⎨⎬⎩⎭； 无理数集合：{37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：3223.1415926,0,8,,36,1.4147---；37,,2,0.21211211124π-（每两个2之间依次多一个1）；33.1415926,8,36,0.2121121112----（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式12,2,22,32,52,82___，_____． (1) 两条横线上的实数分别____； (2) 第11、12个实数分别是_____． 【答案】(1) 132；212(2) 892； 1442【分析】（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现2的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∵横线上的实数，2的系数为5+8=13，8+13=21， 所以横线上的实数分别为132212，， （2）由（1）可知第8个数为212，∵第9个数为342， 第10个数为552， 第11个数为892， 第12个数为1442， 故答案为：892，1442．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中2的系数，找到规律是解题的关键． 【变式2】已知：a ，b 均为有理数，且满足722322332a b -=|2|||x a b x ---．【答案】当x ＜-2时，5x --；当-2≤x ≤1时，33x +；当x ＞1时，5x +【分析】根据已知等式可得关于a 和b 的方程，求出a ，b 的值，再代入，根据x 的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：722322332a b ++-=，a ，b 均为有理数，∵()()7222332a b ++-=， ∵73a +=，220b -=， ∵a =-4，b =1，∵|2|||x a b x ---=|24||1|x x +--，当x ＜-2时，|24||1|x x +--=()241x x ----=5x --； 当-2≤x ≤1时，|24||1|x x +--=()241x x +--=33x +； 当x ＞1时，|24||1|x x +--=()241x x ++-=5x +．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a 和b 的值．4．如图，已知BC ∵OA ，BC ＝3，点A 在数轴上，OA ＝OB ．(1) 求出数轴上点A 所表示的数； (2) 比较点A 所表示的数与﹣3.5的大小． 【答案】(1) 13-(2) 点A 所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB 的长，进而得到 OA 的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到13＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC ∵OA ，∵∵BCO ＝90°， ∵BC ＝3，OC ＝2， ∵2213OB BC OC =+=， ∵OA ＝OB ， ∵OA ＝13，∵点A 在数轴上原点O 的左侧， ∵数轴上点A 所表示的数是﹣13．（2）解：｜﹣13｜＝13，｜﹣3.5｜＝3.5，∵()21313=，23.512.25=，∵13＞3.5，∵﹣13＜﹣3.5，∵点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式15x，小数部分是y．(1)求x与y的值；(2)求|5-的值．x y【答案】(1) 2,52==-(2) 0x y【分析】（1）先确定5的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入|5|--，化简绝对值，再加减．x y（1）解：∵459<<，<<，即253∵2,52==-；x y（2）∵2,52==-，x y∵|5|--x y()=---|25|52=---52(52)=--+5252=．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题： ∵1221=； 2332= 3443= 4554= ……(1) 请写出第∵个等式：______356=______； (2) 写出你猜想的第n 个等式：______；（用含n 的式子表示） (3) 241-1的大小． 【答案】(1)5665-=-；635- (2) 11n n n n -+=+-(3)24114-< 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第∵个等式，由于3563536-=-，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-； （3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第∵个等式为：5665-=-，35635363635635-=-=-=-，故答案为：5665-=-；635-．（2）解：由前4个等式可以猜想第n 个等式为11n n n n -+=+-， 故答案为：11n n n n -+=+-．（3）解：∵241241424524251044444-----=-==<，∵24114-<． 【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1)2316(3)27-(2) 233313(3)-． 【答案】(1) 10 (2) 4-【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：2316(3)27+-+433=++10=（2）233313(3)-+---333313=-+--4=-．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1)4822； （2(203271272π342-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】(1) 2- (2) 33-【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：4822---=()22222---=22222--+=2-（2）解：()203271272π342-⎛⎫--⨯+-- ⎪⎝⎭ =3332412--⨯+- =33341--+-=33-【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知611a ，611b ，(1) 求a b +的值； (2) 求a b -的值． 【答案】(1) 1311- (2) 511+ 【分析】（1）先估算出3114<<，进而得到961110<+<，26113<-<由此求出a 、b 的值即可得到答案； （2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵91116<<，∵3114<<，∵961110<+<，11-4<-<-3，∵26113<-<，∵96112411a b ==--=-，，∵94111311a b +=+-=-；（2）解：由（1）得()9411511a b -=--=+．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键．6．计算：(1)233336481125(3)4(2)--(2) 2231|53|168))(5(2-+--【答案】(1) 3 (2) 4 【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：233336481125(3)4(2)-++----495322=-++-+3=，故答案为：3．（2）解：2231|53|168))(5(2-++-----+1354245=-+--+++4=，故答案为：4．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) 20223113274-+- (2) 223(3)(3)1664---【答案】(1) 33+ (2) 8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+-++33=+；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1)22110036()(5)4--； （2）已知38270x +=，求x 的值． 【答案】(1) 134 (2) 32x =- 【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）22110036()(5)4-+-- 1854=+- 134=． （2）38270x +=，3827x =-，3278x =-， 32x =-． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知135a b -=+，其中a 是整数，01b <<，求a b -的值．【答案】75+试题分析：可以先估算出整数部分10a =，再计算出b 的值,最后作差.解：10a =，()1351035b =--=-， a b -=()103575--=+．举一反三：【变式1】若整数m 的两个平方根为63a -，22a -，b 11(1) 由题意得，=a ，m = ，b = ．(2) 求31m a ++的平方根；(3) 现规定一种新运算∵，满足x ∵y xy =-，求b ∵()4-的值．【答案】(1)4，36，3 (2)31m a ++的平方根为7± (3)b ∵()4-的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a 和m 的值，根据无理数估算的方法求出b 的值；（2）将m 和a 的值代入31m a ++求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：63220a a -+-=，4a ∴=， 22(22)(82)36m a ∴=-=-=，91116<<，3114∴<<， ∴11的整数部分为3，3b ∴=，4a ∴=，36m =，3b =，故答案为：4，36，3；（2）当36m =，4a =时，3136121m a ++=++49=，31m a ∴++的平方根为7±；（3）当3b =时，b ∵(4)(4)b -=-⋅-4b = 43=⨯12=，b ∴∵()4-的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：49649⨯＝ ，12549＝ ，12549⨯＝ (2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：2271320⨯． 【答案】(1)6，57，57 (2)a b a b ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），227313202⨯= 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到2275271320320⨯=⨯，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1）49366⨯==，11525=5=4977⨯⨯，125525==49497⨯；故答案为：6，57，57；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：a b a b⋅=⋅（a≥0，b≥0）．22752793132032042⨯=⨯==故答案为：a b a b•=•（a≥0，b≥0），3 2【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析
七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C 倍D ．2m 倍3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数 5．下列数中，有理数是（ ）A B ．﹣0.6 C ．2π D ．0．151151115… 6．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．12．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．16．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定113⎡=⎣_____． 17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____． 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①3310001000000100==，又1000593191000000<<，31059319100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．观察下列等式： ①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子 （2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24．我们规定：a p -＝1p a （a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意得：πR2=mπr2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．3．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．6．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．7．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．解析：0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．15．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数． 19．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.24．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。
(完整版)实数知识点和练习
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）是有理数，而不是无判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a 的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a 的算术平方根，记作“a ”。
（2）a(a ≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
七年级数学下册实数经典例题及解析,吃透考试稳上138
七年级数学下册实数经典例题及解析，吃透考试稳上138七年级数学下册：《实数》经典例题及解析，吃透考试稳上138！初一数学下册，实数如何学习，初学者应该注意哪些问题，你在计算的时候，如何学习计算平方根和算术平方根。
对于多数学生来说，刚开始学习的时候容易模糊不清，弄不清什么是算术平方根和什么是平方根，在计算带根号的式子的时候容易算错。
1、如何求一个数的算术平方根2、如何求一个数的平方根3、在什么时候求出来的是算术平方根4、在什么时候求出的是平方根5、在算数平方根计算的时候需要注意那些容易出错的地方6、在计算根式的时候有什么技巧和方法能够保证计算的准确率7、在解方程的时候需要注意哪些问题和事项8、你为什么计算的时候总是会莫名其妙的出错9、在练习的时候对开平方根和开算数平方根和开立方根，甚至是如何开高次方根的原理是什么？逻辑是什么？弄清楚之后老师再给大家举三个例子，看你能做对多少？例一属于正有理数的有：__________________ 属于整数的有：______________________ 属于负分数的有：____________________属于无理数的有：____________________例二解：(1)当x<2时，|x−2|=2−x，故答案为：2−x(2)见答案；(3)当x<−1时，原式=3x+5<2，当−1≤x≤1时，原式=−5x−3，−8≤−5x−3≤2，当x>1时，原式=−3x−5<−8，则|x−1|−4|x+1|的最大值为2．故答案为：2．【分析】(1)根据绝对值的意义可得结论；(2)零点值x=−2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x<−2、−2≤x<4和x≤4..分该三种情况找出|x+2|+|x−4|的值即可；(3)分x<−1、−1≤x≤1、x>1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．例三【解析】(1)根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；(2)根据上面的规律可以比较√11−√10与√12−√11的大小．。
初一-实数复习(1)(教师版)
… … 有理数集合 无理数集合 OACB 题型2：实数的分类【例2-4】实数可分为正实数，零和__负实数__.正实数又可分为_正有理数_和_正无理数__，负实数又可分为_负有理数_和_负无理数__. 【例2-5】下列说法正确的是( D )A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【例2-6】 把下列各数分别填在相应的集合里：,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3π，⋅⋅⋅313113111.0。
举一反三 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.-6，π，-23，-|-3|，227，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1… 整数：{ -6，-|-3|，0 ,…}， 负分数：{ -23，-0.4 ,…}， 无理数：{ π，6，1.101 001 000 1… ,…}.知识点三：实数与数轴实数与数轴数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。
【例3-1】把无理数5在数轴上表示出来。
分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示5。
解：如图所示，,1,2==AB OA 由勾股定理可知：5=OB ,以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示5。
【例3-2】下列结论正确的是( D ) A.数轴上任一点都表示唯一的有理数 B.数轴上任一点都表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点【例3-3】比较下列各组实数的大小：（1）4，15 （2）π，1416.3 （3）23,23-- （4）33,22举一反三 若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_____7_____.举一反三 如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是____π______.三、课堂练习一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对D ．是近似值，无法在数轴上表示准确22．下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数 3．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）A ．±1B ．0和1C ．0和－1D ．0和±14．估计的大小应在（ ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间5．－27的立方根与的算术平方根的和是（ ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或66．实数和的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个正方体水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在（ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间8．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点二、填空题9．__无限不循环小数____叫无理数，__有理数和无理数___统称实数． 10．___实数___与数轴上的点一一对应． 11．把下列各数填入相应的集合：－1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ －1、－3.14、 、 ｝；（2）无理数集合｛、π、、 ｝； 768176.2、227226.2<<226.27<<2276.2<<76.222<<153926-22-7.0&97.0&326-22-②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
(完整版)七年级下册实数知识点总结及常见题,推荐文档
D．81
2、若 a 2 =25, b =3,则 a+b=
2．下列计算正确的是（ ）
3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a﹣2 和 a﹣4，则 a 的值是
A． 4 =±2
B． (9)2 81 =9
4、 3 4 ＝ ____________
C. 36 6
D. 92 9
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天 2
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质
的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0 的算术平方
应用很广，务必掌握）。
根与平方根同为 0。 5. 如果 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作“ a” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。
【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ ）
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别：
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根，负数
B．负数没有立方根
没有平方根，正数的平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为 0. C．一个实数的立方根不是正数就是负数
七年级下册第六章实数
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 3、若 x 1 (3x y 1)2 0，求 5x y2 的值。
4、若 a、b、c 满足 a 3 (5 b)2 c 1 0 ，求代数式 b c 的值。 a
y 2x x 2 25
5、已知
0 ，求 7（x＋y）－20 的立方根。
(完整版)七年级实数知识点、典型例题及练习题单元复习
和 1 的大小
2
t a 2 的画法：画边长为 1 的正方形的对角线 ing a 3
ethin 练习：
om 一、比较下列各组数的大小：
for s ① 2 和 3
②
4 15 和 3
5
re good ④ 7 和－2.45
⑤ 72与1 33
1.当 x= _________时， 3 5x 2 有意义； 2.若 x 4 16 ，则 x=_________；若 3n 81，则 n= ________。 3.若 3 x 2 ，则 x= __________； 若 3 64 x ，则 x =__________；
（1）－a2 一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
（2）大家都知道 是一个无理数，那么 －1 在哪两个整数之间？
(3) 15 的整数部分为 a,小数部分为 b，则 a=
, b=
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 ① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数； ④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
for so 例 2.若 y x 1 1 x 1，求 x，y 的值。
re good 例 3.若 3 2a 1 和 3 1 3b 互为相反数，求 a 的值。 b
ing a 跟踪练习： be 1． y 2 x x 2 x2 5 ，求 y x 的平方根和算术平方根。
their 3.若 x 1 | y 2 | 0 ，求 x+y 的值。
g a 根， a 叫做 a 的负平方根。
ein ⑵一个正数有两个平方根： a （根指数２省略）
七年级下册实数知识点概括及常见题目
七年级下册实数知识点概括及常见题目
一、知识点概括
1.实数的概念
实数是包括有理数和无理数的数的集合，它们可以表示在数轴
上的位置。
实数具有加法、减法、乘法和除法等运算规则。
2.有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数之间可以进行加减乘除运算，还可以
比较大小。
3.无理数
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是
无限不循环的小数。
无理数包括根号2、根号3等。
4.实数的分布
实数可以在数轴上表示出来，正数在右侧，负数在左侧。
实数
之间可以进行大小比较。
二、常见题目
以下是七年级下册实数部分常见的题目类型：
1.判断题：给出一个数，判断它是有理数还是无理数。
2.计算运算结果：计算两个实数的和、差、积、商。
3.比较大小：给出两个实数，判断它们的大小关系。
4.补全数轴：给出数轴上的几个点，补全数轴上其它的实数点。
5.排序实数：给出几个实数，按大小顺序排列它们。
6.选择题：根据题目描述选择符合条件的实数。
以上是七年级下册实数知识点的概括及常见题目类型。
通过熟
练掌握这些知识点和题目类型，可以提高对实数的理解和应用能力。
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初一数学实数复习资料
一．平方根知识
1.平方根定义：
2.平方根的性质：一个正数的平方根有 个，它们 ；
0只有 个平方根，就是 ； 负数 平方根。
3.算术平方根
（1）定义： （2）正数a 的算术平方根表示为： （3）算术平方根的性质．．．．．．．．
：
a 具有双重非负性：（1） （2）
0的算术平方根是0；一个非负数的算术平方根有且仅有．．．．
一个 4.平方根与算术平方根的联系与区别 二．立方根知识回顾
1. 立方根的定义： 记作： ，读作 2．立方根的性质．．．．．．： （1）
（2）3
3
a = ；
()
=3
3
a ；
3
a -=
（3）立方根等于本身的数是 ；
三、夹逼法
对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
典型例题：
例1、一个数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个数是_________；
例2、当x 时，-2x+3有平方根；当x 时，45+x 有最小值为 例3.已知y x 2132++-和互为相反数，求x+y 的平方根。
例4.若277+-+-=
x x y ，则y x += ；
例5.若8+7的小数部分为a ，8-7的小数部分为b ，求a+b 的值
_____)
_____(____,_____________)(22==a a ）（
例6.把下列各数填入相应的横线上：，，，，，，，，30
81623732551.0213--⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ
无理数： 有理数： 正实数： 负有理数:
练习：
1
的平方根为
；的平方根为 ；
的平方根为
；的立方根为 ； 2
的算术平方根为3，则m = ；
若2，则m = ；
的算术平方根与立方根相等，则m = ； 3、（1
的平方根等于±2，则a = ；
（2
，3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b 的平方根。
4
2a =-，则a 的取值范围是 ； 5、一个正数x 的平方根是2a+1与a+5，求这个数x 的平方根。
`
6、若实数a 、b 满足22
52(2)a b a b ++=+
的值。
7、已知：△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，a 和b
2
10250b b -+=，求c 的取值范围。
1010010001.072214.393
，，，
8、已知：21128y x x x =---+，求456x y +-的算术平方根。
9、设x 、y 均为实数，且22
2000442
x x y x +-+-=-，求x 、y 的值。
10、已知：345m -与353n -互为相反数，求m:n 的值。
11、已知：|a| = 5 ,27b =,且|a+b| = a + b ,求a – b 的值。
12、已知：17x x +=，求（1）221x x + （2）1
x x
- 的值。
13、已知实数
a 、
b 、c
在数轴上对应点位置如图，化简：
222332||||()a ab b c b c b b a -++-+----
14、求下列各式x 中的取值范围： (1)1x - (2)324x x -+ (3)21
5x x
-- (4)21x +
(5)29x - (6)33x x -+- (7)5
4318
x x -+
-
15、已知：13m A m n -=+为m+3n 的算术平方根，121n B m +=-为2
1m -的立方根，求
A+B 的值。
16、设a 、b 、c 是实数，若21416214a b c a b c ++=++++--， 求()()()a b c b c a c a b +++++
七下复习
1、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）2
2
2
AD DB DE +=．
2、有三张卡片（背面完全相同）分别写在12，1
12-⎛⎫
⎪⎝⎭
，3-，把它们背面朝上洗匀后，
小军从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张． （1）两人抽取的卡片上都是3-的概率是 ．
（2）李刚为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小军获胜，否则小明获胜．你认为这个游戏规则对谁有利？请用列表法或树状图进行分析说明．
3. 某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是 .
4．一个等腰三角形的底边为43，面积为65，该三角形周长为
_____________;、 5.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48， 我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为
12，……第2009次输出的结果为___________．
6. 如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边
上有两点Q 、R ，则△PQR 的周长的最小值是____________
7. 在三角形ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，点E 在AB 上，且BC=BD ，
AD=DE=BE ，则∠A 的度数为
8、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图15所示；乙公司每月通话收费标准如表3所示．
表三
（1）观察图15，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是__________元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为_________元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
月租费 通话费 2.5元 0.15元/分钟
R Q O B
P A （第5题）
输入x 12x x +3 输出
x 为偶数 x 为奇数 图15 ()t 分()y 元
O 100 200
20
40。