沪教版数学高二下-1两条直线的位置关系PPT全文课件
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两条直线的位置关系2(25张PPT)
直线外一点与直线上 各点所连的所有线段 中垂线段最短
AB
O
m C
综合应用 问题1：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？
你能说说说其中的道理吗？与同伴交流.
线段PO的长 度即为所求。
根据：直线外
一点与直线上
O
各点所连的所
有线段中垂线
P
段最短
综合运用 问题2. 如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下
画一画
问题1：在一个平面内，画出一条直线m和
点A，你有几种画法？
A
A
m
m
点A和直线m的位置关系有两 种：点A可能在直线m上，也 可能在直线m外。
A
A
m
m
问题2：过点A画直线m的垂线你能画出多少条？
请用你自己的语言概括你的发现。
分别过点A 画m的垂线，每个图中你能作几条？
作法： 1、并（边靠线、边靠边)
面结论中正确的有（ ）个。 线段与线段垂直是指 ①点B到AC的垂线段是线段AB； 他们所在的直线垂直。
②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点A到BC的垂线段；
④线段BD是点B到AD的垂线段。
A
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。
BD
C
综合应用
问题3： 如图：已知∠ACB＝90°
C
若BC＝4cm， AC＝3cm，AB＝5cm，
E
D
如图：点C在直线 AB上,过
点C 引两条射线CE、CD， A
C
B
∠∠ADCCEB==3528°°，，则CE、CD∵A、C、B共线
有何位置关系？
∴∠ACE+∠__E_C__D_+∠DCB=180°
AB
O
m C
综合应用 问题1：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？
你能说说说其中的道理吗？与同伴交流.
线段PO的长 度即为所求。
根据：直线外
一点与直线上
O
各点所连的所
有线段中垂线
P
段最短
综合运用 问题2. 如图：∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下
画一画
问题1：在一个平面内，画出一条直线m和
点A，你有几种画法？
A
A
m
m
点A和直线m的位置关系有两 种：点A可能在直线m上，也 可能在直线m外。
A
A
m
m
问题2：过点A画直线m的垂线你能画出多少条？
请用你自己的语言概括你的发现。
分别过点A 画m的垂线，每个图中你能作几条？
作法： 1、并（边靠线、边靠边)
面结论中正确的有（ ）个。 线段与线段垂直是指 ①点B到AC的垂线段是线段AB； 他们所在的直线垂直。
②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点A到BC的垂线段；
④线段BD是点B到AD的垂线段。
A
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。
BD
C
综合应用
问题3： 如图：已知∠ACB＝90°
C
若BC＝4cm， AC＝3cm，AB＝5cm，
E
D
如图：点C在直线 AB上,过
点C 引两条射线CE、CD， A
C
B
∠∠ADCCEB==3528°°，，则CE、CD∵A、C、B共线
有何位置关系？
∴∠ACE+∠__E_C__D_+∠DCB=180°
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件(共22张PPT)
两条直线的位置关系
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
回顾 在同一平面内，两直线的位置关系有几种情形？ 划分不同情形的依据是什么？
二元一次方程组
aa12xx
b1 y c1 0 b2 y c2 0
的解有几种情况？
一、两条直线位置关系的系数判别法 (充要条件)
已知两条直线方程为
l1 : a1x b1 y c1 0
记 D a1
l1
:
2x
6
y
4
0,
l2
:
y
2 3
1 3
x
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系.
(1) l1 : x m2 y 6 0,l2 : (m 2)x 3my 2m 0
解：整理得
x
m2
y
6
(m 2)x 3my 2m
1 m2
D
m(m 1)(m 3)
m 2 3m
6 m2
Dx 2m
解：设所求直线方程为 ax by 0 (a2 b2 0)
根据夹角公式 cos 60o | a 1 b ( 3) | a2 b2 4
两边平方后化简得：b2 3ab
当 b 0 时，所求直线为 x 0
当b 3a 时，所求直线为 x 3y 0
因此所求直线方程为 x 0 或 x 3y 0
当 m 0, 1,3 时，直线 l1, l2 相交； 当 m 3 时，直线 l1, l2 重合； 当 m 1, 0 时，直线 l1, l2平行.
例2.已知m R ，判断下列两条直线的位置关系. (2) l1 : y 1 k1(x 3),l2 : y 1 k2 (x 3)
二、两条直线位置关系的系数判别法 (充分条件) 已知两条直线方程为
课堂练习 1.利用夹角公式，求下列各组直线的夹角.
两条直线的位置关系PPT精品课件
不完全相同。除母乳外，任何一种天然食物都不能提供人 体所需的全部营养素。平衡膳食必须由多种食物组成,才能 满足人体各种营养需要，达到合理营养、促进健康的目的， 因而要提倡人们广泛食用多种食物。
居民膳食指南
• （二）多吃蔬菜、水果和薯类 蔬菜与水果含有丰富的维生素、矿物质和膳食纤维，深色的蔬菜
中维生素含量超过浅色蔬菜和一般水果。红黄色水果是维生素C和胡 萝卜素的丰富来源。薯类含有丰富膳食纤维、多种维生素和矿物质。 含丰富蔬菜、水果和薯类的膳食，对保持心血管健康、增强抗病能力、 减少儿童发生干眼病的危险及预防某些癌症等方面，起着十分重要的 作用。
(B1 0, B2 0, A1A2 B1B2 0),直线l1到直线l2的角
是 .
求证:
tan A1B2 A2B1 .
A1 A2 B1B2
证明: 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
tan k2 k1
A2 B2
A1 B1
A1B2 A2B1 .
1 k1k2
1
A2 B2
A1 B1
A1 A2 B1B2
例7: 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x–2y–2=0, 底边所在直线 l2的方 程是 x+y–1=0, 点(-2,0) 在另一腰上(如图), 求这条腰所在直线l3的方程.
解: 设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3, l1到l2的角是 1, l2到l3的角是 2,
• （五）食量与体力活动要平衡，保持适宜体重 食物提供人体能量，体力活动消耗能量。如果进食量
过大而活动量不足，多余的能量就会在体内以脂肪的形式 积存即增加体重，久之发胖；相反若食量不足，劳动或运 动量过大，可由于能量不足引起消瘦。所以人们需要保持 食量与能量消耗之间的平衡。三餐分配要合理。一般早、 中、晚餐的能量分别占总能量的30%、40%、30%为宜。
居民膳食指南
• （二）多吃蔬菜、水果和薯类 蔬菜与水果含有丰富的维生素、矿物质和膳食纤维，深色的蔬菜
中维生素含量超过浅色蔬菜和一般水果。红黄色水果是维生素C和胡 萝卜素的丰富来源。薯类含有丰富膳食纤维、多种维生素和矿物质。 含丰富蔬菜、水果和薯类的膳食，对保持心血管健康、增强抗病能力、 减少儿童发生干眼病的危险及预防某些癌症等方面，起着十分重要的 作用。
(B1 0, B2 0, A1A2 B1B2 0),直线l1到直线l2的角
是 .
求证:
tan A1B2 A2B1 .
A1 A2 B1B2
证明: 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
tan k2 k1
A2 B2
A1 B1
A1B2 A2B1 .
1 k1k2
1
A2 B2
A1 B1
A1 A2 B1B2
例7: 等腰三角形一腰所在直线 l1 的方程是 x–2y–2=0, 底边所在直线 l2的方 程是 x+y–1=0, 点(-2,0) 在另一腰上(如图), 求这条腰所在直线l3的方程.
解: 设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3, l1到l2的角是 1, l2到l3的角是 2,
• （五）食量与体力活动要平衡，保持适宜体重 食物提供人体能量，体力活动消耗能量。如果进食量
过大而活动量不足，多余的能量就会在体内以脂肪的形式 积存即增加体重，久之发胖；相反若食量不足，劳动或运 动量过大，可由于能量不足引起消瘦。所以人们需要保持 食量与能量消耗之间的平衡。三餐分配要合理。一般早、 中、晚餐的能量分别占总能量的30%、40%、30%为宜。
高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
两条直线的位置关系ppt
判定方法
斜率相等且截距相等
如果两条直线的斜率和截距都相等， 则它们重合。
平行且距离为零
如果两条直线平行且它们之间的距离 为零，则它们重合。
性质
重合直线具有相同的 方向和倾斜角。
重合直线的方程可以 表示为相同的线性方 程或点斜式方程。
重合直线上的任意两 点都位于同一直线上， 且该直线与其它直线 无交点。
交点唯一性
在同一平面内，任意两条直线要么相交于一点，要么平行或 重合，不存在第三种情况。
因此，两条直线的交点是唯一的，也就是说，两条相交的直 线只能有一个交点。
03
两条直线重合
定义
两条直线重合是指两条直线完全重合，没有距离，且在平 面内无限延伸。
重合直线具有相同的斜率、截距和方向，它们在平面内占 据相同的点集。
02
两条直线相交
定义
两条直线相交是指两条直线在同一平 面内有一个公共点。
当两条直线在平面内只有一个公共点 时，我们称这两条直线为相交线。
交点求法
交点的求法可以通过联立两直线的方程来求解。
具体来说，设两条直线的方程分别为 $y = k_1x + b_1$ 和 $y = k_2x + b_2$，联 立这两个方程即可求出交点的坐标。
两条直线的位置关系
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
目录
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指两条直线在同 一平面内，且不相交。
02
平行线是具有相同方向或相反方 向的直线，它们之间没有交点。
判定方法
01
02
03
同位角相等
如果两条直线被第三条直 线所截，且同位角相等， 则这两条直线平行。
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件
2. 求过P 5, 3点的直线方程,使它与直线 x 2 y 3 0
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
沪教版数学高二下册-11.3 两条直线的位置关系 课件【精品】
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l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
的必要条件.
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
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3 当 D Dx Dy 0 时
方程组（*）有无穷多解 即直线l1与 l2重合 结论：D=0 即a1b2-a2b1=0 是直线l1与 l2平行或重合
的必要条件.
沪教版数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
边所在的直线方程是 y 2x, 求另外两边所在的
直线方程.
解：另一直角边的斜率为
1 2
设底边的斜率为k
y 2x
14 5
，28 5
k1 2
k 2 tan 45 1 1 2k
2 5
，4 5
M 4, 2
3 或 1 3
底边所在直线：3x y 14 0 或 x 3 y 2 0
沪教版数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
l1
1
2
O
x
l2
（4） 两直线夹角正切公式 若 l1与 l2的夹角为，斜率为k1 和k2
则l1与l2 的法向量分别为 n1 k1, 1 n2 k2, 1
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
沪教版数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
（3） 两直线夹角公式
设两条直线l1与l2的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
y
则 l1 和l2 的法向量分别为
n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
而 l1 和l2 的方向向量分别为
d1 b1 , a1 d2 b2 , a2 O
方程组（*）有唯一解
x
Dx D
y
Dy D
即直线l1与
l2相交于一点，其交点坐标是
Dx D
，Dy D
沪教版数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
特别地: 当 l1 l2 时 a1a2 b1b2 0 2 当 D 0, Dx 0或 Dy 0时
方程组（*）无解 即直线 l1// l2
沪教版数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
0，2
当直线l1
l2时,
直线l1和l2的夹角是
2
1
l1
2
l2
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解：设直线l : 4x 3 y c 0
点
P
满足
x x
2y4 0 y20
x 0
y
2
P 0,2
将 P 0,2代入直线l c 6
直线l : 4x 3 y 6 0
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条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
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3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
k1 2
1 1k
2
k 3或k 1 3
<2> 设 P x, y是所求直线上一点
2x y 8 x 2y 1
5
5
5. ABC的顶点A3,4 , B 6,0 ,C 5, 2 ,求A的平分线
AT 所在的直线方程.
P x0, y0
l2 : a2 x b2 y c2 0
O
x
(1) 两直线的交点
y
l1：l1 x, y 0
结论：
P x0 , y0 l1
l2
l1 l2
( (
x0 x0
, ,
y0 ) y0 )
0 0
P x0, y0 l2 : l2 x, y 0
O
x
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*）解的个 数相同，即直线l1与 l2的交点情况等价于方程 组（*）解的情况.
的夹角为 , 求直线l的方程.
3
x 3 y 1 0 或 x 2
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例3 等腰三角形一腰所在直线 l1：x 2 y 2 0, 底边
所在直线 l2：x y 1 0，点 2, 0 在另一腰上, 求这
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tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
y
l2
l1
tan k1 k2
1 k1 k2
l2 l1
21
O
12
x
21
O
21
x
2 1
(1)
1 2
1 2数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
2. 求过P 5, 3点的直线方程,使它与直线 x 2 y 3 0
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
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3. 等腰直角三角形,斜边中点是 M 4, 2 ,一条直角
另一直角边直线为：x 2 y 2 0 或 x 2 y 14 0
4. 过两条直线 l1 : 2x y 8 0和 l2 : x 2 y 1 0的 交点一条直线, 使它平分 l1 与l2 的所成角,求这条直线 的方程.
解：<1> l1,l2交点3, 2 设所求直线斜率为k
k2 1 2k
设直角坐标系上两条直线的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
点P x0, y0 是直线l1 与l2 公共点
x0 , y0 是方程组
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
* 的解
y l1：a1 x b1 y c1 0
两条直线的位置关系
1. 点与直线位置关系
点P x0, y0 在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
反之，点P x0, y0 不在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
存在点到直线的最短距离
2. 直线与直线位置关系
在同一平面上的直线之间，有相交、平行、重合三种 位置关系，那么这三种位置关系反映在直线方程关系上如 何呢？
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
结论： 若l1与l2的法向量分别为 n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
l1与l2的夹角为，则cos
n1 n2 n1 n2
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
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(2)两直线的位置关系
设直角坐标系上两条直线的方程分别为：
l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
1 当 D 0 即a1b2 a2b1 0 时
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例1 求直线 l1 : y 2x 3与l2 : y 3x 4 的夹角.
4
例2 已知直线 l 经过点P 2, 3 ,且和直线 x 3 y 2 0
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
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方程组（*）有无穷多解 即直线l1与 l2重合 结论：D=0 即a1b2-a2b1=0 是直线l1与 l2平行或重合
的必要条件.
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若直线 l1：y k1 x b1 l2：y k2 x b2 1 当k1 k2 时 l1 与 l2 相交 2 当k1 k2 时 l1 与 l2 平行或重合 特别地 当k1 k2 1时 l1 l2
边所在的直线方程是 y 2x, 求另外两边所在的
直线方程.
解：另一直角边的斜率为
1 2
设底边的斜率为k
y 2x
14 5
，28 5
k1 2
k 2 tan 45 1 1 2k
2 5
，4 5
M 4, 2
3 或 1 3
底边所在直线：3x y 14 0 或 x 3 y 2 0
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说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
l1
1
2
O
x
l2
（4） 两直线夹角正切公式 若 l1与 l2的夹角为，斜率为k1 和k2
则l1与l2 的法向量分别为 n1 k1, 1 n2 k2, 1
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
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（3） 两直线夹角公式
设两条直线l1与l2的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
y
则 l1 和l2 的法向量分别为
n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
而 l1 和l2 的方向向量分别为
d1 b1 , a1 d2 b2 , a2 O
方程组（*）有唯一解
x
Dx D
y
Dy D
即直线l1与
l2相交于一点，其交点坐标是
Dx D
，Dy D
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特别地: 当 l1 l2 时 a1a2 b1b2 0 2 当 D 0, Dx 0或 Dy 0时
方程组（*）无解 即直线 l1// l2
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（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
0，2
当直线l1
l2时,
直线l1和l2的夹角是
2
1
l1
2
l2
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解：设直线l : 4x 3 y c 0
点
P
满足
x x
2y4 0 y20
x 0
y
2
P 0,2
将 P 0,2代入直线l c 6
直线l : 4x 3 y 6 0
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条腰所在直线 l3 的方程.
解：
1 k
1 1
k
1 1
2
1 1 1
2
y
l2
l3
O
l1
k2
x
l3 : 2x y 4 0
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练习
1. 求经过两直线l1 : x 2 y 4 0 和 l2 : x y 2 0 的交点 P,且与直线l3 : 3x 4 y 5 0 垂直的直线l的 方程.
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3. 两直线夹角
（1） 两直线所成角
1与2
两条直线l1和l2相交构成四个角, 它们是两对对顶角,
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
k1 2
1 1k
2
k 3或k 1 3
<2> 设 P x, y是所求直线上一点
2x y 8 x 2y 1
5
5
5. ABC的顶点A3,4 , B 6,0 ,C 5, 2 ,求A的平分线
AT 所在的直线方程.
P x0, y0
l2 : a2 x b2 y c2 0
O
x
(1) 两直线的交点
y
l1：l1 x, y 0
结论：
P x0 , y0 l1
l2
l1 l2
( (
x0 x0
, ,
y0 ) y0 )
0 0
P x0, y0 l2 : l2 x, y 0
O
x
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*）解的个 数相同，即直线l1与 l2的交点情况等价于方程 组（*）解的情况.
的夹角为 , 求直线l的方程.
3
x 3 y 1 0 或 x 2
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例3 等腰三角形一腰所在直线 l1：x 2 y 2 0, 底边
所在直线 l2：x y 1 0，点 2, 0 在另一腰上, 求这
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tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
y
l2
l1
tan k1 k2
1 k1 k2
l2 l1
21
O
12
x
21
O
21
x
2 1
(1)
1 2
1 2数学高二下-1两条直线的位置 关系PPT 全文课 件【完 美课件 】
2. 求过P 5, 3点的直线方程,使它与直线 x 2 y 3 0
的夹角为arctan 2.
解：
k
1 2
2
1
k
1 2
2k 1 4 2k
k 3 4
l : 3x 4 y 27 0 或 x 5
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3. 等腰直角三角形,斜边中点是 M 4, 2 ,一条直角
另一直角边直线为：x 2 y 2 0 或 x 2 y 14 0
4. 过两条直线 l1 : 2x y 8 0和 l2 : x 2 y 1 0的 交点一条直线, 使它平分 l1 与l2 的所成角,求这条直线 的方程.
解：<1> l1,l2交点3, 2 设所求直线斜率为k
k2 1 2k
设直角坐标系上两条直线的方程分别为： l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
点P x0, y0 是直线l1 与l2 公共点
x0 , y0 是方程组
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
* 的解
y l1：a1 x b1 y c1 0
两条直线的位置关系
1. 点与直线位置关系
点P x0, y0 在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
反之，点P x0, y0 不在直线l：ax by c 0上
ax0 by0 c 0
存在点到直线的最短距离
2. 直线与直线位置关系
在同一平面上的直线之间，有相交、平行、重合三种 位置关系，那么这三种位置关系反映在直线方程关系上如 何呢？
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
结论： 若l1与l2的法向量分别为 n1 a1 , b1 n2 a2 , b2
l1与l2的夹角为，则cos
n1 n2 n1 n2
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
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(2)两直线的位置关系
设直角坐标系上两条直线的方程分别为：
l1：a1 x b1 y c1 0 l2：a2 x b2 y c2 0
D a1 b1 a2 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
1 当 D 0 即a1b2 a2b1 0 时
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例1 求直线 l1 : y 2x 3与l2 : y 3x 4 的夹角.
4
例2 已知直线 l 经过点P 2, 3 ,且和直线 x 3 y 2 0
l1
d1 n1
d2
n2
x
l2
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