大连理工大学软件学院 离散数学 群-作业-1
离散数学群
离散数学群
离散数学群是一种数学结构，它由一个集合和一个二元运算组成。
这个二元运算必须满足四个基本性质：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
离散数学群可以用来描述各种数学问题，包括排列组合、图论、密码学、编码理论等。
在离散数学中，群是一种非常重要的概念，它是许多数学理论的基础。
离散数学群的一个重要应用是在密码学中，它可以用来设计各种加密算法和解密算法。
在计算机科学中，离散数学群也被广泛应用于计算机网络、数据库和算法设计等领域。
总之，离散数学群是一种非常重要的数学结构，在各种应用领域都有广泛的应用。
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离散数学第一次作业题及答案.doc
第1次作业一、单项选择题(本大题共40分，共20小题，每小题2分)1.表达式FA (PV (QA-i S))的对偶式为 ___________ oA.FV(PA(QV-i S))B.T-(PV(QVn S))C.TV(PA(QV-| S))D.TV(PA(QAS))2.公式VxF(x) —3xG(x),下面给出的前束范式等价式中，哪一个是对的()OA.3x(F(x) V^G(x))B.VxF (x) VG(x)C.3x(-F(x) VG(x))Vx (「F(x) VG(X))3.设两个群＜乙+＞和V,•＞，,其中Z为整数集，Z x= {•••,10-3/10~2,10_1,10°,101,102,103,'-}, + 为普通加法，为普通乘法。
设(p： Z-»Z\屮(n)-io”。
则V乙+＞和＜Z-,•＞ ()A.是同构B.是单一同态C.是满同态D.不是同态4.不是命题的是()。
A.5大于3B.11是质数C.他是优秀学牛k是太阳5.对任意的公式P、Q、R,若P=>Q、Q=>R,则有A.R=>PB.P=>RC.Q=>PD.RnQ6.下列代数系统中， _________ 是群。
A.S={0, 1,3, 5}, *是模7 加法B.S=Q （有理数集），*是普通乘法C.S=Z （整数集合），*是普通减法D.S={1,3, 4, 5, 9}, *是模11 乘法7.P：今天下雨。
Q：明天下雨。
上述命题的合取为____________ o （符号表示）A.-1 PA-i QB.-I PVQC.n PV-i QD.PAQ&A.B.C.6D.39.他虽聪明单不用功。
设P：他聪明。
Q：他用功。
则命题符号化为_______ oA.PA-i QB.-I PVQC.n PVQD.QAP10.设G为至少有三个结点的连通平面图，则G中必有一个结点u,使得deg(u)<5B.deg(u)=5C.deg(u)>5D.deg(u) W511.下列关系中哪些能构成函数？()A.{ <x, y) |x, ye N, x+y<10}B.{ <x, y) |x, ye N, x+y二10}C.{ <x, y) |x, ye R, |x|=y}D.{ <x,y) |x,yG R, x=|y|}12.联结词一可以转化为由「和V表示，P-Qon PAn QB.-i PVQC.-1 PV-i QD.PAQ13.连通图G有6个顶点9条边，从G中删去___________ 条边才可能得到G的一•棵生成树T。
大连理工大学软件学院 离散数学 第七章 图论-1st
有一个人(m)带着一只狼(w)，一只羊(s)，一筐菜(v)， 想从河的左岸渡到右岸，由于船小，每次只能带一 样东西，而且狼和羊，羊和菜不能在无人的情况下 留在一起，试问此人如何过河？ 解：用<L,R>表示河的左岸和右岸的情况。
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主要内容
• 图的基本概念 • 子图和图的运算 • 路径、回路、连通性 • 图的矩阵表示 • 欧拉图 • 二部图、平面图 •树 • 网络
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图论解决的问题
• 设计电路：确定平面电路板上的电路能否 实现？ • 化学领域：区分两种分子式相同但结构不 同的化合物。 • 互联网：研究网络结构；确定两台计算机 是否由通信链路所连接。 • 物流领域：确定两个城市之间的最短线路； 确定遍历n个城市最终回到出发点的最短 路径。
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过河问题13/67源自图的基本概念定义：设有向图 G V , E, , e E, v1, v2 V 。如 果 (e) v1, v2 ，则称e连接v1和v2，e与v1(或v2)互相 关联，分别称v1和v2是e的起点和终点，也称v1和v2 邻接。 例：无向图 {1, 2,3},{a, b},{a,{1, 2}, b,{2,3}}
S5
S3
S4
S1：a:=0 S2: b:=0 S3: c:=a+1 S4: d:=b+a S5: e:=d+1 S6: f:=c+d
S1
S2
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度
定义：设v是图G的结点。 (1) 如果G是无向图，G中与v关联的边和与v关联的 自圈的数目之和称为v的度(或次)，记为dG(v)。 (2) 如果G是有向图，G中以v为起点的边的数目称为 v的出度，记为 dG (v)；G中以v为终点的边的数目 称为v的入度，记为 dG (v) ；v的出度与入度之和 称为v的度，记为 dG (v) 。 注意，在计算无向图中结点的度时，自圈要 考虑两遍，因为自圈也是边。
大连理工大学《软件工程》大作业离线作业答案
网络教育学院《软件工程》课程大作业题目：图书管理系统姓名：陈乐报名编号：学习中心：邢台技师学院层次：专升本专业：计算机科学与技术第一大题：谈谈你对本课程学习过程中的心得体会。
通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关软件工程方面的知识，在设计过程中虽然遇到了一些问题，但经过老师的指导，我们一一克服了困难完成了设计，在此感谢大连理工的辅导老师的辛勤指导，我也将会更加努力学习，掌握更多知识。
第二大题：完成下面一项课程设计。
2019秋《软件工程》课程大作业题目三：图书管理系统总则：不限制编程语言，可以选用VB/C#等，不限数据库，可选用SQL/MYSQL/ACCESS等设计一个图书管理系统。
（具体工具平台及语言可以自己根据自己的习惯选用，不必完全按照上述技术要求）要求：（1）撰写一份word文档，里面包括（需求分析规格书、详细设计说明书、测试报告书）章节。
（2）需求分析规格书，包含功能需求分析、数据需求分析。
功能需求分析介绍该系统具体包含何种功能。
（3）详细设计说明书包含数据表，核心程序，模块相关截图。
数据表为数据库所建立的数据表，至少包含用户信息表、图书信息表表等。
核心程序需列出系统的核心程序。
（4）测试报告书要求简单介绍测试的方法与测试的示例，举出一组示例即可。
（5）整个word文件名为 [姓名奥鹏卡号学习中心]（如戴卫东101410013979浙江台州奥鹏学习中心[1]VIP ）需求分析2.1 需求分析本系统是基于JSP的网上图书管理系统。
购书者在注册成为本网站的用户后，就可以浏览网站信息并且购买图书。
书店负责人对数据库等进行操作，及时更新网站信息。
2.2 数据分析(一)用户信息用户是指在本网站注册成功的购书者。
成为本网站的用户后才可以对本网站进行更多的操作。
包括，网上购书、填写订单、订单查询、留言等。
(二)管理员信息管理员负责对网站后台进行管理，包括数据库表的维护和对用户、订单、公告、留言等信息的管理。
2020年大连理工大学软件学院 离散数学 第六章 代数系统2
群中元素的幂
定义6(2).3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1a
(a1)m
n0 n0 n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂. 在<Z3, >中有
23 = (21)3 = 13 = 111 = 0 在<Z,+>中有
(2)3 = 23 = 2+2+2 = 6
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
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6(2).2 子群与群的陪集分解
定义6(2).5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半
群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵 乘法 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 (5) <AA,◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算 (6) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y
大连理工大学软件学院 离散数学 第三章 集合论-1st
集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位 名叫康托尔（G.Cantor， 1845－1918）的德国数学家提出一 种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识 格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。
自从17世 纪牛顿和莱布尼茨）创立微积分理论体系之后， 在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑 基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾 之处。从19世纪开始，柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积 分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理论 的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么 呢？康托尔试图用集合论来作为实数理论，以至整个微积分 理论体系的基础。
那么，有没有一个最大的集合呢？康托尔通过研究， 否定了这个想法。因为每个已知集合的所有子集所构成集 合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数， 当然也没有最大的集合。无穷世界里的这些性质， 初看 起来，真是令人头晕目眩。
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康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些 赫赫有名的数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克 是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。
然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久， 集合论有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是 1902年罗素得出的罗素悖论。
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罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自 身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？
如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属 于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R， 则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。 这样，不论何种情况都存在着矛盾。
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出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数 量关系，特别是无穷数量关系。 他发现，无穷集合有着有 穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领域，所 有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有有理数和所有 整数之间是一一对应的，平面上所有的点和线段上所有的 点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界里，整体的 所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外， 无穷集合并不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之 间就不是一一对应的。因而，无穷集合是有大小的。集合 论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。
大连理工大学软件学院 离散数学 第六章 代数系统1：-3rd
• 例6(1).4.1 给定<Z，+，×>，其中Z是整数集 合，+和×是一般加、乘法。假设Z中的关系R 定义如下： • i1Ri2：= | i1 | = | i2 | 其中i1、i2∈Z • 试问，R为该结构的同余关系吗？ • 其中| i1 | 表示i1的绝对值. • 相等关系是等价关系是明显的，只要证它满足 代换性即可．即证对任意的i1,i2,i3,i4Z和 i1Ri2i3Ri4 | i1 | = | i2 | | I3 | = | i4 | • | i1+i3 |= | i2+i4 | • 对i1=1, i2=1, I3 =3, i4=-3
• | i1+I3 |=4 • | i2+i4 | =2 • 即对+不满足代换性，即Ｒ不是 <Z，+，×>的 同余关系．
• 可见，考察一个等价关系E对于有多个运算的 代数结构是否为同余关系，这里有个次序先后 问题，选择得好，即你一下子就考察到了E对 某个运算是不具有代换性质，那么立刻便可断 定E不是该结构的同余关系，否则验证应继续 下去，直至遇到不具有代换性质的运算为止。 如果对于所有运算都有代换性质，则E为该结 构的同余关系。在例6.4.1中，首先发现R对于 +不具有代换性质，那么可断定R不是该结构的 同余关系。如果你首先验证是R对于×的代换 性质，结果R对于×有代换性质，至此你只是 有希望E是同余关系，但还得继续工作，考察R 对于+的代换性质，由此结果才能判定R是否为 该结构的同余关系。
定义6补.2 设*是定义在集合A上的二元运 算，如果对于任意的x，y∈A，都有x*y＝ y*x，则称该二元运算*是可交换的。 例题2 设Q是有理数集合，△是Q上的二 元运算，对任意的a，b∈Q，a△b＝a+ba· b，问运算△是否可交换。 解 因为 a△b＝a+b-a· b＝b+a-b· a＝b△a 所以运算△是可交换的。
大连理工大学软件学院离散数学试题
7、4 阶群必是 8பைடு நூலகம்下面偏序格是分配格的是
9、n 个结点的无向完全图 Kn 的边数为
，欧拉图的充要条件是 。
10、公式 ( P (P Q)) ((P Q) R 的根树表示为
。
二、选择 20% （每小题 2 分）
1、在下述公式中是重言式为（ ）
A． ( P Q) ( P Q) ；B． ( P Q) (( P Q) (Q P)) ； C． ( P Q) Q ； D． P ( P Q) 。 ） ，成真赋值的个数
087ynu 离散数学试题与答案试卷一
一、填空
20% （每小题 2 分）
1．设 A {x | ( x N )且( x 5)}, B {x | x E 且x 7} （N：自然数集，E+ 正偶 数） 则 A B 。
2．A，B，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 A C 3．设 P，Q 的真值为 0，R，S 的真值为 1，则 B
1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0
，
M R 4 M R3
M t ( R ) M R M R 2 M R3 M R 4
若 < a, b > R ， < b, c > R 即 R 是传递的。 2、 证 则 < b, a > R b, c R < a , c > R
a, b C
1
，
有
f (a) g (a), f (b) g (b)
东大22春《离散数学》在线平时作业1【参考答案】
《离散数学》在线平时作业1【参考答案】试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 10 道试题,共 50 分)1.单选题。
无向图是连通的，当且仅当（）。
A.任何两个结点之间都有通路；B.任何两个结点之间都有唯一路；C.任何两个结点之间都有路；D.任何两个结点之间都有迹。
标准答案:C2.单选题。
一个有向图是根树，当且仅当该图（）。
A.有树根，也有树叶；B.忽略边的方向时，是连通无回路的无向图；C.有一个结点可以到达任何其余结点；D.恰有一个结点入度为0：其余结点入度为1。
标准答案:D3.单选择题：在一次集会中，与奇数个人握手的人数共有( )个。
A.奇数；B.非负整数；C.偶数；D.不能确定。
标准答案:C4.单选题。
一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，该树有（）个4度结点。
A.4；B.3；C.2；D.1；E.不在给定的选择的范围内。
标准答案:D5.{图}A.f是满射，g是入射。
B.f是双射，g是双射C.f是入射，g是满射。
D.f是入射，g是入射。
标准答案:C6.选择填空题。
R是A上关系，如果R是自反的，当且仅当（）。
A.A中有些元素x，有<x,x>∈R ；B.所有A中元素x，都有<x,x>∈R ；C.所有A中元素x,y，如果有<x,y>∈R ，也有< y, x >∈R；则x=y 。
标准答案:B7.单选题。
无向图G中有21条边，3个4度结点，其余都是3度结点。
问G中有（）个结点？A.12；B.13；C.16；D.18。
标准答案:B8.选择填空题。
如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则 |A′B |=( ) 。
A.m+n ；B.mn ；C.mn ；D.nm 。
标准答案:B9.设.X、Y 是有限集合，|X|=3，|Y|=2，可以构成( )个是从X到Y的入射函数。
大连理工大学软件学院离散数学作业答案
A( x)
(x ) A ( x )
(x ) P ( x ) P( x)
P（假设前提） US（1）
（3） （4） （5） （6） （7）
(x ) (P (x ) Q (x ) ) P( x) Q( x) Q( x )
(x )Q ( x )
P US（3） T（2） （4） UG（5） CP（1） （6）
P
P
P 规则（假设前提） T 规则（1） P 规则 T 规则（2） （3） P 规则
P Q
Q
S Q
（6） （7） （8）
S
RS
R
T 规则（4） （5） P 规则 T 规则（6） （7） P 规则 T 规则（8） （9） F 规则（1） （10）
（9） R （10） R R （11） P
( A ( P Q)) C ( A (P Q)) C (A (P Q)) C A ( P Q ) C ( A C ) ( P Q )
因此， (( Q
A) C ) ( A ( P C )) ( A ( P Q )) C ，得证。
(x ) P ( x ) ( x ) Q (x )
（b） (x)( P( x) Q( x)) (x) P( x) (x)Q( x)
证明：由于
(x) P( x) (x)Q( x) (x)(Q( x)) (x) P( x) (x)(Q( x)) (x) P( x)
因此，原题等价于证明 (x)( P( x) Q( x)) (x)(Q( x)) (x) P( x) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
A) C ) ( A ( P C )) ( A ( P Q )) C