第十章 第三节 二项式定理
2020高中数学第十章 3《二项式定理》复习学案+检测
2020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理【要点梳理·夯实知识基础】1．二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N ＋)． 这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C r n (r ＝0,1,2，…，n )叫做 二项式系数 .式中的 C r n an －rb r 叫做二项展开式的 通项 ，用T r ＋1表示，通项是展开式的第 r ＋1 项，即T r ＋1＝C r n an －r b r (其中0≤r ≤n ，r ∈N ，n ∈N ＋)． 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n ＋1 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 n . (3)字母a 按 降幂 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到 C n －1n ，C nn .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“ 等距离 ”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n .(2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间两项T n2＋1的二项式系数最大． 当n 是奇数时，那么其展开式中间两项T n ＋12和T n ＋12＋1的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1 . 【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)C k n an －k b k是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× [小题查验]1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：B [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]2．(教材改编)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：B [二项式系数之和2n ＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 6x 6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.]3．(2018·全国Ⅲ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：C [T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 52r x 10－3r ，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.]4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 2的系数为( )A ．－21B ．－35C ．35D ．21解析：C [由已知得2n ＝128，n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7x 2(7－r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 7(－1)r x 14－3r，令14－3r ＝2，得r ＝4，所以展开式中x 2的系数为C 47(－1)4＝35.故选C.]5.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x n 的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为 ________ .解析：由题意得C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 8展开式的第4项为T 4＝C 38⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3x 5＝56x 2. 答案：56x 2【考点探究·突破重点难点】考点一 二项展开式的特定项或系数问题(多维探究)[命题角度1] 求展开式中的某一项1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式中x 4的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38解析：D [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4·(x 3)4－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 4(－2)k x 12－4k，令12－4k ＝0，解得k ＝3， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r ， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.][命题角度2] 求展开式中的系数或二项式系数2．(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4的系数是( ) A ．－35 B ．－5 C ．5D ．35解析：B [(1－x )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝(－1)r C r 5x r ，所以(1－x )5展开式中x 4的系数是(－1)4C 45＝5，x 3项的系数是(－1)3C 35＝－10，所以(1＋x )(1－x )5的展开式中x 4项的系数是1×5＋1×(－10)＝－5，故选B.][命题角度3] 由已知条件求n 的值或参数的值3．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ ________ .解析：⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－2 【解题规律方法】与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.[跟踪训练](1)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：C [因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.] (2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n (n ∈N ＋)展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160解析：B [根据二项式系数和的性质，可知2n ＝32，解得n ＝5，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r 5x 5－r 2－r 3，令5－r 2－r 3＝0，解得r ＝3，所以其展开式的常数项为(－2)3C 35＝－80，故选B.]考点二 二项式系数的性质或各项系数的和(师生共研)[典例] (1)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第 ________项．(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .[解析] (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x 22－3r,0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r ＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.[答案] (1)七 (2)1或－3 [互动探究]本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ________ .解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5 【解题方法指导】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[跟踪训练](1)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20解析：D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.](2)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为 ________ .解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，而各项的二项式系数的和等于2n ，根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9. 答案：92020高中数学复习学案第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布3 二项式定理检测一、选择题1．C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n 等于( D ) A ．3n B ．2·3n C.3n2－1D.3n －12解析：因为C 0n ＋2(C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n )＝(1＋2)n ，所以C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝3n －12.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( B )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝1，得r ＝3，∴x 的系数为C 35＝10.3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式中各项的系数和为243，令x ＝1，则3n＝243，解得n ＝5，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 5x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，则T 3＝22C 25x 15－4×2＝40x 7，即x 7的系数为40，故选B.4．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( C )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n解析：令x ＝1，得1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.5．(3－2x －x 4)(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( C )A ．600B ．360C ．－600D ．－360解析：由二项展开式的通项公式可知，展开式中含x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 2622(－1)4＝－600.6．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 7．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2的系数为( C )A ．10B ．30C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2 01510，所以x 2只出现在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C. 二、填空题8．(x 2－1x )8的展开式中x 7的系数为－56.(用数字作答)解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·(－1x )r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，故x 7的系数为－C 38＝－56. 9．若二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，则其常数项是13_440.解析：∵二项式(x －23x)n 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r(－23x )r ＝(－2)r C r 10·x 30－5r6 ，令30－5r 6＝0，解得r ＝6，∴常数项是(－2)6C 610＝13 440.10．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14.解析：(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为C 25·22＋a ·C 35·23＝20，∴40＋80a ＝20，解得a ＝－14.11．在(x ＋4x －4)5的展开式中，x 3的系数是180.解析：(x ＋4x －4)5＝(－4＋x ＋4x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－4)5－r·(x ＋4x )r ，r ＝0,1,2,3,4,5，(x ＋4x )r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r x r －k (4x )k ＝4k C k r xr －2k ，k ＝0,1，…，r .令r －2k ＝3，当k ＝0时，r ＝3；当k ＝1时，r ＝5.∴x 3的系数为40×C 03×(－4)5－3×C 35＋4×C 15×(－4)0×C 55＝180.12．在(x ＋x )6⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5的展开式中，x 4y 2项的系数为( C )A ．200B ．180C ．150D ．120解析：(x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r x r＝C r 6，令6＋r2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26＝15x 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1y r ＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x 4y 2项的系数为15×10＝150.13．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( B )A ．18B ．24C ．36D ．56解析：∵(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，∴a 2＝C 24·22＝24，故选B.14．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为－48.解析：令x ＝1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中x 4项的系数即是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的x 3项与x 5项系数的和．又⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得x 3项与x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中x 4项的系数为－80＋32＝－48.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知(1＋ax ＋by )5(a ，b 为常数，a ∈N *，b ∈N *)的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，则函数f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)，x ∈[0，π2]的最小值为2.解析：令x ＝0，y ＝1，得(1＋b )5＝243，解得b ＝2.因为x ∈[0，π2]，所以x＋π4∈[π4，3π4]，则sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，所以f (x )＝sin2x ＋b 2sin (x ＋π4)＝sin2x ＋2sin x ＋cos x ＝2sin x ·cos x ＋2sin x ＋cos x＝sin x＋cos x＋1sin x ＋cos x≥2(sin x ＋cos x )·1sin x ＋cos x＝2，当且仅当sin x ＋cos x ＝1时取“＝”，所以f (x )的最小值为2.。
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第十章 10.3二项式定理-(学生版+教师版)
二项式定理进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．()(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.()作业检查无第2课时阶段训练题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. (2)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. (1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．(1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．871．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k na n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C k n(k ∈{0,1,2，…，n })2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C mn . (2)C m n ＝C n －mn.(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . 阶段重难点梳理【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.典例(1)若(x－3x)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x项的系数为________．(2)已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________. 1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为() A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x43．使(3x＋1x x)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n值为() A．4 B．5 C．6 D．7重点题型训练4．在(x 2－3x )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．102．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－63．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15D ．204．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．2125．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.726．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1) B.34(3n －2) 作业布置C.32(3n －2) D.32(3n －1) 7．若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或98．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 9．⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 10．在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．*14.若(x ＋412x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．二项式定理判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( × ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( × )题型一 二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数阶段训练进门测例1 (1)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________．(用数字填写答案) (2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60答案 (1)10 (2)C解析 (1)(2x ＋x )5展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(x )k ＝C k 525－k52kx-，k ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k 2＝3，解得k ＝4，得T 5＝C 4525－445-2x＝10x 3，∴x 3的系数是10.(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C. 命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. (2)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵T k ＋1＝C k 5(ax 2)5－k⎝⎛⎭⎫1x k ＝a 5－k C k 55102k x －，∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.(2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 B解析 由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！， ∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1.当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值． 解 原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n)＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n52)＋25n ＋4－a ， 显然正整数a 的最小值为4.1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C kna n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })第3课时阶段重难点梳理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n －mn.(3)n 是偶数时，12n T+项的二项式系数最大；n 是奇数时，12n T+与112n T++T 项的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n＝2n . 【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .典例 (1)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示解析 (1)(x ＋3x)n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，重点题型训练∴(x －3x )n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k2＝1，得k ＝1.故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532kx -，令5－3k2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中， 令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C m nB ．C m ＋1nC ．C m －1nD ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n(－1)m －1. 2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析 由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．使(3x ＋1x x )n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 (3x ＋1x x)n的展开式中的第k ＋1项为C k n()323k n kx x-－＝C k n 3n －k·52k xn-.若展开式中含常数项，则存在n ∈N *，k ∈N ，使n －52k ＝0.故最小的n 值为5.4．在(x 2－3x )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析 由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x 2－3x )8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k (－3x)k ＝(－1)k 2k －8C k 848-3k x，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．已知⎝⎛⎭⎫x －ax 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D作业布置解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T k ＋1＝C k 552k x -(－1)k a k ·2k x -＝(－1)k a k C k 552k x-，令52－k ＝32，则k ＝1，∴T 2＝－a C 1532x ，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D. 3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x－3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29 B ．210 C ．211 D ．212 答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4. 6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析 由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x －1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x －1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9. 8．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)答案 －56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．在(2－x )6的展开式中，含x 3的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 答案 20 －160解析 (2－x )6展开式的通项T k ＋1＝C k 626－k (－x )k ， 令k ＝3，∴含x 3的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36×23×(－1)3＝－160.11．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除． 证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n .据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8.(1)设展开式中的有理项为T k ＋1， 由T k ＋1＝C k 8(x )8－k)k ＝(12)k C k 81634kx -，∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8.故有理项为T 1＝(12)0C 0816304x -⨯＝x 4，T 5＝(12)4C 4816344x -⨯＝358x ，T 9＝(12)8C 8816384x -⨯＝1256x 2.(2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k＝2或k ＝3. 故展开式中系数最大的项为T 3＝(12)2C 2816324x -⨯＝752x ，T 4＝(12)3C 3816334x -⨯＝774x .。
二项式定理(讲解部分)
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题
例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
-
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
的展开式的常
数项是60,则a的值为 ( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(2)(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为30,则a等
于( )
A. 1 B. 1 C.1 D.2
3
2
解题导引 (1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时
用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合
令10-2r=6,解得r=2, 所以x6项的系数为C120,
所以(x2-a)·
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为C130
-a
C120=30,
解得a=2.故选D.
答案 (1)D (2)D
方法总结 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项即可.
指数幂运算化通项为最简形式再求解.
(2)的展开式中x6项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个
来源,分别是哪两个?写出
第十章第三节二项式定理
高三一轮总复习数学 · 新课标（理科）四川专用
自 主 落 实. 固 基 础
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
n－r r n (1)Cr a b 是 ( a ＋ b ) 的展开式中的第 r 项 n
(
)
高 考 体 验 . 明 考 情
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 (
项为________．
【解析】 Tr＋1＝ (－1)
x－
r
1 6 的展开式通项为 x
高 考 体 验 . 明 考 情
6－r Cr x 6
1 3 r r r ＝(－1) C6x6－ r， 2 x
典 例 探 究. 提 知 能
3 令 6－ r＝0，解得 r＝4，故常数项为(－1)4C4 6＝15. 2
高 考 体 验 . 明 考 情
典 例 探 究. 提 知 能
课 后 限 时 自 测
n 1 2 n 2 (3)各二项式系数和：C0 ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ ____ ， n n n n n－ 1 2 4 1 3 5 2 C0 ＋ C ＋ C ＋„＝ C ＋ C ＋ C ＋„＝ ______ ． n n n n n n
高 考 体 验 . 明 考 情
式中常数项为 A，则 A＝________．
典 例 探 究. 提 知 能
(2)(2013· 课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝( A．－4 ) B．－3 C．－2 D．－1
【答案】 15
课 后 限 时 自 测
菜
单
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自 主 落 实. 固 基 础
高考数学一轮总复习 第十章 10.3 二项式定理
跟踪训练 3 (1)(2018·泉州模拟)1－90C110＋902C210－903C310＋
＋…＋9010C1100除以 88 的余数是
A.－1
√B.1
C.－87
D.87
解析 1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9 8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
令 4－2k＝2＋2k＝3，解得 k＝2， 故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
例1 (1)(2017·全国Ⅰ) 1＋x12 (1＋x)6的展开式中x2的系数为
A.15
B.20
思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋
c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数
数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
f1＋f－1， 偶数项系数 2
a5＋…＝
f1－f－1
(3)若 x2－1xn 的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a 则a1＋a2＋…＋an的值为_2_5_5_. 解析 x2－1xn 展开式的第 k＋1 项为 Tk＋1＝Ckn(x2)n－k·－1xk
＝Ckn(－1)kx2n－3k， 当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8. 对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
人教版高三数学一轮复习精品课件2：10.3 二项式定理
【跟踪训练 1】(2014·广东深圳一模)(x－21x)4 的展开式中
常数项为( )
1 A.2
B．－12
C.23
D．－32
解析：(x－21x)4 的展开式的通项为 Tr＋1＝(－12)rCr4x4－2r，
令 4－2r＝0 得 r＝2，
所以展开式的常数项为(－12)2C24＝23.
【跟踪训练 2】(2014·新课标Ⅰ)(x－y)(x＋y)8 的展开式中
由二项定理的通项公式可知 Tr＋1＝Crn(2 x)6－r(－ 1x)r＝26－r(－1)rCr6x3－r， 当 r＝3 时，展开式的常数项为 23(－1)3C36＝－160.
【题后总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式 展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
【学以致用】若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋
(1)求第四项二项式系数及含有 x3 的项的系数； (2)求 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 的值．
【解答过程】(1)因为由展开式的通项公式可得 T4＝C37(2x)4·13＝560x4，即第四项二项式系数 C37＝35； T5＝C47(2x)3·14＝280x3，含有 x3 的项的系数为 280. (2)当 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝37， 当 x＝0，有 a0＝1， 于是 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝37－1.
a5x5，则 a3＝
.
解析：二项式展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(2x)r，故 x3 的系数为 a3＝C35·23＝80.
则 a1－2a2＋3a3－4a4＝
.
解析：对二项式的展开式求导得到 8(1＋2x)3＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3， 令 x＝－1，得到－8＝a1－2a2＋3a3－4a4， 故答案为－8.
第三节 二项式定理
结合二项展开式系数所具有的性质，若
x3＋
1 x
n的展开式
的所有二项式系数之和为128，能否确定n的值？
解：由题意可得2n＝128，解得n＝7.
考点一 求展开式中的特定项或特定系数(基础之翼练牢固)
[题组练通]
1．(2018·全国卷Ⅲ)x2＋2x5的展开式中x4的系数为
A．10
B.20
()
C．40
[解题方略] 求展开式系数最大项
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采 用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1， 且第k项系数最大，应用AAkk≥ ≥AAkk－ ＋11， 从而解出k来即得．
[过关集训]
1．若
x＋ 1 3 x
n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，
82 020－a0＝82 020－1，故选B.
[答案] (1)B (2)B
[解题方略] 求二项式系数和的常用方法是赋值法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋ bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋 值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求 其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
＝2r·C1r0·x10－2 5r.令10－2 5r＝0，得r＝2，故展开式中的常数项是 22·C210＝180.
(2)∵展开式中只有第11项的二项式系数最大，
∴n＝20，∴Tr＋1＝Cr20·( 3x)20－r31xr＝Cr203202－r·x20－43r.
由题得20－43r为整数，则r是3的倍数，
∴r可取0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共7项．
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3
·C r ·C5 3
r′
·x
r r′ + 2 3
′ r r′ ，当 ＋ ＝1时．有r＝0且r′＝3或r＝ 时 ＝ 且′ 或＝ 2 3
2且r′＝0两种情况，则展开式中 的系数为 －10)＋12＝2. 且 ′ 两种情况， 的系数为(－ ＋ ＝ 两种情况 则展开式中x的系数为
16 (2)(x－x) 的展开式的通项 － 1r － r 6－ r Tr＋1＝C6x (－ ) ＝(－1)rCr x6 2r. － － 6 x 7 ＝－1， ＝ 舍去 舍去)， 令6－2r＝0，得r＝3，令6－2r＝－ ，得r＝ (舍去 ， － ＝ ， ＝ ， － ＝－ 2 ＝－2， ＝ 令6－2r＝－ ，得r＝4. － ＝－ 所以所求的常数项为： 所以所求的常数项为：
解析： 可得a 解析：令x＝1可得 0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n ＝ 可得 ＋ 2(1－2n) ( － ＋ ＋ 2 3 n ＝126，而2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ， ＋ ＝2n 1－2，所以 n 1 ，所以2 1－2 － 1 6 －2＝126，可得 ＝6，则(3 x－ ) 的二项展开式的通项为 ＝ ，可得n＝ ， － x Tr＋1＝Cr (3 6 x)
x
答案： 答案：6
3．二项式 x－ x)9的展开式中有理项的项数为 ．二项式( － 的展开式中有理项的项数为________． ．
3
解析：根据题意，二项式的展开式的通项为 解析：根据题意，二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Ck 9 ( x)9－k(－ x)k＝Ck(－1)kx (－ 9 (－ 项为有理项． 项为有理项． 3
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．(x＋2)6的展开式中 3的系数为 ． ＋ 的展开式中x A．20 ． C．80 ． B．40 ． D．160 ．
－
(
)
－ 解析：注意到 ＋ 的展开式的通项是T 解析：注意到(x＋2)6的展开式的通项是 r＋1＝C r ·x6 r·2r 6 － 因此(x＋ ＝C r ·2r·x6 r，令6－r＝3得r＝3.因此 ＋2)6的展开式中 － ＝ 得 ＝ 因此 6 －
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．在(1＋x)7的展开式中，系数最大的项的系数是 ． ＋ 的展开式中， ________． ．
解析：系数最大的项为 ＋ 解析：系数最大的项为(1＋x)7的二项展开式的中间两
4 项，其系数为C3＝C7＝35. 其系数为 7
答案： 答案：35
2．已知(1－x)n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 ， ．已知 － 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32， 则(1－x)n的展开式中系数最小的项是 － 的展开式中系数最小的项是________． ．
3．二项式(2x－3y)9的展开式中，求： ．二项式 － 的展开式中， (1)二项式系数之和； 二项式系数之和； 二项式系数之和 (2)各项系数之和； 各项系数之和； 各项系数之和 (3)所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和； 所有奇数项系数之和
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. － ＋
27 k 6
，所以当k＝3和k＝9时展开 所以当k＝3和k＝9时展开
答案： 2 答案：
4．(1)(2010·全国卷Ⅰ)(1＋2 x ) (1－ ． 全国卷Ⅰ ＋ 全国卷 － 系数是 A．－ ．－4 ．－ C．2 ． B．－ ．－2 ．－ D．4 ．
2
3
3
x )5的展开式中 的 的展开式中x的 ( )
二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． ．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简 ． 单问题． 单问题．
[理 要 点] 理 一、二项式定理 1．展开式 ．
0 (a＋b)n＝ Cnanb0＋C1 an－1b1＋…＋Ck an－kbk＋…＋Cna0bn ＋ n n n
答案： 答案：(1)C
(2)－5 －
(3)6
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．注意通项公式表示的是第k＋1项而不是第 项． ．注意通项公式表示的是第 ＋ 项而不是第 项而不是第k项 2．求几个二项式积的展开式中某项的系数时常用搭 ． 配法． 配法． 3．常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项 ．常数项是指通项中字母的指数为 的项 的项， 是指通项中字母的指数为整数的项. 是指通项中字母的指数为整数的项
[题组自测 题组自测] 题组自测 1．已知 ＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x ．已知(1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那 ， 1 n 的展开式中的常数项为________． 么(3 x－ ) 的展开式中的常数项为 － ． x
9 (1)二项式系数之和为 0＋C1＋C2＋…＋C9＝29. 二项式系数之和为C9 二项式系数之和为 9 9
(2)各项系数之和为 0＋a1＋a2＋…＋a9， 各项系数之和为a 各项系数之和为 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－ ＝ ， ＝ ， － ＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－ ， 由 知 ＝－1， ＝－1， 令x＝1，y＝－ ，得a0－a1＋a2－…－a9＝59， ＝ ， ＝－ 59 － 1 将两式相加， 将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ ，此即为所 2 有奇数项系数之和． 有奇数项系数之和．
在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 在本题条件下，求展开式中各项系数绝对值之和． 解：由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2 由题意知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝－1得 －…－a9，令x＝1，y＝－ 得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝ ， ＝－ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.
[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成 ．二项式定理给出的是一个恒等式，对于 ， 的一切值都成 因此，可将a， 设定为一些特殊的值 设定为一些特殊的值． 立．因此，可将 ，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法 等于多少时， 时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取 ， 等于多少时 应视具体情况而定， “1、－ 或0”，有时也取其他值． 、－1或 ” 有时也取其他值． 、－ 2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开 ．一般地， ＝ ＋ 的展开 式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为 式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4 f(1)＋f(－1) ( ) ( ) ＋… ＝ ，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 偶数项系数之和为 2 f(1)－f(－1) ( ) ( ) . 2
解析：令x＝－ ，得2n＝32，所以n＝5，故系数最小 解析： ＝－1， ，所以 ＝ ， ＝－ 的项是－ 5 ＝－10x3. 的项是－C3x3＝－
答案： 答案：－10x3
2 n 3．已知 x－ 2) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三 ．已知( －x ∈ 的展开式中第五项的系数与第三 项的系数的比是 10∶1. ∶ (1)求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和； 求展开式中各项系数的和 (2)求展开式中含 x 的项； 求展开式中含 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项． 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项
解析： 的展开式的通项为T 解析：(1)(1＋2 x)3的展开式的通项为 r＋1＝Cr (2 x)r＝2rCr ＋ 3 3 x ，(1－ x ) －
r′ r′
r′ ′ 3 r 2
3
5
3 r′ 的展开式的通项为T 的展开式的通项为 r′＋1＝C 5 (－ －
3
x )r′＝(－ －
′
1) C 5 x ，因此 ＋2 x ) (1－ x )5的展开式的通项为 － 因此(1＋ 的展开式的通项为(－ － 1) ·2
所表示的定理叫做二项式定理． 所表示的定理叫做二项式定理．
k Cnan－kbk 为第 k＋1 项． ＋ 2．通项：Tk＋1＝ ．通项： ＋
二、二项式系数 1．定义： ．定义： Cr (r＝0,1，…，n)叫做二项式系数． 叫做二项式系数． 式子 n ＝ ， 叫做二项式系数
2．性质 ． (1)C0 ＋C1 ＋C2 ＋…＋Cn＝ 2n . n n n n
6－ r
1 r ·(－ ) ＝C r 36－r(－1)rx3－r，令3－r＝0，则r － － － ＝ ， 6 x
＝3，∴所求的常数项为 3×33×(－1)3＝－ ， 所求的常数项为C6 － ＝－540.
答案： 答案：－540
2．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0 ．已知 － ＋ 的值等于________． ＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于 的值等于 ． 解析：分别令 ＝ 、 ＝－ ＝－1得 解析：分别令x＝1、x＝－ 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝0.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得 0＋a2＋ ，由此解得a a4＝16，a1＋a3＋a5＝－ ，(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5) ＝－16， ， ＝－256. ＝－ 答案： 答案：－256
3 2
4 由题意知， 解：由题意知，第五项系数为 Cn·(－2)4， －
的二项式系数最大； 的二项式系数最大； 和C
n+1 2 n
n −1 2 n
的二项式系数
三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与 二项式系数一般不同. 二项式系数一般不同
[究 疑 点] 究 1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何不同？ ． ＋ ＋ 的展开式有何不同？ 提示：两者的展开式中的项完全相同， 提示：两者的展开式中的项完全相同，但对应的项不 同且两者的通项不同． 同且两者的通项不同． 2．二项式展开式中二项式系数最大时该项的系数就最 ． 大吗？ 大吗？ 提示：不一定最大，当二项式中 、 的系数均为 的系数均为1时 提示：不一定最大，当二项式中a、b的系数均为 时， 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定 此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.