相似三角形专题动点问题
专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)
专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。
相似三角形汇总5相似中动点问题
相似三角形提高一、相似三角形动点问题∥AC．动点D从点1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF 中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停顿移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？4.如下图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停顿运动．设运动的时间为x．〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假设能，求出AP的长；假设不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开场向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开场向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t 〔s〕表示移动的时间〔0＜t＜6〕。
相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)
相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN△与四边形BCNM 重叠部分的面积为y，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC Q ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴= （2）1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM内或BC边上时，1A MNy S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴Q ∥△∽△11A MN ABC A EF ABC∴Q △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=Q △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭Q △△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y xx =-+-，取163x =，8y=最大86>Q ∴当163x =时，y 最大，8y=最大2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】解：（1）Q 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，M NC BEF AA 1得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM mm =-+-．又90COA PMA ∠=∠=Q °，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△， 即21542222m mm ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m mm -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． 3．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216ly x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=． 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C点的坐标为()56，．∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·．（2）解：∵点D 在1l 上且2888833DB D xx y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，． 又∵点E 在2l 上且821684ED E E yy x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG =，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC Q △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．·············································当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t tt t s4．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米； （2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求（图（图（图出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA积都相等？若存在，求a 明理由．【答案】解： （1）34PM =， （2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠Q ⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==Q ，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t Q ≤，636a a ∴+≤，则636a a ∴<≤，≤，（4）36a <Q ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等NM M∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3ta t t a∴-=-，把66a t a =+代入，解之得a =±，所以a =．所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．5．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ；(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ～△PRQ6．在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠CO A ＝90º，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2E B ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ．使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．A B D EF C O M Nx y图7-2A DOBC21 MN图7-1ADBM N12图7-3ADOBC21 MNO.7．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD 的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°．∴∠DEB = 45°． ∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ． （3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，图4ADO B C21 MNEF A2E∴∠BEO = ∠ACO ．又∵∠BOE = ∠AOC，∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBOAC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD =． 10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1分钟可到达A 点。
相似三角形动点问题
相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：1、2、（选做题）如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s.当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ的形状,并说明理由;(2)设△BPQ的面积S(cm2),求S与t之间的函数关系式;(3)作QR∥BA交AC于点R, 连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ.相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.2、（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.。
相似三角形中的动点问题—2023-2024学年九年级数学下册(苏科版)(解析版)
相似三角形中的动点问题【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．（1）当点Q在线段CD上时，求证：CEAE =32．（2）当DQ=1时，求△APE的面积．（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．（1）证明△CQE∽△APE（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，∴△ABC∽△PHQ，则PHQH =ABBC=2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ =BABC=2，∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠NEQ=90°，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案．（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，∴△CQE∽△APE，∴CE AE =CQAP=32．（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．由CQAP =V点QV点P=32，得AP=2．由△CQE∽△APE，得ENEM =CEAE=32，∴EM=25MN=45，∴S△APE=12AP⋅EM=12×2×45=45．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ．AQ=AD−DQ=1，AP=23(CD+DQ)=103．同理：△AME∽△ABC，∴EM AM =BCAB=12，∴AM=2EM=2ℎ．同理：△PME∽△PAQ，得EMPM =AQPA=1103=310，∴PM=103EM=103ℎ．∴AP=PM+AM=103ℎ+2ℎ=103，解得ℎ=58，∴S△APE=12AP⋅EM=12×103×58=2524．∴△APE 的面积为45或2524．（3）①当点Q 在CD 上时，设CQ =3t ，则AP =2t ．若点F 在Q 的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC ，则∠1=∠2．作PH ⊥CD 于点H ，而∠B =∠PHQ =90°， ∴△ABC ∽△PHQ ，则PHQH =ABBC =2， ∴QH =12PH =1．∵HD =AP =2t ，∴CD =CQ +QH +HD =3t +1+2t =4， 解得t =35．∴BP =4−2t =4−65=145．若点F 在Q 的左侧，如图4，△△ABC ，点F 与点C 重合．∵AC =√AB 2+BC 2=√42+22=2√5， 又∵CEAE =32 ∴AE =25AC =4√55． ∵由△FEQ∽△ABC 结合对顶角可得：∠AEP =∠B =90°，而∠PAE =∠BAC ， ∴△AEP∽△ABC ，∴AE AB =APAC ，即4√554=2√5，则AP =2，∴BP =AB −AP =2．②当点Q 在AD 上时，如图5，△FEQ∽△ABC ，EFEQ =BABC =2，∠FEG =∠B =90°， 作EN ⊥CD 于点N ，EG ⊥AD 于点G ．，则∠NEQ =90°，由∠FEQ =∠NEG =90°，得∠FEN =∠QEG ， ∴Rt △FEN∽Rt △QEG ， ∴ENEG =EFEQ =2． 同理可得：AGEG =BCAB=12， 设AG =k ，则EG =2AG =2k ，EN =2EG =4k ． ∴DG =EN =4k ，AD =AG +DG =5k ， 由AD =2，得5k =2，k =25， ∴AG =25，EG =45． 由题意，AQ BP =V 点Q V 点P=6−3t 4−2t=32，设AQ =3x ，则BP =2x ，AP =4−2x ，QG =AQ −AG =3x −25， 由△QGE∽△QAP ，得EGAP =QGQA ，即454−2x =3x−253x，化简，得15x 2−26x +4=0， 解得x 1=13+√10915（舍去），x 2=13−√10915．∴BP =2x =26−2√10915． 综上所述，BP 的长为145或2或26−2√10915．1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【思路点拨】（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EFOA=BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．【解题过程】（1）∵EF//OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA =BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB−OE=15−9=6，∴EF=20×615=8，∴S△PEF=12EF⋅OE=12×8×9=36(cm2)；（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OABO =(15−t)⋅2015=43(15−t)，∴12×43(15−t)×t=40，整理，得t2−15t+60=0，∵△=152−4×1×60<0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA =OEOB，即20−2t20=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB =OEOA，即20−2t15=t20，解得t=8011．∴当t=6s或t=8011s时，△EOP与△BOA相似．2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接CN 、CM ，试求CN +2CM 的最小值． 【思路点拨】（1）根据题意可知只有AM =AN 时，△AMN 是等腰直角三角形，再根据题意可用t 表示出AM =t ，AN =6−2t ，列出等式，解出t 即可；（2）分类讨论①当△ACD ∼△NMA 时和②当△CAD ∼△NMA 时，列出比例式，代入数据，即可求解； （3）取CN 中点E ，作E 点关于CD 的对称点E ′，连接CE ′．作M 点关于BC 的对称点M ′，连接CM ′，E ′M ′．根据作图可知CE ′=CE ，CM ′=CM ，即可知当CE ′+CM ′最小时CN +2CM 最小，即最小值为E ′M ′的长．连接E ′E 并延长，交CD 于点F ，AB 于点G ．由作图结合题意易求出E ′G =E ′F +AD =t +6，BG =12AB =32，BM ′=BM =AB −AM =3−t ，从而可求出GM ′=BG +BM ′=92−t ．在Rt △E ′GM ′中，利用勾股定理可求出E ′M ′=√E ′G 2+GM ′2=√2(t +34)2+4418，最后根据二次函数的性质，即得出t =0时，√2(t +34)2+4418最小，即此时E ′M ′=152，故可求出CN +2CM 的最小值为15．【解题过程】（1）∵∠MAN =90°，∴若△AMN 是等腰直角三角形时，只有AM =AN ．根据题意可知AM =t ，DN =2t AN =AD −DN =6−2t ， ∴t =6−2t ， 解得t =2， 故答案为：2．（2）∵∠MAN =∠ADC =90°，∴以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似分为两种情况， ①当△ACD ∼△NMA 时，有ADAN =CDAM ，即66−2t =3t ， 解得：t =32；②当△CAD ∼△NMA 时，有ADAM =CDAN ，即6t =36−2t ， 解得：t =125．当t =32或t =125时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似；（3）如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，E′M′．根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，∴CN+2CM=2(CE+CM)=2(CE′+CM′)，∴当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，∵CE′+CM′≥E′M′，∴CE′+CM′的最小值为E′M′的长，即CN+2CM的最小值为2E′M′的长．如图，连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．∵作E点关于CD的对称点E′，∴E′F//AD，E′F=EF．又∵E为中点，∴E′F=EF=12DN=t，G为AB中点，∴E′G=E′F+AD=t+6，BG=12AB=32．∵作M点关于BC的对称点M′，∴BM′=BM=AB−AM=3−t，∴GM′=BG+BM′=32+3−t=92−t．在Rt△E′GM′中，E′M′=√E′G2+GM′2=√(6+t)2+(92−t)2=√2(t+34)2+4418，∵t≥0，2>0∴t=0时，√2(t+34)2+4418最小，即E′M′=√2×(34)2+4418=152．∴CN+2CM=2E′M′=15．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△P AB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）连接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝√AD2+DC2=√32+42=5，当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴AD PE =ACPC，即3PE=54，∴PE＝125；（2）如图1，当△P AB≌△PEB时，∴P A ＝PE ，∵AP ＝m ，则PC ＝5﹣m ， 由（1）得：△ACD ∽△PCE ， ∴3PE =55−m， ∴PE ＝3(5−m)5，由P A ＝PE ，即3(5−m)5=m ，解得：m ＝158， ∴EC ＝√PC 2−PE 2=√(5−158)2−(158)2=52，∴BE ＝√EC 2+BC 2=√(52)2+32=√312≠AB ，∴△P AB 与△PEB 不全等， ∴不能使得△P AB ≌△PEB ；（3）如图2，延长EP 交AB 于G ，∵BP ⊥PF ， ∴∠BPF ＝90°， ∴∠EPF +∠BPG ＝90°， ∵EG ⊥AB ， ∴∠PGB ＝90°， ∴∠BPG +∠PBG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠EPF ， ∵∠PEF ＝∠PGB ＝90°， ∴△BPG ∽△PFE ，∴BG PE =PGEF，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝3(5−m)5，∴EC DC =PCAC，即EC4=5−m5，∴EC＝4(5−m)5，∴BG＝EC＝4(5−m)5，∴3−3(5−m)54(5−m)5−n=4(5−m)3(5−m)=43，∴5m+4n＝16．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD=43，E、F 分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为ts（0<t<4），解答下列问题：∴t=1（1）当0<t<2.5时，FQ=______．（用含有t的式子表示）（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为______时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）．【思路点拨】（1）先由题目条件求出AD，再利用勾股定理求出DF，当0<t<2.5时，接着判断出点Q的位置，即可求解．（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出，再利用面积公式建立方程求解即可．（3）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．【解题过程】（1）在矩形ABCD中，∠A=90°∴在直角三角形DBA中tan∠ABD=ADAB =AD6=43∴AD=8∵E、F分别是AB、BD中点，∴EF=12AD=4∵BD=√AB2+AD2=10∴DF=12BD=5∴Q从D到F的时间为52=2.5当0<t<2.5时，Q在线段DF上，∴FQ=DF−DQ=5−2t．故答案为：5−2t．（2）过点Q作QM⊥EF交EF延长线于点M，可知：QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴QM BE =QFBF，∴QM3=5−2t5，可得QM=35(5−2t)，∴S△PFQ=12×PF⋅QM=12×(4−t)×35(5−2t)=0.6=35，解得：t=92（舍去）或t=2，∴当t=2时，△PQF的面积为0.6cm2；故答案为：t=2．（3）当点Q在DF上时，如图PF=QF∴4−t=5−2t∴t=1当点Q在BF上时，如图PF=QF∴4−t=2t−5∴t=3当PQ=FQ时，如图∴12(4−t)2t−5=45∴t=207当PF=PQ时，如图∴12(2t−5)4−t=45∴t=19 6所以t=1或3或207或196时，△PQF为等腰三角形．故答案为：t=1或3或207或196．5．（2023秋·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段CP=_______________、CQ=_______________．（2）在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ:S△ABC=9:100？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长，据此求解即可；（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ:S△ABC=9:100建立t的方程，解方程即可解决问题；（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =√62+82=10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ， ∴CD =BC·AC AB =6×810=245，由题意得CQ =PD =t ，∴CP =245−t故答案为：t ，245−t ；（2）解：过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图2所示．由题可知CQ =PD =t ，CP =245−t ，∵∠ACB =∠CDB =90°，∴∠HCP =90°−∠DCB =∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP =90°，∴∠CHP =∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴ PH AC =PC AB ， ∴ PH 8=4.8−t 10，∴PH =9625−45t ，∴S △CPQ =12CQ ⋅PH =12t (9625−45t)=−25t 2+4825t ；存在某一时刻t ，使得S ΔCPQ :S ΔABC =9:100，∵S ΔABC =12×6×8=24，且S △CPQ :S △ABC =9:100，∴(−25t 2+4825t):24=9:100，整理得：5t 2−24t +27=0，即(5t −9)(t −3)=0，解得：t =95或t =3，∵0≤t ≤245， ∴当t =95秒或t =3秒时，S ΔCPQ :S ΔABC =9:100； （3）解：由（2）知∠ACD =∠B ①当∠CPQ =∠BCA =90°时，∴△CPQ ∽△BCA ，∴CP BC =CQ AB ，∴245−t 6=t 10， ∴t =3；②当∠CQP =∠BCA =90°时，∴△CQP ∽△BCA ，∴CP AB =CQ BC ，∴245−t 10=t 6∴t=95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ为直角三角形．6．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm，BC=8cm．点E从点D 出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN 是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3．6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD～△ABD？（2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式；（3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（4）将△EMN沿直线MN t的值；若不存在，请说明理由；【思路点拨】（1）由题意得，DE=2t，BF=t，在Rt△ABD中，BD=10，DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD，利用对应边成比例，即可求出t值；（2）证得△BFM∼△BAD，可求出BM=53t，BN=54t，AM=AB-BM=6-53t，代入面积表达式，即可求出关系式；（3）分种情况进行讨论即可，注意结果是否符合；（4）假设t值存在，则四边形EKCD为矩形，利用勾股定理表示出EN2=EK2+NK2=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=616t2−52t+100，可知t=0，不符合题意，可知不存在符合的t值．【解题过程】（1）解：由题意得，DE=2t，BF=t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√62+82=10，∴DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD时，则EDAD =DFDB，即2t8=10−t10，解得：t=207．即当t为207时，△EFD～△ABD；（2）∵MN⊥BD，∴∠MFB=90°，∵∠MBF=∠MBF，∴△BFM∼△BAD，∴BF AB =BMBD，即t6=BM10，∴BM=53t，同理BN=54t，∴AM=AB-BM=6-53t，S=S梯形ABNE −S△AME=(8−2t+54t)×62−(8−2t)×(6−53t)2=−53t2+12512t，即S关于t之间的函数关系式为：S=−53t2+12512t；（3）ED=DF时，则2t=10-t，解得：t=103；ED=EF时，过点E作EG⊥BF于G，∵ED=EF，∴△EFD为等腰三角形，又∵EG⊥DF，∴DG=12DF=10−t2，∵∠EDG=∠BDA，∠EGD=∠BAD=90°，∴△EGD∼△BAD，∴DG AD =EDBD，即10−t28=2t10，∴t=5021；EF=FD时，过点F作FH⊥AD，∵EF=FD，∴△EFD为等腰三角形，又∵FH⊥ED，∴HD=12ED=t，∵∠ADB=∠HDF，∠BAD=∠FHD，∴△DHF∼△DAB，即t8=10−t10，∴t=409＞3.6（舍去）；综上所述，当t=103或5021时，△EFD为等腰三角形；（4）假设存在符合题意的t，则EM=EN，过点E作EK⊥BC交BC于K，则四边形EKCD为矩形，∴ED=CK=2t，EK=CD=6，NK=BC-BN-CK=8−54t−2t=8−134t，∴EN2=EK2+NK2=62+(842=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=(6−53t)2+(8−2t)2=616t2−52t+100，∴169 16t2−52t+100=619t2−52t+100，即t1=t2=0，∵t=0不符合题意，∴不存在符合题意的t．7．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm.延长BC至点E，使CE=BC，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点F作FG⊥ED垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点H作HP∥AB，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为t(0<t≤3)，解答下列问题：（1）求证：∠BDE=90°；（2）是否存在某一时刻t，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻t，使HG∥AC?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，得四边形ACED为平行四边形、∠E=∠CDE，从而完成证明；（2）根据平行四边形和垂直平分线的性质分析，即可得到答案；（3）根据菱形和勾股定理的性质，得CE；延长CP，交AD于点M，根据相似三角形的性质，得MD；设AD和BC的距离为ℎ，根据三角形面积的性质，得ℎ=245cm，根据相似三角形的性质得S△GFES△BDE=t6，通过计算即可得到答案；（4）根据相似三角形的性质，得GE=5t3cm，根据平行四边形和一元一次方程的性质计算，即可得到答案．【解题过程】（1）∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴∠CBD+∠ACB=90°，∠CBD=∠CDB，∵CE=BC，∴AD=CE，CD=CE，∴四边形ACED为平行四边形，∠E=∠CDE，∴AC//DE，∴∠ACB=∠E，∴∠CDB+∠CDE=90°，即∠BDE=90°；（2）∵四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=6cm，∵FG⊥ED，∴当EF=DF=12DE时，使G点在ED的垂直平分线上，∴t=12DE1cm s⁄=3s；（3）∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，∴AH=EF=t(cm)，∵AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴CE=BC=CD=AD=√(12AC)2+(12BD)2=5cm，∴DH=AD−AH=5−t(cm)，∵菱形ABCD，∴∠ADP=∠CDP，∵HP，∴∠HPD=∠CDP，∴∠ADP=∠HPD，∴PH=DH，如图，延长CP，交AD于点M，∵HP，∴∠MHP=∠MDC，∵∠PMH=∠CMD，∴△MPH∽△MCD，∴S△MPH S△MCD =PHCD=DHCD=5−t5，MHMD=MHMH+DH=PHCD=5−t5，∴MH MH+5−t =5−t5，∴MH=(5−t)2t，∴MD=MH+DH=(5−t)2t +5−t=5(5−t)t，设AD和BC的距离为ℎ，∴S△ACD=12AC×OD=12AD×ℎ，∴ℎ=245cm，∵∠BDE=90°，FG⊥ED，∴△GFE∽△BDE，∴S△GFE S△BDE =EFDE=t6，∴六边形PCGFDH的面积，=S△MCD−S△MPH+S△CDE−S△GFE=S△MCD−5−t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×12×MD×ℎ+12×CE×ℎ−t6×12×(BC+CE)×ℎ=t5×12×5(5−t)t×245+12×5×245−t6×12×10×245=12−12t5+12−4t=24−32t5cm，∴S=24−32t5(0<t≤3)；（4）∵△GFE∽△BDE，∴GE BE =EFDES，∴GE=EF×BEDE =t×(BC+CE)6=t×106=5t3cm，∵DH=AD−AH=5−t(cm)，当GE=DH时，得5t3=5−t，∴t=158，∵AD//BE，GE=DH，∴四边形HGED为平行四边形，∴HG//DE，∵AC//DE，∴HG//AC，∴当t=158时，HG//AC．8．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①在运动过程中，是否存在这样的t P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作DF∥AB交BC于F，即易证四边形ABFD是平行四边形，从而可求出DF=AB=3，BF=AD=1，CF=3．再利用勾股定理逆定理即可证∠ABC=∠DFC=90°，最后利用梯形的面积公式计算即可；（2）①在图1的基础上作QG⊥AB于G，易证四边形BEQG是矩形，即得出BG=EQ，QG=BE．又易证△CEQ∽△CFD，得出EQDF =CECF=CQCD，从而可用t表示出CE=35t，EQ=45t，BG=45t，QG=BE=4−35t．PG=t5，即可利用勾股定理得出PQ2=(15t)2+(4−35t)2，最后根据等腰三角形的定义列出等式，解出t即可；②分类讨论当△PAD∽△QEC时和当△PAD∽△CEQ时，根据对应边成比例计算即可．【解题过程】（1）如图1，作DF∥AB交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF=AB=3，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=3．∵32+42=52，即CF2+DF2=CD2，∴∠DFF=90°，∴∠ABC=∠DFC=90°，∴S梯形ABCD =12(1+4)×4=10；（2）①如图2，在图1的基础上作QG⊥AB于G，由题意可知t≤6．∵∠B=∠QEB=90°，∴四边形BEQG是矩形，∴BG=EQ，QG=BE．∵EQ∥DF，∴△CEQ∽△CFD，∴EQ DF =CECF=CQCD，∴EQ 4=CE 3=t 5， ∴CE =35t ，EQ =45t ，∴BG =45t ，QG =BE =BC −CE =4−35t ．在Rt △PQG 中，PG =BP −BG =t −45t =t 5， ∴PQ 2=PG 2+QG 2=(15t)2+(4−35t)2，由PQ 2=DQ 2得，(15t)2+(4−35t)2=(5−t)2， 解得：t 1=13−√1092，t 2=13+√1092(舍去)， ∴当t =13−√1092时，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DP 为底的等腰三角形；②如图3，当△PAD∽△QEC 时，∵∠A =∠QEC =90°，∴PA AD =QE CE，即AP 1=43， ∴AP =43，∴t =4−43=83； 当△PAD∽△CEQ 时，∴PA AD =CE QE ，即PA 1=34，∴PA =34，∴t =4−34=134．综上所述：t =83或134．9．（2022秋·陕西咸阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，DFDE的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出DFDE的值；（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．【思路点拨】（1）当t=3时，可知DE//OA，DE=12OA=4，则四边形DFAE是矩形，得DF=AE=3；（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB N，根据两个角相等，可证明ΔDMF∽ΔDNE，得DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，则点G为EF的三等分点，利用（2）同理可得E、F的坐标，从而得出点G的坐标，代入直线AD的解析式即可解决问题．【解题过程】（1）当t=3时，E为AB的中点，∵A(8,0)，C(0,6)，∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE//OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）DFDE的大小不变，理由如下：如图，作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，∴BDDO =BNNA,DOBD=OMMA，∵点D是OB的中点，∴M，N分别是OA，OB的中点，∴DM=12AB=3,DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴ΔDMF∽ΔDNE，∴DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，若AD将ΔDEF的面积分成1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点，如图，NE=3−t，由ΔDMF∽ΔDNE得，MF=34(3−t)，∴AF=4+MF=−34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G(3t+7112,23 t)，设直线AD的表达式为y=kx+b，将A(8,0)，D(4,3)代入得{8k+b=04k+b3，解得{k=−34b=6，∴直线AD的表达式为y=−34x+6，将G(3t+7112,23t)代入得：t=7541，∴当t<3时的值为t=7541．10．（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=14cm，BC=CD=6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t(s)，0<t<10．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当ΔQMB为直角三角形时，直接写出．．．．t的值．【思路点拨】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=6cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90°和∠MQB=90°两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【解题过程】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=6cm，DH=BC=6cm∴AH=8cm在RtΔADH中，由勾股定理得AD=√DH2+AH2=√62+82=10(cm)∵DP=tcm∴AP=AD−DP=(10−t)cm（2）①当ΔAPQ∽ΔADB时则有APAQ =ADAB∴10−tt =1014解得：t=356②当ΔAPQ∽ΔABD时则有APAQ =ABAD∴10−tt =1410解得：t=256综上所述，当t=356或256时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90°时，ΔQMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90°∴∠PQN+∠DBH=90°∵∠PQN+∠QPN=90°∴∠QPN=∠DBH∴ΔPNQ∽ΔBHD∴QN PN =DHBH=66=1即QN=PN∵PN∥DH∴ΔAPN∽ΔADH∴PN AP =DHAD=610=35，ANAP=AHAD=810=45∴PN=35AP=35(10−t)，AN=45AP=45(10−t)∴QN=AN−AQ=45(10−t)−t=8−95t由QN=PN得：8−95t=35(10−t)解得：t=53②当∠MQB=90°时，ΔQMB为直角三角形，如图则PQ∥DH∴ΔAPQ∽ΔADH∴AQ AP =AHAD=45∴AQ=45AP即t=45(10−t)解得：t=409综上所述，当t=53或409时，ΔQMB是直角三角形．11．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）当ΔPQC 是等腰三角形时，请直接写出t 值为 ．（2）如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得沿PC 翻折ΔCPQ 所得到的四边形CQPM 是菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图3，连接BP ，设四边形BPQC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、B 三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据勾股定理及等面积法可求CD ，由等腰三角形的性质分PC =QC 、PC =QP 、PQ =CQ 三种情况讨论即可求解；（2）根据菱形的性质可知，当PQ =CQ 时复合题意，过点Q 作QF ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCF ，得CF =35t ，由PC =2×35t =245−t ，即可求解；（3）过点Q 作QH ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCH ，得10t=8QH，即QH =45t ，证ΔABC ∼ΔBCD ，得BD =185，由S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD 即可求解； （4）过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，得245−t 10=CG8，即CG =45(245−t)，BG =6−45(245−t)，由S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG 可得PG =35(245−t)，由CQPG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，得t35(245−t)=66−45(245−t)，即可求解；【解题过程】（1）解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵CD ⊥AB ， ∴CD =AC⋅BC AB=6×810=245，∵ΔPQC 是等腰三角形，①当PC =QC 时，即245−t =t ，解得：t =125；②当PC =QP 时，如图，过点P 作PE ⊥AC ，∵PC =QP ，PE ⊥AC ， ∴QE =CE ，∵PE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠ACB =90°， ∴∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔPCE ， ∴AB PC=BC EC， 即，10245−t=612t，解得：t =14455．③当PQ =CQ 时，过点Q 作QF ⊥CD ，∵∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔQCF ， ∴ABQC =BCCF，即10t =6CF ， ∴CF =35t ，∵PQ =CQ ，QF ⊥CD ， ∴CF =PF =35t ， ∴PC =2×35t =245−t ，解得：t=2411，故当ΔPQC是等腰三角形时，t值为125或14455或2411．（2）当PQ=CQ时，四边形CQPM是菱形，过点Q作QF⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCF，∴AB QC =BCCF，即10t=6CF，∴CF=35t，∵PQ=CQ，QF⊥CD，∴CF=PF=35t，∴PC=2×35t=245−t，解得：t=2411，（3）如图，过点Q作QH⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCH，∴AB QC =ACQH，即10t=8QH，∴QH =45t ，易证ΔABC ∼ΔBCD ，AB BC=BC BD ，即106=6BD ，解得：BD =185．S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD =12×(245−t)(45t +185)=−25t 2+325t +21625；（4）如图过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，∴CPAB =CGAC ，即245−t 10=CG 8，∴CG =45(245−t)， ∴BG =6−45(245−t)，∵S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG ， ∴PG =PC⋅BD BC =(245−t)×1856=35(245−t)，∴CQPG =t 35(245−t)，BCBG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线， 所有t35(245−t)=66−45(245−t)，解得：t 1=12√6−185，t 2=−12√6−185（舍去）， ∴当t =12√6−185时，P 、Q 、B 三点共线．12．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =3，动点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC −CD 匀速向终点D 运动，点P 、Q 同时到达终点，BD 与PQ 交于点E ．过点B 作BF ⊥PQ 于点F ．设点P 、Q 的运动时间为t 秒．（1）求点Q的运动速度．（2）如图2，当点Q与点C重合时，求BE的长．（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点P运动的时间即Q运动的时间计算解题即可；（2）当点Q与点C重合时，求出BD长，利用△EPB∽△ECD解题即可；（3）分①点Q在BC边上，②点Q在DC边上，点Q在P的右侧时，③点Q在DC边上，点Q在P的左侧时三种情况利用三角形相似解题即可．【解题过程】（1）解：由题可知点P运动的时间为62=3s，点Q运动的速度为：3+63=3，（2）如图，当点Q与点C重合时，∴t=33=1∴BP=AB−AP=6−2×1=4，在Rt△BDC中，BD=√BC2+CD2=√32+62=3√5，∵AB∥CD∴△EPB∽△ECD∴BE ED =BPCD即3√5−BE=46解得：BE =65√5（3）解：∵BF ⊥PQ ∴∠BFE =∠C =90°，当△BEF ∽△BDC 时，则∠BEF =∠BDC ∴PQ ∥CD 不符合题意， 当△BEF ∽△DBC 时， ∴∠BEF =∠DBC , 当点Q 在BC 边上∴BQ =EQ =3t ，EP =PQ −3t 过点Q 作QH ∥CD 交BD 于点H ， 则AB ∥CD ∥QH ,∴HQBP =EQ EP ,HQCD=BQ BC∴HQ =EQ×BP EP =3t(6−2t)PQ−3t,∴3t(6−2t)PQ−3t6=3t 3，解得：PQ =2t +3，在Rt △PQB 中，PB 2+BQ 2=PQ 2 即(2t +3)2=(6−2t)2+(3t)2, 解得：t =1或t =3(舍去)当点Q 在DC 边上，点Q 在P 的右侧时， 如图，过Q 作QH ∥BC 交AB 、BD 于点H 、M ，则HB=QC=3t−3，DQ=9−3t ∵QH∥BC，BC∥AD∴QH∥BC∥AD，∴△BMH∽△BDA∴HM AD =HBAB即3t−36=HM3解得HM=32t−32，∴QE=MQ=3−(32t−32)=92−32t，PH=6−2t−(3t−3)=9−5t∵AB∥CD∴△BPE∽△DQE∴PB DQ =PEEQ即6−2t9−3t =PE92−32t，解得PE=3−t∴PQ=PE+EQ=3−t+92−32t=152−52t在Rt△PQH中，PH2+HQ2=PQ2即(152−52t)2=(9−5t)2+32解得t=95或t=1(舍去)；如图，当点Q在P的左侧时，过Q作QH∥BC交AB、BD于点H、M，则∠PEB=∠EDQ=∠DEQ=∠PBE∴PE=PB=6−2t，EQ=QD=9−3t，∴PQ=6−2t+9−3t=15−5t在Rt △PQH 中，PH 2+HQ 2=PQ 2 即(15−5t)2=(9−5t)2+32 解得t =94综上所述，当t =1或t =95或t =94时，以B 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似13．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B (6,5)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，作y 轴的垂线，垂足为C ．点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F 从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当E 点运动到点A 时，三点随之停止运动．运动过程中△ODE 关于直线DE 的对称图形是△O ′DE ，设运动时间为t ．（1）用含t 的代数式分别表示点E ，点F 的坐标；（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在这样的t ，使得以D ，E ，F ，O′所围成的四边形中有一组对边平行?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）由题可得OE =3t ，OD =t ，BF =2t ，易证四边形OABC 是矩形，从而得到AB =OC ，BC =OA ，即可求出AF ， OE ，即可求出点E ，点F 的坐标（2）只需两种情况讨论①当△ODE ∽△AEF ，②当△ODE ∽△AFE ，然后运用相似三角形的性质即可求解；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，易得△MDO′∽△NO′E，设MO′=a，根据相似三角形的性质可得出a=35t，然后分两种情况讨论即可求解．【解题过程】（1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t，∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC=90°，∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵B(12,10)，∴BC=OA=12，AB=OC=10，∴AF=10−2t，OE=12−3t，∴点E的坐标为(3t,0)，点F的坐标为(12,10−2t)；（2）①当△ODE∽△AEF时，则有ODAE =OEAF，∴t 12−3t =3t10−2t，解得t1=0(舍去)，t2=267，②当△ODE∽△AFE时，则有ODAF =OEAE，∴t 10−2t =3t12−3t，解得t1=0(舍去)，t2=6，∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，∴3t≤12，∴t≤4，∴t=6舍去，综上所述：t的值为267；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，则有∠DMN=90°，∠N=90°，由折叠可得：DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°−∠MO′D=∠NO′E，∴△MDO′∽△NO′E，∴MO′NE =MDNO′=O′DEO′=t3t=13，∴NE=3MO′，NO′=3MD，设MO′=a，则有OM=NE=3a，NO′=3t−a，MD=3a−t，∴3t−a=3(3a−t)，解得：a=35t，∴MO′=35t，OM=95t，∴点O′的坐标为(35t,95t)，①若DO′∥EF，如图2，延长O′D交x轴于S，则有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA，∵∠O′MD=∠EAF=90°，∴∠O ′MD ∽∠EAF ，∴MO ′AE =MD AF ， ∴35t 6−3t =95t−t 5−2t ，解得：t 1=0(舍去)，t 2=32， 经检验：t =32是分式方程的解， ②若OF∥DE ，如图3，过点O ′作x 轴的平行线与AB 交于点Q ，延长DE 交 BA 的延长线于点T ，同①可得 ：△DOE ∽△FQO ′，∴OD QF =OE QO ′，t95t−(5−2t )=3t 6−35t ，解得t 1=0(舍去)，t 2=74，综上所述：t 的值为32或74． 14．（2023秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5，点D 为边AB 上一点且BD =2．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，且点P 不与点A 、B 、D 重合．过动点P 作PQ ⊥AB 交折线AC −CB 于点Q ，作点P 关于点D 的对称点E ，连结QE ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点Q 与点C 重合时，t =________；（2）用含t的代数式表示PE的长；（3）当△PEQ∽△CAB时，求t的值；（4）当Q在BC上运动时，若△BEQ为等腰三角形，直接写出此时t的值．【思路点拨】（1）利用面积计算即可；（2）分两种情况讨论即可；（3）由△PEQ∽△CAB可得PEAC =PQBC，代入线段计算即可；（4）画出图形，分类讨论即可．【解题过程】（1）∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=√AB2−AC2=4，当点Q与点C重合时，S△ABC=12AC⋅BC=12PQ⋅AB∴S△ABC=12×3×4=12PQ×5∴PQ=125，∴PA=√AC2−PQ2=95，∴t=PA÷1=95，故答案为：95；（2）由题意可得，PA=t，PB=AB−PA=5−t，AD=AB−BD=3∵点P关于点D的对称点E，∴PD=DE，∴PE=2PD，当点P在点D的右边时，0<t<3，此时PD=AD−PA=3−t=DE，∴PE=2PD=6−2t，当点P在点D的左边时，3<t<5，此时PD=PA−AD=t−3=DE，∴PE=2PD=2t−6，综上所述，PE ={6−2t(0<t <3)2t −6(3<t <5)（3）当0<t ≤95时，点Q 在AC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ∵∠APQ =∠ACB =90°∴△PAQ ∽△CAB ，∴PA AC=PQ BC ， ∴t 3=PQ 4∴PQ =43t ∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=43t 4 ∴t =2（舍）当95<t <3时，点Q 在BC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ，∵∠BPQ =∠ACB =90°∴△PBQ ∽△CBA ，∴BP BC =PQ AC =BQ AB ， ∴5−t 4=PQ 3=BQ 5 ∴PQ =34(5−t)，BQ =54(5−t)∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=34(5−t)4t =5123，当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，此时PQ=34(5−t)，PE=2t−6∵△PEQ∽△CAB∴PE AC =PQBC∴2t−63=34(5−t)4t=141 41综上，当△PEQ∽△CAB时，t=5123，t=14141（4）当当Q在BC上运动时，95<t<5，当95<t<3时，点Q在BC边上，点P在点D的右边，PE=6−2t，PQ=34(5−t)此时△BEQ为钝角三角形，若△BEQ为等腰三角形，则EB=EQ=AB−PE−PA=5−(6−2t)−t=t−1，在Rt△PQE中，PQ2+PE2=QE2，∴[34(5−t)]2+(6−2t)2=(t−1)2，此方程无解当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，PE=2t−6，PQ=34(5−t)，BE=PA−PE=t−(2t−6)=6−t，BQ=54(5−t)。
相似三角形汇总5相似中的动点问题
相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。
动点问题——相似三角形
动点问题——相似三角形吉林省第二实验学校1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m,n ，那么就说这两条线段的比AB ：CD=m:n ，或写成（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.（比例的基本性质）如果，那么ad=bc如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么2. 黄金分割：点Ｃ把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点．3. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比4. 相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 探索三角形相似的条件：1：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.即定义法. 2：两角对应相等的两个三角形相似. 3：三边对应成比例的两个三角形相似.4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.例：依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么. （1）∠A =120°,AB =7 AC =14 ；∠A ′=120° ,A ′B ′=3 A ′C ′=6, （2）AB =4 ,BC =6 ,AC =8 ；A ′B ′=12 ,B ′C ′=18 ,A ′C ′=24 测量旗杆的高度;略相似多边形的周长等于相似比,面积比等于相似比的平方.例1、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．CMB图15-2A D O BC 21MN图15-1AD BM N12图15-3A D O BC 21MNO 变式练习1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
九年级数学动点问题之相似三角形
因动点产生的相似三角形问题（一）例1、直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．的坐标；若不存在，请说明理由．图1 思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ ＝90°是解题的前提．°是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，相似，按照直角边的比分两种情况，按照直角边的比分两种情况，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点每种情况又按照点Q 与点B 的位置关系分上下两种情形，点Q 共有4个．个． 例2、Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x =¹在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P 的坐标．的坐标．图1 思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 例3、如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36为S，A1、B1的坐标分别为的坐标；时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、的值；若不存在，请说明理由．抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注．通过代数变形就可以了．意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴轴的上方．的下方，或者假设交点G在x轴的上方．例4、如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n上．=++上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边为菱形，求平移后抛物线的表达式；形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1 思路点拨1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法的长． 中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．两边对应成比例，分两种情况讨论．例5、如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．）三点．（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．,思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．例6、如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域；的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图 备用图备用图思路点拨 1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形．腰三角形．2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．合题意．4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．们轻松解题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形应用专题（二）
动态几何中的相似三角形
例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点
M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段
CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）
． （1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形．
变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。
（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当
3
1
=
∆∆ABC
BCQ S S ，求ABC BPQ S S ∆∆的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能，
求出AP 的长；若不能，请说明理由。
N
C
M
B
变式练习1-2：如图，已知直线l 的函数表达式为4
83
y x =-+，且l 与x 轴，y 轴分别交于A B ，两点，
动点Q 从B 点开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q P ，移动的时间为t 秒． （1）求出点A B ，的坐标；
（2）当t 为何值时，APQ △与AOB △相似？
（3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ 所在直线的函数表达式． O
P
A
Q B
y
x
O
P
A
Q B
y x
图-2
A
D O B
C 2 1
M
N
图-1
A
D B
M N
1 2 图-3
A
D O B
C 2
1
M
N O
例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC
BD
的值．
变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，且∠MPN＝90 当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝3PM．（不需证明）
当PC＝2P A，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边
BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2
＋CE 2
=DE 2
是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
G
y x
图2
O
F
E D
C
B
A
G
图1
F E D
C
B
A
G
图1
F
E D
C
B
A
G
y x
图2
O
F
E D
C
B
A
例题讲解三：如图１，PMN Rt △中，90P ∠=，PM PN =，8MN =cm ，矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令PMN Rt △不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动（如图２）
，直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与PMN △重叠部分的面积为y 2
cm ．求y 与x 之间的函数关系式．
A
B D
P
N
２ ２
图２
图１
A B D
P
N
２ ２
图２
图１
变式练习3-1：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，45A =∠，10cm AB =，4cm CD =．等腰直角三角形PMN 的斜边10cm MN =，A 点与N 点重合，MN 和AB 在一条直线上，设等腰梯形
ABCD 不动，等腰直角三角形PMN 沿AB 所在直线以1cm/s 的速度向右移动，直到点N 与点B 重
合为止．
（1）等腰直角三角形PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状 由 形变化为 形；
（2）设当等腰直角三角形PMN 移动(s)x 时，等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积为2
(cm )y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）当4(s)x =时，求等腰直角三角形PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积． A （N ）
M
P
D
C
A
N
M
P
D
C
B
A （N ）
M
P
D
C
A N
M P
D
C
B
例题讲解四：如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度
是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
变式练习4-1：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE AB ∥？ （2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使2
25
PEQ BCD S S =△△？ A
E D
Q
P
B
F
A
E
D
Q
P
B
F
变式练习4-2：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．
A
C
B
P
Q
E
D
A
C
B P
Q
E
D
A
C B
P
Q
E
D。