第二章 流体的运动

1 2 P − P = ρv = ρ′gh 1 2 2
图2-7 皮托管
由上式可得
v=
2ρ′ gh
ρ
3、流量计 、 如图所示， 如图所示，在变截面的水平管的 下方，装有U形管 内装水银， 形管， 下方，装有 形管，内装水银，测量 水平管内的流速时， 水平管内的流速时，可将流量计串联 于管道中，根据水银面的高度差， 于管道中，根据水银面的高度差，即 可求出流量或流速。 可求出流量或流速。
ρ1S1v1∆t = ρ2S2v2∆t ρ1S1v1 = ρ2S2v2
ρSv = 常 量
如果是不可压缩的流体， 如果是不可压缩的流体，即有 不可压缩的流体
质量流量守恒定律
ρ1 = ρ2
体积流量守恒定律 体积流量守恒定律
S1v1 = S2v2
Sv = 常量
二、伯努力方程
1、伯努力方程的推导 、 利用功能原理来进行推导 截取一段流体XY作研究对象 截取一段流体 作研究对象 各物理量见图所示，经过∆ 时间 各物理量见图所示，经过∆t时间 变为X'和Y' 变为 和 F1=P1S1 F2=P2S2
1 2 1 2 P + ρv1 + ρgh1 = P + ρv2 + ρgh2 1 2 2 2
1 P + ρv2 + ρgh = 常量 2
伯努力方程
2、说明： 、说明：
（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动 ）成立条件： （2）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、动能 ）各项分别代表该点压强、单位体积内的重力势能、 （3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位 ）方程中三项都具有压强的量纲， 流体运动中的] （4）伯努利方程也叫能量守恒方程 流体运动中的 ）伯努利方程也叫能量守恒方程[流体运动中的 （5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 ）第一、 项是与速度无关称为静压， 关称为动压 （6）水平管：当h1=h2，有： ）水平管：
1 2 P + ρv = 常量 2
即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。 即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为 的水流过一管子， 点的压强为 例2-1 设有流量为 2×105Pa，A点的截面积为 × 点的截面积为 点的截面积为60cm2，B ， 点的截面积为100cm2，B点的截面积为 点的截面积为 点比A点高 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点 点比 点高2 。假设水的内摩察力可以忽略不计， 、 点 点高 的流速和B点压强。 的流速和 点压强。 点压强 解：根据连续性方程有
1 1 2 2 ∆E = E2 − E1 = ( mv2 + mgh2 ) − ( mv1 + mgh ) 1 2 2
由功能原理有： 功能原理有
W=∆E ∆
1 1 2 2 P∆V − P ∆V = ( mv2 + mgh2 ) − ( mv1 + mgh ) 1 2 1 2 2
最后整理得： 最后整理得：
第二章 流体的运动
流体：包括气体、 流体：包括气体、液体 流体的基本特征：流动性， 流体的基本特征：流动性，无固定形状 流体运动的学科称为流体动力学 流体运动的重要性和复杂性 质点、 质点、匀速直线运动 牛顿定律 ？理想流体、稳定流动 理想流体、 连续性方程、 连续性方程、伯努利方程
？？实际流体 ？？实际流体 可压缩， 而改变。 可压缩，体积随压强不同 而改变。液体的体 积变化小，气体的体积变化大。 积变化小，气体的体积变化大。 都有粘性，很多流体的粘性小， 都有粘性，很多流体的粘性小，在小范 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。 围流动时，粘性造成的影响可以忽略。 粘性、雷诺数、粘性流体的运动规律 粘性、雷诺数、
1 P + ρv2 = P c d 2
由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出 、 由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、 d两点的高度差，即可求得流速 两点的高度差， 两点的高度差
图2-7是一种皮托管的简单装置 是一种皮托管的简单装置 测量时放在待测流速的流体中， 测量时放在待测流速的流体中，2 处流速为零，形成滞流区， 孔的 处流速为零，形成滞流区，1孔的 孔面平行于流线， 孔面平行于流线，流速不为零 两处的压强差可从U形管中液面的 两处的压强差可从 形管中液面的 高度差测得， 高度差测得，即
图2-8 文特利管
粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有 细两处各物理量见图所示，
1 2 1 2 P + ρv1 = P + ρv2 1 2 2 2
由连续性方程有 由图可知
S1v1 = S 2 v2
2(ρ′ − ρ)gh ρ(S12 − S22 )
P − P = (ρ′ − ρ)gh 1 2
Q = S1v1 = S2v2 = S1S2
Q = S ′v = S ′ 2 gh
一开口水槽中的水深为H，如图例2-2所示 在水面下h 所示。 例2-2 一开口水槽中的水深为 ，如图例 所示。在水面下 深处开一小孔。问：（1）射出的水流在地板上的射程S是多 深处开一小孔。 ：（ ）射出的水流在地板上的射程 是多 大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的 （ ）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔， 水流有相同的射程？（ ？（3）小孔开在水面下的深度h多大时 多大时， 水流有相同的射程？（ ）小孔开在水面下的深度 多大时， 射程最远？射程多长？ 射程最远？射程多长？ 解：（1） ：（ ）
m = ρ1(v1∆t)S1 = ρ1S1v1∆t 1
经过∆ 时间 通过截面S 时间， 经过∆t时间，通过截面 2流出流管质量为
m2 = ρ2 (v2∆t)S2 = ρ2S2v2∆t
根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m 根据质量守恒原则及稳定流动的特点有 1=m2，即 质量守恒原则及稳定流动的特点有
2、稳定流动 、 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化， 状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹 3、性质 、 （1）流线不能相交 ） （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流 ）在某一流管内，外面流线不能流进来， 出去
2-2 连续性方程 伯努利方程
1、流线和流管 流线和流管
流线： 与电力线和磁力线相似，假想线） 流线： （与电力线和磁力线相似，假想线） 流速方向： 流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关， 大小：与流线疏密有关，如A、B、C 、 、 流管：在流体中作一微小的闭合曲线， 流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所 围成的细管
2-1 理想流体 稳定流动
一、理想流体 理想流体：绝对不可压缩、 理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性
二、稳定流动
研究流体运动的方法 ？ 有两种 研究流体运动的方法[？]有两种 方法
拉格朗日法： 拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元， 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。 这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。 欧拉法： 欧拉法： 把注意力集中到各空间点， 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间 点的流速、压强、密度等物理量， 点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时 间的演化规律。 间的演化规律。 在流动过程中的任一瞬时， 在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一 点都具有一定的流速v(x、 、 、 ， 点都具有一定的流速 、y、z、t)， ，这个空2-3 伯努利方程的应用
一、压强与流速的关系
1 2 P + ρv = 常量 2 即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。 即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。
水平管中作稳定流动时
1、空吸作用 、
A处和 处的横截面积远大于 处的横截面 处和C处的横截面积远大于 处和 处的横截面积远大于B处的横截面 处加一个外力使管中流体由A向 积。在A处加一个外力使管中流体由 向B 处流 处加一个外力使管中流体由 动。B处的流速必远大于 处和C处的流速，B 处的流速必远大于A处和 处的流速， 处的流速必远大于 处和 处的流速 处的压强小。若增加流管中流体的流速， 处的压强小。若增加流管中流体的流速，可以 处的流速增到很大，而使B处的压强很小 处的压强很小， 使B 处的流速增到很大，而使 处的压强很小， 于是D容器中的流体因受大气压强的作用被压缩 于是 容器中的流体因受大气压强的作用被压缩 到B处，而被水平管中的流体带走。这种作用叫 处 而被水平管中的流体带走。 空吸作用。 空吸作用。
图2-5 空吸作用
2、流速计（皮托管） 、流速计（皮托管
图2-6
流速计原理
分析：皮托管是粗细均匀的水平管， 是一根直管 是一根直管， 是一根直 分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（ 处），弯管下端的 角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的 管口截面与流线垂直（ 处），在 处形成速度为零的滞流区 滞流区。 管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。 比较图c、 两处的压强可得 比较图 、d两处的压强可得
图2-9 小孔流速
对于任一流线， 对于任一流线，由伯努利方程得
p 0 + ρgh = p 0 + 1 2 ρv 2
由上式得
v = 2 gh
结果表明，小孔处流速和物体自高度 处自由下落得到的速 结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速 度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、 度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里 斥利（ 首先发现的， 斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它 首先发现的 又称为托里斥利定理。 反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中， 反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势 能与动能之间的转换关系。 能与动能之间的转换关系。 实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面 代 实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S'代 替S，则有 ，