初一期中定义新运算
定义新运算
【例1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值．
【例2】 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它
们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为：
()21021011202124015=⨯+⨯+⨯=++=
()3210210111202121211=⨯+⨯+⨯+⨯=
按此方式，将二进制()21001换算成十进制数的结果是________．
【例3】 规定两种新运算：a b a b *=-，#a b a b =+，其中a 、b 为有理数．化简()()2
2235#2ab
ab ab ab *--，并求出当2a =，1
2
b =-时的值是多少？
【例4】 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对
于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．
【例5】 在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a ij (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对
于表中的每个数a ij ，规定如下：当i j ≥时，1ij a =；当i j <时，0ij a =．例如：当2i =，1j =时，211ij a a ==．按此规定，13a =_____；表中的25个数中，共有_____个1；计算：111122133144155i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅的值为________．。
定义新运算
例3：如果a□b=a×b-(a+b)，求6□（9□2）。
练习：规定a▣b=a×b-（a＋b），求（10▣5）＋（28▣5）的值。
例4：已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？
练习：如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40，已知x□3=5973，求x。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、□、★、◎、※、Δ等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
【型例题】
例1：对于任意数a，b有a*b=ab-a-b，求12*4的值。
练习:设a、b都表示数，规定：a○b=6a－2b，试计算3○4。
例2：假设a★b = (a + b)÷b，求8★5。
4、如果2▣3=2＋3＋4，5▣4=5＋6＋7＋8，且1▣x=15，求x。
5、对于任意的两个数a、b，规定a*b=3×a+b÷3，求：2*（4*9）*3的值。
6、已知：1◎4=1×2×3×4 6◎5=6×7×8×9×10，计算：①（5◎4）÷（3◎3）；
②（4◎2）+（5◎3）
7、如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算①5！
8、N为自然数，规定F（N）=3N-2例如F（4）=3×4-2=10
试求：F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+……+F（100）的值
9、规定（25）=2+5=7（123）=1+2+3=6（65）=6+5=（11）=1+1=2
定义新运算
第1讲定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
练习３1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定，那么8*5=________。
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。
新运算知识点总结
新运算知识点总结随着科学技术的不断发展和进步，数学也在不断地发展和完善。
新运算是数学中的一个重要的知识点，它包含了一系列新的运算方法和概念，为数学的发展和应用提供了新的思路和方法。
本文将就新运算的概念、特点和应用进行总结和分析。
一、新运算的概念新运算是指在传统的四则运算基础上，引入了一些新的概念和方法，扩展了数学运算的范围，使得数学运算更加丰富和多样化。
新运算的本质是对传统的运算方法进行改进和完善，以满足日益增长的数学需求和实际应用的要求。
新运算包括了加减乘除以外的运算，例如幂、根、对数、三角函数等，也包括了一些新的运算规则和框架，例如模运算、矩阵运算、高维运算等。
这些新的运算方法和概念为数学的发展和应用提供了新的思路和方法，使得数学更加丰富和多样化。
二、新运算的特点新运算有以下几个显著的特点：1. 多样性新运算方法的引入，使得数学运算更加多样化，不仅包括了加减乘除，还包括了更多的运算方法和概念，例如幂、根、对数、三角函数等。
这些新的运算方法丰富了数学的内容，使得数学更加多样化和有趣。
2. 应用性新运算方法的引入，使得数学运算更加贴近实际问题的需求，更加具有实用性。
例如，矩阵运算可以用于解决线性方程组和矩阵的问题；对数运算可以用于描述指数增长和衰减的规律；三角函数可以用于描述周期性变化的规律等。
这些新的运算方法丰富了数学的应用领域，使得数学更加具有实用性。
3. 抽象性新运算方法的引入，使得数学运算更加抽象化和一般化，不仅包括了具体的数值计算，还包括了更多的符号计算和推理推导。
例如，模运算可以用于描述同余关系和剩余类的性质；高维运算可以用于描述抽象空间和向量空间的性质等。
这些新的运算方法丰富了数学的抽象性，使得数学更加具有一般性。
4. 统一性新运算方法的引入，使得数学运算更加统一和完整，不仅包括了传统的四则运算，还包括了更多的补充和扩展。
例如，幂和根可以用于推广加减乘除的运算规则；对数和指数可以用于推广正负数的运算规则；三角函数和复数可以用于推广实数的运算规则。
定义新运算附答案
定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求3△2，2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 ×39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※ 5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕2，2 ⊕6；②求（1 ⊕2）⊕3，1 ⊕（2 ⊕3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕2）⊕3＝（1×2＋1＋2）⊕3＝5 ⊕3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满足交换律：a ⊕b＝a×b＋a＋bb ⊕a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕b＝b ⊕a，因此“⊕”满足交换律.再看“⊕”是否满足结合律：（a ⊕b）⊕c＝（a×b＋a＋b）⊕c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .a ⊕（b ⊕c ）＝a ⊕（b ×c ＋b ＋c ）＝a ×（b ×c ＋b ＋c ）＋a ＋b ×c ＋b ＋c＝abc ＋ab ＋ac ＋a ＋bc ＋b ＋c＝abc ＋ac ＋bc ＋ab ＋a ＋b ＋c .（普通加法的交换律） 所以（a ⊕ b ）⊕ c ＝a ⊕（b ⊕ c ），因此“⊕”满足结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25，求7⊗3＝？解：通过对2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25这几个算式的观察，找到规律：a ⊗b ＝2a ＋b ，因此7⊗3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36km=1n =2 m=2 n =23（舍去）m=3n =1有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去.所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a *b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6； ②7*（2*1）.2.定义新运算为 a ㊀b ＝b 1a +， ①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1.35，则x ＝？3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立：21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值. 4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ⊗b=a ×b －1，①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ⊗4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”，x △y=y ×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x *y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值. 8.a ※b=b÷a b a +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++ =？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1）=10x +（1+2+3+⋯+9）=10x + 45 因此有10x + 45=65，解出x=2.。
初中数学新定义运算
初中数学新定义运算在初中数学中，我们学习了加减乘除四则运算，但是在实际应用中，有时候需要用到其他的运算。
因此，我们需要引入新的定义运算。
一、绝对值运算绝对值运算是指将一个数的正负号去掉，得到它的非负值。
例如，|-3|=3，|5|=5。
二、取整运算取整运算是指将一个实数取整到最接近它的整数。
例如，[3.2]=3，[4.8]=5。
三、取余运算取余运算是指将一个整数除以另一个整数，得到的余数。
例如，7÷3=2余1，所以7 mod 3=1。
四、阶乘运算阶乘运算是指将一个正整数n乘以比它小的所有正整数的积。
例如，5!=5×4×3×2×1=120。
五、幂运算幂运算是指将一个数乘以自己若干次。
例如，2³=2×2×2=8，5²=5×5=25。
六、根号运算根号运算是指将一个数的平方根或者立方根等根号表示出来。
例如，√9=3，∛8=2。
七、比例运算比例运算是指将两个数的比值表示出来。
例如，1:2表示第一个数是第二个数的一半。
八、百分数运算百分数运算是指将一个数乘以100，表示成百分数的形式。
例如，0.5表示成百分数的形式是50%。
九、平均数运算平均数运算是指将一组数的和除以它们的个数，得到它们的平均值。
例如，1、2、3、4、5的平均数是(1+2+3+4+5)/5=3。
十、最大值和最小值运算最大值和最小值运算是指在一组数中找到最大值和最小值。
例如，1、2、3、4、5中最大的数是5，最小的数是1。
以上就是初中数学中常见的新定义运算。
通过学习这些运算，我们可以更好地理解数学知识，更好地应用数学知识。
初中数学《定义新运算》讲义及练习
第四讲定义新运算知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题精讲模块一、直接运算型【例 1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
【解析】A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由A*B＝（A＋3B）×（A＋B）可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312【巩固】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。
由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7【巩固】设a△2b a a b=⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 【解析】56552613=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△【巩固】P、Q表示数，*P Q表示P与Q的平均数，求3*(6*8)【解析】68373*(6*8)3*()3*7522++====【例 2】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。
定义新运算
定义新运算知识要点：定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
三、典型例题【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。
因此【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果－=×A，那么，A是几？【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a－1）×a×（a＋1），据此，可以求出－= －，这里的分母都比较大，不易直接求出结果。
根据－=×A，可得出A = (－)÷= （－）×⑦= －1。
定义新运算
定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
例2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
初一专题3新定义运算 -教师版
当 a b c 0 时， a b c 1 (a b c a b c) b c ，此时最大值为 b c 11 ；
2 3
11 6 ，
所有计算的结果中的最大值是 11，
故答案为：11．
【总结】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例 8】
对于有理数 a ， b ，定义一种新运算“ ”，规定 a b | a | | b | | a b | ． （1）计算 2 3 的值； （2）当 a ， b 在数轴上位置如图所示时，化简 a b
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可．
故答案为：8．
【总结】本题考查的是整数的奇偶性新定义，通过若干次运算得出循环规律是解题的关键．
5
【例 7】
观察下列两个等式： 2 1 2 1 1 ， 5 2 5 2 1 ，给出定义如下
33
33
我们称使等式 a b ab 1 成立的一对有理数“ a ， b ”为共生有理数对”，记为 (a,b)
当 PN 2MN 时， NP 18 ，点 P 对应的数为 2 18 16 ，因此 t 9 秒； 第四种情况， M 为【 P ， N 】的美好点，点 P 在 M 左侧，如图 4，
当 MP 2MN 时， NP 27 ，点 P 对应的数为 2 27 25 ，因此 t 13.5 秒；
2
作为 a ， b ， c 的值，进行“ a b c “运算，求在所有计算的结果中的最大值是__________．
【分析】由 a-b-c≥0 和 a-b-c＜0 分别求解可得
定义新运算
3.已知
MN
M N
N M
,
求10 20。
4.设
a
b
1 3
a
1 2
b
，已知
x
Байду номын сангаас
2
2
，求x。
81 34
47
例4 设 a b 3a b ，已知 x 1 4，
求x。
解： x 1 3x 1 4
3x 1 4 3x 3 x 1
设a b 4a 1 b，已知 5 x 21，
求x。
2
解： 5 x 45 1 x 21
2
4 5 1 x 21
2
1 x 1 2
x2
设 p q 3p 2q ，已知 x (4 1) 7，
求x。
解：① 4 1 3 4 21
12 2 10
②x 10 7
3x 210 7
3x 20 7
x9
做一做
1.已知A※B＝A－B,求(10－1)※6。
2.已知 p q p2 ( p q) 2 ,
变式训练
1.“△”表示的是一种新的运算， 已知 a△b＝ a × b －（a＋b）， 求5△（6△2）。
解：5△（6△2） ＝5 △ [ 6×2 －（6＋2）] ＝5 △4 ＝5×4－（5＋4） ＝11
2.“☆”表示的是一种新的运算， 已知 a ☆ b＝（ a ＋ b） ×（a－b）， 求9 ☆ 7。
解：9 ☆ 7 ＝ （9＋7）×（9－7） ＝16 ×2 ＝32
例3 设 a b b2 2a ， 那么求 610和 1 (3 2) 。