四川省高一下学期数学期末考试试卷
2022-2023学年四川省成都市高一下册学期期末数学试题【含答案】
成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分12i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PA3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35B.35-C.45D.45-4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒=D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π46.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.257.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.128.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.πC.2π D.4π二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z+= D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n +=12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.15.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.16.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .19.已知函数()() sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.成都市2022-2023学年下学期第二次测评高一年级数学学科试题考试时间120分钟满分150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.2i12i -=+（）A.－1B.i- C.43i 55- D.43i 55+B【分析】由复数的除法法则求解即可【详解】()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5----===-++-，故选：B2.化简PA PB AB -+所得的结果是（）A.2ABB.2BAC.0D.PAC【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C 3.已知4sin 5α=，则3πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A 35B.35-C.45D.45-C【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】由题得3π4cos sin 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：C4.下列化简不正确的是（）A.1cos82sin 52sin 82cos1282︒︒+︒︒=-B.1sin15sin 30sin 758︒︒︒=C.223cos 15sin 152︒-︒= D.tan 48tan 7231tan 48tan 72︒+︒=-︒︒D【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，223cos 15sin 15cos302︒-︒=︒=，C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan12031tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=--︒︒，D 选项错误.故选：D5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =2，b =3，π3B =，则角A 为（）A.3π4B.π3C.π4D.π4或3π4C【分析】由正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=，得π2sinsin 23sin 23a B A b===，又a b <，所以A B <，所以A 为锐角，所以π4A =．故选：C ．6.“石龙对石虎，金银万万五，谁能识得破，买进成都府”．这个民谣在彭山地区流传了三百多年，2020年彭山江口沉银遗址水下考古取得重大突破，出水文物超过10000件，实证确认了“张献忠江口沉银”以及“木鞘藏金”的传说“木鞘藏金”指的是可视为圆柱的木料内放置了一个可视为球体的金疙瘩，这个金疙瘩与木料的底面和侧面都相切，则这个金疙瘩的体积与该木鞘（这个圆柱体）的体积之比为（）A.13B.23C.15D.25B【分析】设球的半径为r ，结合组合体的特征，利用圆柱和球的体积公式，求得圆柱和球的体积，即可求解.【详解】由题意，圆柱的木料内放置了一个可视为球体与木料的底面和侧面都相切，设内切球的半径为r ，可得343V r π=球，2322V r r r ππ=⋅=圆柱，所以23V V =球圆柱.故选：B.7.如图，在正方体ABCD A B C D -''''中，E 、F 分别为棱CC '、AB 的中点，则异面直线A D ''与EF 所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.12A【分析】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，分析可知直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，计算出FG 、EF 的长，即可求得EFG ∠的余弦值.【详解】取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，因为四边形ABCD 为正方形，则//AB CD 且2AB CD ==，F 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//AF DG 且AFDG =，所以，四边形ADGF 为平行四边形，故//FG AD 且2FG AD ==，因为//A D AD ''，//A D FG ''∴，故直线A D ''与EF 所成角为EFG ∠或其补角，AD ⊥ 平面CDD C ''，EG ⊂平面CDD C ''，则AD EG ⊥，故FG EG ⊥，因为222EG CE CG =+=，226EF FG EG ∴=+=，所以，26cos 36FG EFG EF ∠===.因此，直线A D ''与EF 所成角的余弦值是63.故选：A.8.已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--，则()f x 的最小正周期为（）A.2π B.πC.2π D.4πB【分析】利用平方关系、降幂及辅助角公式可得()2cos(2)4f x x π=+，根据三角函数性质求最小正周期.【详解】由题设，44()(cos sin )2sin cos cos 2sin 22cos(2)4f x x x x x x x x π=--=-=+，所以最小正周期为22T ππ==.故选：B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分9.已知复数ππsini cos 66z =+，则（）A.z 的虚部为3i 2B.z 在复平面内对应的点在第四象限C.z z z +=D.z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根BCD【分析】把复数化成13i 22z =+，利用复数的意义判断A ；求出z 、||z 判断BC ；利用复数的四则运算计算判断D 作答.【详解】依题意，复数13i 22z =+，复数z 的虚部为32，A 错误；13i 22z =-在复平面内对应的点13(,)22-在第四象限，B 正确；2213||()()122z =+=，1313(i)(i)12222z z +=++-=，则z z z +=，C 正确；22131313131(i)(i)1(i)i+1022222222z z -+=+-++=-+--=，即z 是关于x 的方程210x x -+=的一个根，D 正确.故选：BCD10.已知空间中,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A.,a b a b αα⊥⊥⇒∥B.,a a b b αα⊥⊥⇒∥C.,,a b a αβαβ⊂⊂⇒∥与b 异面D.,,b a b a βααββ⊥⋂=⊥⇒⊥BCD【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】A ：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A 正确；B ：由a α⊥，a b ⊥r r可得b α∥或者b α⊂，故B 错误；C ：由a α⊂，b β⊂，αβ∥可得a 与b 异面或//a b ，故C 错误；D ：由βα⊥，b αβ= ，a b ⊥r r，当a α⊄时，不能得到a β⊥，只有当a α⊂时，才可以得到a β⊥，故D 错误.故选：BCD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则7m n += BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b =，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则()2222492319m n m nm n m n +=+=++⋅=++⨯=，D 错.故选：BC.12.已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆O 的直径AB 长为22．若C 为底面圆周上不同于,A B 的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO 的侧面积为62πB.SAC 面积的最大值为32C.圆锥SO 的外接球的表面积为9πD.若AC BC =，E 为线段AC 上的动点，则SE BE +的最小值为742+BCD【分析】对A ：根据圆锥的侧面积公式分析运算；对B ：根据题意结合三角形的面积公式分析运算；对C ：根据题意可得圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，利用正弦定理求三角形的外接圆半径，即可得结果；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，结合余弦定理分析运算.【详解】对A ：由题意可知：222,1,3OA OB SO SA SB SC SO OB ======+=，故圆锥SO 的侧面积为π236π⨯⨯=，A 错误；对B ：SAC 面积113sin 33sin sin 222SAC S SA SC ASC ASC ASC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=∠ ，在SAB △中，2223381cos 023233SA SB AB ASB SA SB +-+-∠===-<⋅⨯⨯，故ASB ∠为钝角，由题意可得：0ASC ASB <∠<∠，故当π2ASC ∠=时，SAC 面积的最大值为33sin 22ASC ∠=，B 正确；对C ：由选项B 可得：1cos 3ASB ∠=-，SAB ∠为钝角，可得222sin 1cos 3SAB SAB ∠=-∠=，由题意可得：圆锥SO 的外接球即为SAB △的外接圆，设其半径为R ，则2223sin 223AB R ASB ===∠，即32R =；故圆锥SO 的外接球的表面积为234π9π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，C 正确；对D ：将平面ABC 与平面SAC 展开为一个平面，如图所示，当,,S E B 三点共线时，SE BE +取到最小值，此时π2,2AC BC ACB ==∠=，在SAC ，2224333cos 023223AC SC AS ACS AC SC +-+-∠===>⋅⨯⨯，则ACS ∠为锐角，则26sin 1cos 3ACS ACS ∠=-∠=，在SBC △，则()π6cos cos cos sin 23SCB SCA ACB SCA ACS ⎛⎫∠=∠+∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，由余弦定理可得22262cos 342327423SB SC BC SC BC SCB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则742SB =+，故SE BE +的最小值为742+，D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知tan 5α=，则224sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα+=-____________.115-【分析】将分式的分子和分母同时除以2cos α，化简求值即可．【详解】tan 5α =，2224sin 3sin cos 4tan 3tan 425351154cos sin cos 4tan 45ααααααααα++⨯+⨯∴===----故115-14.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，1AD =，2AB =，3BC =，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则BM BN ⋅=______.3【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示可得.【详解】如图，分别以BC ，BA 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，由题意，(0,0),(0,2),(1,2),(3,0)B A D C ，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，所以1(2,1),(,2)2M N ，所以1(2,1),(,2)2BM BN == ，所以121232BM BN ⋅=⨯+⨯= ，故315.如图所示，要在两山顶M N 、间建一索道，需测量两山顶M N 、间的距离.已知两山的海拔高度分别是1003MC =米和502NB =米，现选择海平面上一点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAC ∠=︒，点N 的仰角30NAB ∠=︒以及45MAN ∠=︒，则MN 等于_________米.1002【分析】先求得,AM AN ，再利用余弦定理求得MN .【详解】10031003sin 60,200sin 60AM AM ︒===︒，502502sin 30,1002sin 30AN AN ︒===︒，在三角形AMN 中，由余弦定理得()()22200100222001002cos 45MN =+-⨯⨯⨯︒1002=米.故100216.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，13,2,1,60AA AB AD BAD ∠====，底面ABCD 为平行四边形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为___________.π2【分析】根据已知，结合图形，利用弧长公式、勾股定理、线面垂直计算求解.【详解】如图，连接11D B ，直四棱柱1111ABCD A B C D -，2,1,60AB AD BAD ∠=== ，所以11111112,1,60C D B C B C D ∠===，在111B C D △中，由余弦定理有：22211111111112cos 60D B C D C B C D C B =+-⋅ ，代入数据，解得113D B =，所以222111111D B C B C D +=，即1111D B C B ⊥，又111BB D B ⊥，1111BB C B B = ，所以11D B ⊥平面11BCC B ，在平面11BCC B 上，以点1B 为圆心，作半径为1的圆，交棱11,BB CC 于点1,M C ，得到弧 1MC ，在 1MC 上任取一点与11,B D 都构成直角三角形，根据勾股定理可知弧 1MC 上任取一点到点1D 的长度为2，所以以1D 为球心，半径为2的球面与侧面11BCC B 的交线的长度为弧 1MC 的长，因为11π2BB C ∠=，所以根据弧长公式有：弧 1MC 的长度为ππ122⨯=.故答案为π2四、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- ．（1）47a b -=（2）7k =-【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值；（2）由已知可得出()()20a b ka b +⋅-=，利用平面向量数量积的运算性质可求得实数k 的值.【小问1详解】解：因为4a = ，8b = ，a 与b 的夹角为2π3，则2π1cos 481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以，()()2222224216847a b a ba ab b -=-=-⋅+=-⨯-+=.【小问2详解】解：因为()()2a b ka b +⊥-，则()()()222212a b ka b ka k a b b+⋅-=+-⋅- ()161621264161120k k k =---⨯=--=，解得7k =-.18.如图四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BCE ，BE EC⊥，点F 为线段BE 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，由中位线定理可得//FO DE ，再由线面平行的判定定理可得答案.【小问1详解】因为AB ⊥平面BCE ，EC ⊂平面BCE ，所以AB EC ⊥，因为BE EC ⊥，AB BE B = ，、⊂AB BE 平面ABE ，所以CE ⊥平面ABE ；连接BD 交AC 于O 点，连接FO ，所以O 点为BD 中点，因为点F 为线段BE 的中点，所以//FO DE ，因为FO ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF ，所以//DE 平面ACF .19.已知函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的单调减区间.（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈（2）π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再利用三角函数的图像得出对称中心.(2)由题意利用函数()()sin f x A x =+ωϕ的图像变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的单调性得出结论.根据函数()()sin (00π)f x A x A ωϕωϕ=+>><，，的部分图像，可得2A =，32π5π4123πω⋅=+，2ω∴=．再根据五点法作图，5ππ2122ϕ⨯+=，π3ϕ∴=-，故有()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．根据图像可得，0π3⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()f x 的图像的一个对称中心，故函数的对称中心为ππ023k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Z k ∈.【小问2详解】先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 212π32ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，解得πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，可得()g x 的减区间为πππ2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈，结合π3π124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，可得()g x 在4π312π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的单调递减区间为π3π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，且16AA =．（1）证明：平面11AB C ⊥平面111A B C ；（2）求四棱锥11A BB C C -的体积．（1）证明见解析（2）2【分析】（1）取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ，利用勾股定理证明1AO AO ⊥，易得1AO ⊥平面111A B C ，再根据面面垂直判定定理即可证明；（2）由（1）可证明AO 为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即可求解.【小问1详解】取11B C 的中点O ，连接AO ，1A O ．∵111A B C △与11AB C △均是边长为2的正三角形，∴11AO B C ⊥，111AO B C ⊥，13AO AO ==．∴1AOA ∠为二面角111A B C A --的平面角．∵16AA =，∴22211A O AO A A +=，∴1AO AO ⊥．因为1AO AO ⊥，111AO B C ⊥，11O AO B C ⋂=，11,AO B C ⊂平面11AB C 所以1AO ⊥平面111A B C ，又1A O ⊂平面111A B C ，∴平面11AB C ⊥平面111A B C ．【小问2详解】111111111112A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，1AO AO ⊥，11AO B C ⊥．∵111AO B C O ⋂=，11B C ⊂平面111A B C ，1A O ⊂平面111A B C ，∴AO ⊥平面111A B C ．∴AO 为三棱锥111A A B C -的高．∴111111113431334A ABC A B C V S AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯= ．∴四棱锥11A BB C C -的体积为2．21.第31届世界大学生夏季运动会将于2022年6月在成都举行，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为五边形ABCDE （如图），根据自行车比赛的需要，需预留出AC ，AD 两条服务车道（不考虑宽度），DC ，CB ，BA ，AE ，ED 为赛道，已知23ABC AED π∠=∠=，3cos 5CAD ∠=，23km =BC ，42km =CD ，______．（注：km 为千米）请从①4BAC π∠=；②()33km =-AB 这两个条件中任选一个，补充在题干中，然后解答补充完整的问题．（1）求服务通道AD 的长；（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED 的最大值（即AE ED +最大）．注：如果选择两个条件解答，按第一个解答计分．（1）52km（2）106km 3【分析】（1）选择条件①由正弦定理得32AC =，选择条件②由余弦定理得32AC =，再结合余弦定理可得AD 的长；（2）根据余弦定理结合均值不等式即可求角线段和最大值．【小问1详解】解：若选择条件①，在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即232sin sin 34=AC ππ，解得32AC =；若选择条件②，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠即()()()()2222332323323cos 183=-+-⨯-⨯⋅=AC π解得32AC =；在△ACD 中，由余弦定理得2222cos CD AD AC AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即()()222342322325=+-⨯⨯AD AD 解得52AD =或725=-AD （舍去）∴服务通道AD 的长为52km ．【小问2详解】在△ADE 中，由余弦定理得：2222cos =+-⋅⋅∠AD AE ED AE DE AED ，∴()22252AE ED AE DE =++⋅，即()250AE ED AE ED =+-⋅，∵22AE ED AE ED +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，∴()23504+≤AE ED ，∴1063+≤AE ED （当且仅当563AE ED ==时取等号）∴折线赛道AED 的最大值为106km 3．22.已知a b c ，，分别为ABC 三个内角A B C ，，的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，（1）求B ；（2）若12AB AC ⋅< ，求11a c+的取值范围；（3）若O 为ABC 的外接圆，若PM PN 、分别切O 于点M N 、，求PM PN ⋅的最小值.（1）2B π=；（2）()22,+∞；（3）2324-.【分析】（1）由题目条件可证得222sin sin sin A C B +=,可得ABC 为直角三角形，可求出2B π=.（2）由数量积的定义可求得2102c <<，设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则11sin cos sin cos a c θθθθ++=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()21122,1,211t t a c t t t +==∈--，判断出21y t t =-的单调性，即可得出答案.（3）用PO 分别表示出PM PN ⋅ ，结合均值不等式即可求出答案.【小问1详解】因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以2B π=.【小问2详解】221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< ，所以2102c <<，而221a c +=，所以设sin ,cos ,0,4c a πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令()sin cos 2sin ,1,24t t πθθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为()22sin cos 12sin cos ,t θθθθ=+=+所以21sin cos 2t θθ-=，所以()2112,1,21t t a c t +=∈-，令()222,1,211t y t t t t ==∈--，因为1t t -在()1,2t ∈上单调递增，所以21y t t =-在()1,2t ∈上单调递减，所以222122y >=-.所以11a c +的取值范围为()22,+∞【小问3详解】ABC 的外接圆的半径为r ，12r OA OC ===，设(),P m n ，则2222214PN PM PO ON PO ==-=-，其中214PO >，所以()2cos ,2cos 1PM PN PM PN PM PN PM PN NPO ⋅=⋅⋅=⋅⋅∠- ，而2222214cos PO PN NPO PO PO -∠==，222114214PO PM PN PO PO ⎛⎫- ⎪⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2213238424PO PO +-≥-=，当且仅当342PO -=取等.所以PM PN ⋅ 的最小值为2324-.关键点点睛：本题考查向量相关的取值范围问题，考查面较广，涉及了基本不等式、函数值域、正弦定理、三角函数等，需要对知识掌握熟练且灵活运用.考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于难题.。
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题含解析
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1822．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －6＝03．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．tan15tan75︒+︒=（ ） A ．4B ．23C ．1D ．26．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ． 3B ．34-C ．2D ．3-8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．π10．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 830405070根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题+答案解析
2023-2024学年四川省凉山州高一下学期期末检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是实数，则()A.1B.C.D.2.一电线杆CD位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为，此人往电线杆方向走了10米到达点B，测得电线杆顶端C的仰角为，则电线杆CD的高度约为米忽略人的身高A. B.C. D.3.某中学高中一年级有800人，高中二年级有640人，高中三年级有560人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为400的样本，则高中二年级被抽取的人数为()A.64B.96C.112D.1284.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则c为()A.1B.2C.3D.1或25.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为()A.2B.C.1D.6.在中，BC边上的中线为AD，点O满足，则()A. B. C. D.7.若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为()A. B. C. D.8.现有甲、乙两组数据，每组数据均由五个数组成，其中甲组数据的平均数为1，方差为3，乙组数据的平均数为3，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A. B.2C. D.3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z满足，则()A.z的虚部为4B.C.D.10.下列关于平面向量的说法正确的是()A.若，是相反向量，则B.若，是共线的单位向量，则C.若，则向量，共线D.若，则点A，B，C，D必在同一条直线上11.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是()A.图的平均数=中位数=众数B.图的众数<中位数<平均数C.图的众数<平均数<中位数D.图的平均数<中位数<众数12.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形ABCD 是边长为2的正方形，则()A.该八面体的表面积是B.该八面体的体积是C.直线AE与平面ABCD所成角为D.动点P在该八面体的外接球面上，且，则点P的轨迹的周长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
成都七中高 2026 届高一下期期末考试数学试题一. 单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若z=2−i ,则|z−z|=（） .A. √2B. 2iC. 2D. 42. 若|a⃗|=2,a⃗与b⃗⃗夹角为60∘ ,且b⃗⃗⊥(a⃗−b⃗⃗) ,则|b⃗⃗|=（）.A. √32B. 1C. √3D. 23. 已知tanα=2,α为锐角,则sin(α+π4)=（） .A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10104. 将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度,再将得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴可能为（）.A. 5π12B. π12C. 5π3D. π35. 已知α,β,γ是三个不同的平面, m,n是两条不同的直线,且α∩β=m ,给出下列四个命题: ①若m//n ,则n//α或n//β②若m⊥n ,则n⊥α或n⊥β③若α⊥β , γ⊥β ,则α//γ④若γ∩β=n,m//n ,则γ//α则上述命题中正确的个数为（）.A. 0B. 1C. 2D. 36. 同时抛掷两枚质地均匀的六面骰子, 则所得点数之差绝对值小于 2 的概率为（）.A. 23B. 59C. 49D. 137. 羌族是中国西部地区的一个古老民族, 被称为“云朵上的民族”, 其建筑颇具特色. 碉楼是羌族人用来御敌、储存粮食柴草的建筑, 一般多建于村寨住房旁. 现有一碉楼, 其主体部分可以抽象成正四棱台ABCD−A1B1C1D1 ,如图,已知该棱台的体积为224 m3,AB=8 m ,A1B1=4 m ,则二面角A1−AB−C的正切值为（）.A. 3B. 3√22 C. √3 D. 328. 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 a =1,A =60∘ ,设 O,G 分别是 △ABC 的外心和重心,则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 16二. 多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 已知 a ⃗⃗=(1,λ),b ⃗=(λ+2,3) ,则（ ）.A. “ λ=1 ” 是 “ a⃗⃗//b ⃗ ” 的必要条件 B. “ λ=−3 ” 是 “ a ⃗⃗//b ⃗ ” 的充分条件 C. “ λ=−12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的必要条件 D. “ λ=12 ” 是 “ a ⃗⃗⊥b ⃗ ” 的充分条件 10. 已知一组样本数据 x 1,x 2,⋯,x 20,(x 1≤x 2≤⋯≤x 20) 下列说法正确的是（ ）.A. 该样本数据的第 60 百分位数为 x 12B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则其平均数大于中位数C. 若样本数据的方差 s 2=120∑x i 220i=1−25 ,则这组样本数据的总和为 100D. 若由 y i =2x i (i =1,2,⋯,20) 生成一组新的数据 y 1,y 2,⋯,y 20 ,则这组新数据的平均值是原数据平均值的 2 倍11. 如图,在长方体 ABCD −A ′B ′C ′D ′ 中, AB =BC =2,AA ′=4,N 为棱 C ′D ′ 中点,D ′M =12,P 为线段 A ′B 上一动点,下列结论正确的是（ ）. A. 线段 DP 长度的最小值为 6√55B. 存在点 P ,使 AP +PC =2√3C. 存在点 P ,使 A ′C ⊥ 平面 MNPD. 以 B 为球心, 176 为半径的球体被平面 AB ′C 所截的截面面积为 6π 三. 填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.12. 习主席曾提出 “绿水青山就是金山银山” 的科学论断, 为响应国家号召, 农学专业毕业的小李回乡创业, 在自家的田地上种植了 A, B 两种有机生态番茄共 5000 株, 为控制成本,其中 A 品种番茄占 40% . 为估计今年这两种番茄的总产量,小李采摘了 10 株 A 品种番茄与 10 株 B 品种番茄,其中 A 品种番茄总重 17 kg, B 品种番茄总重 23 kg ,则小李今年共可收获番茄约 kg .13. 已知三棱锥 A −BCD,△ABC 是边长为 2 的等边三角形, △BCD 是面积为 2 的等腰直角三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 BCD ,则三棱锥 A −BCD 的外接球表面积为 .14. 在 △ABC 中, AB ⊥AC,AB =4,AC =3,P 为斜边 BC 上一动点,点 Q 满足 |PQ |=2 ,且 AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 2m +n 的最大值为 .四. 解答题: 本大题共 5 小题, 共计 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分) 如图,棱长为 6 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中, O 是 AC 的中点, E 是 AA 1 的中点,点 F 在 AB 上.(I) 当 F 是 AB 的中点时,证明: 平面 EFO// 平面 A 1D 1C ;(II) 当 F 是靠近 B 的三等分点时,求异面直线 FO 与 A 1C 所成角的余弦值.16. (15 分) 2024 年 4 月 26 日, 主题为“公园城市、美好人居” 的世界园艺博览会在四川成都正式开幕, 共建成 113 个室外展园, 涵盖了英式、法式、日式、意式、中东、东南亚等全球主要园林风格, 吸引了全球各地游客前来参观游玩. 现从展园之一的天府人居馆中随机抽取了 50 名游客, 统计他们的参观时间 (从进入至离开该展园的时长, 单位: 分钟, 取整数),将时间分成[45,55),[55,65),⋯,[85,95]五组,并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I) 求图中a的值;(II) 由频率分布直方图, 试估计该展园游客参观时间的第 75 百分位数 (保留一位小数);(III) 由频率分布直方图,估计样本的平均数x(每组数据以区间的中点值为代表).17. (15 分) 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛, 并约定规则如下: 在每个回合中, 若发球方赢球, 则得 1 分, 并且下一回合继续由其发球; 若发球方输球, 则双方均不得分, 且下一回合交换发球权; 比赛持续三回合后结束, 若最终甲乙得分相同, 则为平局.,各回合比赛结果相互独立,第一回合由甲发球.已知在每回合中,甲获胜的概率均为23(I) 求甲至少赢 1 个回合的概率;(II) 求第二回合中有选手得分的概率;(III) 求甲乙两人在比赛中平局的概率.18. (17 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a =4,c =2 , asinA +csinC =2bsinB.D 是线段 AC 上的一点,满足 AD =13AC ,过 D 作一条直线分别交射线 BA 、射线 BC 于 M 、N 两点.(I) 求 b ,并判断 △ABC 的形状;(II) 求 BD 的长;(III) 求 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.19. (17 分) 如图,斜三棱柱 A 1B 1C 1−ABC 中, ∠ABC =90∘ ,四边形 ABB 1A 1 是菱形, D 为 AB 中点, A 1D ⊥ 平面 ABC ,点 A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 √3,AA 1 与 CC 1 的距离为 2 . (I) 求证: CB ⊥ 平面 ABB 1A 1 ;(II) 求 A 1C 与平面 BCC 1B 1 所成角的正弦值;(III) 若 E,F 分别为 AA 1,AC 的中点,求此斜三棱柱被平面 B 1EF 所截的截面面积.。
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题含解析
成都市2024届数学高一下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落在正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．303．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）A ．（0，6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3π，π） 4．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β2，则cosβ＝（） A ．3210B ．210C ．7210 D ．210或7210 5．已知函数f ：R +→R +满足：对任意三个正数x ，y ，z ，均有f （3xyzxy yz zx ++）3f x f y f z ++=（）（）（）.设a ，b ，c 是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（ ）A ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等差数列B ．若a ，b ，c 是等差数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c ）一定是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （a ），f （b ），f （c ）一定是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则f （1a ），f （1b ），f （1c）一定是等比数列 6．已知数列满足，，则的值为（ ） A ．2B ．-3C ．D ．7．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（ ） A ．56B ．2536C ．13D ．11368．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．239．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80B ．40C ．60D ．2010．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
四川省成都市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
2022~2023学年度下期高中2022级期末考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下面有四个命题：①{}{}33x x ⊆≥；②若{R 2a B x x ==∈≥+，则a B ∈；③若a -不属于N *，则a 属于N *；④若{{,A x y B y y ====，则A B=其中真命题的个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】根据子集概念判断①，由元素与集合关系判断②③，化简集合A ,B 判断④.【详解】①由子集概念知{}{}33x x ⊆≥正确；②因为2<+，所以a B ∉，故错误；③当0a =时，0N *-∉，0N *∉，故错误；④因为{[]{[]1,1,0,1A x y B y y ===-===，所以A B ≠，故错误.故选：B2.已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则22xy x y --的最小值为（）A.2B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可得121x y+=，再利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为正实数x ，y 满足2x y xy +=，所以121x y+=，则()1242222448y x xy x y x y x y x y x y ⎛⎫--=+=++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当2y x =且121x y+=，即2x =，4y =时取等号.故选：C.3.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A.4m =B.()f x 是减函数C.()f x 是奇函数D.()f x 是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB ，再由奇函数的定义判断CD.【详解】函数()()233mf x m m x =--为幂函数，则2331m m --=，解得4m =或1m =-.当4m =时，()4f x x =在区间()0,∞+上单调递增，不满足条件，排除A ；当1m =-时，()1f x x -=在区间()0,∞+上单调递减，满足题意.函数()1f x x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，但不是减函数，排除B ；因为函数定义域关于原点对称，且1()()f x f x x-==--，所以函数()f x 是奇函数，不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.4.标准的围棋共19行19列,361个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即5210000，下列数据最接近36152310000的()lg30.477»是（）A.3710-B.3610-C.3510-D.3410-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.【详解】由题意，对于36152310000，有36136152523lg lg3lg10000361lg352410000=-=⨯-⨯3610.47752435.803=⨯-⨯=-，所以36135.8035231010000-≈，分析选项B 中3610-与其最接近.故选：B. 5.已知π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.23310- B.23310C.33410+ D.33410【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的正弦公式展开再平方得到sin 235x =，从而求出cos 2x ，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为π5sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin cos cos sin 445x x -=，所以()25sin cos 25x x -=，即()2211sin cos 2sin cos 25x x x x +-=，所以sin 235x =，则4cos 25x ==±，所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin 333x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭413525412=+=±±⨯⨯.故选：D6.已知ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，D 是AB 上的三等分点（靠近点A ）且1CD =，()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，则2+a b 的最大值是（）A.B. C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得ACB ∠，再设ACD θ∠=，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到π2)3a b θ+=+，从而得解.【详解】因为()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，由正弦定理得()()()a a b c b c b -=+-，则222a ab c b -=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c ACB ab +-∠==，(0,π)ACB ∠∈，则π3ACB ∠=，设ACD θ∠=，则π3BCD θ∠=-，且π03θ<<，在ACD 中，sin sin AD CDAθ=，则sin sin AD A θ⋅=，在BCD △中，πsin sin()3BD CDB θ=-，则πsin sin()3BD B θ⋅=-，又223c BD AD ==，即π(sin 2sin )sin sin()33c A B θθ+=+-，又由正弦定理知2sin c R ACB =∠=（R 为ABC 的外接圆半径），所以3113π(sin 2sin )sin sin sin cos sin()3223223A B θθθθθ+=+-=+=+，则π(2sin 4sin )sin()63R A R B θ+=+，即π2)3a b θ+=+，又ππ2π333θ<+<，故当ππ32θ+=，π6θ=时，max (2)a b +=故选：A7.已知O 为ABC 的外心，A 为锐角且22sin 3A =，若AO AB AC αβ=+ ，则αβ+的最大值为（）A.13B.12C.23D.34【答案】D 【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，设ABC 外接圆的半径3R =，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得A 点坐标，代入ABC 外接圆的方程得到()18932αβαβ+=+，由此利用基本不等式即可得解.【详解】以BC 边所在的直线为x 轴，BC 边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图，（D 为BC 边的中点），由外接圆的性质得BOD COD BAC ∠=∠=∠，因为BAC ∠为锐角且sin 3BAC ∠=，所以1cos 3BAC ∠==，设外接圆的半径3R =，则OA OB OC 3===，因为1cos cos 3OD A COD OC =∠==，所以1OD =，DC ==，所以()B -，()C ，()0,1O ，设(),A m n ，则ABC 外接圆的方程为：()2219x y +-=，因为AO AB AC αβ=+，所以()()(),1,,m n m n m n αβ--=--+-.则()()1m m m n n nαβαβ⎧-=--+⎪⎨-=--⎪⎩，解得)111m n βααβαβ⎧-=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，则)1,11A βααβαβ⎛⎫-- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭，代入外接圆方程得：()()()()22228911βαβααβαβ---+=+-+-，整理得：()18932αβαβ+=+，由基本不等式得：()2189322αβαβ+⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当αβ=取等号.化简得：()()281890αβαβ+-++≥，解得34αβ+≤或32αβ+≥，由图知：1αβ+<，所以34αβ+≤，故αβ+的最大值为34.故选：D.8.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ABC内一个动点，且满足12DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1222⎡⎢⎣⎦D.13,22⎡⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】求得点P 的轨迹是平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆，可得111////AD BC B M ，进而可得出题中所求角等于直线1B M 与直线1B P 的夹角，然后过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，找出使得1PB M ∠最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.【详解】连接1B D 交平面11A BC 于点O ，延长线段CB 至点M ，使得CB BM =，连接1B M 、OM 、PM ，如下图所示：已知在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥底面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111DD AC ∴⊥，又 四边形1111D C B A 为正方形，所以，1111AC B D ⊥，1111DD B D D ⋂= ，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂ 平面11B DD ，111B D A C ∴⊥，同理11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，三棱锥111B A B C -的体积为11131193322B A BC V -=⨯⨯=，(11123933242A B C S =⨯=△，111111933393222B A BC V B O O -=⨯⨯==，可得11133B O B D ==，所以，线段1B D 的长被平面11A BC 与平面1AD C 三等分，且与两平面分别垂直，而正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，所以13OB =，3OD =其中1PO B D ⊥，不妨设OP x =，由题意可1213PB PD +=+，22123213x x +++=1x =，所以，点P 在平面11A BC 内以点O 为圆心，半径为1的圆上.因为111////AD BC B M ，所以，直线1B M 与直线1B P 的夹角即为直线1B P 与直线1AD 所成角.接下来要求出线段1B M 与PM 的长，然后在1B PM △中利用余弦定理求解.如图，过点O 作OH ⊥平面ABCD 于点H ，过点H 作HN BC ⊥于点N ，连接ON ，根据题意可知2OH =，1HN BN ==，且ON MN ⊥，所以，5ON =，24521OM =+=如图所示，121OP OP ==，当点P 在1P处时，1PB M ∠最大，当点P 在2P 处时，1PB M ∠最小.这两种情况下直线1B P 与直线1B M 夹角的余弦值最大，为111cos sin 2PB M PB O ∠=∠=；当点P 在点O 处时，1PB M ∠为直角，此时余弦值最小为0.综上所述，直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点P 的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，复数()()()2111i z m m m =-++∈R ，()2cos isin z θθθ=+∈R ，则（）A.任意m ∈R ，均有12z z >B.任意1m ≥，均有10z ≥C.存在m ∈R ，使得12z z = D.存在m ∈R ，使得1221z z -=-【答案】AD 【解析】【分析】利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可.【详解】根据复数的概念可知()()()2111i 1z m m m =-++≥不能与实数比大小，故B 错误；由复数的模长公式可得121z z ===，易知()()2221011m m ⎧-≥⎪⎨+≥⎪⎩，且不能同时取得等号，故121z z >=，即A 正确；12z z -即动点E ()21,1m m -+到动点F ()cos ,sin θθ的距离，显然E 在抛物线()211yx =++上，F 在单位圆上，如图所示，当0,45m θ==- 时，12z z -1=，故D 正确；若存在m ∈R ，使得12z z =，则21cos 1sin m m θθ-=⎧⎨+=⎩，由上知()()22222111cos sin m m θθ-++>=+，即上述方程组无解，故C 错误；故选：AD10.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题是真命题的是（）A.若cos cos a B b A =，则ABC 为等腰三角形B.若π4B =，c =65b =，则ABC 只有一解C.若()cos 2cos 0b A a c B +-=，则π3B =D.若ABC 为锐角三角形，则()()222222sin cos a b c A ab c B+->+-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 、C ：根据题意结合正弦定理运算分析即可；对于B ：根据三角形解得个数的结论分析判断；对于D ：根据题意结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项A ：由cos cos a B b A =，由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =，则()sin 0A B -=，因为0,πA B <<，则ππA B -<-<，可得0A B -=，即A B =，所以ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于选项B ：若π4B =，c =65b =，则6sin 15c B c =<<=所以ABC 有两解，故B 错误；对于选项C ：若()cos 2cos 0b A a c B +-=，有正弦定理可得()sin cos sin 2sin cos 0B A A C B +-=，则()sin 2sin cos B A C B +=，即sin 2sin cos C C B =，因为(),0,πB C ∈，则sin 0C >，可得1cos 2B =，所以π3B =，故C 正确；对于选项D ：若ABC 为锐角三角形，则π2A B π<+<，可得π2A B >-，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，又因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222cos 02a b cA ab+-=>，可得2220a b c +->，所以()()222222sin cos a b c A ab c B +->+-，故D 正确．故选：ACD.11.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（）A.()f x 是以π2为周期的周期函数B.()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.()f x 的值域为[]0,1D.存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，验证()π2f x f x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，得到A 错误B 选项，根据5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，得到()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，换元后得到()()221111222t g t t t =--+=-++，利用复合函数单调性求出答案；C 选项，令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，此时得到21sin cos 2m x x -=，换元后得到()()221111222m u m m m =-++=--+，由m ⎡∈⎣求出值域；D选项，由()()f x a f x a -+=+得到只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，从而得到22ππ,Z 24k a k =-∈且33π,Z 4k a k =∈，结合()0,3a ∈，解不等式，得到相应的：2113,22k ⎛⎫∈⎪⎝⎭且2k Z ∈，且31,2,3k =，验证后得到答案.【详解】πππππsin cos sin cos 22222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()cos sin sin cos x x x x f x =-+≠，所以函数()f x 的周期不为π2，故选项A 错误；5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0,cos 0x x <<，故()()sin cos sin cos f x x x x x =-+-，令sin cos x x t +=，则πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π53π,π442x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1t ⎡⎤∈-⎣⎦，且t 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，又21sin cos 2t x x -=，故()()221111222t g t t t =--+=-++，开口向下，对称轴为1t =-，故()2122t g t t =--+在1⎡⎤-⎣⎦单调递增，由复合函数满足同增异减可知：()f x 在5π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，B 正确；令πsin cos 0,4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，若[]π2π,2ππ4x k k +∈+，Z k ∈，即π3π2π,2π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，sin cos m x x =+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x =++=+，故21sin cos 2m x x -=，若(]π2ππ,2π2π4x k k +∈++，Z k ∈，即3π7π2π,2π44x k k ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，Z k ∈时，此时()sin cos m x x =-+，两边平方得：222sin 2sin cos cos 12sin cos m x x x x x x=++=+此时21sin cos 2m x x -=，综上：对于x ∈R ，均有21sin cos 2m x x -=，所以()sin cos sin cos f x x x x x =+-变形为()()221111222m u m m m =-++=--+，因为m ⎡∈⎣，所以当1m =时，()u m 取得最大值，最大值为1，其中()110122u =-+=，11122u =-+=-，因为1122<-，故()u m 最小值为12，综上：()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 错；()π1sin cos sin cos sin 242f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()()π1sin 2242f x a x a x a ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，假设()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+，()()π1π1sin 22sin 224242x a x a x a x a ⎛⎫⎛⎫-++--+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需ππsin sin 44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭且()()sin 22sin 22x a x a +=-+，由ππ44x a x a ⎛⎫⎛⎫-++=++⎪ ⎝⎭⎝⎭可得：1πππ44x a x a k -++=+++，1k Z ∈①，或22πππ,Z 44x a x a k k -+++++=∈②，其中由①得：1π2k x =-，1k Z ∈，不能对所有x 恒成立，舍去；由②得：22ππ,Z 24k a k =-∈，由()()sin 22sin 22x a x a +=-+可得：332222π,Z x a x a k k +-+=∈③，由③得：33π,Z 4k a k =∈，故需要保证22ππ,Z 24k a k =-∈与33π,Z 4k a k =∈同时成立，令()2ππ0,324k -∈，解得：2113,22k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且2k Z ∈，令()3π0,34k ∈，解得：3120,πk ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3Z k ∈，故31,2,3k =，取31k =，此时3ππ44k a ==，此时令2πππ244k a =-=，解得：21131,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，取32k =，此时3ππ42k a ==，此时令2πππ242k a =-=，解得：23N 2k =∉，舍去，取33k =，此时3π3π44k a ==，此时令2ππ3π244k a =-=，解得：21132,22k ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，符合要求，综上：存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数，π4a =，3π4就是这两个实数，D 正确．故选：BD ．【点睛】sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-三者的关系如下：()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，()2sin cos 12sin cos x x x x -=-，()()22sin cos sin cos 4sin cos x x x x x x +--=，当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.12.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，3BG AG ==1333FG BG ==，22333BF BG ==22126333AF AG FG =-=-=，63OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即222262333R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：62R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径62R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则622r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos23AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅，故1arccos3AMC ∠=，故交线AC 13，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则ST ===则由C 选项的分析知：TG SH ==，所以2GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为22a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()22cos 2R f x x x a a =+∈，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值是4，则=a _____．【答案】1【解析】【分析】化简()f x ，根据π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合三角函数的性质得到当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，即可得出答案.【详解】()2π2cos 21cos 222sin 216f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=+++=+++ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ262x +=时，()f x 取得最大值为34a +=，则1a =.故答案为：114.对任意两个非零的平面向量α 和β，定义αβαβββ⋅=⋅，若平面向量a 、b 满足0≥> a b ，a 与b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b = ___________【答案】32【解析】【分析】由题意可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】因为cos |Z 2a a b n a b n b b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⋅⎩⎭ ，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭．又由0a b ≥> ，则1a b ≥，01b a<≤ ，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2t b a = ，且0m t ≥>，又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出31m t =⎧⎨=⎩，所以322m a b == ．故答案为：32．15.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：13212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==，解得：62sin 4B =，2sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11,2,2,60AB AD AA BAD ===∠=︒，点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，若三棱锥P BCQ -的外接球表面积为S ，则S 的取值范围是__．【答案】25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先由余弦定理求出3BD =，从而得到AB BD ⊥，确定BC 的中点E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，再证明出M 为AD 的中点，N 为11B C 的中点，即EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，从而确定当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.【详解】因为1,2,60AB AD BAD ==∠=︒，由余弦定理得：2212cos 14432BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=+-⨯=因为222AB BD AD +=，由勾股定理逆定理得：AB BD ⊥，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，故BD ⊥CD ，点Q 是半圆弧 BC上的动点(不包括端点)，故BC 为直径，取BC 的中点E ，则E 为三棱锥P BCQ -的外接球球心O 在平面BCQ 的投影，设 BC 与AD 相交于点M ， 11A D 与11B C 相交于点N ，连接EM ，ED ，则EM =ED因为60BCD ∠=︒，故30CBD ∠=︒，260DEM DBC ∠=∠=︒，故三角形DEM 为等边三角形，1122DM DE BC AD ===，即M 为AD 的中点，同理可得：N 为11B C 的中点，连接EN ，则EN ⊥平面ABCD ，故球心在线段EN 上，显然，当点P 与点N 重合时，三棱锥P BCQ -的外接球半径最小，假如点P 与1A 或1D 重合，此时PN 最长，故三棱锥P BCQ -的外接球半径最大，如图1，点P 与点N 重合，连接OC ，设ON R =，则OE =2-R ，OC R =，由勾股定理得：222OE EC OC +=，即()2221R R -+=，解得：54R =，此时外接球表面积为2254ππ4R =；如图2，当点P 与1A 或1D 重合时，连接11,,A O A N OC ，其中1A N ==，设OE h =，则2ON h =-，由勾股定理得：1AO ==OC ===，解得：32h =，此时外接球半径为2OC ==，故外接球表面积为134π13π4⨯=，但因为点P 是半圆弧 11A D 上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，综上：S 的取值范围是25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：25π,13π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数1i z m =+（i 是虚数单位，R m ∈），且(3i)z ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）（1）求实数m 及z ；（2）设复数20231i a z z-=，且复数1z 对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3m =-，z =（2）1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简(3i)z ⋅+，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出m 的值，即可求出z ，从而求出其模；（2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简1z ，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.【小问1详解】∵1i z m =+，∴1i z m =-，∴i)(1i)(3i)(3)(13)i z m m m +=-+=++-，(3+i)z ⋅为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-，故13i z =-，则z ==【小问2详解】2023450533i i i i ⨯+===- ，()()()()20231i 1+3i i i 331=i 13i 13i 1+3i 1010a a a a a z z ∴+-+-+===+--，复数1z 所对应的点在第二象限，∴301031010a a -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得133a -<<，故实数a 的取值范围为1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =，过D 的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）.（1）用AB ，AC表示AD ；（2）若AE AB λ= ，AF AC μ=，求2λμ+的最小值.【答案】（1）1233AD AB AC =+ （2）83【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；（2）根据（1）的结论，转化用AE ，AF 表示AD，根据D 、E 、F 三点共线找出等量关系，再利用基本不等式计算可得；【小问1详解】因为2BD DC = ，所以22AD AB AC AD -=- ，化简得1233AD AB AC =+ ；【小问2详解】因为AE AB λ= ，AF AC μ=，1233AD AB AC =+ ，所以3231A E D A A F μλ=+，由图可知0λ>，0μ>又因为D 、E 、F 三点共线，所以12133λμ+=，所以()124448223333333μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=⎪⎝⎭，当433μλλμ=，即423μλ==时，2λμ+取最小值83.19.设()()sin cos R f x x x x =+∈.（1）判断函数2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，并写出最小正周期；（2）求函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值.【答案】（1）非奇非偶函数，π（2）12+【解析】【分析】（1）根据三角函数恒等变换化简2π2y f x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得答案；（2）化简()π4y f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合π[0,]2x ∈，求得ππ3π2[,]444x -∈-，结合正弦函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意得()πsin cos )4f x x x x =+=+，故222ππ3π)]2sin ()4422πx x x y f⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎣=+⎦++⎭3π1cos(2)1sin 22x x =-+=-，令()1sin 2g x x =-，x ∈R ,由于()1sin 2()1sin 2g x x x -=--=+不恒等于()g x ，也不等于()g x -，故2π2y fx ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为非奇非偶函数，其最小正周期为2ππ2=；【小问2详解】由题意可得()π)]()π44y f x x x f x ⎛⎫=-= ⎭+⎪⎝22(1cos 2)2cos sin 222x x x x x-=+=+πsin(2422x =-+，因为π[0,]2x ∈，所以ππ3π2[,444x -∈-，故π2)2sin(142[,]x -∈-，故πsin(2)42x -+的最大值为212+，即函数()π4y f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π[0,]2上的最大值为12+.20.某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E （单位：EXP ）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：22020E t t a=++()0t >；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.（1）当2a =时，写出累计经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累计经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为()H t ，若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围.【答案】（1）22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，(6)59f =（EXP ）.（2）1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意结合分段函数分析运算；（2）根据题意可得当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，利用参变分离结合二次函数分析运算.【小问1详解】由题意可得：当03t <≤时，则2()2020f t t t a =++，且2(3)3203206920f a a =+⨯+=+；当35t <≤时，则()6920f t a =+；当5t >时，则()()69205055020319f t a t t a =+--=-++；综上所述：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩.若2a =，则22040,03()109,3535950,5t t t f t t t t ⎧++<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，所以(6)35950659f =-⨯=（EXP ）.【小问2详解】由（1）可得：22020,03()2069,355020319,5t t a t f t a t t a t ⎧++<≤⎪=+<≤⎨⎪-++>⎩，则()2020,032069(),352031950,5at t t f t a H t t t t a t t ⎧++<≤⎪⎪+⎪==<≤⎨⎪+⎪->⎪⎩，由题意可得：当03t <≤时，20()2024aH t t t=++≥恒成立，整理得24200t t a -+≥对任意03t <≤恒成立，因为2420y t t a =-+的开口向上，对称轴(]20,3t =∈，则2t =时，2420y t t a =-+取到最小值204a -，可得2040a -≥，解得15a ≥，所以实数a 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD ，该曲线段可近似看作函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点坐标为()1,2C -.第二部分是长为1千米的直线段DE ，//DE x 轴.跑道的最后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 EF.（1）若新校门位于图中的B 点，其离AF 的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O 点的万象楼，求该学生走过的路BO 的长；（2）若点P 在弧 EF上，点M 和点N 分别在线段OF 和线段OE 上，若平行四边形OMPN 区域为学生的休息区域，记POF θ∠=，请写出学生的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值.【答案】（1千米（2）43π23πsin 203633S θθ⎛⎫⎛⎫=+-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；π6θ=【解析】【分析】（1）由图可知2A =，34T =，利用2πT ω=求出ω，再代入点()1,2C -求出解析式，即可求出B 点的坐标，进而可求BO 的长；（2）由已知可求出E 点坐标，进而得到圆O 的半径OE 的长和π6EOD ∠=，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出PNO S ，进而得到平行四边形OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，利用正弦函数的性质即可求出最大值.【小问1详解】解：由条件知，2A =，又因为()()1434T =---=，则2π12T ω==，所以π6ω=.又因为当1x =-时，有π2sin 26y ϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且()0,πϕ∈，所以2π3ϕ=.所以曲线段ABCD 的解析式为π2π2sin 63y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]4,0x ∈-.由π2π2sin 163y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()π2ππ2π636x k k +=+∈Z ，或()π2π5π2π636x k k +=+∈Z 解得()1312x k k =-+∈Z ，又因为[]4,0x ∈-，所以0k =，13x =-，所以()3,1B -；或()2112x k k =+∈Z ，无论k 为何值都不符合[]4,0x ∈-，舍去，所以OB ==BO 的长为千米.【小问2详解】由题可知，当0x =时，π2π2sin 063y ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(D 则(E，2OE ==，π6EOD ∠=，所以3πEOF ∠=.在PNO 中，2OP OE ==，π2ππ33PNO ∠=-=，NPO θ∠=，2πππ33NOP θθ∠=--=-，则由正弦定理sin sin sin OP ON PNPNO NPO NOP==∠∠∠πsin sin 3ON PNθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故可得4343π333ON PN θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，，故134343πsin 24333PNO S NP NO PNO θθ⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⨯⨯- ⎪⎝⎭△2π1sin cos sin 32θθθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11ππ2cos 22034443633θθθθ⎫⎛⎫⎫=⨯+-=+-<<⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ22063PNO S S θθ⎛⎫⎫==+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△，当π6θ=时，πsin 216θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时S 取得最大值.【点睛】已知()()()0,0f x Asin x A ωϕω+=＞＞的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和ϕ，常用如下两种方法：（1）由2πT ω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=（或0πx ωϕ+=），即可求出ϕ.（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和ϕ，若对A ，ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，D 为AB 的中点，1D 为11A B 的中点，平面ABC ⊥平面11ABB A ．（1）求证：直线1//A D 平面11BC D ；（2）设直线1AB 与直线1BD 的交点为点E ，若三角形ABC 是等边三角形且边长为2，侧棱12AA =，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直，求异面直线1A D 与1BC 所成角；（3）若12,2AB AC BC A AB ===∠=，在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【答案】（1）证明见解析（2）23arctan3（3）2369+【解析】【分析】（1）证明出四边形11A D BD 为平行四边形，从而11//A D BD ，得到线面平行；（2）先证明出E 为三等分点，然后运用余弦定理求出1AB 可得；（3）因为在三棱柱111ABC A B C -内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，故小球的半径即为三棱柱直截面的内切圆的半径，利用面积公式得到内切圆半径，画出立体几何图形，结合相关关系求出三棱柱的高.【小问1详解】斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A B 的中点，D 为AB 的中点，所以11111122A D AB AB BD ===，且11A D BD //，所以四边形11A D BD 为平行四边形，所以11//A D BD ，因为1BD ⊂平面11BC D ，1A D ⊄平面11BC D ，所以1//A D 平面11BC D ；【小问2详解】因为AC =BC ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面11ABB A ，故11C D ⊥平面11ABB A ，所以111C D AB ⊥,又1BC 与1AB 互相垂直，1111BC C D C ⋂=,111,BC C D ⊂面11BC D 故1AB ⊥面11BC D ,得11⊥AB BD .即11B D E 为直角三角形，在11ABB A 中，1,D D 为中点，11//A D BD ，所以E 为1AB 的三等分点，设1B E t =，由余弦定理可得：()2222221111111111117322cos 21232t B E AB A B AA t A B A B D AB A B t ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭∠====⋅⨯⨯解之：2t =，所以11π,6A B A ∠=故112D E =11111113//,,.22D E B D A B AB BD EB AB ∴==∴=11C D ⊥平面11ABB A ，111,C D BD ∴⊥在11BD C △中，11tan 3D BC ∠=.1A D 与1BC 所成的角为23arctan .3【小问3详解】过B 作1BP AA ⊥于P ，过P 作1FP CC ⊥于F ，连BFBPF ∴ 为直截面，小球半径为BPF △的内切圆半径因为2,2AB AC BC ===，所以222AC BC AB +=，故AC ⊥BC ，则112CD AB ==设2,BP t =所以2AP t =，由222AB BP AP =+解得63t =，2326,33BP AP ==；由最小角定理112cos cos cos 263A AC A AB BAC ∠=∠∠=⨯1sin 3PF AC A AC =∠=由CD ⊥面11ABB A ,易知1BP CC ⊥，23BF PF BP ∴===内切圆半径为：13r =则12362sin .9h r r r A AB +=++∠=解该角的余弦值，或根据直角三角形锐角三角函数求出该角的正弦，余弦或正切值，得到答案.。
四川省乐山市2024届数学高一下期末综合测试试题含解析
四川省乐山市2024届数学高一下期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知()3,3a =，()1,0b =，则()2a b b -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．32．若[0,]x π∈，则函数()cos 3sin f x x x =-的单调递增区间为（ )A ．5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2π,π3C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若2a =，2b =，且()-⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．一个几何体的三视图分别是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2π B ．23π C ．πD ．2π5．已知()f x 为定义在R 上的函数，其图象关于y 轴对称，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)=+f x x ，若方程()0f x kx -=（0k >）恰有5个不同的实数解，则k 的取值范围是（ ）A ．11[,)74B ．11[,)64C ．11[,)65D ．11[,)756．若{}n a 是等差数列，首项10a >，201620190a a +>，201720180a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n =（ ） A ．2017B ．2018C ．4035D ．40347．把函数sin2)6y x π=+（的图象沿x 轴向右平移4π个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，可得函数()y g x = 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．()sin(4)12g x x π=-B ．()sin(4)6g x x π=-C ．()sin(4)3g x x π=-D ．2()sin(4)3g x x π=- 8．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数的θ的一个值是( )A ．6π B ．3π C ．23π-D ．56π-9．直线()()21210a x ay a R +-+=∈的倾斜角不可能为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．56π 10．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高一下学期期末数学试题一、单选题1．若点(),0a 是函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心，则a 的值可以是（）A ．π3B ．π2C ．π6-D ．π3-【答案】C【分析】根据正弦函数的对称中心可求出结果.【详解】依题意可得ππ6a k +=，Z k ∈，所以ππ6a k =-，Z k ∈，当0k =时，π6a =-.故选：C 2．复数31()1z i i-=+(i 为虚数单位)，则其共轭复数z 的虚部为（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i【答案】A【分析】根据复数的乘法及除法运算求出z ，得到z ，即可求解.【详解】∵()()()2i 11i 2111i i i i i 2---===-++-,()3i iz ∴=-=∴i z =-∴z 的虚部为1-故选：A3．已知,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，则2a b →→-=（）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】先根据(2)a b b →→→-⊥得221a b b →→→⋅==，再根据向量模的公式计算即可得答案.【详解】因为,a b →→为单位向量，且(2)a b b →→→-⊥，所以20a b b →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，所以221a b b →→→⋅==，所以22222443a b a b a a b b →→→→→→→→-=-=-⋅+=.故选：B .【点睛】本题考查向量垂直关系的向量表示，向量的模的计算，考查运算能力，是基础题.4．若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案.【详解】ππ3cos cos 445αα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππ37cos 22cos 12144525αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且ππcos 2cos 2sin 242ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若m n ∥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α∥，n β∥，则αβ∥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥【答案】C【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为m α⊥，n β⊥，若m ，n分别在直线,m n 上为平面α，β的法向量，且m n ⊥ ，故αβ⊥，所以选项A 说法正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而//n β，因此αβ⊥，所以选项B 说法正确；当αβ⋂时，如下图所示：也可以满足m n ⊥，//m α，//n β，所以选项C 说法不正确；因为//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以//αβ，因此选项D 说法正确，故选：C6．记函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若ππ42T <<，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】分析可知函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，可得出()31k k ω=+∈Z ，再利用函数()f x 的最小正周期求出ω的取值范围，即可得出ω的值.【详解】对任意的x ∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值或最小值，故函数()f x 的图象关于直线π3x =对称，故()ππππ362k k ω+=+∈Z ，解得()31k k ω=+∈Z ，又因为0ω>且函数()f x 的最小正周期T 满足ππ42T <<，即π2ππ42ω<<，解得48ω<<，故7ω=.故选：D.7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为（）A ．2530πB ．3016πC ．3824πD ．4350π【答案】A【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和1米，高为30米.则()3314π9486πm 23V =⨯⨯⨯=半球，()239141134m V ππ=⨯⨯=圆柱，()()22319911π30910πm 3V =⨯+⨯+⨯=圆台，所以()3486π1134π910π2530πm V V V V =++=++=半球圆柱圆台.故选:A.8．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．165-C ．245-D ．565-【答案】C【分析】由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设AD 为斜边BC 上的高，则圆A 的半径222445,24255416r AD BC ⨯====+=+，设E 为斜边BC 的中点，,PA AE θ=，则[]0,πθ∈，因为455PA = ，5AE = ，则()()()21625PB PC PA AB PA AC PA PA AB AC PA AE ⋅=+⋅+=+⋅+=+⋅ 16451625cos 8cos 555θθ=+⨯⨯=+，故当πθ=时，PB PC⋅ 的最小值为1624855-=-.故选：C.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则a 与b可以作为平面内所有向量的一组基底B ．已知()()1,3,0,1a b =-=，则a 在b 上的投影向量的坐标是()0,3-C ．若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则a b⊥ D ．平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则ABC 为锐角三角形【答案】AD【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A ：已知()1,3a =- ，()2,6b =- ，则2a b = ，则//a b ，则a 与b不可以作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；选项B ：a 在b 上的投影向量为()()2210310,1031a b b b ⋅⨯-⨯==- ，，故B 正确；选项C ：若两非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则22a b a b+=- 即()()22a ba b +=-，整理得0a b ⋅=，则a b ⊥ ，故C 正确；选项D ：平面直角坐标系中，()1,1A ，()3,2B ，()4,0C ，则(2,1)BA =--，(1,2)BC =- ，则220BA BC ⋅=-+=，则BA BC ⊥ ，则ABC 为直角三角形，故D 错误；故选：AD.10．复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若12z z >，则2212z z >B ．若20z ≠，则1122z z z z =C ．若32i z =-+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则19p q +=D ．若12i 2z ≤-≤，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π【答案】BCD【分析】根据复数的概念、几何意义及其性质，对各个选项进行逐个检验即可得出结论.【详解】对于A ，令122i,1z z ==,满足12z z >,但2212z z <,，故A 错误；对于B,设1i,(,z a b a b =+∈R 且不同时为0)，()2i ,z c d c d =+∈R 12i i z a b z c d +=+()()()()i i i i a b c d c d c d +-=+-()22i ac bd bc ad c d ++-=+22221()()ac bd bc ad c d=++-+()()2222221a bc dc d =+++2222a b c d+=+12z z =，故B 正确；对于C ，32i z =-+，且z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根,32i z ∴=--也是关于x 的方程20x px q ++=的另一个根,()()()32i 32i ,32i 32i p q ⎧-++--=-⎪∴⎨-+--=⎪⎩解得6,13p q ==，故19p q +=,故C 正确,对于D,设i,,z a b a b =+∈R ,则()()222i 2i 2z a b a b -=+-=+-,故221(2)2a b ≤+-≤,圆22(2)2x y +-=的面积为2π,圆22(2)1x y +-=的面积为π,故点Z 的集合所构成的图形的面积为2πππ-=,故D 正确.故选:BCD.11．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且23a =，233AB AC S ⋅= ，下列选项正确的是（）A ．π3A =B ．若ABC 有两解，则b 取值范围是()23,4C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是[]2,4D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为3【答案】ABD【分析】根据向量运算结合面积公式得到π3A =，A 正确；根据sin b A a b <<，代入数据则可判断B 正确；确定ππ62B <<，计算()4sin 2,4b B =∈，C 错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：233AB AC S ⋅= ，故231cos sin 32cb A bc A =⨯，故tan 3A =，()0,πA ∈，所以π3A =，故A 正确；对选项B ：若△ABC 有两解，则sin b A a b <<，即3232b b <<，则()23,4b ∈，故B 正确；对选项C ：ABC 为锐角三角形，则π02B <<，ππ32A B B +=+>，故ππ62B <<，则1sin 12B <<，sin sin b a B A=，故()sin 4sin 2,4sin a B b B A ==∈，故C 错误；对选项D ：若D 为BC 边上的中点，则()12AD AB AC =+ ，故()()()2222221112cos 444AD AB AC c bc A b b c bc =+=++=++ ，又222222cos 12a b c bc A b c bc =+-=+-=，2212b c bc +=+，由基本不等式得22122b c bc bc +=+≥，当且仅当23b c ==时等号成立，故12bc ≤，所以()21112336942AD bc bc bc ⎡⎤=++=+≤+=⎣⎦ ，故3AD ≤ ，正确；故选：ABD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则（）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACD D ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ的最大值为223【答案】ABD【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ，所以()12,2,2A C =- ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =- 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ所以()21,2,22EG λλ=--- ，()22,2,21FG λλ=---1A C ⊥平面EFG 11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⇔⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩解之得14λ=当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG .故B 正确对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =得()11,1,1n =设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩取21x =,得21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭ ,平面1ACD //平面EFG ⇔12//n n设12n kn = ,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤ ，不合题意∴线段1B C 上不存在点G ,使平面EFG //平面1BDC ，故C 错误．对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =则22sin 8129FG n FG n θλλ⋅==-+ 因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥所以22222sin 3981292θλλ=≤=-+所以sin θ的最大值为223．故D 正确．故选：ABD三、填空题13．若角α的终边上有一点()1,4P -，则tan 2α=．【答案】815【分析】先根据定义求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【详解】由题意得4tan 41α-==-，故()()22242tan 88tan 21tan 1161514ααα⨯--====----.故答案为：81514．记ABC 面积为3，60B =︒，223a c ac +=，则b =.【答案】22【分析】由三角形面积公式可得4ac =，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，13sin 324ABC S ac B ac === ，所以224,12ac a c =+=，所以22212cos 122482b ac ac B =+-=-⨯⨯=，解得22b =（负值舍去）.故答案为：22.15．如图，在三棱锥A BCD -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，2AD =，AD ⊥平面ABC ，E 为CD 的中点，则直线BE 与AD 所成角的余弦值为.【答案】23【分析】利用线面垂直的性质定理，给合题设条件推得,,AD AB AC 两两垂直，从而将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，再利用异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理即可求解.【详解】因为AD ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，，AC ⊂平面ABC ，所以AD AB ⊥，AD AC ⊥，又AB AC ⊥，所以,,AD AB AC 两两垂直，将三棱锥A BCD -置于一个长方体中，如图所示，易知//BF AD ，所以直线BE 与AD 所成角即为BF 与BE 所成角为FBE ∠（或其补角），由题意可知，2221321122BF BE FE ⎛⎫===++= ⎪⎝⎭，，在FBE 中，由余弦定理，得222222332222cos 323222BF BE FE FBE BF BE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⋅⨯⨯，所以直线BE 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16．在平面四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AC AB =，1AD CD ==，则BD 的最大值为.【答案】3【分析】设CAD α∠=，利用三角函数函数得2cos AC α=，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.【详解】设CAD α∠=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12cos ACADα=，代入数据得2cos AC α=，3AC AB = ，2cos 23cos 33AB αα∴==，在ABD △中运用余弦定理得222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，即2224cos 2312cos 1sin 33BD ααα=++⨯⨯⨯224cos 2312cos 1sin 33ααα=++⨯⨯⨯41cos 223sin 21323αα+=⨯++223545cos 2sin 2sin 2333363πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ7π2,666α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ262α+=，即π6α=时，2BD 的最大值为3，则BD 的最大值为3.故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设CAD α∠=，再利用三角函数和余弦定理得到222π2cos 2BD AB AD AB AD α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.四、解答题17．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图像向右平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的12倍，得到()g x 的图像，求()g x 在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可；（2）利用函数图像变换求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解.【详解】（1）依题意，由图像得1A =，12πππ2362T =-=，解得πT =，又0ω>，则2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图像上，则πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π6k ϕ=+，Z k ∈，而π2ϕ<，则π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）依题意，()ππππ2sin 22sin 46666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π4666x -≤-≤，而函数sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此有π1sin 4,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．18．已知()1f x m n =⋅- ，其中()3,2cos m x = ，()()sin2,cos R n x x x =∈ .(1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()2f A =，2a bc =，求11tan tan B C+的值.【答案】(1)πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)233【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数的单调性可解；（2）根据已知先求角A ，再将目标式化弦整理，然后利用正弦定理和已知可得.【详解】（1）()1(3,2cos )(sin 2,cos )1f x a b x x x =⋅-=⋅- 2π3sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，得ππππ36k x k -≤≤+，Z k ∈所以()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）∵()π2sin 26f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴ππ62A +=，∴π3A =，∵2a bc =，则由正弦定理得2sin sin sin A B C =⋅．∴11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin B C C B C BB C B C B C ++=+=()2sin sin sin 1123πsin sin sin sin sin sin 3sin 3B C A A B CB C A A +======.19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，2AD =，22DC =，四边形DCFE 为梯形，//DE CF ，CD DE ⊥，3DE =，6CF =，45ADE ︒∠=，平面ADE ⊥平面DCFE.(1)求证：//AE 平面BCF ；(2)求直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面ABCD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)66(3)32【分析】（1）由线面平行的判定定理可得//AD 平面BCF ，//DE 平面BCF ，再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；（2）作AO DE ⊥于O ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ADE ，AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，求出正弦值即可；（3）由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BC ⊂平面BCF ，AD ⊄平面BCF ，所以//AD 平面BCF ，∵//DE CF ，CF ⊂平面BCF ，DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF ，AD DE D ⋂=，,AD DE ⊂平面ADE ，∴平面//BCF 平面ADE ，∵AE ⊂平面BCF ，∴//AE 平面BCF.（2）∵平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，CD DE ⊥ ，CD ⊂平面DCFE ，CD \^平面ADE ，AD ⊂ 平面ADE ，CD AD ∴⊥，()222222223AC AD CD ∴=+=+=，作AO DE ⊥于O ，分别连接,,AC AO CO ，因为平面ADE ⊥平面DCFE ，平面ADE 平面DCFE DE =，AO ⊂平面ADE ，所以AO ⊥平面CDEF ，连结CO ，所以直线AC 与平面CDEF 所成角为ACO ∠，45ADE ∠= ，∴22ADAO ==，所以26sin 623AO ACO AC ∠===．直线AC 与平面CDEF 所成角的正弦值为66；（3）连接DF 由（2）得AO ⊥平面CDEF ，又F ACD A CDF V V --=，所以距离CDF ACDS AOd S ⋅=，又由已知可得116226222CDF S CF CD =⋅=⨯⨯=，1222222ACD S =⨯⨯=，2AO =，所以6223222d ⨯==．20．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（ABC 区域）进行分区改造.BNC 区域为蔬菜种植区，CMA 区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，MNC 区域规划为学生自主栽培区.MNC 的周围将筑起护栏.已知20m AC =，40m AB =，60BAC ∠=︒，30MCN ∠=︒.(1)若10m AM =，求护栏的长度（MNC 的周长）；(2)学生自主栽培区MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由.【答案】(1)()30103m +(2)有，()230023m-【分析】（1）利用余弦定理证得AM CM ⊥，从而判断得ANC 是正三角形，由此得解；（2）在ANC 与ACM △中，利用正弦定理求得CN 与CM 关于θ的表达式，从而利用三角形的面积公式得到CMN S 关于θ的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【详解】（1）依题意，在AMC 中，20m AC =，10m AM =，60BAC ∠=︒，所以2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=，则03m 1CM =，222AC CM AM =+，即AM CM ⊥，所以30ACM ∠=︒，又30MCN ∠=︒，故60ACN ∠=︒，所以ANC 是正三角形，则20m CN AN AC ===，10m MN AN AM =-=，所以护栏的长度（MNC 的周长）为()30103m CM CN MN ++=+.（2）学生自主栽培区MNC 的面积有最小值()230023m -，理由如下：设ACM θ∠=(060θ︒<<︒)，在ANC 中，30MCN ∠=︒，则()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-，由正弦定理得()20sin 60sin 90cos CN AC θθ==︒︒-，得103cos CN θ=，在ACM △中，18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-，由正弦定理得()sin60sin 120CM AC θ=︒︒-，得()103sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 3024sin 120cos CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒=︒- ()23003004sin120cos cos120sin cos 2sin cos 23cos θθθθθθ==︒-︒+()300300sin 23cos 232sin 2603θθθ==+++︒+，所以当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，CMN 的面积取得最小值为()23300020233m =-+﹒21．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线DE 折起到PDE △所处的位置，连接PB ，PC ，如图2.(1)若342PB =，求证：PE BC ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --的正切值为269，求PB 的长.【答案】(1)证明见解析(2)11【分析】（1）利用勾股定理推得BE PE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证得PE ⊥平面BCDE ，由此得证；（2）利用线面与面面垂直的判定定理求得二面角P DE A --与二面角P BC E --的平面角，从而利用勾股定理得到关于CG x =的方程，解之即可得解.【详解】（1）在图1中，90C ∠=︒，4AB =，2BC =，D 是AC 中点，所以30A =︒，23AC =，则3AD =，3322AE AD ==，52BE =，则32PE AE ==，又342PB =，所以222PE BE PB +=，则BE PE ⊥，因为DE AB ⊥，则PE DE ⊥，又,,DE BE E DE BE ⋂=⊂平面BCDE ，所以PE ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PE BC ⊥.（2）由题意知,DE BE DE PE ⊥⊥，,PE EB E PE ⋂=⊂平面,PEB EB ⊂平面PEB ，因而ED ⊥平面PEB ，则PEA ∠为二面角P DE A --的平面角（或补角），即PEA ∠为锐角，又ED ⊂平面BCDE ，因而平面PBE ⊥平面BCDE .作PH BE ⊥所在的直线于点H ，如图，又平面PBE ⋂平面BCDE BE =，PH ⊂平面PBE ，所以PH ⊥平面BCDE ，因为BC ⊂平面BCDE ，所以PH BC ⊥，作HG BC ⊥于点G ，连接PG ，又,,PH HG H PH HG =⊂ 面PHG ，故BC ⊥面PHG ，因为PG ⊂面PHG ，则BC PG ⊥，所以PGH ∠为二面角P BC E --的平面角（或补角），设PGH θ∠=，则26tan 9θ=，在ABC 中，30A =︒，设304CG x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则32,2,422AH x HE x HB x ==-=-，因而22933264,3(2)422PH x x x HG HB x ⎛⎫=--=-==- ⎪⎝⎭，在直角三角形PHG 中，26tan 9PH HG θ==，即2642693(2)x x x -=-，解得12x =或1611x =（舍去），此时2,3PHH B ==，从而2211PBPHH B =+=.22．在ABC 中，a ，b ，c ，分别是角A ，B ，C 的对边，请在①sin sin sin A C b c B a c--=+；②sin sin 2B Cc a C +=两个条件中任选一个，解决以下问题：(1)求角A 的大小；(2)如图，若ABC 为锐角三角形，且其面积为32，且12AM AC = ，2AN NB = ，线段BM 与线段CN相交于点P ，点G 为ABC 重心，求线段GP 的取值范围.【答案】(1)π3A =(2)113,612⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果.（2）用AB、AC 作为平面内的一组基底表示出AG ，再根据平面向量共线定理及推论表示出AP ，即可表示GP，利用面积公式求出2bc =，再由三角形为锐角三角形求出b 的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．【详解】（1）若选①，因为sin sin sin A C b cB a c --=+，由正弦定理可得，a c b c b a c--=+，化简可得222a b c bc =+-，又因为2222cos a b c bc A =+-，则1cos 2A =，()0,πA ∈，故π3A =.若选②，因为sinsin 2B C c a C +=，由正弦定理可得，sin sin sin sin 2A C A C π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，且sin 0C ≠，则cos2sin cos 222A A A =，且cos 02A≠，所以1sin 22A =，其中π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26A =，则π3A =.（2）由题意可得23AN AB = ，12AM AC =，所以()222111333233AG AB BG AB BM AB AM AB AB AC AB AB AC⎛⎫=+=+=+-=+-=+ ⎪⎝⎭ ，因为C 、N 、P 三点共线，故设()()2113AP AN AC AB AC λλλλ=+-=+-，同理M 、B 、P 三点共线，故设()()1112AP AB AM AB AC μμμμ=+-=+- ，则()231112λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3412λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1124A AB A PC =+ ，则()11111112243361212GP AP AG AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=-=-⎪⎝⎭，因为13sin 22ABC S bc A == ，所以2bc =，又因为ABC 为锐角三角形，当C 为锐角，则0AC BC ⋅> ，即()22102A AC AC A C AC AB B b bc -⋅⋅==>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即22b c b>=，所以1b >；当B 为锐角，则0AB CB ⋅> ，即()22102A AB AB A B AC AB C c bc -⋅=⋅=>--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则2c b >，即22b b⋅>，所以02b <<；综上可得12b <<，又因为1212GP AB AC =⋅-，则()222222222216144|2444|4||424GP AB ACAB AB AC AC AB AB AC AC c bc b b b=-=-⋅+=-⋅+=-+=-+ ，因为12b <<，则214b <<，且()164f x x x=-+在(1,4)上单调递减，()()113,44f f ==，所以()()4,13f x ∈，即()22216144||44,13GP b b=-+∈uuu r ，所以113,612GP ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．。
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四川省高一下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2020高一下·湖北期末) 已知，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2019高一下·天长月考) 在△ABC中，内角A,B,C，所对的边分别是a，b，c,若c2=(a-b)2+6,c=
,则△ABC的面积（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 某校为了解学生数学学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为，那么（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高一下·深圳月考) 关于某设备的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计数据表：
使用年限x23456
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0
根据上表可得回归直线方程，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是（）
A . 12.08万元
B . 12.28万元
C . 12.38万元
D . 12.58万元
5. （2分） (2016高一下·宜春期中) 一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列
，若且前4项和，则此样本的平均数和中位数分别是（）
A . 22,23
B . 23,22
C . 23,23
D . 23,24
6. （2分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
7. （2分）(2018·黑龙江模拟) 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，
三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）
A . 13
B . 11
C . 15
D . 8
8. （2分） (2016高二上·孝感期中) 从1003名学生中选出50个代表，先用简单随机抽样剔除3人，再将剩下的1000人均分成20组，采用系统抽样方法选出50人，则每个人被选中的概率均为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2018高一下·深圳期中) 在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2018·内江模拟) 已知是锐角，若，则（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，把f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为（）
A . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
B . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
C . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
D . [﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
12. （2分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知向量若，则m=________．
14. （1分）用秦九韶算法计算函数f（x）=2x4+3x3+5x﹣4当x=2时的函数值，其中v2=________ ．
15. （1分）(2017·湖南模拟) 若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R的概率为________．
16. （1分）若sinθcosθ＞0，则θ在第1 象限．
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （10分）(2019·黄冈模拟) 已知函数
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．
（2）先将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称中心．
18. （10分）(2019·武汉模拟) 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。
经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。
为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入 , 近似为样本方差，经计算得 .利用该正态分布，求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。
若每个农民
的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式，若～，则① ；②
；③ .
19. （10分） (2017高一上·洛阳期末) 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点分别为A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1）．
（1）求BC边上的高所在的直线方程；
（2）设AC中点为D，求△DBC的面积．
20. （15分）(2020·新课标Ⅲ·理) 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
[0，200](200，400](400，600]
空气质量等级
1（优）21625
2（良）51012
3（轻度污染）678
4（中度污染）720
附：，
P(K2≥k)0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.63510.828
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400人次>400
空气质量好
空气质量不好
21. （10分） (2019高一下·成都月考) 已知向量，向量，函数
．
（1）当时，求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在区间的最大值为6，求函数在的最小值．
22. （10分） (2019高一上·北碚月考) 已知向量，向量
，设函数的图象关于直线对称，其中常数 .
（1）若，求的值域；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，用五点法作出函数在区间上的图象．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
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答案：3-1、
考点：
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答案：4-1、考点：
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答案：5-1、考点：
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答案：6-1、考点：
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答案：7-1、考点：
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答案：8-1、考点：
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答案：9-1、考点：
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答案：10-1、考点：
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答案：11-1、考点：
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答案：12-1、
考点：
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二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
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答案：14-1、考点：
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答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共65分)
答案：17-1、答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
考点：解析：。