2020-2021学年上海市黄浦区下学期数学二模试卷
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黄浦区2021年九年级学业考试模拟考数学试卷〔总分值150分，考试时间100分钟〕2021年4月一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．单项式 4xy 2z 3的次数是〔〕〔A 〕3；〔B 〕4；〔C 〕5；〔D 〕6．2．以下方程中无实数解的是〔〕〔A 〕2x0；〔B 〕2x0；〔C 〕2x0；〔D 〕20．x3．以下各组数据中，平均数和中位数相等的是〔〕〔A 〕1,2,3,4,5；〔B 〕1,3,4,5,6；〔C 〕1,2,4,5,6；〔D 〕1,2,3,5,6．4．二次函数yx 223图像的顶点坐标是〔〕〔A 〕〔2,3〕；〔B 〕〔2,﹣3〕；〔C 〕〔﹣2,3〕；〔D 〕〔﹣2,﹣3〕． 5．以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为〔〕〔A 〕4；〔B 〕2；〔C 〕1；〔D 〕1．426．点A 〔4,0〕，B 〔0,3〕，如果⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为 6，那么⊙A 与⊙B 的位置关系是〔〕〔A 〕内切；〔B 〕相交；〔C 〕外切； 〔D 〕外离．二、填空题：〔本大题共 12题，每题4分，总分值48分〕7．计算：x 2 3．8．因式分解：x 24y 2．9．不等式组x 2 0的解集是．2x 1 010．方程x 22 2的解是．11．假设关于x 的方程2x 23xk 0有两个相等的实数根，那么k 的值为．12．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工 x 个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是 小时．13．二次函数的图像经过点〔1,3〕和〔3,3〕，那么此函数图像的对称轴与x 轴的交点坐标是．14．从1到10 这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是 3的倍数的概率是．15．正八边形的每个内角的度数是．16．在平面直角坐标系中，点A〔2，0〕，B〔0，-3〕，假设OAOB OC，那么点C的坐标为．117．如图，梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，那么AB ∶BC=．EBCBCNMFAADD18．如图，矩形ABCD ，将它分别沿 AE 和AF 折叠，恰好使点 B 、D 落到对角线AC 上点M 、N 处，MN=2，NC=1，那么矩形ABCD 的面积是 ．三、解答题：〔本大题共 7题，总分值 78分〕19．〔此题总分值10分〕202111计算：22 212sin30.20．〔此题总分值10分〕解方程：x2 164 1 . x2 x 2 x 2（ （ （ （ （ （ （ （ （21．〔此题总分值 10分〕 （ 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，D （ 1〕求∠CDE 的度数； （ 2〕求CE ∶EA.是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. BDCEA222．〔此题总分值10分〕小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地时机自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度〔以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完〕，以下列图是“设定扫地时间〞与“扫地速度〞之间的函数图像〔线段yAB〕，其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟.A 500〔1〕求y关于x的函数解析式；〔2〕现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？100BO20100x 23．〔此题总分值12分〕如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边B C、DC、AB、AD于点E、F、G、H.〔1〕求证：CE=CF；3CEF B DG HA〔2〕当E为弧中点时，求证：BE2=CE?CB.24．〔此题总分值12分〕如图，点A在函数y 41图x0图像上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数yx x像于点B、C，直线BC与坐标轴的交点为D、E.〔1〕当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；〔2〕试问：当点A在函数y4x0图像上运动时，△ABC的面积是否发生变化？假设不x变，请求出△ABC的面积；假设变化，请说明理由；〔3〕试说明：当点A在函数y4x0图像上运动时，线段BD与CE的长始终相等.xyDB AC4O E x25．〔此题总分值14分〕：Rt△ABC斜边AB上点D、E，满足∠DCE=45°.〔1〕如图1，当AC=1，BC=3，且点D与A重合时，求线段BE的长；〔2〕如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；3〕如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.CCB E A〔D〕〔图1〕B〔图2〕AE DC5〔图3〕6黄浦区2021年九年级学业考试模拟考评分标准参考一、选择题〔本大题6 小题，每题 4分，总分值24分〕；2.D ；； ；5.C ；6.A.二、填空题：〔本大题共12题，每题 4分，总分值 48分〕7．x 6；8．x2yx2y ；9．1 x2；10．6；211 ．9；12．3000； 13．〔2,0〕；14．3；8x1015 ．135；16．〔2，﹣3〕； 17． 3∶1；18．946．三、解答题：〔本大题共 7题，总分值 78分〕19.解：原式=1 2 2 2 1 1—————————————————〔8分〕=3—————————————————————————————〔2分〕 20．解：x2216x2———————————————————————〔3分〕 x 2 3x 10 0————————————————————————〔 2分〕 x 12，x 2 5————————————————————————〔2分〕经检验，x 12是增根，——————————————————————〔1分〕所以，原方程的根为x 5.———————————————————〔 2分〕 解：〔1〕在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，∴DC=DA ，———————————————————————————〔 2分〕∴∠DCA=∠DAC=15°，—————————————————————〔1分〕 ∴∠BDC=30°.————————————————————————〔 1分〕又DE ⊥AB ，即∠BDE=90°.∴∠CDE=60°. ————————————————————————〔 1分〕〔2〕过点C 作DE 的垂线，垂足为F 〔如图〕.———————————〔1分〕 设AD=2a ，那么CD=AD=2a ，—————————————————————〔 1分〕在△CDF 中，∠CFD=90°，∠CDF=60°.∴CF=3a .———————————————————————————〔 1分〕又DE ⊥AB ，∴CF ∥AB ，———————————————————————————〔 1分〕∴CE ∶EA=CF ∶AD=3∶2.———————————————————〔1分〕BDC EA22.解：〔1〕设ykxb ————————————————————————F〔1分〕由题意得：500 20k b 2分〕100 100k，———————————————————〔bk 5 1分〕解得：，————————————————————————〔b6007所以，解析式为y 5x 600.〔20x100〕——————————〔1分〕 〔2〕设设定扫地时间为 x 分钟. ———————————————————〔 1分〕 180平方米=18000平方分米.————————————————————〔1分〕 由题意得：x5x600 18000，————————————————〔1分〕 解得：x 1,260，符合题意.———————————————————〔1分〕 答：设定扫地时间为60分钟. —————————————————————〔1分〕 23.证：〔1〕联结AE 、AF.————————————————————————〔1分〕 由菱形ABCD ，得∠ACE=∠ACF.——————————————————〔 1分〕又∵点E 、C 、F 均在圆A 上，∴AE=AC=AF ，——————————————————————————〔 1分〕 ∴∠AFC=∠ACF=∠ACE=∠AEC.—————————————————〔 1分〕 ∴△ACE ≌△ACF ，————————————————————————〔 1分〕 ∴CE=CF.———————————————————————————〔 1分〕〔2〕∵E 是弧CG 中点，∴∠CAE=∠GAE ，令∠CAE= .——————————————————〔1分〕又菱形ABCD ，得BA=BC ，所以∠BCA=∠BAC=2 ，—————————————————————〔1分〕那么∠AEC=2=∠BAE+∠B.∴∠B=∠BAE ，——————————————————————————〔 1分〕所以BE=AE=AC.在△CAB 与△CEA 中，∠AEC=∠BCA=∠CAB ，∴△CAB ∽△CEA ，————————————————————————〔 1分〕 ∴CECA CA 2CE?CB ，—————————————————〔1分〕CACB即BE 2CE?CB .———————————————————————〔1分〕解：〔1〕由点C 的横坐标为1，且AC 平行于y 轴，所以点A 的横坐标也为 1，且位于函数y4.—————〔2分〕图像上，那么A1,4x又AB 平行于x 轴，所以点B 的纵坐标为 4，且位于函数y1 图像上，那么B 1,4.————〔2分〕x4〔2〕令Aa,4，由题意可得：B1a,4 ，Ca,1.———————〔1分〕a4aa于是△ABC 的面积为： 1a1a 4 1 1 3a 3 9 ，————〔2分〕24aa 2 4a 88所以△ABC 的面积不变，为9.———————————————————〔1分〕8〔3〕分别延长AB 、AC 交坐标轴于点 F 、G.—————————————〔1分〕那么F0,4，Ga,0.a∵DF ∥AC ，——————————————————————————〔 1分〕∴DBFB 1a 1，即DB1BC .———————————〔4 1分〕BCBA1 a 33a4同理CE1CB ，3所以BD=CE.——————————————————————————〔1分〕 25.解：〔1〕过点E 作EH ⊥BC 于H.———————————————————〔 1分〕∵∠ACB=90°，∠ACE=45°， ∴∠BCE=45°.又AC=1，BC=3，∴tanB31分〕.—————————————————————————〔3在△CEH 中，∠CHE=90°，∠HCE=45°，令CH=EH=x ，那么在△BEH 中，BH=EH 3 x ，BE=2x.tanB于是3x3xx33 1分〕2 ，—————————————————〔∴BE=3 3.—————————————————————————〔1分〕〔2〕∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴CA=CB.将△BCE 绕点C 旋转90°到△ACF 处，联结DF.〔如图〕——————〔1分〕那么∠DCF=∠DCA+∠ACF=∠DCA+∠BCE=90°-45°=45°=∠DCE. ——〔1分〕 又CE=CF ，CD=CD.∴△DCE ≌△CDF ，———————————————————————〔 1分〕∴DE=DF.于是在△ADF 中，∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°+45°=90°.————————————〔 1分〕∴DF 2DA 2 AF 2，即DE 2DA 2BE 2 .—————————————————————〔1分〕CF9BEDA()黄浦区中考数学二模试卷(含答案),文档11 / 1111〔3〕将△ACD 绕点C 旋转90°到△QCP 处，点Q 恰好在边BC 上，联结 PE ，并延长PQ 交边AB 于点T.〔如图〕同〔2〕，易证△ECD ≌△ECP ，得DE=EP. 又∠B+∠BQT=∠B+∠PQC=∠B+∠A=90°，∴∠BTQ=90°.又BQ=BC-CQ=BC-AC=1.————————————————————〔 1分〕在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，那么AB=5，sinB3 4，cosB.3 455于是在△BTQ 中，得TQ1分〕，TB.——————————————〔553所以在△PET 中，∠PTE=90°，PE=DE=5x y ，TE=y4，PT=x，553 24 2有PE 2PT 2TE 2，即 5xy 2xy，————〔 1分〕5528x 60 15解得：y210x 5x7———————————————〔 2分〕PQBT ECDA10。
2022年上海市黄浦区中考数学二模试卷及答案解析
2022年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. √8B. √12C. √6D. √0.22. 将抛物线y =(x −2)2+1向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是( ) A. (2,−2)B. (2,4)C. (5,1)D. (−1,1)3. 关于x 的一元二次方程kx 2−4x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >4B. k <4C. k <4且k ≠0D. k ≤4且k ≠04. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( ) A. 方差B. 众数C. 平均数D. 频数5. 已知三角形两边的长分别是4和9，则此三角形第三边的长可以是( ) A. 4B. 5C. 10D. 156. 已知⊙O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且OB =2，如果⊙B 与⊙O 有公共点，那么⊙B 的半径r 的取值范围是( )A. r ≥1B. r ≤5C. 1<r <5D. 1≤r ≤5二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a(a +1)=______．8. 函数：y =√x −2的自变量的取值范围是______． 9. 方程组{x +2y =3x 2−y 2=0的解是______ ．10. 一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为______．11. 如果抛物线y =(m +1)x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是______ ． 12. 观察反比例函数y =2x 的图象，当0<x <1时，y 的取值范围是______ ． 13. 从29,√2，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为______ ． 14. 某传送带与地面所成斜坡的坡度i =1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．15. 如图，点G 是△ABC 的重心，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______ ．16. 如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB=CD=2√3，∠AMC= 120°，那么OM的长为______ ．17. 在△ABC中，∠C=90°，AC=3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为______ ．18. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC=60°，BC=3AD.将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么CEBE的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“函数存在反函数”是“函数在R上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设，是复数，则下列命题中的假命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量夹角的正切值，则数列是A. 单调递增数列且B. 单调递减数列且C. 单调递增数列且D. 单调递减数列且4.如图，直线平面，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为2，A，D分别是直线l和平面上的动点，且，则下列判断：点O到棱BC中点E的距离的最大值为；正四面体ABCD在平面上的射影面积的最大值为．其中正确的说法是A. 都正确B. 都错误C. 正确，错误D. 错误，正确二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若集合2，3，4，，，则______．6.函数的最小正周期为______．7.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选______户．8.若直线：与：互相垂直，则实数a的值为______．9.如果，为第三象限角，则______．10.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为______．11.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，该双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程______．12.已知函数的定义域和值域都是，则______．13.当x，y满足时，恒成立，则实数a的取值范围是______．14.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为______．15.已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则a的取值范围是______．16.点A是曲线上的任意一点，，，射线QA交曲线于B点，BC垂直于直线，垂足为点C，则下列结论：为定值；为定值5；为定值．其中正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在三棱椎中，平面ABC，，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，，．求异面直线PB与DF所成的角；求点P到平面DEF的距离．18.设是函数，的图象上任意两点，点满足若，求证：为定值；若，且，求的取值范围，并比较与的大小．19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图所示，矩形ABCD的AB边与BC边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O为AB中点，扇形的圆弧端点E，F分别在AD与BC上，圆弧的中点G在CD上．求扇形花园的面积精确到1平方米；若在扇形花园内开辟出一个矩形区域为花卉展览区，如图所示，矩形的四条边与矩形ABCD的对应边平行，点，分别在OE，OF上，点，在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形面积最大时，两矩形与ABCD的形状恰好相同即长与宽之比相同，试求花卉展区面积的最大值，并判断上述猜想是否正确请说明理由20.已知点A，B分别是椭圆C：的右顶点与上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为，且点A是圆r：的圆心，动直线l：与椭圆交于两点．求椭圆C的方程；若点S在线段AB上，且当取最小值时直线l与圆相切，求r的值；若直线l与圆分别交于G，H两点，点G在线段PQ上，且，求r的取值范围．21.若数列与函数满足：的任意两项均不相等，且的定义域为R；数列的前n项的和，对任意的都成立，则称与具有“共生关系”．若试写出一个与数列具有“共生关系”的函数的解析式；若与数列具有“共生关系”，求实数对所构成的集合，并写出关于a，b，n的表达式：若，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：“函数在R上为增函数”“函数存在反函数”；反之取，则函数存在反函数，但是在R上为减函数．故选B函数存在反函数，至少还有可能函数在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．2.答案：D解析：解：对，若，则，，所以为真；对若，则和互为共轭复数，所以为真；对设，，若，则，，所以为真；对若，，则为真，而，所以为假．故选：D．题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．3.答案：D解析：解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，，，，，，，，，为向量夹角，，，为减函数，随着n的增大而减小．．故选：D．分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则，，设，进而可求出，结合函数的单调性即可判断．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.答案：C解析：解：由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离即BC与AD的公垂线半径，如图：，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：；所以正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以不正确；故选：C．直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断即可．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．5.答案：解析：解：由题知集合，再由交集定义可得，故答案为：．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．6.答案：解析：解：由已知得，所以．故答案为：．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．7.答案：56解析：解：由题知共有户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知，解得故答案为：56由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．8.答案：解析：解：直线：与：互相垂直，，解得．故答案为：．由直线互相垂直，可得，解得a．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：解析：解：，为第三象限角，，则．故答案为：．由的值及为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，原式利用诱导公式化简，将的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．10.答案：解析：解：一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于6，如图：圆锥的高，底面半径，因此，该圆锥的体积故答案为：．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题．11.答案：解析：解：由题意得，，解得，，双曲线的方程是，故答案为：．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出、，代入双曲线的方程即可．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．12.答案：解析：解：当时，由题得，解得，，则；当时，由题意得，无解；故答案为：由题分别讨论，两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a，再代入即可．本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．13.答案：解析：解：x，y满足的可行域如图：由解得，，经过可行域的A时，取得最大值，最大值为：4，此时取得最大值，所以，恒成立，则实数a的取值范围是．故答案为：．画出约束条件的可行域，求解的最大值，即可得到a的范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.答案：解析：解：某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．故答案为：．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．15.答案：解析：解：当时，令，解得；所以只需方程在上有两个不等根即可，整理得，有两个根．只需与在上有两个不同交点即可．令，，，当时，，递增；时，，递减；所以，且，或时，都有．所以，要使时，结论成立，只需即可．故答案为：．令，解得，所以问题转化为在上有两个不等根即可，分离参数得在上有两个不等实根，只需研究在上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．16.答案：，解析：解：由题意知：曲线表示双曲线的上半支，；并且是双曲线的下焦点，为上焦点；曲线表示的是抛物线，其焦点为，准线为．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．因为A在双曲线的上支上，所以，为定值，故正确；因为B在抛物线上，设直线于H，，，定值，故正确；因为，，故错误．故正确的序号为：．故答案为：，．曲线表示双曲线的上支，曲线表示的是抛物线，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第问中，要注意将转化为后，再进一步分析．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．17.答案：解：如图，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则0，，0，，1，，0，，0，，．故，．．可得．故异面直线PB与DF所成的角为；，．设是平面DEF的一个法向量，则，取，得．又．点P到平面DEF的距离．解析：分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出与所成角的余弦值，可得异面直线PB与DF所成的角的大小；求出平面DEF的一个法向量，再求出的坐标，由点到平面的距离公式可得点P到平面DEF 的距离．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题．18.答案：解：证明：由可知，，即，，故为定值，即得证；由，，可得，则，即，解得，此时由，可得，故，即．解析：依题意，，即，再利用中点坐标公式可求得，即得证；根据题意，可得，再由对数函数的性质可得，由此求得的取值范围，利用作差法可知，进而得出与的大小关系．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：设，则，在中，，，，；可得扇形的面积为平方米，即扇形花园的面积约为1030平方米；在图中，连接，设，，则在中，由，可得；又，，，所以矩形的面积为，当且仅当，即时，取得最大值，所以的最大值为；所以花卉展览区面积的最大值为平方米．当矩形的面积最大时，，此时，，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．解析：设，利用直角三角形的边角关系求出BO、OF，再计算扇形的面积即可；在图中连接，设，，利用正弦定理求出，计算矩形的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题．20.答案：解：由题意可知，，，，所以直线AB的方程为：，所以原点到直线的距离，所以可得，所以椭圆的方程为：；由设，由题意可得，将S坐标代入直线AB的方程中，可得，所以，所以当时取最小值，所以，且直线l的方程为，所以；由，可得，将代入椭圆C的方程可得：，即，故，又A到直线l的距离，故，所以，可得，令，则，所以r的取值范围为解析：由椭圆的方程可得A，B的坐标及直线AB的方程，由题意可得a的值，及O到直线的距离距离，可得，a，b的值，进而求出椭圆的方程；设P的坐标，由向量的关系求出S的坐标，将S的坐标代入直线AB的方程可得的表达式，由三角函数的取值范围求出最小时r的值；设直线GH的方程与圆联立，求出P，Q的坐标，求出弦长GH，求出A到直线的距离，及弦长GH与A到直线GH的距离和半径之间的关系，求出弦长GH，两式联立求出r的表达式，换元可得可得r的范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21.答案：解：解：由，可知，与数列具有“共生关系”函数的解析式可以是．解：由题意得，令，得，即，若，，此式不成立，不合题意，若，，由，得，又，可得，与任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．若，则，若，则由与，可得，不合题意，若，，1，则，由，，可得，即，此时，数列是首项为，公比为的等比数列，又的任意两项均不相等，故，可知，实数对所构成的集合为，1，，且，其中a，，其中a，，且．证明：必要性若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，可知，恒成立，，可得，且有实根，即，可知，点在射线上．充分性若点在射线上，则，，又方程等价于，，且，取，它是正数，满足，令，则，当时，，这里的无穷数列是首项为，公差为的无穷数列，其每一项都是正数，存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有“共生关系”．故“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．解析：由，可知，由此能求出与数列具有“共生关系”函数的解析式．由题意得，令，得，推导出，数列是首项为，公比为的等比数列，由此能求出结果．先证明必要性：若是等差数列，且它与具有“共生关系”，设，，则由，知恒成立，由此推导出点在射线上；再证明充分性：若点在射线上，则，，方程等价于，，且，它是正数，满足，令，则，当时，，由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列，使得与具有共生关系”的充要条件是“点在射线上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。
2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年中考数学二模试卷一、选择题（本题共6题）1．下列正整数中，属于素数的是（）A．2B．4C．6D．82．下列方程没有实数根的是（）A．x2＝0B．x2+x＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0 3．一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a 千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断5．已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：6a4÷2a2＝．8．分解因式：4x2﹣1＝．9．不等式组的整数解是．10．已知函数f（x）＝，那么f（﹣）＝．11．某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是．12．木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是．13．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是厘米．14．正五边形的一个内角的度数是．15．如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是．16．如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为．17．已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是18．已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：+|﹣|﹣﹣3．20．解方程组：．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．22．如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，＝1.73）23．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．25．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD 上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列正整数中，属于素数的是（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．2．下列方程没有实数根的是（）A．x2＝0B．x2+x＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．解：A．此方程判别式△＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式△＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式△＝02﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．3．一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a 千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．5．已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案．解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，圆心距d＝2，∴d＝r2﹣r1，∴两圆相内切，故选：B．6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：6a4÷2a2＝3a2．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．解：6a4÷2a2＝3a2．故答案为：3a2．8．分解因式：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．9．不等式组的整数解是x＝1．【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．解：，解①得x＞，解②得x＜2．综上可得＜x＜2，∵x为整数，∴x＝1．故答案为：x＝1．10．已知函数f（x）＝，那么f（﹣）＝．【分析】把x＝3代入函数关系式，计算求值即可．解：当x＝﹣时，f（﹣）＝＝＝＝．故答案为：．11．某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是25人．【分析】先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1﹣（25%+70%）＝5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%＝25（人），故答案为：25人．12．木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是．【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为，故答案为：．13．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是4厘米．【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案为：4．14．正五边形的一个内角的度数是108°．【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．解：∵正多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，则每个内角是：540÷5＝108°．15．如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是5：7．【分析】设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝＝a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝＝，故答案为：5：7．16．如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为﹣+．【分析】利用三角形法则可知：＝+，只要求出即可解决问题．解：∵M是AB的中点，∴AM＝AB，∴＝＝，∵＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+，17．已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积健康得到结论．解：如图，∵点G是等边△ABC的重心，∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，∴AG＝2GN，设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，∴△AQH是等边三角形，∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a，∴AP＝a，∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，∴S1＝6×a2，S2＝×（3a）2，∴＝＝，故答案为：．18．已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是或1．【分析】分⊙D与⊙C在直径AB的同侧、⊙D与⊙C在直径AB的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．解：当⊙D与⊙C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，连接OD并延长交⊙O于G，设⊙D的半径为r，则OD＝2﹣r，CD＝1+r，∵⊙O的直径AB＝4，⊙C的半径为1，⊙C与⊙O内切，∴⊙C与⊙O内切于点O，∴CO⊥AB，∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，∴四边形HOND为矩形，∴OH＝DN＝r，DH＝ON＝，∴CH＝1﹣r，在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，即（1﹣r）2+（2﹣r）2﹣r2＝（1+r）2，解得，r＝，当⊙D与⊙C在直径AB的两侧时，⊙C与⊙D的半径相等，都是1，故答案为：或1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：+|﹣|﹣﹣3．【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝2+﹣﹣（+1）﹣＝2+﹣﹣﹣1﹣＝﹣1．20．解方程组：．【分析】由①得：y＝3﹣x，代入②并整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．解：由①得：y＝3﹣x…③，把③代入②得：x2+3x（3﹣x）+（3﹣x）2＝5，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个方程得，x1＝4，x2＝﹣1，把x的值分别代入③，得y1＝﹣1，y2＝4．∴原方程组的解为，．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．解：∵点A坐标（2，3），∴AH＝3，∵＝2，∴BH＝1，AB＝2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．22．如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，＝1.73）【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计算即可．解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度＝＝15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50×＝25，∴HM＝60﹣25≈25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE＝85﹣60＝25，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝60°，∴∠COD＝120°，∴距离地面不低于85米的时间为：＝8（分）．23．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB ≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝AB×AD，即可求解；（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝＝或3，即可求解．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x；（2）对于y＝x2+2x，顶点D（﹣2，﹣2），则AD＝＝2，同理AB＝6，BD＝4，故BD2＝AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AB×AD＝6×2＝12；（3）在△ABD中，tan∠ABD＝＝，∵△OCH与△ABD相似，∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝或3，设点C（m，m2+2m），则tan∠COH＝＝＝或3，解得：m＝﹣10或﹣（不合题意的值已舍去），故点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣，）．25．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD 上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．【分析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF ＝EH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF＝∠DEH，及∠B＝∠D，从而判定△BGF∽△DEH，结合＝及菱形的性质可得答案；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D＝及菱形的边长可求得BM＝AN＝，MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．解：（1）连接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，∴AF＝AE＝AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF＝HE＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE＝∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE＝∠HEG，∴∠BGF＝∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B＝∠D，∴△BGF∽△DEH，∴＝∵＝，∴BG＝BC，DE＝AD＝BC，∴＝＝；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，∵四边形EFGH是矩形，∴GF＝EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此时△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD边长为2，∴BG＝DE＝1，∴BG＝CG＝1，∴cos∠B＝cos∠EAN＝cos∠D＝，∴BM＝AN＝，∴MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝2﹣﹣x＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，则＝，∴＝，解得x1＝，x2＝1（点F不与AB中点重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，则＝，∴＝1，解得x＝．综上，AF的长为或．。
2020-2021年上海市黄浦区高三数学二模试卷含答案
1D 1CABCD 1A1B第6题图黄浦区2021年高考模拟考数学试卷(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2021.4考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．已知集合{}2|230A x x x =+->，{}||1|1B x x =-<，则A B = ．2．方程42log 13x +=的解x = ．3．已知某球体的表面积为36π，则该球体的体积是 ．4．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2xg x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -= ．5.已知复数z 的共轭复数为z ，若i 34i z ⋅=-(其中i 为虚数单位)，则||z = .6．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱13,4AB BC CC ===，则异面直线1AB 与1CD 所成角的大小是 .（结果用反三角函数值表示）7．已知随机事件A 和B 相互独立，若()0.36P AB =，()0.6P A =(A 表示事件A 的对立事件) ，则()P B = .8.无穷等比数列{}*(N ,R)n n a n a ∈∈的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是 .9．已知(12)nx +的二项展开式中第三项的系数是112，则行列式21331121n-中元素1-的代数余子式的值是 .10．已知实数x y 、满足线性约束条件0,0,220,2360.x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最大值是 .11．某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用01239、、、、、这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)12．已知R a ∈，函数2|||2| , 0,()11, 02x a x x f x x ax a x ++-≥⎧⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知空间直线l 和平面α，则“直线l 在平面α外”是“直线l ∥平面α”的 ( ). (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )非充分非必要条件14．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30； 乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是 ( ). (A )甲队员每场比赛得分的平均值大 (B )乙队员每场比赛得分的平均值大 (C )甲队员比赛成绩比较稳定 (D )乙队员比赛成绩比较稳定 15．已知点(4,)P m 是直线13,:(R )5x t l t t y t=+⎧∈⎨=-+⎩，是参数和圆15cos ,:(R,)5sin x C y θθθθ=+⎧∈⎨=⎩是参数的公共点，过点P 作圆C 的切线1l ，则切线1l 的方程是( ).(A )34280x y --= (B )34280x y +-= (C )3130x y --= (D )3160x y --=16．已知x y 、是正实数，ABC ∆的三边长为3,4,5CA CB AB ===，点P 是边AB (P 与点A B 、不重合)上任一点，且||||CA CBCP x y CA CB =⋅+⋅. 若不等式23x y m x y +≥⋅⋅恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.(A)32m ≤(B) m ≤ (C)m ≤ (D)3m ≤ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．1D 1CABCD 1A1B17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱2AB BC ==，13AA =，点E 是棱AD 的中点.(1)联结CE ，求三棱锥1D EBC -的体积V ； (2)求直线1CD 和平面1D EB 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，且1b =，sin 3sin a A B =．(1)求正实数a 的值；(2)若函数()sin 2cos2f x a x x =+(R x ∈)，求函数()f x 的最小正周期、单调递增区间．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随经济收益x （单位：万元）的增加而增加，且0y >，奖金金额不超过20万元. （1）请你为该企业构建一个y 关于x 的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)（2）若该企业采用函数11, 50500,50119, 5001500 x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩作为奖励函数模型，试确定实数a 的取值范围.E20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为(,0)A a ，焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别为12F F 、，00(,)P x y 为椭圆C 上的任一点.(1)试写出向量12PF PF 、的坐标(用含00x y c 、、的字母表示)； (2)若12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，求实数ab 、的值； (3)在满足(2)的条件下，若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M N 、两点(M N 、与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 必经过定点，并求出定点的坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．定义：符号{}123max ,,x x x 表示实数123x x x 、、中最大的一个数；{}123min ,,x x x 表示123x x x 、、中最小的一个数. 如，{}max 2,2,1.22-=，{}min 2,22-=-. 设K 是一个给定的正整数(3K ≥)，数列{}n a 共有K 项，记{}121min ,,,,i i i A a a a a -=，{}121max ,,,,i i i K K B a a a a ++-=，i i i d A B =- (1,2,3,4,,1i K =-).由i d 的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若20d >，则23a a >.理由：20d >，则22A B >.又2223,a A B a ≥≥，于是，有23a a >.试解答下列问题：(1)若数列{}n a 的通项公式为1()(1,2,3,,)2n n a n K ==，求数列{}(1,2,3,,1)i d i K =-的通项公式；(2)若数列{}n a (1,2,,)n K =满足13,1i a d ==(1,2,,1)i K =-，求通项公式n a ；(3)试构造项数为K 的数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是等比数列，{}n c 是公差不为零的等差数列，且数列{}(1,2,,1)i d i K =-是单调递减数列，并说明理由.(答案不唯一)黄浦区2021年高考模拟考数学试卷参考答案2021.4说明：1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、填空题.1．(1,2) 2．4x = 3．36π 4．32- 5．5 6．7arccos 25 7．0.98．(0,2)(2,4) 9．5 10．62711．127 12．{3-．二、选择题．13．()B 14．()C 15．()A 16．()A 三、解答题． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解(1)1111ABCD A B C D -是长方体,棱2AB BC ==，13AA =， ∴1AA ⊥平面ABCD ，即三棱锥1D EBC -的高等于1AA . ∴122EBC S BC AB ∆=⨯⨯=. ∴11123D EBC EBC V S AA -∆=⋅⋅=. (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得()1,0,0E ，()0,2,0C ,()2,2,0B ，()10,0,3D .()1,2,0EB = ，()11,0,3ED =-，()10,2,3D C =- 设平面1EBD 的法向量(),,n x y z = ， 则10,0.n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,30.x y x z +=⎧⎨-+=⎩取6x =，得3,2.y z =-⎧⎨=⎩故平面1EBD 的一个法向量为()6,3,2n =-.设直线1CD 和平面1EBD 所成的角为θ ，则11sin 9113D C n D C nθ⋅===⋅.所以直线1CD 和平面1EBD 所成角的大小为arcsin91． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1)在ABC ∆中，1b =，sin 3sin a A B =， 根据正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 得 2223, 322a b a R R==．(0a > )∴ a =(2) 由(1)知，a =∴ ()sin2cos2f x a x x =+2cos 2 2sin 2(R).6x xx x π+⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ ∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由222262k x k πππππ-≤+≤+(k Z ∈)，得(Z)36k x k k ππππ-≤≤+∈.∴函数()f x 的递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.19． （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数；说明是单调增函数； 函数的取值满足要求.如，11,[50,1500]100y x x =+∈，就是符合企业奖励的一个函数模型. 理由：根据一次函数的性质，易知，y 随x 增大而增大，即为增函数； 当50x =时，1350101002y =⨯+=>， 当1500x =时，1150011620100y =⨯+=<，即奖金金额0y >且不超过20万元. 故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2) 当50500x ≤≤时，易知1150y x =+是增函数，且当50x =时，15012050y =⨯+=>，当500x =时，15001112050y =⨯+=<，即满足奖金0y >且不超过20万的要求； 故当50500x ≤≤时，1150y x =+符合企业奖励要求. 当5001500x <≤时，函数1()19af x x-=+是增函数，即对任意12(500,1500]x x ∈、，且12x x <时，211212()()(1)0x x f x f x a x x --=-<成立.故当且仅当10a -<，即1a >时，此时函数在(500,1500]上是增函数.由1190500a-+≥，得9501a ≤；进一步可知，10a x -<，故1191920a y x-=+<<成立，即当19501a <≤时，函数符合奖金0y >且金额不超过20万的要求.依据函数模型11, 50500,50119, 5001500 x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有1150011950500a-⨯+≤+，解得4001a ≤.综上，所求实数a 的取值范围是14001a <≤. 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解 (1)根据题意,可知12(,0)(,0)F c F c -、. 于是，100200(,) (,)PF c x y PF c x y =---=--、. (2) 由(1)可知，2221200PF PF x c y ⋅=-+.00(,)P x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，2200221x y a b ∴+=，则2222002b y b x a=-.22221202(1)b PF PF x b c a∴⋅=-+-.依据椭圆的性质，可知0a x a -≤≤. ∴当且仅当0x a =±时，22222212max2()(1)b PF PF a b c a c a⋅=-+-=-，当且仅当00x =时，2222212min2()(1)0b PF PF b c b c a⋅=-⨯+-=-.又222,a b c -= 12PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，22223,2.a c b c ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.证明 (3)由(2)知，椭圆22:143x y C +=. 又:l y kx m =+， 联立方程组221,43.x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 设1122(,) (,)M x y N x y 、是直线:l y kx m =+与椭圆C 的两个交点，于是，有122212222228,34412,34644(34)(412)0.km x x k m x x k k m k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=-+->⎪⎩以线段MN 为直径的圆经过点(2,0)A ，AM AN ∴⊥，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-=，进一步得 221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=(1212()()y y kx m kx m =++)，化简得 2271640m km k ++=.解得2 27m k m k =-=-或 .(经检验，2,27m k m k =-=-都满足0∆>)当2m k =-时，直线l 过点(2,0)A 不满足M N 、与椭圆的左右顶点不重合要求，故2m k=-舍去.27m k ∴=-，即2:7l y kx k =-.∴直线l 必经过定点，且定点的坐标为2(,0)7.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解 (1)数列{}n a 的通项公式为1()(1,2,3,,)2n n a n K ==，考察指数函数1()(R)2x y x =∈的图像与性质，知数列{}n a 是单调递减数列,即1(1,2,,1)nn aa n K +>=-.{}1211min ,,,,()2i i i i A a a a a -∴==，{}11211max ,,,,()(1,2,,1)2i i i i K K B a a a a i K +++-===-.11111()()()222ii i i i i d A B ++∴=-=-=(1,2,,1)i K =-为所求的通项公式．(2)数列{}n a (1,2,,)n K =满足13,1i a d ==(1,2,,1)i K =-，依据题意，由110d =>，知12a a >；由210d =>，知23a a >；依此类推，有1K K a a ->，即121K K a a a a ->>>>，于是，数列{}n a (1,2,,)n K =是单调递减数列.{}121min ,,,,i i i i A a a a a a -∴==，{}1211max ,,,,(1,2,,1)i i i K K i B a a a a a i K ++-+===-.1i d =，∴ 111, 1i i i i a a a a ++-=-=-即．∴数列{}n a 是首项13a =，公差为1-的等差数列．1(1)4(1,2,,)n a a n d n n K ∴=+-=-=．(3) 构造数列{}n b ：(01)n nba a =<<，数列{}n c ：(0)ncb n b =⋅<，1,2,,n K =，设n n n a b c =+，则数列{}n a 满足题设要求.理由如下： 构造数列{}n b ：(01)n nba a =<<，数列{}n c ：(0)ncb n b =⋅<，1,2,,n K = ，易知，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 是等差数列.由指数函数(R,01)x y a x a =∈<<的性质，知1n n a a +> ，即数列{}n b 是单调递减数列；由函数(R,0)y kx x k =∈<的性质，知数列{}n c 是单调递减数列.1(1)n n a bn a b n +∴+>++，即1(1,2,3,,1)n n a a n K +>=-. ∴数列{}n a 是单调递减数列.1(1)(1,2,3,,1)i i i i d a a a a b i K +∴=-=--=-.∴121(1)[(1)](1)0i i i i i d d a a b a a b a a ++-=-----=->，即数列{}(1,2,,1)i d i K =-是单调递减数列.∴数列{}n a 是满足条件的数列.坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2020-2021学年上海市黄浦区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年上海市黄浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.(2016·上海市市辖区·期末考试)下列方程中，是无理方程的为()A. √3x2−1=0B. √3x−1=0C. 1−√3x=0 D. 1−√3x=0 2.(2016·上海市市辖区·期末考试)下列方程中，有实数解的是()A. 2x4+1=0B. √x−2+3=0C. x2−x+2=0D. xx−1=1x2−13.(2016·上海市市辖区·期末考试)四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是()A. ∠D=90°B. AB=CDC. BC=CDD. AC=BD4.(2021·上海市市辖区·期末考试)顺次联结等腰梯形四边的中点所形成的四边形一定是()A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形5.(2016·上海市市辖区·期末考试)下列事件中，必然事件是()A. y=−2x是一次函数B. y=x2−2是一次函数C. y=1x+1是一次函数D. y=kx+b(k、b是常数)是一次函数6.(2018·上海市市辖区·期末考试)如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB=1，点C与C′的距离为()A. √22B. √3−√2C. 1D. √3−1二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.(2020·上海市市辖区·月考试卷)方程x3−2x=0的根是______ ．8.(2021·上海市市辖区·期末考试)已知关于x的方程3xx2−1+x2−1x=5，如果设xx2−1=y，那么原方程化为关于y的整式方程是______ ．9.(2020·上海市市辖区·期中考试)方程√2x+3=x的解为______．10. (2018·全国·期中考试)如图，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，那么当y <0时，自变量x 的取值范围是______．11. (2016·上海市市辖区·期末考试)在△ABC 中，点D 是边AC 的中点，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ , BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么CD ⃗⃗⃗⃗⃗= ______ ． 12. (2018·上海市市辖区·期末考试)2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是______．13. (2021·上海市市辖区·期末考试)如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于______ 度.14. (2020·全国·期末考试)如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为______ ．15. (2021·上海市市辖区·期末考试)如图，E 为正方形ABCD外一点，AE =AD ，BE 交AD 于点F ，∠ADE =75°，则∠AFB = ______ °.16. (2021·上海市市辖区·期末考试)若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为______ ．17. (2018·上海市市辖区·期末考试)如图，平行四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =8cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上从B 向C 运动，点Q 在边DA 上从D向A 运动，如果P ，Q 运动的速度都为每秒1cm ，那么当运动时间t =______秒时，四边形ABPQ 是直角梯形．18. (2019·北京市·期中考试)如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，点D 在AB 边上，将△ACD 沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，如果四边形BCDE 是平行四边形，那么∠ADC = ______ ．三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）19. (2021·上海市市辖区·期中考试)解方程：16x 2−4=x+2x−2−1x+2．20. (2021·上海市市辖区·期末考试)解方程组：{2x +y =6x 2+xy −2y 2=0．21. (2016·上海市市辖区·期末考试)如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：DA⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ； (2)求作：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (不写作法，保留作图痕迹，写出结果)22. (2016·上海市市辖区·期末考试)某中学八年级学生到离学校15千米的青少年营地举行庆祝十四岁生日活动，先遣队与大部队同时从学校出发．已知先遣队每小时比大部队多行进1千米，预计比大部队早半小时到达目的地．求先遣队与大部队每小时各行进了多少千米．23.(2021·上海市市辖区·期末考试)某医药研究所开发了一种新药，在检验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2时后血液中含药量最高，达6微克/毫升，接着逐步衰减，服药10时后血液中含药量达3微克/毫升，每毫升血液中含药量y(微克)随着时间x(时)的变化如图所示．(1)当成人按规定剂量服用时，求出x>2时，y与x之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，治疗疾病是有效的，那么有效时间有多长？24.(2019·山西省太原市·月考试卷)如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，∠BAC=90°，点E为BC的中点(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)联结BD，如果BD平分∠ABC，AD=2，求BD的长．25.(2020·上海市市辖区·月考试卷)已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD//BC，AB=CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上(点B在经点C的左侧)，点D在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=mx 过点D，直线y=kx+b经过A、B两点．(1)求点A、B、C、D的坐标；(2)求双曲线y=m和直线y=kx+b的解析式；x(3)点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．26.(2021·上海市市辖区·期末考试)在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，∠C=45°，AB=4，BC=7，点E、F分别在边AB、CD上，EF//AD，点P与AD在直线EF 的两侧，∠EPF=90°，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y．(1)求边AD的长；(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式；(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．答案和解析1.【答案】B【知识点】无理方程【解析】解：√3x2−1=0是一元二次方程，√3x−1=0是无理方程，1−√3x=0是分式方程，1−√3x=0是一元一次方程，故选B．可以判断各选项中的方程是什么方程，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的定义．2.【答案】D【知识点】无理方程、根的判别式【解析】解：∵2x4+1=0，∴2x4=−1，∵x4≥0，∴2x4+1=0无实数解；∵√x−2+3=0，∴√x−2=−3，∵√x−2≥0，∴√x−2+3=0无实数解；∵x2−x+2=0，△=(−1)2−4×1×2=−7<0，∴x2−x+2=0无实数解；∵xx−1=1x2−1，解得x=±√52−12，∴xx−1=1x2−1有实数解，故选D．可以分别判断各个选项中的方程是否有实数解，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查无理方程、根的判别式，解题的关键是明确方程有实数根需要满足的条件．3.【答案】C【知识点】正方形的判定【解析】【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形ABCD为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证．【解答】解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方形的是BC=CD，故选C．4.【答案】B【知识点】菱形的性质、等腰梯形的性质*、矩形的性质、梯形的概念*、中点四边形、正方形的性质【解析】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=12AC．同理FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选：B．根据等腰梯形的性质及中位线定理证明EF=FG=GH=HE，再利用相等的四边形是菱形，可推出四边形为菱形．此题主要考查了中点四边形，等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．5.【答案】A【知识点】随机事件【解析】解：y=−2x是一次函数是必然事件；y=x2−2是一次函数是不可能事件；y=1x+1是一次函数是不可能事件；y=kx+b(k、b是常数)是一次函数是随机事件，故选：A．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.【答案】D【知识点】旋转的基本性质、正方形的性质【解析】解：如图，连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，由旋转可得，∠DAD′=30°，∠DAB′=60°，∴∠DAC′=45°−30°=15°，同理可得，∠B′AC=15°，∴∠CAC′=60°−15°−15°=30°，∵AB=BC=1，∴AC=√2=AC′，∴CF=12√2，∴AF=12√6，∴C′F=√2−12√6，∴Rt△CC′F中，CC′=√C′F2+CF2=√(√2−12√6)2+(12√2)2=√4−2√3=√(√3−1)2=√3−1，故选：D．连接AC′，AC，CC′，过C作CF⊥AC′于F，依据旋转的性质求得∠CAC′=30°，进而得出CF=12AC=12√2，利用勾股定理，即可得到Rt△CC′F中，CC′=√C′F2+CF2．本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造含30°角的直角三角形，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．7.【答案】0,±√2【知识点】高次方程、解一元二次方程-因式分解法【解析】解：因式分解得x(x+√2)(x−√2)=0，解得x1=0，x2=−√2，x3=√2．故答案为0，±√2．用因式分解的方法解题，在提取x后，要观察题中各因式的形式，要分解彻底．本题考查了因式分解法解高次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解方程的一种简便方法，要会灵活运用．8.【答案】3y2−5y+1=0【知识点】分式方程的特殊解法-换元法【解析】解：设xx2−1=y，则x2−1x=1y，则原方程可化为，3y+1y=5，去分母，整理得，3y2−5y+1=0，故答案为：3y2−5y+1=0．设xx2−1=y，则x2−1x=1y，代入原方程，去分母即可得到．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想．9.【答案】3【知识点】无理方程【解析】【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．【解答】解：两边平方得：2x +3=x 2∴x 2−2x −3=0，解方程得：x 1=3，x 2=−1，检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解，当x 2=−1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=−1不是原方程的解．故答案为3．10.【答案】x <2【知识点】一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与坐标轴的交点、一次函数的图象【解析】解：∵由函数图象可知，直线与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴当y <0是，x <2．故答案为：x <2．直接根据直线与x 轴的交点坐标即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，能利用函数图象直接得出x 的取值范围是解答此题的关键．11.【答案】−a ⃗ −b ⃗【知识点】平面向量*【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．∵点D 是边AC 的中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b⃗ ， ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(a ⃗ +b ⃗ )=−a ⃗ −b ⃗ ．故答案为：−a ⃗ −b ⃗ ．依照题意画出图形，结合图形可知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出结论． 本题考查了平面向量，解题的关键是熟悉平面向量的加减运算法则．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意画出图形，结合图形中线段的关系以及平面向量的运算法则即可得出结论．12.【答案】16【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意此题属于不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好2名女生得到电影票的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好2名女生得到电影票的有2种情况，∴恰好2名女生得到电影票的概率是：212=16．故答案为：16．13.【答案】108【知识点】多边形内角与外角【解析】解：由题意知，此五边形为正五边形，∵正五边形的外角和为360°，∴正五边形的每个外角的度数为：360°÷5=72°，∴正五边形的每个内角的度数为：180°−72°=108°．故答案为：108．根据n边形的外角和为360°得到正五边形的每个外角的度数360°÷5=72°，然后利用邻补角的定义即可得到正八边形的每个内角为180°−72°=108°．本题考查了多边形内角与外角，熟记n边形的外角和为360°是解题的关键．14.【答案】120【知识点】菱形的性质【解析】解：在菱形ABCD中，AB=13，AC=10，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB=90°，AO=5，在Rt△AOB中，BO=√AB2−AO2=12，∴BD=2BO=24．=120，∴则此菱形面积是10×242故答案为：120．根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5.根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．15.【答案】60【知识点】正方形的性质【解析】解：∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE=75°，∴∠DAE=180°−75°−75°=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠BAE=90°+30°=120°，∴∠ABE=180°−120°=30°，2∴∠AFB=90°−30°=60°．故答案为：60．根据等腰三角形的性质得∠AED=∠ADE=75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案．此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．16.【答案】1：2【知识点】三角形的中位线定理、梯形中位线定理*【解析】解：设梯形的中位线被对角线分成的每一份是x，则中位线为3x．根据梯形的中位线定理，得梯形的中位线平行于两底．根据三角形中线定理，得它的上底边为2x，下底边=6x−2x=4x．所以上底：下底=2x：4x=1：2．设梯形的中位线被对角线分成的每一份是x．根据梯形的中位线定理的位置关系，证明出三角形的中位线；再根据三角形的中位线定理，分别求得梯形的两底，从而求得两底比．此题综合运用了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理．17.【答案】7【知识点】直角梯形*、平行四边形的性质【解析】【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质以及矩形的判定和性质，得到当AE//QP 时，则四边形ABPQ是直角梯形是解题关键．过点A作AE⊥BC于E，因为AD//BC，所以当AE//QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，利用已知条件和路程与速度的关系式即可求出时间t的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，过点A作AE⊥BC于E，∴当AE//QP时，则四边形ABPQ是直角梯形，∵∠B=60°，AB=8cm，∴BE=4cm，∵P，Q运动的速度都为每秒1cm，∴AQ=10−t，BP=t，∵BE=4，∴EP=t−4，∵AE⊥BC，AQ//EP，AE//QP，∴QP⊥BC，QP⊥AD，∴四边形AEPQ是矩形，∴AQ=EP，即10−t=t−4，解得t=7，故答案为：7．18.【答案】135°【知识点】翻折变换(折叠问题)、平行四边形的性质【解析】解：延长CD到点F，如图所示．∵四边形BCDE是平行四边形，∴BC//DE，∵∠ABC=90°，∴∠BDE=90°，∴∠ADE=90°．∵将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在点E处，∴∠ADF=∠EDF=1∠ADE=45°，2∴∠BDC=∠ADF=45°，∴∠ADC=180°−∠BDC=135°．故答案为：135°．延长CD到点F，根据平行四边形的性质可得出BC//DE，结合∠ABC=90°，即可得出∠ADE=90°，再根据翻折的性质即可得出∠ADF=∠EDF=45°，从而得出∠BDC=45°，由∠ADC、∠BDC互补即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是求出∠BDC=45°.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等的角是关键．19.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)得：16=(x+2)2−(x−2)，整理得：x2+3x−10=0，解此方程得：x1=−5，x2=2，经检验x1=−5是原方程的解，x2=2是增根(舍去)，所以原方程的解是：x =−5．【知识点】分式方程的一般解法【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．20.【答案】解：{2x +y =6①x 2+xy −2y 2=0②， 由②，得(x +2y)(x −y)=0，x +2y =0或x −y =0③，由③和①组成方程组{2x +y =6x +2y =0，{2x +y =6x −y =0， 解得：{x 1=4y 1=−2，{x 2=2y 2=2， 所以原方程组的解是{x 1=4y 1=−2，{x 2=2y 2=2．【知识点】高次方程【解析】由②得出(x +2y)(x −y)=0，求出x +2y =0或x −y =0③，由③和①组成两个二元一次方程组{2x +y =6x +2y =0，{2x +y =6x −y =0，求出方程组的解即可． 本题考查了解高次方程组和解二元一次方程组，能把解高次方程组转化成解二元一次方程组是解此题的关键．21.【答案】(1)DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)如图，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【知识点】平行四边形的性质、平面向量*【解析】解：(1)DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 故答案为：DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(2)见答案．【分析】(1)根据向量的平行四边形法则写出DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据向量的三角形法则求解即可；(2)根据平行四边形的对边平行且相等可得DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据向量的平行四边形法则作出以DC 、DE 为邻边的平行四边形，其对角线即为所求．本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．22.【答案】解：设先遣队每小时行进x 千米，则大部队每小时行进(x −1)千米． 根据题意，得 15x−1−15x =12． 解得 x 1=6，x 2=−5.经检验：x 1=6，x 2=−5是原方程的根，x 2=−5不合题意，舍去．∴原方程的根为x =6．∴x −1=6−1=5．答：先遣队与大部队每小时分别行进6千米和5千米．【知识点】分式方程的应用【解析】设先遣队每小时行进x 千米，则大部队每小时行进(x −1)千米；根据“先遣队和大部队同时出发，预计比大部队早半小时到达”列分式方程解出即可．本题是分式方程的应用，属于行程问题；有两个队：先遣队和大部队；路程都是15千米，时间相差半小时，速度：先遣队每小时比大部队多行进1千米；根据速度的关系设未知数，根据时间关系列方程，注意未知数的值有实际意义并检验．23.【答案】解：(1)当x >2时，设y =kx +b ，把(2,6)，(10,3)代入上式，得：{2k +b =610k +b =3， 解得：{k =38b =274， ∴x >2时，y =−38x +274；(2))当0≤x ≤2时，设y =kx ，把(2,6)代入上式，得k =3，∴0≤x ≤2时，y =3x ，把y=4代入y=3x，可得x=43，把y=4代入y=−38x+274；解得：x=223，∴223−43=6，∴这个有效时间是6小时．【知识点】一次函数的应用【解析】(1)直接根据图象上的点的坐标利用待定系数法求解即可求得答案，当x>2时y与x成一次函数关系；(2)根据图象可知每毫升血液中含药量为4微克是在两个函数图象上都有，所以把y=4，代入y=3x，求得开始到有效所用的时间，由图象可知衰减过程中y=4时的时间，求其差即可求得答案．主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．24.【答案】证明：(1)∵∠BAC=90°，点E为BC的中点，∴AE=EC=12BC，∵BC=2AD，∴AD=12BC，∴AD=EC，且AD//BC，∴四边形AECD是平行四边形，且AE=EC，∴四边形AECD是菱形；(2)如图，∵AD//BC，AD<BC∴四边形ABCD是梯形，∵BD平分∠ABD，∴∠ABD=∠DBC=1∠ABC，2∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形AECD是菱形，∴AD=DC=2，∴AB=DC=2，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∵BC=2AD=4．∴BD=AC=√BC2−AB2=2√3．【知识点】菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、等腰梯形的判定*、直角三角形斜边上的中线【解析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，求证BD=AC 是本题的关键．(1)由直角三角形的性质可得AE=AD=EC，且AD//BC，可证四边形AECD是平行四边形，即可得结论；(2)由角平分线的性质和平行线的性质可得AD=AB=CD，可证四边形ABCD是等腰梯形，可得BD=AC，由勾股定理可求AC的长，即可得BD的长．25.【答案】解：(1)如图1，过点D作DH⊥x轴于点H．∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，AB=CD，AO⊥x轴，∴四边形AOHD是矩形，∴AO=DH=2，AD=OH=3，∠AOB=∠DHC=90°，在Rt△ABO和Rt△DCH中，{AO=DHAB=DC，∴Rt△ABO≌Rt△DCH(HL)．∴BO =CH =12×(11−3)=4， ∴A(0,2)，B(−4,0)，C(7,0)，D(3,2)；(2)∵双曲线y =m x 经过点D(3,2)，∴m =xy =6．∴双曲线的解析式为：y =6x ，∵直线y =kx +b 经过A(0,2)、B(−4,0)两点，得：{b =2−4k +b =0， ∴解得：{k =12b =2． ∴直线的解析式为：y =12x +2；(3)如图2，∵四边形ABMN 是平行四边形．∴BM//AN 且BM =AN ．∵点N 在y 轴上，∴过点B 作x 轴的垂线与双曲线y =6x 的交点即为点M ．∴点M 的坐标为M(−4,−32)，∴BM =32． ∴AN =BM =32， ∴ON =OA −AN =12，∴点N 的坐标为N(0,12).【知识点】反比例函数综合、待定系数法求反比例函数解析式【解析】(1)首先过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，由AD//BC ，AB =CD ，易得四边形AOHD 是矩形，证得Rt △ABO≌Rt △DCH ，又由AD =3，BC =11，梯形的高为2，即可求得答案；(2)由双曲线y =m x 过点D ，直线y =kx +b 过点A ，B ，直接利用待定系数法求解即可求得答案；(3)由四边形ABMN是平行四边形，可得点M的横坐标为−4，继而求得点M的坐标，又由AN=BM，求得答案．此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．26.【答案】解：(1)如图1，过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，∵梯形ABCD中，∠B=90°，∴DH//AB，又∵AD//BC，∴四边形ABHD是矩形，∵∠C=45°，∴∠CDH=45°，∴CH=DH=AB=4，∴AD=BH=BC−CH=3．(2)∵DH⊥EF，∠DFE=∠C=∠FDG=45°，∴FG=DG=AE=x，∵EG=AD=3，∴EF=x+3，∵PE=PF，EF//BC，∴∠PFE=∠PEF=∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，如图2，过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，∵∠MPN=∠EPF=90°，QR⊥MN，∴PQ=12EF=12(x+3)，PR=12MN=12，∵QR=BE=4−x，∴12(x+3)+12y=4−x，∴y关于x的函数解析式为y=−3x+5；(3)当点P在梯形ABCD内部时，由MN=2及(2)的结论得2=−3x+5，AE=x=1，∴S 梯形AEFD =12(AD +EF)⋅AE =12(3+3+1)×3=212，当点P 在梯形ABCD 外部时，由MN =2及与(2)相同的方法得：12(x +3)−12×2=4−x ，AE =x =73，∴S 梯形AEFD =12(AD +EF)⋅AE =12(3+3+73)×4=503， 综上所述，梯形AEFD 的面积为212或503．【知识点】等腰直角三角形、直角梯形*、梯形的概念*【解析】(1)过D 作DH ⊥BC ，DH 与EF 、BC 分别相交于点G 、H ，从而判定四边形ABHD是矩形，在RT △DHC 中求出CH 的长，利用AD =BH =BC −CH 可得出AD 的长；(2)首先确定PM =PN ，过点P 作QR ⊥EF ，QR 与EF 、MN 分别相交于Q 、R ，根据∠MPN =∠EPF =90°，QR ⊥MN ，可表示出PQ 、PR ，继而可得出y 关于x 的函数解析式；(3)①当点P 在梯形ABCD 内部时，由MN =2及(2)的结论得2=−3x +5，AE =x =1，可求得梯形的面积，②当点P 在梯形ABCD 外部时，由MN =2及与(2)相同的方法得：12(x +3)−12×2=4−x ，AE =x =73，可求得梯形的面积． 本题考查直角梯形及由实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解．。
2020-2021学年上海市中考数学二模试卷及答案解析A
上海市中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=04．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．8．用科学记数法表示：3402000= ．9．化简分式：= ．10．不等式组的解集是．11．方程x+=0的解是．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐．（填“减小”或“增大”）13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价万元．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= ．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？．（填“红”或“黄”）17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．20．解方程组：．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．上海市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．﹣8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】立方根．【分析】利用立方根的定义即可求解．【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．2．下列属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；B、，被开方数中含有分母；故本选项错误；C、，被开方数中含有分母，故本选项错误；D、所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．下列方程中，有实数根的是（）A．=﹣2 B．x2+1=0 C．=1 D．x2+x+1=0【考点】根的判别式；无理方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判断；通过解分式方程对C进行判断．【解答】解：A、方程=﹣2没有实数解，所以A选项错误；B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和无理方程．4．在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得=2，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得=，然后利用比例的性质计算BC的长．【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，∵点G为△ABC的重心，∴=2，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，∴BC=6．故选B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．5．饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数和众数分别是（）A．15元和18元B．15元和15元C．18元和15元D．18元和18元【考点】众数；中位数．【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），∵本周销售套餐共计500份，∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，∴中位数是15元；18元出现的次数最多，则众数是18元；故选A．【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD 的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH﹣EF）=×（2.1﹣1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．计算：2﹣2= ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p=（a≠0，p为正整数）【解答】解：2﹣2==，故答案为．【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，易于掌握．8．用科学记数法表示：3402000= 3.402×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：3402000=3.402×106．故答案为：3.402×106．【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．9．化简分式：= ．【考点】约分．【专题】计算题．【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．【解答】解：原式==．故答案为．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．10．不等式组的解集是x≥3 ．【考点】解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：由①得：x＞﹣2，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是x≥3．故答案为x≥3．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．11．方程x+=0的解是0 ．【考点】无理方程．【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方程进行因式分解即可解出本题．【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0∴（x﹣1）x=0∴x=0或x=1∵x=1时不满足题意．∴x=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法和平方法．12．已知反比例函数y=（k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．（填“减小”或“增大”）【考点】反比例函数的性质．【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定其增减性即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，故答案为：减小；【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．反比例函数图象的性质：（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．13．文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．【考点】概率公式．【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语6张，∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10万元的汽车，现售价9.9 万元．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），则现售价为9.9万元．故答案为：9.9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，如果AC=3，=，=，那么|﹣|= 3 ．【考点】*平面向量．【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3，可求得BC的长，又由=，=，可得|﹣|=||=BC．【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3，∴AB=BC=3，∵=，=，∴﹣=﹣=，∴|﹣|=||=BC=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．16．某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：红：54、44、37、36、35、34；黄：48、35、38、36、43、40；已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？黄．（填“红”或“黄”）【考点】方差．【分析】先根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出红颜色和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．【解答】解：红颜色的郁金香的方差是：[（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，黄颜色的郁金香的方差是：[（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，＞S2黄，∵S2红∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；故答案为：黄．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，求△ABC的面积是3或27 ．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性质求出答案．【解答】解：当圆心在三角形内部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=9，S△=×6×9=27，ABC当圆心在三角形外部时，0B=5，BD=3，根据勾股定理，OD=4，则AD=1，=×6×1=3，S△ABC故答案为：3或27．【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．若△BED与△ABC相似，则相似比= ．【考点】相似三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．【解答】解：△BED与△ABC相似，∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，设BC为x，则AC=x，BD=x，=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分78分）19．计算：﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3．【考点】二次根式的混合运算；分数指数幂；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣|﹣1|+1+，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．【解答】解：原式=﹣|﹣1|+1+=2﹣+﹣1+1+=2+．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数幂．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组即可．【解答】解：，由①得，x=±2y，由②得，x+y=±2，则，，，解得，，，，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．21．已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的倍，甲到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．（1）求tan∠ECD的值；（2）求线段AB及BC的长度．【考点】勾股定理．【分析】（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的长，在Rt△ABE 中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，BE=AD 即可得出结论．【解答】解：（1）设ED=a，则EC=a，在Rt△EDC中，∵DC===3a，∴BE=AE+ED=8+a．在Rt△ABE中，∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，∴ED=2，CD=6，∴tan∠ECD===．（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，∴DE=2，CD=6．∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：x（公里）80 120 180 200 …y（元）200 300 450 500 …（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式y A=2.5x ；（不需写出定义域）（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式y B=200+0.9x ；（不需写出定义域）（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=2000+0.9×500=2450，因为y A＞y B，所以选择B运输队．【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，∴每公里收费为2.5元，=2.5x．∴yA故答案为：y A=2.5x．（2）根据题意得：y B=200+0.9x．故答案为：y B=200+0.9x．（3）当x=500时，y A=2.5×500=1250，y B=200+0.9×500=650，＞y B，∴yA∴选择B运输队．【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析式．23．已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边相等的平行四边形是菱形”；（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得到AD=AF，则AF2=AG•DF；（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AEB=∠AFD．在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（AAS）∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG，∴∠BAE=∠G，∴∠G=∠DAF．又∵∠ADF=∠GDA，∴△GAD∽△AFD，∴DA：DF=DG：DA，∴DA2=DG•DF．∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，∴DG=AG．又∵AD=AF，∴AF2=AG•DF；（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，∴AH：HG=EH：AH．∵HE=4，EG=12，∴AH：16=4：AH，∴AH=8．【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三角形的对应边与对应角，以防弄错．24．已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求线段AE的长；（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用．【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB平行，继而得到四边形ABCD 为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P 与D重合时，满足题意，确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，∴二次函数图象经过（2，0），设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣，∴二次函数解析式为y=﹣（x+6）（x﹣2）=﹣x2﹣2x+6=﹣（x+2）2+8，则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；（2）如图1所示，由题意得：AB=6，BC=CD=2，BD=4，∵BD2=CD2+BC2，∴∠DCB=90°，∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，∴DC∥AB，∴四边形ABCD为直角梯形，，即×2×（2+6）=2××2×AE，若S梯形ABCD=2S△ADE解得：AE=4；（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点G，可得GA=GC，∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），∴=，解得：x=﹣，经检验是原方程的根且符合题意，∴G（﹣，），设直线CG解析式为y=kx+b，把C与G坐标代入得：，解得：，∴直线CG解析式为y=7x+22，联立得：，解得：或（经检验不合题意，舍去），∴P坐标为（﹣16，﹣90）；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，此时P与D重合，即P（﹣4，6），综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC 都有交点，设⊙B的半径为x．（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD 的长即可求得圆的半径；（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，∵AB=AC=6，BC=4，∴BH=2．∵直线CD与⊙B相切，∴CD⊥AB，∵∠DBC=∠ACH，∴cos∠DBC=cos∠ACH，∴BD：BC=CH：CA，∴BD：4=2：6，∴BD=．（2）如图1，作PK⊥BC于点K，∴PK∥AH．∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，∴BH=2，∴AH=4．∵以AC为直径作⊙P，∴AP=PC，∴PK=2，CK=BC=1，∴BK=3，∴在Rt△PBK中，PB===，∴当0＜x＜﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x=﹣3时，⊙B与⊙P外切，当﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；（3）如图2，点E即为BC边的中点H，∴PE=3．设EF与PB交于点G，BG=m，∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，∴32﹣（﹣m）2=22﹣m2，∴m=．∵EG2﹣BG2=BE2，∴EG2﹣（）2=22，∴EG=，∴EF=．【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．。
2020届上海市黄浦区高三二模(阶段性调研)数学试题(教师版)
黄浦区2019学年度第二学期高三年级阶段性调研数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1.若集合{1,2,3,4,5}A =，{}2|60B x x x =--<，则A B =I ________．【答案】{}1,2 【解析】 【分析】先通过解二次不等式求出集合B ，再求A B I .【详解】由260x x --<有()()320x x -+<得23x -<< 所以集合{}|23B x x =-<<，又{1,2,3,4,5}A =. 所以{}1,2A B =I 故答案为：{}1,2【点睛】本题考查解二次不等式和求集合的交集，属于基础题. 2.函数22cos 2y x =+的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】 【分析】先用降幂公式将函数22cos 2y x =+化为cos 23y x =+，然后再由函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期公式可求得答案.【详解】由22cos 2y x =+得22cos 2cos 23y x x =+=+.根据函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期为2T ωπ=，则函数cos 23y x =+的最小正周期为22T ππ==. 所以函数22cos 2y x =+的最小正周期为π. 故答案为：π【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期，属于基础题.3.某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户． 【答案】56 【解析】 【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案. 【详解】该社区共有14028080500++=户. 利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户 故答案为：56【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.4.若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为________． 【答案】6- 【解析】 【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】两直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直. 所以1320a ⨯+⨯=，解得6a =- 故答案为：6-【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.5.如果sin α=，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】13【解析】 【分析】 由条件22sin 3α=-，α为第三象限角，可求出1cos 3α=-，再由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得答案. 【详解】由22sin 3α=-，α为第三象限角,有21cos 1sin 3αα=--=-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题. 6.若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为________． 【答案】93π 【解析】 【分析】由圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则可得到圆锥底面圆的半径为3，母线长为6，则可求出圆锥的高，从而求出其体积.【详解】由圆锥的主视图是边长为6的正三角形如图，则可得到圆锥底面圆的半径为3，母线长为6. 所以圆锥的高22226333AO AC OC =-=-=所以此圆锥的体积为2113339333V Sh ππ==⨯⨯⨯= 故答案为：93π【点睛】本题考查由圆锥的主视图得到圆锥的底面半径和母线，考查圆锥的体积，考查空间想象能力，属于基础题.7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为________．【答案】221520x y -=【解析】 【分析】根据渐近线与直线l 的平行关系确定出,a b 的关系，再根据焦点在l 上确定出c 的值，结合222+=a b c 计算出22,a b 即可得到双曲线的方程.【详解】因为一条渐近线与210y x =+平行，所以2ba=， 又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为(),0c ±，且直线l 过点()5,0-，所以5c =，所以222225b aa b c =⎧⎨+==⎩，所以22520a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线的方程为：221520x y -=.故答案为：221520x y -=.【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据,,a b c 的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.8.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]-，则(1)f -=________．3 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况分别讨论函数()xf x a b =+的单调性，根据单调性结合定义域和值域先求出参数a b ，的值，在求(1)f -.【详解】当1a >时，函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠在[2,0]-上单调递增，所以()()2200f f ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即()()22200f a b f a b -⎧-=+=-⎪⎨=+=⎪⎩，此时方程组无解. 当01a <<时，函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠在[2,0]-上单调递减，所以()()2002f f ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即()()22002f a b f a b -⎧-=+=⎪⎨=+=-⎪⎩，解得：33ab ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以3()33xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(1)33f -=-故答案为：33-.【点睛】本题考查根据指数型函数的单调性和值域求参数的值，进一步求函数的值，属于中档题.9.当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩…时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】)4，⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩…，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B .当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.10.某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为________． 【答案】2735【解析】 【分析】先求出从这8人中随机选出4人的选法总数，再求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的不同选法总数，再求概率.【详解】从这8人中随机选出4人作为正式志愿者有4870C =种不同的选法.选出的4人中至少有2人来自同一小组分为下列情况：(1)恰好有2人来自同一小组,有1211432248C C C C =种（2）4个人来自2个不同的小组（每个小组2个人）有246C = 所以选出的4人中至少有2人来自同一小组有48654+=种选法. 则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为54277035P == 故选项为：2735. 【点睛】本题考查组合问题，求古典概率的问题，属于中档题.11.已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若存在不相等的实数1x ，2x ，3x ，使得()()1212f x f x x x =()332f x x ==-，则a 的取值范围是________．【答案】()，4-∞- 【解析】 【分析】根据题意即函数()2f x x =-有3个不等实数根，然后当0x ≤时，可得()2f x x =-有一个实数根，所以当0x >时，()2f x x =-有两个不等的实数根，即22a x x=--在0x >上有两个不等的实数根，研究函数()22g x x x=--的单调区间，即可得出答案. 【详解】存在不相等的实数1x ，2x ，3x ，使得()()1212f x f x x x =()332f x x ==-即函数()2f x x =-有3个不等实数根.当0x ≤时，()2f x x =-即()222110x x x ++=+=，即1x =-.所以当0x >时，()2f x x =-有两个不等的实数根. 即22a x x=--在0x >上有两个不等的实数根. 设函数()22g x x x =--，则()()2222122+x g x x x-'=-=. 令()0g x '>，得01x <<，()0g x '<，得1x < 所以()g x ()0,1上单调递增，在()1+¥，上单调递减，当0,x x →→+∞时，()g x →-∞. 又()14g =-,()g x 的大致图象如下:()2f x x =-有两个不等的实数根,则4a <-故a 的取值范围是是4a <-.故答案为：4a <-【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的范围，属于中档题. 12.点A 是曲线22(2)y x y =+≤上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22；（2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+．其中正确结论的序号是________．【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 由条件曲线22(2)y x y =+≤是双曲线222y x -=的一部分，且(0,2)P -，(0,2)Q 为双曲线的焦点，根据双曲线的定义可判断（1），利用抛物线的定义可判断（2），（3）. 【详解】曲线22(2)y x y =+≤，即双曲线222(02)y x y -=≤≤的一部分.所以(0,2)P -，(0,2)Q 为双曲线222(02)y x y -=≤≤的焦点. 抛物线218y x =的准线方程为：2y =-，焦点为(0,2)Q 由点A 在双曲线222y x -=上，根据双曲线的定义有：||||222AP AQ a -==1）正确. 过点B 作1BB 垂直于抛物线准线2y =-于点1B ,则1BQ BB =. 所以1||||||||325QB BC BB BC +=+=+=,所以（2）正确. 由双曲线的定义有||22||AP AQ =，所以||||||||||||22||||22522PA AB BC AQ AB BC QB BC ++=+++=++=+. 所以（3）不正确. 故答案为：（1）（2）.【点睛】本题考查抛物线的定义和双曲线的定义的应用，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立， “函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的必要而不充分条件，故选B.14.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A. 若120z z -=，则12z z = B. 若12z z =，则12z z = C. 若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】D 【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．15.已知e r ，f ur 是互相垂直的单位向量，向量n a u u r 满足：n e a n ⋅=r u u r ，21n f a n ⋅=+u r u u r ，n b 是向量f u r 与n a u u r 夹角的正切值，则数列{}n b 是（ ）． A. 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=B. 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=C. 单调递增数列且lim 2n n b →∞= D. 单调递减数列且lim 2n n b →∞= 【答案】A 【解析】 【分析】设()1,0f =u r ，()0,1e =r ，(),n n n a x y =u u r ，设向量f u r与n a u u r 夹角为n θ,则可求n x ，n y ，则可得到tan 21n n n n y n b x n θ===+，从而得到答案. 【详解】设()1,0f =u r ，()0,1e =r ，(),n n n OP a x y ==u u u r u u r ，设向量f u r 与n a u ur 夹角为n θ.则tan n n b θ=，(),n n P x y由n e a n ⋅=r u u r，可得n y n =， 由21n f a n ⋅=+u r u u r，可得21n x n =+所以tan 21n n n n y n b x n θ===+ 所以()()()+111021*******n n n n b b n n n n +-=-=>+++++所以数列{}n b 是单调递增数列，又1lim lim 122n n n n b n →∞→∞=+=.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.16.如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为21+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为3．其中正确的说法是（ ）．A. ①②都正确B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确【答案】C 【解析】 【分析】由题意，点O 在以AD 为直径的球面上的点，所以点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为点E 到球心的距离再加上球的半径，可判断①，当当A 与O 重合时，求出正四面体ABCD 在在平面α上的射影面积，可判断②.【详解】由题意，点O 在以AD 为直径的球面上的点.点O 到棱BC 中点E 的距离，即以AD 为直径的球面上的点到棱BC 中点E 的距离. 所以点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为点E 到球心的距离再加上球的半径. 设AD 的中点为N ，则N 为以AD 为直径的球的球心，半径为1r = 所以221112NE NB BD ---=所以点O 到棱BC 中点E 21，故正确①.由直线l ⊥平面α，且BC l ⊥，则//BC 平面α.在正四面体ABCD 中，BC AD ⊥,又BC l ⊥，所以BC ⊥平面OAD 所以BC 在平面α上的射影B C ''与BC 平行且相等.当A 与O 重合时，正四面体ABCD 在在平面α上的射影为对角线为2的正方形. 此时射影的面积为2，所以②不正确. 故选：C【点睛】本题考查两点间的距离的最大值的求法和几何体在平面上的投影面积的最值，考查空间想象能力和推理论证能力，考查转化能力，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ︒∠=，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，1AB AC ==，2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离． 【答案】(1) 5arctan 5【解析】【分析】（1）由E 、F 分别是棱BC 、PC 的中点. 所以EF PB P ，所以EFD ∠(或其补角)为异面直线PB 与DF 所成的角，在DEF V 中求解.（2）由F 是棱PC 的中点，所以点P 到平面DEF 的距离等于点C 到平面DEF 的距离.设点C 到平面DEF 的距离为d ,由等体积法求解点C 到平面DEF 的距离.【详解】（1）由PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，则2125PB =+= 由E 、F 分别是棱BC 、PC 的中点. 所以//EF PB ，且1522EF PB ==所以EFD ∠(或其补角)为异面直线PB 与DF 所成的角.由PA ⊥平面ABC ，则PA AC ⊥,又90BAC ︒∠=，即AB AC ⊥. 又AB AP A =I ,所以AC ⊥平面ABP ,由D 、E 分别是棱AB 、BC 的中点. 所以//DE AC ,且1122DE AC == 所以DE ⊥平面ABP ,则DE PB ⊥,即DE EF ⊥.所以在直角三角形DEF 中，152tan 5DE EFD EF ∠===. 所以异面直线PB 与DF 所成的角为5arctan；（2）由F 是棱PC 的中点，所以点P 到平面DEF 的距离等于点C 到平面DEF 的距离. 设点C 到平面DEF 的距离为d .由(1)可知DEF V为直角三角形，则11122228△DEF S DE EF =⨯=⨯⨯=. 1111122228△DEC S DE AD =⨯=⨯⨯=. 由F 是棱PC 的中点，所以点F 到面的距离为112PA = 由C DEF F DEC V V --=,所以11133△△DEF DEC S d S ⨯⨯=⨯⨯所以11△DEC DEF S d S ⨯=== 所以点P 到平面DEF． 【点睛】本题考查求异面直线所成的角和点到面的距离，考查等体积法的应用，本题也可以建立空间直角坐标系，用向量的方法求解，属于基础题. 18.设()11,A x y ，()22,B x y 是函数21log 21x y x=+-的图像上任意两点，点()00,M x y 满足()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．【答案】(1) 证明见解析 （2）1x 的取值范围是12，⎫⎪⎪⎝⎭，12y y < 【解析】 【分析】（1）由()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r 得121x x =+，再由()()()012122121111122log x x x x y y y ⎛⎫=+=+ ⎝- -⎪⎪⎭，可证明0y 12=为定值. （2）由12021，x x y =>，()12012221211111222log log 121x x x x y y y ⎛⎫=+=++> ⎪⎝⎭+--，则()()111212201222112x x x x x x ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪--⎩，可得出1x 的取值范围，由()()111111*********x x x x x x x --=<----，可知111120112x x x x <<--，可得出12y y <. 【详解】(1) 由()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r ，可得()0121122x x x =+=，即121x x =+. ()()()1212222112201211111122222log log log 1111x x x x x x x y y y x +--⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-⎪ 故()()12122212102log log 1111111222x x x x x x x x y ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--为定值. (2)由21021x x y =>，，()12012221211111222log log 121x x x x y y y ⎛⎫=+=++> ⎪⎝⎭+-- 可得122212log log 111x xx x +>--,即()()1112222111222log log log 1112112x x x x x x x x +=>---- 则()()111212201222112x x x x x x ⎧>⎪-⎪⎨⎪>⎪--⎩，即1211102310x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+<⎩,所以11102x x ⎧<<⎪⎪<< 所以1x的取值范围是3122，⎛⎫⎪⎪⎝⎭ 此时由()()111111*********x x x x x x x --=<----，可知111120112x x x x <<-- 故112211211log log 21212x x x x +<+--，即12y y <. 【点睛】本题考查对数函数的性质和对数的运算性质，考查向量的坐标运算，属于中档题.19.某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111D C B A 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111D C B A 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点1A ，1B 分别在OE ，OF 上，点1C ，1D 在扇形的弧上．某同学猜想：当矩形1111D C B A 面积最大时，两矩形1111D C B A 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111D C B A 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）． 【答案】(1) 1030平方米 (2) 花卉展览区1111D C B A 面积的最大值为16003平方米，该同学的猜想是正确的. 【解析】 【分析】(1) 设EOF 2θ∠=，则BFO θ∠=,在OBF V ，求出θ角，利用扇形的面积公式可求出扇形的面积.(2) 在图②中，连1OC ，设()10FOC ααθ∠=<<,在11OB C V 中求出11sin sin r B C αθ=，又()112sin C D r θα=-，所以矩形1111D C B A 的面积()2sin 2sin sin r S r αθαθ=⨯-化简可得2160045sin 2arcsin 435S α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而可得出答案. 【详解】(1)设EOF 2θ∠=，则BFO θ∠=，在直角三角形OBF 中，124,402BO AB OF BC ====,3sin 5OB OF θ==. 所以3arcsin5θ=. 所以扇形花园的面积约为2113402arcsin 103025S =⨯⨯≈平方米. (2)在图②中，连1OC ，设()10FOC ααθ∠=<<，140OC r ==. 则在11OB C V 中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=连接OG 交11C D 于点H ，则1C OH θα∠=-,()1sin C H r θα=-.所以()11342sin ,sin ,cos 55C D r θαθθ=-== 所以矩形1111D C B A 的面积()21111sin 2sin sin r S B C C D r αθαθ=⨯=⨯- ()210sin sin cos cos sin 3r αθαθα=-()226sin cos 8sin 3r ααα=- ()2160043sin 24cos 245sin 2arcsin 4335r ααα⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当且仅当42arcsin52πα+=,即14arcsin 2252πθα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭时，2S 取最大值.2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111D C B A 面积的最大值为16003平方米. 当1111D C B A 的面积最大时，2θα=此时()11112sin 62sin ,sin 5sin r C D r B C θαθαθ-===486405CD BC ==从而两矩形长和宽之比相等. 所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题，考查正弦的差角公式和辅助角，将实际问题转化为三角函数问题时关键，属于中档题.20.已知点A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)(0)x y r r Γ-+=>的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P ，Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈u u u r u u u r ，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围．【答案】（1） 2212x y += （26 （3）2,3⎡⎣ 【解析】 【分析】(1) 由点A 是圆Γ的圆心，)2A，，原点O 到直线AB 的距离为63，在OAB V 中由等面积法有2262b b =+. (2) 设)2,sin 0,2Pπααα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则)2cos ,sin Sλαλα,求出直线AB 的方程，将点S 坐标代入直线AB 的方程，可得()cos sin 1λαα+=，当且仅当α=4π时，λ取得最小值，可得到点P 的坐标，则可得到直线l 的方程，再由原点O 到直线AB 6，可求出r 的值. (3) 由QG PH =,可得QP GH =,求出22211+2PQ k k =+，222221k GH r k=-+，可得()222222142211+2k k r k k++=+-+,可求出r 的范围. 【详解】(1)由点A 是圆Γ的圆心，)2A，，则2a =()0，B b ,则22AB b =+坐标原点O到直线AB的距离为63，在OABV中由等面积法有2262bb=+，可得1b=. 所以椭圆的方程为2212xy+=（2）设()2cos,sin0,2Pπααα⎛⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()2cos,sinSλαλα则()()200,1，，A B，则直线AB的方程为12y+=.将点S坐标代入直线AB的方程，可得()cos sin1λαα+=故11cos sin2sin4λπααα==+⎛⎫+⎪⎝⎭，则当且仅当α=4π时，λ取得最小值.此时点P的坐标为212⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，直线l的方程为20x y-=.故()220226312r-⨯===+.(3)由QG PH=,可得QP GH=,将y kx=代入椭圆方程2212xy+=得：()22122k x+=，即221+2xk=22211+2PQ kk=+又点)2,0A到直线l的距离为221kdk=+22222222211k kGH r rkk⎛⎫⎪=-=-⎪++⎝⎭所以=可得()()2222222222121242211+211+2k kk krk k k k+++=+=+-++令[)22221121,211kzk k+==-∈++，则[)21222,3r zz⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭故r取值的范围是.【点睛】本题求考查椭圆方程和考查椭圆中的弦长和圆中的弦长以及求参数的范围，属于中档题.21.若数列{}n a与函数()f x满足：①{}n a的任意两项均不相等，且()f x的定义域为R；②数列{}n a的前n的项的和()n nS f a=对任意的*n N∈都成立，则称{}n a与()f x具有“共生关系”．（1）若()*2nna n N=∈，试写出一个与数列{}n a具有“共生关系”的函数()f x的解析式；（2）若()f x ax b=+与数列{}n a具有“共生关系”，求实数对(,)a b所构成的集合，并写出na关于a，b，n的表达式；（3）若2()f x x cx h=++，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a，使得{}n a与()f x具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h在射线11216x y⎛⎫=≤⎪⎝⎭上”．【答案】（1）()22f x x=-（2）实数对(),a b所构成的集合为()1{,|0,1,2a b a≠，且0b≠，其中,}a b R∈，()11111n nn nb a b aaa a a--⋅⎛⎫==⎪--⎝⎭-. （3）证明见解析.【解析】【分析】(1) 由()*2nna n N=∈，可知12222nn nS a+=-=-，从而可得()22f x x=-.(2) 由题意得n nS a a b=⋅+,当1n=，可得()11a a b-=，当a1=时，与{}n a的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意；当1a≠，0b=，不合题意，当00b a≠=，，也不合题意. 若001，，b a≠≠，则nS b=，由n nS a a b=⋅+，11n nS a a b++=⋅+，可得11n naa aa+=-，{}n a的任意两项均不相等，故11aa≠±-，可知12a≠，得出答案.(3)先证必要性，若{}n a是()0d d≠公差的等差数列，11n n n a S S ++=-()()()221111n n n n n n n n a a c a a a a a a c ++++=-+-=-++，可得()11221a nd d a n d c +=+-+⎡⎤⎣⎦，故21122d d a da d cd⎧=⎨=-+⎩解得12c d ==，再证充分性，若点(,)c h 在射线11216x y ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭上，()()2211111122n n n n n a f n f n a a a a +++⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()111111222n n n+n n n a a a a +a a +++⎛⎫-+== ⎪⎝⎭，可得()()()()()()()()12121321n n S a a a f f f f f f n f n f n =+++=+-+-++--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L ，从而得证.【详解】(1)由()*2n n a n N =∈，可知()1212222212n n n n S a +-==-=--所以与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式可以为：()22f x x =-.(2)由题意得n n S a a b =⋅+，令1n =，可得11a a a b =⋅+，即()11a a b -=.①若1,0a b =≠，此时不成立，不合题意，若1,0a b ==，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 的任意两项均不相等相矛盾,故此时不合题意.②若1a ≠，可得11b a a=- 若0b =，则由111a S a a ==⋅与1222a a S a a +==⋅，可得120a a ==，不合题意.若00b a ≠=，，则n S b =，当n 2≥时，0n a =，不合题意.若001，，b a ≠≠，则n S b =，由n n S a a b =⋅+，11n n S a a b ++=⋅+ 可得111n n n n n a S S a a a a +++=-=⋅-⋅，即11n n a a a a +=- 此时数列{}n a 是首项为1b a -，公比为1a a -的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等， 故11a a ≠±-，可知12a ≠ 所以实数对(),ab 所构成的集合为()1{,|0,1,2a b a ≠，且0b ≠，其中,}a b R ∈ ()11111n n n n b a b a a a a a --⋅⎛⎫== ⎪--⎝⎭-(3)(必要性)若{}n a 是()0d d ≠公差的等差数列，且与()f x 具有“共生关系”.则由2n n n S a c a h =+⋅+，2111n n n S a c a h +++=+⋅+可得: ()()()22111111n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++++++=-=-+-=-++ 故()11221a nd d a n d c +=+-+⎡⎤⎣⎦，即()21122a nd d n da d cd +=+-+恒成立. 故21122d d a da d cd⎧=⎨=-+⎩解得12c d == 又由211112n a S a a h ==++,可得21102n a a h -+>, 由1404h ∆=-≥,可知116h ≤ 所以点(,)c h 在射线11216x y ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭上. (充分性)若点(,)c h 在射线11216x y ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭上，则11,216c h =≤ 又方程211112a a a h =++等价于211102a a h -+=，1404h ∆=-≥且1a =1a =()11S f = 令112n n a a +-=，则()()221111122n n n n f n f n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111111222n n n+n n n a a a a +a a +++⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭， 故当2n ≥时，()()()()()()()()12121321n n S a a a f f f f f f n f n f n =+++=+-+-++--=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L 这里无穷数列{}n a12的无穷等差数列. 其中每一项都是正数，所以存在每一项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列与函数的关系和递推数列的性质和处理方法，属于难题.。
上海市黄浦区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题(解析版)
=
=20．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，进行准确计算．
二、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）
7. 的平方根是．
【答案】±2
【解析】
详解】解：∵
∴ 的平方根是±2．
故答案为±2．
8.比较大小：﹣5___﹣2 （填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】比较两个数的平方大小，再比较平方根大小即可．
【详解】解：∵25＞24，
∴ ，即 ，
∴ +x=180°-2x，
解得：x=36°，∴∠BAC=180°-2x=180°-2×36°=108°，
故答案为：90°或108°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键．
20.如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．
C. D. ＝a＋b
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A. ，被开方数不同，不能合并，选项错误，不符合题意；
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项错误，不符合题意；
D. ＝a＋b，选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式的性质，会运用法则进行计算．
【15
【答案】70°
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据∠C＋∠D＝180°可知AD∥BC，从而可知∠A+∠B=180°，再根据∠A－∠B＝40°，解答即可
上海市黄浦区2021届中考二模数学试卷(有答案)
上海市黄浦区2021届中考二模数学试卷一、单选题1.绝对值小于3的整数有( )A.2个B.3个C.5个D.6个2.化简：()32a =( ) A.5a B.6a C.8a D.9a3.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A.圆B.正六边形C.菱形D.等边三角形4.对数据：1、1、1、2、2、3、4，下列判断正确的是( )A.中位数和众数相等B.中位数和平均数相等C.众数和平均数相等D.中位数、众数和平均数都不相等5.“利用描点法画函数图像，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数21y x =，其图像位于( ) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限6.如图1，正六边形ABCDEF 中，记AB a =，BC b =，则a b -是( )A.CDB.DEC.EFD.FA二、填空题7.=___________．8.分解因式：29x -=___________．9.1=的解是___________. 10.已知关于x 的方程260x x k -+=有两个相等的实数根，那么k 的值是___________．11.如果反比例函数2k y x-=k 为正整数，在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小，那么正整数k 的值为___________．12.直线26y x =+与两坐标轴所围成的三角形的面积是___________．13.掷两枚骰子，两者朝上面点数之和只可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12，共11种可能，所以小明认为“掷两枚骰子，出现两者朝上面点数之和为2”的概率是111.你同意小明的观点吗？答：___________,理由是___________．14.为了了解某区初中学生暑假中阅读课外读物的情况，小杰和小丽随机调查了该区内60名初中学生，并将调查数据整理成下面的条形图图2.如果该区共有初中学生15000人，那么估计该区在暑假中阅读了4本课外读物的初中学生有___________人．15.如图3，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1:0.75，那么该水库迎水坡AB 的长度为___________米．16.已知在ABC中，345AC BC AB===，，，点D位于边AB上，过点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F如图4，设AD x=，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是___________．不必写定义域.17.在平面直角坐标系内，已知点(3,4)A，如果圆A与两坐标轴有且只有3个公共点，那么圆A的半径长是___________．18.如图5，在等腰梯形ABCD中，AD BC.将ABD沿对角线BD翻折，点A的对应点E恰好位于边BC上，且:3:2BE EC=，则C∠的余切值是___________．三、解答题19.计算：()02π34sin 30-+︒-20.解方程组：22225, 40. x y x y ⎧+=⎨-=⎩①② 21.如图6，AB 是圆O 的直径，点C 、D 为圆O 上的点，满足：AC CD =，AD 交OC 于点E ．已知32OE EC ==，.（1）求弦AD 的长；（2）请过点C 作AB 的平行线交弦AD 于点F ，求线段EF 的长．22.某款轿车每行驶100千米的耗油量y 升与其行驶速度x 千米/小时之间的函数关系图像如图7所示，其中线段AB 的表达式为()1132510025y x x =-+≤≤，点C 的坐标为(140,14)，即行驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升.（1）求线段BC 的表达式；（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升？23.如图8，CD 是直角ABC 斜边AB 上的中线，点E 位于边AC 上，且ADE B A ∠=∠-∠.（1）求证：CDE ABC ∽；（2）当:DA EA =时，求CDE 与ABC 的面积比．24.如果抛物线21y ax b C x c =++：与抛物线22y ax dx C e =-++：的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线2C 是1C 的“对顶”抛物线．（1）求抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线247y x x =-+的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线247y x x =-+形成两个交点M 、N ，记平移前后两抛物线的顶点分别为A 、B ，当四边形AMBN 是正方形时，求正方形AMBN 的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线1C 与2C 的顶点位于x 轴上，那么系数b 与d ，c 与e 之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.25.如图9，AD 是ABC 的角平分线，过点C 作AD 的垂线交边AB 于点E ，垂足为点O ,联结DE .（1）求证：DE DC =；（2）当90ACB ∠=︒，且BDE 与ABC 的面积比为1∶3时，求:CE AD 的值；（3）是否存在ABC 能使CE 为ABC 边AB 上的中线，且CE AD =？如果能，请用CAB ∠的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由.参考答案1.答案：C解析：2.答案：B解析：3.答案：D解析：4.答案：B解析：5.答案：A解析：6.答案：D解析：7.答案：3解析：8.答案：()()33x x -+解析：9.答案：1解析：10.答案：9解析：11.答案：112.答案：9解析：13.答案：不同意，11种情况非等可能发生解析：14.答案：1500解析：15.答案：30解析：16.答案：21212255y x x =-+ 解析：17.答案：4或5解析：18.答案：24解析：19.答案：原式1+25+2312523=--=. 解析：20.答案：由①-②，得21y =.代入，得24x =，则2x =±，1y =±，所以方程组的解为1121x y =⎧⎨=⎩，2221x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4421x y =-⎧⎨=-⎩. 解析：21.答案：（1）由弧AC =弧CD ，得CO AD AE DE ⊥=，. 在AOE 中，9035AEO OE OA OC OE CE ∠=︒===+=，，， 得224OA AE OE -=，所以8AD AE DE =+=.（2）由CFAB ， 得EF AE CE OE=， 则83AE CE EF OE ⨯==.22.答案：（1）表达式为()1710014082y x x =-≤≤. （2）至少耗油24.6升.解析：23.答案：（1）∵CD 是直角ABC 斜边上的中线，DC DA DB ∴==，DCA A ∴∠=∠. 在ADE 中，DEC A ADE ∠=∠+∠. 又ADE B A ∠=∠-∠，即B A ADE ∠=∠+∠， DEC B ∴∠=∠.CDE ABC ∴∽.（2）令EA k DA CE x ===，，. 由CDE ABC ∽， 得CE AB CD AC ==， 解得3x k =，4x k =-舍.所以2238CDE ABC S CE S AB ∆∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 解析：24.答案：（1）“对顶”抛物线为()223y x =--+，即241y x x =-+-. （2）正方形AMBN 的面积为()21222k ⨯=.（3）b d c e =-⎧⎨=-⎩. 解析：25.答案：（1）AD 是角平分线， CAO EAO ∴∠=∠.又CE AD ⊥，90COA EOA ∴∠=∠=︒.又AO AO =，AOC AOE ∴≌.AC AE ∴=.在ACD 与AED 中，AC AE CAD OAD AD AD =∠=∠=，，，ACD AED ∴≌，DE DC ∴=.（2）CE AD =（3）存在这样的三角形.理由见解析.。