二余数问题
数论.第4讲.余数问题(二).教师版
第四讲余数问题（二）知识点拨一、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差，或这个差除以c的余数。
3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
二、弃九法在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
三、中国剩余定理1.中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
余数问题的解题方法
余数问题的解题方法
解题方法：
1. 除法互换律：将被除数和除数互换，得到的结果是余数。
例如：1÷3=0...1，则3÷1=3...0，即余数为零。
2. 同余定理：如果a÷b=c...d（c为商，d为余数），则a-d÷b=c...0，即余数为零。
例如：7÷3=2...1，则7-1÷3=2...0，余数为零。
3. 分解质因数法：将被除数和除数分解质因数，列出所有的可能组合，直到得到能够整除的结果则余数为零。
例如：6÷3=2...0，则2×3=6，余数为零。
4. 模运算：使用模运算，即a mod b=d，其中d为余数。
5. 对于除法不可整除的情况，可以使用乘除法，即a×b=c+d（c大于等于a，d为余数），其中d为余数。
例如：7×3=21，则21-7=14，余数为7。
6. 开平方法：将被除数平方，或者除数平方，直到得到整除的结果则余数为零。
例如：64÷8=8...0，则8×8=64，余数为零。
7. 拆分成多项式：将被除数和除数拆分成多项式，例如
a=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n，b=b_1x_1+b_2x_2+…+b_nx_n，则a÷b=c...d（其中d为余数）。
数学运算余数问题
数学运算余数问题
在数学运算中，余数问题是一个常见的问题类型。
余数是指在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后得到的剩余部分。
例如，在计算 10 ÷ 3 时，商是 3，除数是 3，被除数是 10。
根据余数的定义，我们可以计算得到余数为 1，因为 10 - 3 × 3 = 1。
在解决余数问题时，我们需要掌握几个关键点：
余数必须是一个非负整数，即余数大于等于0。
如果被除数小于除数，那么余数为0。
余数是除法的结果的一部分，它反映了被除数未被完全除尽的部分。
余数有特定的性质，如余数的和等于两个被除数的和除以除数的余数，余数的乘积等于两个被除数的乘积除以除数的余数等。
这些性质在解决复杂数学问题时非常有用。
在解决具体问题时，我们需要根据题目的要求和条件来选择合适的方法。
例如，我们可以通过整除的性质来确定余数的范围，或者通过循环计算来找到满足条件的余数。
同时，我们还需要注意运算的顺序和精度，以避免出现错误的结果。
总之，余数问题是一个重要的数学概念，它涉及到整数除法、模运算等多个方面。
通过掌握余数的定义、性质和解题技巧，我们可以更好地解决各种数学问题。
小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2
在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。
带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。
五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。
同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。
知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。
解题方法：1）逐步满足法。
列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。
这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。
2）最小公倍数法。
该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。
重点在于转换问题的方法。
某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。
聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。
求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。
(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。
余数的运用
余数的运用首先，我们来定义余数。
余数是一个数除以另一个数所得到的整数部分之外的部分。
换句话说，如果一个数除以另一个数，商为整数部分，余数为余数部分。
例如，8除以3，商为2，余数为2；10除以4，商为2，余数为2余数的性质有以下几点：1.余数不会小于0。
因为余数是除法运算之后得到的，它必定是非负整数。
2.如果两个数除以同一个数得到的余数相等，那么这两个数的差是该数的倍数。
例如，如果a除以b得到的余数为r，b除以c得到的余数也是r，那么a-b是b的倍数，b-c是c的倍数。
3.如果两个数除以同一个数得到的余数不相等，但除法得到的商相等，那么这两个数的差是该数的倍数。
例如，如果a除以b得到的余数为r1，b除以c得到的余数为r2，但a/b=b/c，那么a-b是b的倍数，b-c是c的倍数。
现在我们来看一些经典问题中余数的运用。
1.求余数问题：求一个数除以另一个数的余数是一个常见的问题。
比如，求24除以7的余数。
我们可以用除法运算得到商为3，余数为3、因此，24除以7的余数为32.除法算术的变化：我们可以利用余数来改变除法算术的运算方式。
例如，我们要求27除以6的商，并将商转换为小数。
我们可以先求余数，然后将余数除以6得到小数部分。
27除以6，商为4，余数为3、3除以6，小数为0.5、因此，27除以6的小数部分为0.5，整数部分为4，即27除以6等于4.5 3.进制转换：余数的运用在二进制、八进制和十六进制的转换中非常重要。
在二进制中，余数只有0和1两个值，可以把余数转换成相应的数字。
例如，我们要把二进制数1101转换成十进制数，可以将1对应为2的0次方，0对应为2的1次方，1对应为2的2次方，1对应为2的3次方。
然后，将这些数相加得到十进制数134.周期性问题：余数的周期性特征在解决一些周期性问题时非常有用。
例如，我们要计算2024年第N天是星期几。
我们知道一周有7天，所以可以通过求模运算来得到相应的余数。
(完整版)四年级奥数第二讲余数问题
第二讲余数问题带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b乒0），若有a + b=q ..... r,也就是a= b x q + r, 0< rv b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商在除法中，当被除数除以除数（除数不等于0）出现了余数（余数要比除数小），就称为有余数的除法。
在有余数的除法中，我们要记得：1、被除数=除数x商+余数2、被除数一余数=除数X商由此得到：除数 =;商=。
例题1、两个整数相除，商是12,余数是8,并且被除数与除数的差是822,求这两个数。
分析：这是一个差倍问题，画线段图可以分析得出：除数为：（822-8） + （ 12-1） =74,被除数为:822+74=896例题2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）在1到100这100个数中，被2,3,5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个。
分析：被2除余数为1,被3除余数为2,被5除余数为3或者4,用枚举法，利用5的倍数进行枚举：5+4=9,10+3=13,15+4=19,20+3=23等有23,29,53,59,83,89 共6 个。
例题3、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）五位数186ab,被3除余2,被5除余3,被11除余0,贝U ab =。
分析：用除法算式，先满足被11除余0,得出ab可能取值为：01,12,23,34,45,56,67,78,89,再满足被5除余3,末尾为3或者8,只能取23,78;最后满足被3除余2,所以只有78.练习：1、（第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）一个除法算式，若被除数比除数大2016, 商是15,余数是0,则被除数是。
2、（第十二届“希望杯”数学四年级试题）过元旦时，班委会用730元为全班同学每人买了一份价值17元的纪念品，剩余16元，那么，这个班级共有名。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
带余数的除法问题
带余数的除法问题在数学中，带余数除法又称为长除法。
它是一种找出两个数的商和余数的方法，通常在处理多项式、定理证明和计算机科学中广泛应用。
本文将详细介绍带余数除法的步骤和实例应用。
首先，我们来介绍带余数除法的步骤。
以10除以3为例，步骤如下：STEP1：将被除数10写在第一行，除数3写在第二行，两者之下留一些空白。
STEP2：找出一个数，使它乘以除数后不超过被除数，将这个数写在第二行下面。
STEP3：用第二行的数乘以除数，并写在下面一行。
STEP4：将第三行的数与第一行相减，并将差写在右下角的方框内。
STEP5：将新的数字带入第二行的空格中，重复步骤2-4，直到不能再找出新数字为止。
STEP6：被除数的最后一个余数就是答案，即10÷3的余数为1。
以上是简单例子，接下来我们再看一个稍微复杂一点的例子，例如48÷7。
STEP1：将被除数48写在第一行，除数7写在第二行，两者之下留一些空白。
STEP2：找出一个数，使它乘以除数后不超过被除数，将这个数写在第二行下面。
7×6=42，小于等于48，于是将6写在第二行下面。
STEP3：用第二行的数6乘以除数，并写在下面一行。
6×7=42。
STEP4：将第三行的数与第一行相减，并将差写在右下角的方框内。
48-42=6。
STEP5：将新的数字带入第二行的空格中，重复步骤2-4，直到不能再找出新数字为止。
由于48-42=6，被除数已经小于除数了，所以我们无法再找到新的商了。
STEP6：被除数的最后一个余数就是答案，即48÷7的余数为6。
除此之外，带余数除法还有一个非常重要的概念，即负余数。
当被除数为负数时，余数也有可能是负的。
例如-10÷3，答案是商为-3，余数为2。
在计算机科学中，处理负数的余数问题是非常重要的，需要特别注意。
总的来说，带余数除法是一种非常实用的数学方法，它不仅能够求解两个数的商和余数，还可以应用到多项式的除法、定理证明和计算机科学中。
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专题二余数与同余
【基础知识】
在整数除法运算中，除了“能整除”的情形外，更多的是“不能整除”情形，如95÷3，48÷5……，不能整除就产生了非零余数问题。
95÷3=31......2，，48÷5=9 (3)
它们的另一种表示法为：
95=3×31+2，48=5×9+3
一般地，a是整数，b是自然数，那么一定有两个整数q和r，使得a=b×q+r（0≤r<b)。
当r=0时，a能被b整除；
当r≠0时，r叫做a除以b的余数，式子a=b×q+r叫做带余数除法，也就是：a÷b= q……r。
用同一个自然数去除两个或更多整数，余数可能不同，也可能相同。
如，53÷6=8 (5)
82÷6=13 (4)
94÷6=15 (4)
其中，82，94被6除的余数相同，是同余。
1.有余数的除法各部分之间的关系：
被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法
2.除法算式的特征:余数＜除数
3.有关余数问题的性质：
性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
【例题1】算式：□÷7﹦□……□，其中商和余数相同，被除数有几种可能？
【例题2】小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？
【例题3】两个自然数相除，商
数和除数。
试一试：
1、两数相除，商16，余数是4，已知被除数、除数、商和余数的和是313，求除数和被除数。
2、两数相除，商40余7，已知被除数、除数、余数和商的和是710，求被除数。
（周期）【例题4】甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、乙报5、丁报6、甲报7、乙报8、丙报9，……，这样，报1990这个小朋友是_____.
（分解质因数）【例题5】474除以一个两位数的余数是6，求符合条件的所有两位数。
因为被除数=商×除数＋余数，所以商×除数=被除数－余数。
因此，所求两位数与商的积是474－6=468
试一试：
1、用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数。
2、389除以一个两位数，余数是
3、把310粒糖果分给五（1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下37粒糖果，且不够继续分，那么全班有多少人？
【同余或同缺】
在作除法运算时，我们有这样的经验：
(1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有
5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23，
(2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.
389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4)
由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
1、某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少?
2、某数被5除余2，被7除余4，被11除余8. 问某数是多少和某数最小是多少?
【规律】利用最小公倍数
某数分别除以a、b、c、……，得到相同的余数k.某数最小是[a，b，c，……]+k.
某数分别除以a、b、c、……，得到不同的余数A、B、C、……，但是缺少的数同样多(设为k)，某数最小是[a，b，c，……]-k.
试一试：
1、一批苹果，每24个装一箱，最后一箱少5个；每30个装一箱，最后一箱少11个；每25个装一箱，最后还多19个；这批苹果至少有几个？
3、一个自然数，除以4余2，除以10余8 ，除以25余23，这个数最小是几？
【问题延伸】
【例题1】求111……11被13除的余数。
2007个1
解析：用2007个1所组成的2007位整数去除以13，再求出余数，显然太麻烦。
我们可以先写出若干1所组成的数来除以13
试一试：
1、777……7除以13，余数是几？商的各位数字之和是多少？
100个7
2、333……3除以7，余数是几？
2007个3
【例题2】求2001的2003次方除以13的余数。
【例题3】有一整数，除300
【例题4】在1～1000之间同时能被2，3，7除都余1的数有多少个？
试一试：
1、有一个大于1的整数，用它除1000，1975，2001都得到相同的余数，这个整数是多少？
2、1989，901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。
3、一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？
【例题5】（1）一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，适合这些条件的最小的数是几？
（2）有一个数，除以3余1，除以4余2，问这个数除以12余数是几？
解析：我们可以用枚举来解答。
试一试：一个数除以5余1
综合练习
1、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？
2、一个非零自然数除以11所得的商和余数（余数不为0）相等，写出所有符合条件的数。
3、两个数相除，商8余16，已知被除数、除数、商和余数的和为265，求除数和被除数。
4、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？
5、333……33除以13的余数是几？
2007个3
6、一个大于1的整数，它除324，919，2007所得的余数相同。
求这个整数。
7、有一个整数，用它去除45，53，143得到的3个余数的和是20，这个数是多少？
8、苹果362个，梨234个，等分给若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分到的苹果和梨的总数不超过30个，那么小朋友有多少人？。