第十二章排队论运筹学上海电力学院,施泉生

于正态分布。当 k 时，方差 0 即为完全非随机的。
排队系统的符号表示：
“Kendall”记号：X / Y/ Z / W
其中：X表示顾客相继到达的时间间隔 分布；
Y表示服务时间的分布；
Z表示服务台个数；
W表示系统的容量，即可容纳的 最多顾客数。
例 12-1 M /M/ 1 /
M表示顾客相继到达的时间 间隔服从负指数分布； M表示服 务时间为负指数分布；单个服务 台；系统容量为无限（等待制） 的排队模型 。
混合制排队系统：
• 逗留时间（等待时间与服务时间 之和）有限。例：用高射炮射击 飞机，当敌机飞越射击有效区域 的时间为t时，若这个时间内未被 击落，也就不可能再被击落了。
损失制和等待制可看成是混
合制的特殊情形，如记s为系统 中服务台个数，则当k=s时，混 合制即为损失制；当k=时，即 成为等待制。
{Xn}的分布A(t)常见的有：
o 定常分布（D）：顾客相继到达的 时间间隔为确定的。如产品通过传 送带进入包装箱就是定常分布。
o 最简流（或称Poisson)（M）：顾客 相继到达的时间间隔{Xn}为独立的， 同为负指数分布，其密度函数为：
a(t)=
e- t 0
t0 t<0
❖ 排队及排队规则
➢ 排队
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因 故障而停止运行的机器设备在等待修理； 码头上的船只等待装货或卸货；要下降 的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。
当然，进行服务的也不一定是人，可 以是跑道，自动售货机，公共汽车等。
顾客——要求服务的对象。
服务员——提供服务的服务者（也称 服务机构）。
顾客、服务员的含义是广义的。
排队系统类型：
顾客到达
服务完成后离开
服务台
单服务台排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台，一个队列的排队系统
排队系统类型：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
Hale Waihona Puke 服务完成后离开服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
例 12-2 M /M/ S / K
表示顾客到达的时间间隔服从负 指数分布； 服务时间为负指数分布； S个服务台；系统容量为K的排队模 型。
当 K= S 时为损失制排队模型；
当 K= 时为等待制排队模型。
o 具有优先权的服务（PS）。服务 台根据顾客的优先权的不同进行 服务。如病危的病人应优先治疗； 重要的信息应优先处理；出价高 的顾客应优先考虑。
❖ 服务机制
包括：服务员的数量及其连 接方式（串联还是并联）；顾客 是单个还是成批接受服务；服务 时间的分布。记某服务台的服务 时间为V，其分布函数为B(t),密度 函数为b(t),则常见的分布有：
➢ 排队规则
当顾客到达时，若所有服务 台都被占有且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。服务台对 顾客进行服务所遵循的规则通常 有：
o 先来先服务（FCFS）
o 后来先服务（LCFS）。在许多库 存系统中就会出现这种情况，如 钢板存入仓库后，需要时总是从 最上面取出；又如在情报系统中， 后来到达的信息往往更重要，首 先要加以分析和利用。
o 有限排队——排队系统中顾客数 是有限的。
o 无限排队——顾客数是无限，队 列可以排到无限长（等待制排队 系统）。
有限排队还可以分成：
▪ 损失制排队系统：排队空间为零 的系统，即不允许排队。（顾客 到达时，服务台占满，顾客自动 离开，不再回来）（电话系统）
▪ 混合制排队系统：是等待制与损 失制结合，即允许排队，但不允 许队列无限长。
排队系统类型：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
混合制排队系统：
• 队长有限。即系统等待空间是有 限的。例：最多只能容纳K个顾客 在系统中，当新顾客到达时，若 系统中的顾客数（又称为队长） 小于K，则可进入系统排队或接受 服务；否则，便离开系统，并不 再回来。如水库的库容是有限的， 旅馆的床位是有限的。
混合制排队系统：
• 等待时间有限。即顾客在系统中 等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动 离开，不再回来。如易损失的电 子元件的库存问题，超过一定存 储时间的元器件被自动认为失效。
排队系统的描述 实际中的排队 系统各不相同，但概括起来都由 三个基本部分组成：输入过程， 排队及排队规则和服务机构。
❖ 输入过程
➢ 顾客总体（顾客源）数：可能是 有限，也可能是无限。
河流上游流入水库的水量可认为是 无限的；车间内停机待修的机器显 然是有限的。
➢ 到达方式：是单个到达还是成批到 达。库存问题中，若把进来的货看 成顾客，则为成批到达的例子。
➢ 顾客（单个或成批）相继到达的时 间间隔分布：这是刻划输入过程的 最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾 客到达的时刻，则有T0T1 T2….. Tn …… 记Xn= Tn –Tn-1 n=1,2,…, 则Xn是第n顾客与第n-1顾客到达的 时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并记 分布函数为A(t)。
➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接 受的服务时间相互独立，具有相 同的负指数分布：
b(t)= e- t t0
0
t<0
其中>0为一常数。
➢ K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
=
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
第十二章 排队论
1引 言
2
排队论是研究排队系统（又称
随机服务系统）的数学理论和方法，
是运筹学的一个重要分支。
3 有形排队现象：进餐馆就餐，到图 书馆借书，车站等车，去医院看病， 售票处售票，到工具房领物品等现象。
4
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人 只得在各自的电话机前等待，他们分散 在不同的地方，形成一个无形的队列在 等待通电话。