第九章 运筹学排队论2
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运筹学排队论
第十四页，课件共有25页
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
3 .排队问题的特征
• 总体来源
• 排队纪律（服务顺序）
• 服务员数量（通道）
15
第十五页，课件共有25页
3.1 总体来源
• 分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量
是否有限。
潜在顾客数量
有限顾客源
无限顾客源
例如：公司只有
三台机器时，需
要维修的数量
例如：排队等候
公共汽车的乘客
人
收银员
电影院售票窗口人
售票员
第六页，课件共有25页
Where the Time Goes ?
人一生中平均要花费---6个月 停在红灯前
8个月 打开邮寄广告
1年 寻找放置不当的物品
五年排队等
2年 回电话不成功
4年 做家务
待
5年 排队等待
6年 饮食
第七页，课件共有25页
为什么会出现排队现象？
顾客
顾客离开
顾客排队
服务设施
假定每小时平均有4位顾客到达，服务人员为每
位顾客的平均服务时间为15分钟。如果顾客到达的间
隔时间正好是15分钟，而服务人员为每位顾客的服务时
间也正好是15分钟，那么，就只需要一名服务人员，顾
客也根本用不着等待。
在以下情况将出现排队现象：
平均到达率高于平均服务率
顾客到达的间隔时间不一样（随机）
服务时间不一样（随机）
第八页，课件共有25页
8
普通能力
到达数量
时 间
• 排队问题并不是系统的固定状态，它与系统设计与管理的控制
有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客
留出特定的时间段；也可以通过使用更快的服务人员、机器或
《运筹学排队论》课件
资源分配
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
《运筹学排队论》ppt课件
目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
合理分配服务器资源，以提高系统的吞吐量 和响应时间。
最优服务策略问题
总结词
研究如何制定最优的服务策略，以最大化系 统的性能指标。
服务顺序策略
确定服务器的服务顺序，以最小化顾客的等 待时间和平均逗留时间。
服务中断策略
在服务器出现故障时，选择最优的服务中断 策略，以最小化对顾客的影响。
服务时间分布策略
等待队长
指在某一时刻，正在等待服务的顾客总数。
逗留时间与等待时间
逗留时间
指顾客从到达系统到离开系统所经过的时间 。包括接受服务和等待的时间。
等待时间
指顾客到达系统后到开始接受服务所经过的 时间。
忙期与空闲期
要点一
忙期
指系统连续有顾客到达并接受服务的时间段。在这个时间 段内，系统内的顾客数可能会超过系统的容量。
03
02
交通运输
分析铁路、公路、航空等交通系统 的调度和运输效率。
计算机科学
研究计算机网络、云计算、分布式 系统的性能和优化。
04
排队论的基本概念
服务器
提供服务的设施或 人员。
等待时间
顾客到达后到开始 接受服务所需的时 间。
顾客
需要接受服务的对 象。
队列
顾客按到达顺序等 待服务的排列。
服务时间
顾客接受服务所需 的时间。
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目录
• 排队论简介 • 排队系统的组成 • 排队模型的分类 • 排队模型的性能指标 • 排队论的优化问题 • 排队论的发展趋势与展望
01
排队论简介
排队论的定义与背景
1
排队论（Queueing Theory）是运筹学的一个重 要分支，主要研究排队系统（Queueing Systems）的行为特性。
第九章 运筹学排队论2
.
⑵ Lq 的计算 在单服务台情形下,当系统中有顾客时排队等 待的顾客数比系统中顾客总数减少1,因此
Lq (n 1) pn npn pn ,因为L npn npn ,
E (T ) 1
, D (T )
1
2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负 指数分布 t f v (t ) e , 是单位时间能服务完的 顾客数,
E (v) 1
, D(v)
1
2
注意 : E (v)
1
是一个顾客的平均服务 . 时间
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求： （1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f. 如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布 在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流 n 泊松分布pX n e , n 0,1,2,, 0.
⑵ Lq 的计算 在单服务台情形下,当系统中有顾客时排队等 待的顾客数比系统中顾客总数减少1,因此
Lq (n 1) pn npn pn ,因为L npn npn ,
E (T ) 1
, D (T )
1
2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负 指数分布 t f v (t ) e , 是单位时间能服务完的 顾客数,
E (v) 1
, D(v)
1
2
注意 : E (v)
1
是一个顾客的平均服务 . 时间
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求： （1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
解：因为顾客到达间隔时间T服从负指数分 布，所以T 的概率密度为
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f. 如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布 在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流 n 泊松分布pX n e , n 0,1,2,, 0.
运筹学17-排队论II
⇒ µ P2 = ...... Pn = ρ n P0 ... λ λ P0 ⇒ P2 = P0 = ρ 2 P0 µ µ
2 2
School of Business ECUST
P = ρ P0 1 P2 = ρ 2 P0 ... Pn = ρ n P0 ...
1(1 − ρ k ) 1− ρ
School of Business ECUST
小时， 小时， 解：根据题意，λ=200辆/小时，µ=240辆/小时， 根据题意， 辆 小时 辆 小时 ρ=λ/µ=5/6。 λµ 。
ρ L= = =5 5 1− ρ 1− 6
5 6
L q = ρL = 5 × 5 = 4.17 6 1 1 W= = = 0.025( 小时 ) = 90( 秒 ) µ − λ 240 − 200 Wq = ρW = 5 × 90 = 75( 秒 ) 6
µ
公式中， 注：在一般的little 公式中， λ 应为 λe ，称为有效到 在一般的 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中， 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中，由于系 统容量无限制， 统容量无限制，故 λe = λ
School of Business ECUST
(3) 顾客在系统中逗留时间的期望值 客在系统中逗留时间的期望值W
(4)
ρ <1,
即顾客的顾客平均到达率 小于顾客平均服务率时， 小于顾客平均服务率时， 系统才能达到统计平稳。 系统才能达到统计平稳。
School of Business ECUST
高速公路入口收费处设有一个收费通道， 例：高速公路入口收费处设有一个收费通道， 汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为 分布， 汽车到达服从 分布 100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均 辆 小时，收费时间服从负指数分布， 收费时间为15秒 收费时间为 秒／辆。求 (1)、收费处空闲的概率； (1)、收费处空闲的概率； (2)、收费处忙的概率； 、收费处忙的概率； (3)、系统中分别有 ，2，3辆车的概率。 、系统中分别有1， ， 辆车的概率 辆车的概率。
2 2
School of Business ECUST
P = ρ P0 1 P2 = ρ 2 P0 ... Pn = ρ n P0 ...
1(1 − ρ k ) 1− ρ
School of Business ECUST
小时， 小时， 解：根据题意，λ=200辆/小时，µ=240辆/小时， 根据题意， 辆 小时 辆 小时 ρ=λ/µ=5/6。 λµ 。
ρ L= = =5 5 1− ρ 1− 6
5 6
L q = ρL = 5 × 5 = 4.17 6 1 1 W= = = 0.025( 小时 ) = 90( 秒 ) µ − λ 240 − 200 Wq = ρW = 5 × 90 = 75( 秒 ) 6
µ
公式中， 注：在一般的little 公式中， λ 应为 λe ，称为有效到 在一般的 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中， 达率，即顾客实际进入系统率，在本模型中，由于系 统容量无限制， 统容量无限制，故 λe = λ
School of Business ECUST
(3) 顾客在系统中逗留时间的期望值 客在系统中逗留时间的期望值W
(4)
ρ <1,
即顾客的顾客平均到达率 小于顾客平均服务率时， 小于顾客平均服务率时， 系统才能达到统计平稳。 系统才能达到统计平稳。
School of Business ECUST
高速公路入口收费处设有一个收费通道， 例：高速公路入口收费处设有一个收费通道， 汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为 分布， 汽车到达服从 分布 100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均 辆 小时，收费时间服从负指数分布， 收费时间为15秒 收费时间为 秒／辆。求 (1)、收费处空闲的概率； (1)、收费处空闲的概率； (2)、收费处忙的概率； 、收费处忙的概率； (3)、系统中分别有 ，2，3辆车的概率。 、系统中分别有1， ， 辆车的概率 辆车的概率。
管理运筹学-排队论
§6 单服务台泊松到达、定长服务 时间的排队模型
• 记号： M / D / 1 / ∞ / ∞ • 注：是 M / G / 1 / ∞ / ∞ 的特殊情况 = 0 • 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
*有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。
泊松分布 为单位时间平均到达的顾客数 为平均服务率，即单位时间服务的顾客数。
P (x) = x e- / x! (x = 0,1,2,……)
3、服务时间分布： 服从负指数分布
P（服务时间≤ t ) = 1- e- t
4、排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； 先到先服务，后到先服务，随机服务，有优先权的服务。 (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 5、平稳状态： 业务活动与时间无关。
单位平均服务顾客数
P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
9
• 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率
§3 多服务台泊松到达、负指数服 务时间的排队模型
• 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
4
• 关心的项目:
运筹学 Ch9排队论
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
Page 8
2.排队规则 (1)等待制 指顾客到达系统后，所有服务台都不空，顾客加入排队行列 等待服务，一直等到服务完毕以后才离去 ； (1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）； (2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）； (3)有优先权的服务（PR，Priority） (4)随机服务（SIRO，Service in Random Order） (2)损失制 指当顾客到达系统时，所有服务台都已被占用，顾客不愿等 待而离开系统。
顾客到达 服务台 服务台 服务台
… …
…
顾客离去
图9-4 多服务台多队系统
(4)多服务台串联服务
顾客到达
…
服务台
…
服务台
…
顾客离去
图9-5 多服务台串联系统
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
图9-2单服务台单队系统 (2)多服务台单队
服务台 顾客到达
…
服务台 服务台
…
顾客离去
图9-3 多服务台单队系统
9.1 排队论的基本概念 Basic Concepts of Queuing theory
Ch9 排队论 Queuing theory
2014年8月23日星期六
Page 6
(3)多队多服务台 …
Ch9 排队论 Queuing theory
排队论 第2章PPT课件
出现次数fn
10 28 29 16 10 6 1 100
表9-4
为病人完成手术时 间v(小时)
0.0－0.2 0.2－0.4 0.4－0.6 0.6－0.8 0.8－1.0 1.0－1.2 1.2以上 合计
出现次 数fv
38 25 17 9 6 5 0 100
表9-5
26
1.参数的确定
nfn
算出每小时病人平均到达率＝ 1 0 0 ＝2.1(人/小时)
41
例 设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元， 进港船只是最简单流，参数为 ，装卸时间服从参数为
的负指数分布，服务费用为
是一个正常数．
求使整个系统总费用损失最小的服务率
解 因为平均队长
的损失费为
服务费用为
所以船在港口停留 因此总费用为
42
求 使F达到最小，先求F的导数
让
解出
因为
最优服务率是
当
它说明服务机构(手术室)有84％的时间是繁忙(被利用)，有16 ％的时间是空闲的。
27
4.依次算出各指标： 在病房中病人数(期望值)
排队等待病人数(期望值)
Ls
2.1 5.25(人) 2.52.1
L q0 .8 4 5 .2 54 .4 1 (人 )
病人在病房中逗留时间(期望值) Ws 2.51 2.12.5(小 时 )
结
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls Lq
平均服务 时间
平均在忙的服务 台数/正在接受 服务的顾客数
20
服
4. 系统的忙期与闲期
务
强
度
系统处于空闲状态的概率： P0 1
系统处于繁忙状态的概率： P (n0)1P 0
运筹学 排队论
S个服务台，一个队列的排队系统
排队系统类型：
服务台1
顾客到达 服务完成后离开
服务台2 服务台s
服务完成后离开
服务完成后离开
S个服务台， S个队列的排队系统
排队系统类型：顾客到达来自服务台1服务台s
离开
多服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚 （输入）
服务机构
散 （输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。 一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
列车在系统中的平均停留时间
W=L/= 2/2=1（小时）
系统中等待编组的列车平均数
Lq=L-= 2-2/3=4/3（列） 列车在系统中的平均等待编组时间
Wq = Lq/ =(4/3)/(1/2)=2/3（小时）
记列车平均延误（由于站内2股道均 被占用而不能进站）时间为W0 则W0 = WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}
n：当系统处于状态n 时，整个系统的 平均服务率（单位时间内可以服务完 的平均顾客数）；
当n为常数时记为；当每个服 务台的平均服务率为常数时，记每个 服务台的服务率为，则当n s 时， 有n=s。因此，顾客相继到达的平 均时间间隔为1/ ，平均服务时间为 1/ ，令= / s，则为系统的服 务强度。
W=E(T) ：顾客在系统中的平均逗
留时间；
Tq：顾客在系统中的排队等待时间； Wq=E(Tq)：顾客在系统中的平均
排队等待时间。
排队论研究的基本问题：
通过研究主要数量指标在瞬时或平稳 状态下的概率分布及数字特征，了解 系统运行的基本特征。 统计推断问题：建立适当的排队模型 是排队论研究的第一步，建立模型过 程中，系统是否达到平稳状态的检验； 顾客相继到达时间间隔相互独立性的 检验，服务时间的分布及有关参数的 确定等。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n!
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2,, 0.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
第十章 排队论(Queuing theory)
引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
客数
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
3.服务机构:又称服务台
⑴服务台的数目:有单服务台,多服务台; ⑵任一时刻接受服务的顾客数; ⑶服务时间的分布:对每个顾客的服务时间是 随机变量,但是其概率分布多按负指数分布来 处理,也有的服从定长分布.
二.排队系统的描述符号及分类
n:排队系统中顾客的数目
:顾客到达的平均速率,即单位时间内到达 的顾
如:M/M/1/ / /FCFS) M/M/4/N/ /FCFS)
§3 顾客到达数及服务时间的理论分布
在排队服务过程中,单位时间内顾客到达数,顾 客到达时间间隔,服务时间都是随机变量,因此 必须了解它们的概率分布. 一.泊松流
泊松分布 pX n n e , n 0,1,2,, 0.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
刻,要求服务的对象超过了服务机构所能提 供的服务数量时就产生了排队现象. 要减少排队,可以增加服务设施,但是如果增 加的太多,服务设施又会出现空闲浪费;如果 服务设施少,顾客排队太长时,就会损失顾客 也会造成很大损失.因此,决策者必须在服务 对象和服务台之间取得平衡,达到一种最优 配置.此外,在一些大型项目的设计中(港口泊 位,机场跑道,电话线路等),也要根据排队理 论作到超前设计,同时还要考虑费用的优化 问题,这就是排队论研究的内容.
第十章 排队论(Queuing theory)
引言 排队论的基本概念 顾客到达数及服务时间的理论分布 单服务台(M/M/1)排队模型 多服务台的排队模型 排队系统费用的优化模型
§1 引言
排队是日常生活和经济领域中常见的现象.如 顾客在邮局,银行排队办理业务,病人在医院排 队就医,工厂中等待维修的机床,港口内等候卸 货或进港的轮船,机场内等候起飞或降落的飞 机,等等.这都是有形的排队现象.打电话时占线, 需要等待,这是无形的排队现象. 排队是怎样产生的? 首先,我们把上述现象中的人或物,看做是被服 务队象,他们希望得到某种服务,如果在某个时
客数
:系统的平均服务速率,即单位时间内可服务完
的顾客数 pn (t) :在时刻t时系统中有n个顾客的概率 C:服务台的个数 FCFS:先到先服务的排队规则 LCFS:后到先服务的排队规则
PR:优先权服务的排队规则 M:到达过程为泊松过程或负指数过程 D:定长型分布 Ek :k阶爱尔朗分布
a:顾客到达过程的概率分布(输入) b:服务过程的概率分布(输出) d:排队系统的最大容量 e:顾客总体的数量 f:排队规则
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
1953年由K.D.Kendall提出了排队模型记号 方案,由a/b/c/d组成,即 输入/输出/并联服务台数/顾客总体数量
如:M/M/1/ 表示:排队系统中顾客到达
是泊松过程,服务时间服从负指数分布,单服 务台,顾客源无限.
1971年国际排队符号标准会上将上述符号扩 充到六项,即a/b/c/d/e/f.
负指数分布的一个重要特征是“无记忆性”， 也称无后效性或马尔科夫性。这个性质为排 队轮问题的求解带来了方便。如果输入分布 或服务分布为负指数分布，则不论实际排队 过程进行了多长时间，要研究从现在起以后 的情况，只要考虑当前排队所处的状况就可 以了，在此以前的情况可以不考虑，就好像 过程刚开始一样。
2.排队规则:指顾客接受服务的先后次序问 题
⑴损失制:顾客到达时,服务台被占用,顾客随 即离去,不再接受服务; ⑵等待制:服务台被占用,顾客排队等候.根据 服务台对顾客服务的先后顺序又分为 ⅰ.先到先服务; ⅱ.后到先服务; ⅲ.随机服务; ⅳ.优先权服务. ⑶混合制:顾客起初排队,看到队伍太长又离去.
注意: 参数表示单位时间内到达顾数的平均值.
二.负指数分布
现在研究当输入过程是泊松流时,两顾客先后
到达时间间隔T的概率n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
可知,当n=0时即在[0,t]内没有顾客到达的概率
为 p0 (t) et , 则至少有一个顾客到达的概率 分布函数为 FT (t) 1 et ,t 0, 相应的概率密
度为 FT(t) fT (t) et , (t 0).
1
1
E(T ) , D(T ) 2
三.服务时间v的概率分布
一般总是假定顾客接受服务的时间v也服从负
指数分布
fv (t) et , 是单位时间能服务完的顾客数,
E(v)
1
,
D(v)
1
2
注意 : E(v) 1 是一个顾客的平均服务 时间.