运筹学 第十章 排队论汇编
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运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学排队论2
现将上式参数 引入时间因素 t ,即将
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
运筹学排队论
降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
运筹学课件：排队论总结
假定不允许缺货，订购后供货单位能即时供应，求最优订购量、订 购间隔期和单位时间总费用。
Operation Research
模型二：不允许缺货，生产需一定时间（1）
第八讲
该模型最早用于确定生产批量，因此也称为生产批量模型 （Production lot size）
模型假设条件
缺货费用无穷大，C2→∞
存储量随时间的变化情况
-R
Operation Research
第八讲
模型一：不允许缺货，备货时间很短（2）
问题分析
决策的要素： 确定合适的订货时间间隔；确定合适的订货量；
矛盾所在
1. 订货间隔时间短，可以减少每次的订货量，降低存储费用；但在一 个固定时间段内，必然会增加订购次数，使订购费用增加；
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（2）
存储量随时间的变化情况
Operation Research
解释
第八讲
Operation Research
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（3）
公式推导
Operation Research 求最小值
第八讲
Operation Research
单位时间内单位缺货的损失，C2为常数
当存货降至零时，允许拖一段时间，然后订货就逐步均匀到货， 到货（生产）速率为P为常数
需求是连续的、均匀的，设需求的速率R（单位时间的需求量）为 常数，并且P>R，则t时间的需求量为Rt
每次订货量不变，订购费不变，C3为常数 单位存储费不变，C1为常数
Operation Research
Operation Research
第八讲
Operation Research
模型二：不允许缺货，生产需一定时间（1）
第八讲
该模型最早用于确定生产批量，因此也称为生产批量模型 （Production lot size）
模型假设条件
缺货费用无穷大，C2→∞
存储量随时间的变化情况
-R
Operation Research
第八讲
模型一：不允许缺货，备货时间很短（2）
问题分析
决策的要素： 确定合适的订货时间间隔；确定合适的订货量；
矛盾所在
1. 订货间隔时间短，可以减少每次的订货量，降低存储费用；但在一 个固定时间段内，必然会增加订购次数，使订购费用增加；
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（2）
存储量随时间的变化情况
Operation Research
解释
第八讲
Operation Research
第八讲
模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需一定时间（3）
公式推导
Operation Research 求最小值
第八讲
Operation Research
单位时间内单位缺货的损失，C2为常数
当存货降至零时，允许拖一段时间，然后订货就逐步均匀到货， 到货（生产）速率为P为常数
需求是连续的、均匀的，设需求的速率R（单位时间的需求量）为 常数，并且P>R，则t时间的需求量为Rt
每次订货量不变，订购费不变，C3为常数 单位存储费不变，C1为常数
Operation Research
Operation Research
第八讲
第十章 排队论(1)
等待起飞的飞机 飞机
为一致起见, 服务的对象统称为" 为一致起见,将服务的对象统称为"顾 统称为 客",将提供服务的服务者称为"服务员" 提供服务的服务者称为"服务员" 称为 或"服务机构". 服务机构" 千差万别的排队系统可以描述为:顾客为 千差万别的排队系统可以描述为: 了得到某种服务到达系统, 了得到某种服务到达系统,若不能立即获 得服务而又允许排队等待, 得服务而又允许排队等待,则加入等待队 伍,待获得服务后离开系统. 待获得服务后离开系统.
输入过程
Poisson流(M):顾客相继到达时间间隔 n}是 流 顾客相继到达时间间隔{X 是 顾客相继到达时间间隔 相互独立的,服从负指数分布(Exponential 相互独立的,服从负指数分布 负指数分布 distribution),其密度函数为, ,其密度函数为
λe λt a(t) = 0 t≥0 t<0
需求 群体
排队结构
离开
服务过程
排队论是研究排队系统的数学理论 排队论是研究排队系统的数学理论 排队系统 和方法,是运筹学的一个重要分支. 和方法,是运筹学的一个重要分支.在 日常生活中, 日常生活中,人们会遇到各种各样的排 队问题. 队问题.
商业服务系统
系统类型 银行出纳服务 ATM机服务 机服务 商店收银台 管道服务 机场检票处 经纪人服务 顾客 人 人 人 阻塞的管道 人 人 服务台 出纳 ATM机 机 收银员 管道工 航空公司代理人 股票经纪人
排队系统的主要数量指标和记号
忙期B 忙期 闲期 I (服务机构连续忙碌的时间 这一指标决定 服务机构连续忙碌的时间), 服务机构连续忙碌的时间 (服务机构连续保持空闲的时间 忙期与闲 服务机构连续保持空闲的时间),忙期与闲 服务机构连续保持空闲的时间 了服务人员的服务强度. 了服务人员的服务强度 期交替出现. 期交替出现 当系统处于状态n时 λn:当系统处于状态 时,新来顾客的平均到达率 当系统处于状态 (即单位时间内来到系统的平均顾客数) 即单位时间内来到系统的平均顾客数) 当系统处于状态n时 整个系统的平均服务率, n:当系统处于状态 时,整个系统的平均服务率, 当系统处于状态 即单位时间内可以服务完的顾客数) 即单位时间内可以服务完的顾客数)
运筹学排队论公式总结（符号表示与北京理工参考课本一致）
Wq
Lq e
e （1 p0）(mL)
L
m
1
Wq
Lq e
|
e （1 p0）(mL)
L
m
1
平均 队长
L
m
u
(1
p0
)
m
L npn n0
主 平均 要 排队长 工 作 指 平均 标 逗留时间
Lq
m
(
u（) 1
p0）
L
（1
p0）
L
e u
W L e
ms
Lq npsn n0
W L e
平均 等待时间
N 系统状态
超过 k 的概率
U 逗留时间
超过 t 函数
Q 等待时间
概率
有效到达率
生产损失率/停 工比例 利用率
L
Lq
主 平均 要 排队长 工 作 指 平均 标 逗留时间
Lq
2 1
WqWL ຫໍສະໝຸດ Lq&s s!(1 )2
Po
W
L
平均 等待时间
Wq
Lq
W
N 系统状态
超过 k 的概率
P(N k) k1
U 逗留时间
超过 t 函数
P(U t) eut(1)
Wq
Lq
P(n
k
)
nk
Pn
k
&k !(1
)
Po
Q 等待时间
概率
顾客时间损失 系数
P(Q 0) 1 P0
Wq E(V )
Wq
?
Wq E(V )
Wq
无限源 有限队长
M/M1/r/∞/∞
M/M/s/r/∞
管理运筹学-排队论
排队系统
顾客到达
排队Biblioteka 服务机构服务顾客离去
2
§1 排队过程的组成部分(2)
• 考虑要点： 1、服务台个数：单服务台、多服务台 2、顾客到达过程：本教材主要考虑顾客泊松到达情况。 满足以下四个条件的输入流称为泊松流（泊松过程） *平稳性：在时间区间[t, t+t)内到达k个顾客的概率与t无关，只与t有关。记为pk(t）。 *无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 *普通性：在足够短的时间内到达多于一个顾客的概率可以忽略；
第十三章
• • • • • • •
排队论
排队过程的组成部分 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 排队系统的经济分析 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队 模型 • 顾客来源有限制排队模型
3
§2 单服务台泊松到达、负指数 服务时间的排队模型
• 记号： M / M / 1 / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
4
• 关心的项目:
1、系统中无顾客的概率 2、系统中平均排队的顾客数 3、系统中的平均顾客数 4、系统中顾客平均的排队等待时间 5、系统中顾客的平均逗留时间 6、系统中顾客必须排队等待的概率 7、系统中恰好有 n 个顾客的概率
§3 多服务台泊松到达、负指数 服务时间的排队模型
• 记号： M / M / C / ∞ / ∞ • 条件：单位时间顾客平均到达数
单位平均服务顾客数 P0 Lq Ls Wq Ws Pw Pn
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一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时 刻和服务台提供服务的时间长短都是随机的，因此这样 的服务系统被称为随机服务系统
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
排队论
排队论
❖ 引言 ❖ 生灭过程和Poisson过程 ❖ M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各 种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统 的最优设计和最优控制问题。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图10-1至10-4
图10-1 单服务台排队系统 图10-2 单队列——S个服务台并联的排队系统
图10-3 S个队列——S个服务台的并联排队系统 图10-4 单队——多个服务台的串联排队系统
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松 流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2．排队及排队规则
(1)排队 排队分为有限排队和无限排队两类。 有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空 间是有限的，当系统被被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统； 无限排队是指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到 无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， 这类系统又称为等待制排队系统。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本ห้องสมุดไป่ตู้ 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数 又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可 以是有限的，也可以是无限的。 例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而车间内停机待修得机器显然是有限的。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
(2)顾客到达方式 这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还 是成批到达。
病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中 如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾 客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔 的分布。 这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确 定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K 个顾客(K=1、2、)的概率是多大。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
排队的不一定是人，也可以是物：
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修 理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空 而在空中盘旋等等。
显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种 服务的人或物和提供服务的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服 务的人或机构称为“服务员”或“服务机构”。
•先到先服务（FCFS）
•后到先服务（LCFS）
仓库中迭放的钢材，后迭放上去的 都先被领走，就属于这种情况。
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
(2)排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。例如，排队等待售票，故障设备等待 维修等。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：
小结
排队系统又称随机服务系统 ① 有请求服务的人或物； ② 有为顾客服务的人或物； ③ 顾客到达时间与接受服务时间是随机的。
结构： 顾客到达 ----- 排队 ------ 服务机构服务 ------ 顾客离去
排队论
排队论
❖ 引言 ❖ 生灭过程和Poisson过程 ❖ M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤 现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各 种排队系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统 的最优设计和最优控制问题。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以一般地描述如下：
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服 务后离开系统，见图10-1至10-4
图10-1 单服务台排队系统 图10-2 单队列——S个服务台并联的排队系统
图10-3 S个队列——S个服务台的并联排队系统 图10-4 单队——多个服务台的串联排队系统
② 等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间不超过 某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动 离去，并不再回来。 如顾客到饭馆就餐，等了一定时间后不愿再等而自动 离去另找饭店用餐。
③ 逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。例如 用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮射击有效区 域的时间为t 时，若在这个时间内未被击落，也就不 可能再被击落了。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的 系统，网络排队系统等
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可以由图10-5 加以描述
图10-5 随机服务系统
通常称上图表示的系统为一随机聚散服务系统，任一排队系 统都是一个随机聚散服务系统。 这里，“聚”表示顾客的到达，“散”表示顾客的离去。
所谓随机性则是排队系统的一个普遍特点，是指顾客的 到达情况(如相继到达时间间隔)与每个顾客接受服务的时 间往往是事先无法确切知道的，或者说是随机的。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松 流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
2．排队及排队规则
(1)排队 排队分为有限排队和无限排队两类。 有限排队是指排队系统中的顾客数是有限的，即系统的空 间是有限的，当系统被被占满时，后面再来的顾客将不能 进入系统； 无限排队是指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到 无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， 这类系统又称为等待制排队系统。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本ห้องสมุดไป่ตู้ 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数 又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可 以是有限的，也可以是无限的。 例如，到售票处购票的顾客总数可以认为是无限的， 而车间内停机待修得机器显然是有限的。
混合制排队系统（允许排队，但又不允许队列无限长） 这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允 许排队，但又不允许队列无限长下去。具体说来，大致有 三种：
① 队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时， 后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是 有限的。 如旅馆的床位是有限的。
(2)顾客到达方式 这是描述顾客是怎样来到系统的，他们是单个到达，还 是成批到达。
病人到医院看病是顾客单个到达的例子。在库存问题中 如将生产器材进货或产品入库看作是顾客，那么这种顾 客则是成批到达的。
(3)顾客流的概率分布，或称相继顾客到达的时间间隔 的分布。 这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确 定的指标。这也可以理解为在一定的时间间隔内到达K 个顾客(K=1、2、)的概率是多大。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
排队的不一定是人，也可以是物：
例如，通讯卫星与地面若干待传递的信息；生产线上的原 料、半成品等待加工；因故障停止运转的机器等待工人修 理；码头的船只等待装卸货物；要降落的飞机因跑道不空 而在空中盘旋等等。
显然，上述各种问题虽互不相同，但却都有要求得到某种 服务的人或物和提供服务的人或机构。
排队论里把要求服务的对象统称为“顾客”,而把提供服 务的人或机构称为“服务员”或“服务机构”。
•先到先服务（FCFS）
•后到先服务（LCFS）
仓库中迭放的钢材，后迭放上去的 都先被领走，就属于这种情况。
不难注意到，损失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如 记s为系统中服务台的个数，则当K=s时，混合制即成为损失 制；当K=∞时，混合制即成为等待制。(K为系统中可容纳的顾 客数)
(2)排队规则 当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该 顾客将进入队列等待。例如，排队等待售票，故障设备等待 维修等。服务台对顾客进行服务所遵循的规则通常有：