第五章第一讲 相交线与平行线 基本概念解析

相交线与平行线 基本概念【知识点1．余角、补角、互为余角、互为补角的性质】 1.互为余角、互为补角如果两个角的和为90︒（直角），那么这两个角互为余角 如果两个角的和为180︒（一个平角），那么这两个角互为补角注意：1）余角和补角都是相对于两个角而言的，强调的是两个角的数量关系，与两个角的相互位置没有关系。

主要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等2.互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.3.互为补角的有关性质：①若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C ＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C .典型例题1．一个角是70°39′，它的余角和补角分别是多少度？若一个角的余角是67°41′，这个角是多少度？若一个角的补角是150°，那么这个角的余角是多少度？2．一个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（ ） A.30° B.40° C.60° D.75°3．如图，直线AB 与CD 相交于一点，那么∠1=∠2吗？试说明理由. （等角的补角相等）4．如图，∠AOB 是直角，∠COD=90°，OB 平分∠DOE ，则∠3与∠4 是什么关系？并说明理由.【巩固练习】1.7150'︒=∠α，则它的余角等于________；β∠的补角是2183102'''︒，则β∠=_______。

2.下面4个命题中正确的是（ ）A 、相等的两个角是对顶角B 、和等于90 º的两个角互为余角C 、如果∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角D 、一个角的补角一定大于这个角 3.一个角的补角是它的3倍，求这个角是多少度？4.已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°，那么这个角是多少度？31 2 4A C DBC AD B E3 1245.如图所示，直线AB 、CD 相交于点O ，已知∠AOC=70 º，OE 把∠BOD 分成两个角，且∠BOE ：∠EOD=2：3，求EOD 的度数。

A DO EC B【知识点2.对顶角与邻补角】1．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 邻补角：两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角。

角的名称 特征性质 对顶角①两条直线相交而成的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边对顶角相等邻补角 ①两条直线相交而成的角 ②有一个公共顶点 ③有一条公共边邻补角互补【典型例题】1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )12121221A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ，图中有 对对顶角。

3.在同一平面内互不重合的三条直线,它们的交点个数是（ ）。

A ．可能是0个，1个，2个B ．可能是0个，2个，3个C ．可能是0个，1个，2个或3个D ．可能是1个或3个4.如图，直线AB 与CD 交于O 点，，则= ．5.将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°6.如图，若∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内部，并且 ∠BOE =12∠COE ，∠DOE =72°。

求∠COE 的度数。

A4 D2 1C 3B O30°45°αDBEA CO【巩固练习】1.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o， 那么∠2的度数是（ ）A.32oB.58oC.68oD.60o2.将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，BC ∥DE ，则∠AFC 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．60°D ．75° 3.如图，直线AB 、EF 相交于O 点，于O 点，130EOD ∠=︒，则BOF ∠，AOF ∠的度数分别为 ．4.如图，已知∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=30°，则∠AOD 的度数是_________。

5.如图，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｏ，ＥＦ经过点Ｏ，∠２＝２∠１，那么∠２＝ 度，∠３＝ 度6.如图，∠1=21∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数。

7.如图所示，已知OA ⊥OB 于点O ，∠AOC=12∠COD ，∠BOC=3∠AOD 。

求∠COD 的度数。

2 1CEA O BF DAB C DEF FEDCBA 321DCB AO4132DCB【知识点3.垂线】1.垂线的概念：两条直线相交，若其所形成的四个角中有一个角等于90°，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足注：（1）垂直是相交的一种特殊情形（2）两直线垂直必具备两个要点：A.相交 B.有一个角为直角2.垂线的性质：（1）在平面门内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【典型例题】1.如图1所示,下列说法不正确的是( )A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段D CB ADCBAO DCBA(1) (2) (3)2.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个3.如右图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm4.如右图所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,• ∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=90°.DCBAO D CA例5.如右下图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD ⊥EF,∠AOE=70°,•求∠DOG 的度数.【巩固练习】1.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条2.到直线L 的距离等于2cm 的点有( )A.0个B.1个;C.无数个D.无法确定 3.已知三条直线a,b,c ，下列命题中错误的是（ ）A ．如果a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB ．如果a ⊥b,b ⊥c,那么a ⊥cC ．如果a ⊥b,b ⊥c,那么a ∥cD ．如果a ⊥b,a ∥c,那么b ⊥c 。

4.点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm5. 如图所示,村庄A 要从河流L 引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.6．如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=13∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线. (1)求∠COD 的度数;(2)判断OD 与AB 的位置关系,并说明理由.ODC BA7.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶,M,N•分别是 位于公路AB 两侧的村庄,设汽车行驶到P 点位置时,离村庄M 最近,行驶到Q 点位置时,•离村庄N 最近,请你在AB 上分别画出P,Q 两点的位置.GOF E D CBA D C BAM BAl A【知识点4.同位角、内错角、同旁内角】定义：同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同旁内角注：“同”指两角位于第三直线的同侧，“错”指两角位于第三直线两侧“内”指两角位于两被截直线之间同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.【典型例题】1.如图，按各角的位置，下列判断错误的是（）（A）∠1与∠2是同旁内角（B）∠3与∠4是内错角（C）∠5与∠6是同旁内角（D）∠5与∠8是同位角2.如下图，∠1和∠2是直线______与直线____被直线____所截形成的_______（选填“同位角”“内错角”“同旁内角”）；∠3和∠4是直线______与直线____被直线____所截形成的_______（选填“同位角”“内错角”“同旁内角”）3.一条直线与另两条平行线的关系是（）A.一定与两条平行线平行B.可能与两条平行线中的一条平行、一条相交C.一定与两条平行线相交D.与两条平行线都平行或都相交。

4.（1）如图2-46，∠1与∠2是同位角的个数有（）D CEBA4213A.1个B.2个C.3个D.4个（2）如图2-47，（）是内错角A. ∠1和∠2B. ∠3和∠4C. ∠2和∠3D. ∠1和∠4（3）如图2-48，图中的同位角的对数是（）A.4B.6C.8D.12（4）如图2-49，已知∠1的同旁内角等于57°28′，求∠1的内错的度数.【巩固练习】1.(1)如图2-43，直线AB、CD被DE所截，则∠1和是同位角，∠1和是内错角，∠1和是同旁内角，如果∠1=∠5.那么∠1 ∠3.（2）上题中（图2-43）如果∠5=∠1，那么∠1=∠3的推理过程如下，请在括号内注明理由：∵∠5=∠1（）又∵∠5=∠3（）∴∠1=∠3（）（3）如图2-44，∠1和∠4是AB、被所截得的角，∠3和∠5是、被所截得的角，∠2和∠5是、所截得的角，AC、BC被AB所截得的同旁内角是 .（4）如图2-45，AB 、DC 被BD 所截得的内错角是 ，AB 、CD 被AC 所截是的内错角是 ，AD 、BC 被BD 所截得的内错角是 ，AD 、BC 被AC 所截得的内错角是 .2.如图，若两条平行线EF ，MN 与直线AB ，CD 相交，则图中共有同旁内角的对数为（ ） A 、4 B 、8 C 、12 D 、163.如图2-50图中,共有几对内错角?这几对内错角分别是哪两条直线被哪一条直线所截构成的?4.如图2-51,直线AB 、CD 被EF 所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少？平行线的性质和判定1【知识点1.平行线的定义】：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线. 【知识点2】过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.【典型例题】1.下列说法正确的是 ( ) （A ）有且只有一条直线与已知直线垂直NM F E DC B A（B）经过一点有且只有一条直线与已经直线垂直（C）连结两点的线段叫做这两点间的距离（D）过点A作直线m的垂线段，则这条垂线段叫做点A到直线m的距离2．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P•到L的距离一定是1; C．相等的角是对顶角;D．钝角的补角一定是锐角.3.下列说法正确的有（）个．①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行；④如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么它与另一条直线也互相平行．A、1B、2C、3D、44.下列与垂直相交的说法：①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误的个数有（）A、3个B、2个C、1个D、0个例5.下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A、1个B、2个C、3个D、4个【巩固练习】1.下列说法中错误的个数是（）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．A、1个B、2个C、3个D、4个2.下列说法错误的有几个（）（1）不相交的两直线一定是平行线；（2）点到直线的垂线段就是点到直线的距离；（3）两点之间直线最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A、1个B、2个C、3个D、4个3.如图所示立体图形，是由____个面组成，面与面相交成____条线（）A、3，6B、4，5C、4，6D、5，74.下列说法中正确的个数有（）（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5.过一点画已知直线的平行线（ ） A 、有且只有一条 B 、不存在C 、有两条D 、不存在或有且只有一条 6.与相交的两条直线距离相等的点在（ ）A 、一条直线上B 、两条互相垂直的直线上C 、一条射线上D 、两条互相垂直的射线上 7.下列语句属于命题的是（ ） （1）两点之间，线段最短；（2）不许大声喧哗；（3）连接P 、Q 两点；（4）花儿在春天开放；（5）不相交的两条直线叫做平行线；（6）无论n 取怎样的自然数，式子2n+1的值都是质数吗？ A 、2 B 、3 C 、4 D 、58.下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个【知识点3.平行线的判定】：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。