广东省佛山一中珠海一中金山中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题
广东省佛山一中、珠海一中、金山中学2018-2019学年高一数学下学期期
中试题
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3．题号前面标有【A 】、【B 】的为选做题，佛山一中与汕头金中选做【A 】，珠海一中选做【B 】。
第一部分选择题（共60分）
一、选择题(每题5分，共60分)
1.设集合{}{}21,2,4,40A B x x x m ==-+=,若{}1A B =，则B =（ ）
A.{}1,3-
B.{}1,0
C.{}1,3
D.{}1,5
2.若sin 0α<且tan 0α>，则α是（ ）
A.第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
3.函数()237x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4.已知4
32a =，254b =，1325c =，则（ ）
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b <<
5.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3] 6.已知1sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．16
B ．13
C ．23
D ．56
【A 】7.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，
则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8 【B 】8.已知圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）
A.43-
B.34
- D.2 【A 】9.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}
n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【B 】10.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则在该三棱锥中与平面α平行的棱有（ ）
A ．0条
B ．1条 C.2条 D ．1条或2条
11.正方形ABCD 边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若
5AF AE ⋅=，则AF =（ ）
A B C D ．52
12.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s 2c o s C A =，
点M 在边AC 上，且cos AMB BM ∠==，则AB =（ ）
A ．4
B ．2
C D
13.将偶函数()sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移6
π个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ）
A ．(,)36ππ-
B ．7(,)1212ππ
C ．2(,)63ππ
D ．5(,)36
ππ
14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =1()()2g x f x x =-
-在区间[]4,8-上所有零点之和为（ ） A ．8 B ．6 C ．4
D ．2
第二部分非选择题（共90分） 二、填空题(每题5分，共20分)
15.已知向量(1,3),(2,1),(1,2)a b c ==--=，若向量a kb +与向量c 共线，则实数k 的值为 ．
【A 】16.已知0,0x y >>是2x 与4y 的等比中项，则12x y
+的最小值为 ． 【B 】17. ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.
（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.
（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.
（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）
【A 】18.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，
3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则2132()a a a -+2243()a a a -22354201820202019()()a a a a a a +-+⋅⋅⋅+-= ．
【B 】19.已知A 是直角坐标平面内一定点，点)0,0(O ，若圆()3)2(122
=-+-y x 上任意一点M 到定点A 与点)0,0(O 的距离之比MO
MA 是一个定值λ，则这个定值λ的大小是 . 20．已知2()log (41)x f x x =+-，则使得2(21)1log 5f x -+<成立的x 的取值范围是 .
三、解答题(第21题为10分，其他各题为12分，共70分)
21.在ABC ∆中，0360,7A c a ∠==
. （1）求sin C 的值；
（2）若7a =，求ABC ∆的面积.
【A 】22.在数列{}n a 中,首项2
11=
a ,前n 项和为n S ,且()*+∈-=N n a S n n 121. （1）求数列{}n a 的通项；
（2）若=n b n n a n ⋅⨯+2)1(3,求数列{}n b 的前n 项和n T .
【B 】23. 已知在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面
ABC ,AC AB =，F E ,分别是,1AA 11C B 的中点，
（1）求证:⊥BC 平面AEF ；
（2）判断直线EF 与平面C AB 1的位置关系，并说明理由.
24.已知平面向量(sin ,23cos ),(2sin ,sin )a x x b x x ==，函数()1f x a b =⋅+．
（1）求()f x 的单调增区间；
（2）在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若()4,2f A a ==，求ABC ∆周长的取值范围．
25．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量)(t f （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；
阅读“古诗词”的阅读量)(t g （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.
（1）请分别写出函数)(t f 和)(t g 的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？
【A 】26.已知数列}{n a 满足21=a ，且2*122()n n n a a n N ++=+∈,2n n n
a b =. （1）求证数列{}n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式；
（2）记1
4332211111+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n b b b b b b b b T ，求T n ； （3）是否存在实数k ，使得52)21()21)(21(21-+≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n
b k b b b 对任意*N n ∈都成立？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【B 】27. 已知圆O ：222x y +=，直线l ：2y kx =-．
（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；
（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；
（3）若12
k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点，若过定点，则求出该定点.
28.已知函数2
()1g x x ax =-+.
（1）求()0g x <的解集； （2）已知函数1()ln f x x a x x
=-+，当2a >时，1x 、2x 是()y g x =的两个零点， 证明：1212
()()2f x f x a x x -<--. （可能用到的参考结论：函数12ln y x x x
=+
-在区间(0,)+∞上单调递减）。
【水印已去除】2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二(下)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b＝0没有实根B．方程x3+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x3+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x3+ax+b＝0恰好有两个实根3．（5分）曲线y＝e﹣x在点A（0，1）处切线斜率为（）A．1B．﹣1C．e D．4．（5分）函数y＝2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．5．（5分）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．66．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（1）＜1成立，则f（10）＜100成立B．若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立C．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）≥25成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立7．（5分）如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i（i＝1，2，3，4），此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i（i＝1，2，3，4），若＝k，则h1+2h2+3h3+4h4＝．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i（i＝1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i（i＝1，2，3，4），若＝K，则H1+2H2+3H3+4H4等于（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）9．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y＝f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）设函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，f（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4）B．（，1）C．（，）D．（，1）11．（5分）若函数f（x）＝x﹣sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣] 12．（5分）若函数f（x）＝ax﹣x2﹣lnx存在极值，且这些极值的和不小于4+ln2，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．C．D．[4，+∞）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．14．（5分）i为虚数单位，＝．15．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角φ等于．16．（5分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3＝c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设．（1）证明：数列{b n}是等比数列，求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和T n．18．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）2+a（lnx﹣x+1），其中a≤2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）写出f（x）的极值点．19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A﹣CD﹣F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD＝2，DE＝DC＝3，CF＝6．（1）求证：BF∥平面ADE；（2）在线段CF上求一点G，使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，离心率．直线l：x＝my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x＝3作垂线，垂足分别为E1，F1．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记△AEE1，△AE1F1，△AFF1的面积分别为S1，S2，S3，试证明为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．[选修4-5：不等式选讲]22．（10分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣1|，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．2．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b＝0没有实根．故选：A．3．【解答】解：曲线y＝e﹣x，可得y′＝﹣e﹣x，曲线y＝e﹣x在点A（0，1）处切线斜率为：﹣1．故选：B．4．【解答】解：分别画出函数f（x）＝2x（红色曲线）和g（x）＝x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y＝2x﹣x2＝0，有3个解，即函数y＝2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x＝﹣3时，y＝2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A．5．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S＝．故选C．6．【解答】解：对A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f（1）＜1成立，则不一定f（10）＜100成立；对B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f（2）＜4成立，则f（1）＜1成立，不能得出：若f（2）＜4成立，则f（1）≥1成立；对C，当k＝1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对D，∵f（4）≥25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选：D．7．【解答】解：根据三棱锥的体积公式V＝Sh得：S1h1+S2h2+S3h3+S4h4＝V，∴k（h1+2h2+3h3+4h4）＝3V，∴H1+2H2+3H3+4H4等于＝．故选：D．8．【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．9．【解答】解：①由f（x）的导函数y＝f′（x）的图象知，函数f（x）的极大值点为0，4，故①正确；②因为在[0，2]上导函数为负，故函数f（x）在[0，2]上是减函数，故②正确；③由表中数据可得当x＝0或x＝4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；④由f（x）＝a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y＝f（x）﹣a有几个零点，故④不正确；⑤∵函数f（x）在定义域为[﹣1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y＝f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，故⑤正确．故选：B．10．【解答】解：∵函数f（x）＝x3+ax2+2bx+c，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，∴x1，x2是导函数f′（x）＝x2+ax+2b的两根由于导函数f′（x）＝x2+ax+2b的图象开口朝上且x1∈（0，1），x2∈（1，2），∴满足条件的约束条件的可行域如图所示：令Z＝，则其几何意义是区域内的点与P（1，2）连线的斜率，∴由，可得a＝﹣1，b＝0，B（﹣1，0）.＝1，可得a＝﹣3，b＝1，可得A（﹣3，1）．＝．∴∈（，1）．故选：D．11．【解答】解：函数f（x）＝x﹣sin2x+a sin x的导数为f′（x）＝1﹣cos2x+a cos x，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+a cos x≥0，即有﹣cos2x+a cos x≥0，设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t＝1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．12．【解答】解：f（x）＝ax﹣x2﹣lnx，x∈（0，+∞），则f′（x）＝a﹣2x﹣＝﹣，∵函数f（x）存在极值，∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有根，即2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有根，∴△＝a2﹣8≥0，显然当△＝0时，F（x）无极值，不合题意；∴方程必有两个不等正根，记方程2x2﹣ax+1＝0的两根为x1，x2，x1+x2＝，x1x2＝，f（x1），f（x2）是函数F（x）的两个极值，由题意得，f（x1）+f（x2）＝a（x1+x2）﹣（x12+x22）﹣（lnx1+lnx2）＝﹣+1﹣ln≥4+ln2化简解得，a2≥12，满足△＞0，又x1+x2＝＞0，即a＞0，∴∴a的取值范围是[2，+∞），故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．14．【解答】解：∵，∴＝（﹣i）2019＝﹣i4×504+3＝i．故答案为：i．15．【解答】解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥的体积为V＝πr2•h；又r2+h2＝1，解得h＝，所以圆锥的体积为V＝πr2•＝•；又≤＝，当且仅当＝1﹣r2时，即当r＝时圆锥体积V取得最大值；所以侧面展开图圆心角为φ＝＝2π•＝．故答案为：．16．【解答】解：①因为a2+b2≥2ab，所以由余弦定理得，因为ab＞c2，所以﹣c2＞﹣ab，所以，即，所以①正确．②a+b＞2c，所以，．所以，即，所以②正确．③假设，则c2≥a2+b2，所以c3≥ca2+cb2＞a3+b3，与a3+b3＝c3矛盾，所以假设不成立．即C＜成立．所以③正确．④取a＝b＝2，c＝1，满足（a+b）c＜2ab得C为锐角，所以④错误．所以命题正确的是①②③．故答案为：①②③．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．由a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝，则＝，b n＝，即b n+1＝2b n，又b1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列；由（1）可得＝2n﹣1，所以a n＝n•2n﹣1；（2）前n项和T n＝1•20+2•21+3•22+…+n•2n﹣1，2T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣T n＝1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，化简可得T n＝（n﹣1）•2n+1．18．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），．由f'（x）＝0得x＝1或．①当a≤0时，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0得x＞1，或，由f'（x）＜0得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．③当a＝2时，f'（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．（2）①当a≤0时，f（x）的极小值点为x＝1，无极大值点．②当0＜a＜2时，f（x）的极小值点为x＝1，极大值点为．③当a＝2时，f（x）无极小值点也无极大值点．19．【解答】证明：（1）∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，又∵BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE，∵DE∥CF，CF⊄平面ADE，∴CF∥平面ADE，又∵BC∩CF＝C，∴平面BCF∥平面ADF，∵BF⊂平面BCF，∴BF∥平面ADE．解：（2）∵CD⊥AD，CD⊥DE，∴∠ADE即为二面角A﹣CD﹣F的平面角，∴∠ADE＝60°又∵AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，又∵CD⊂平面CDEF∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．连结CE，在△CEF中由余弦定理得cos∠CFE＝，即＝，解得CE＝3，∴∠ECF＝45°，CD＝DE＝3，OD＝1，OE＝2．以O为原点，以平行于DC的直线为x轴，以直线DE为y轴，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，0，），C（3，﹣1，0），E（0，2，0），F（3，5，0），设G（3，t，0），﹣1≤t≤5，则＝（﹣3，2，﹣），＝（0，t，﹣），设平面BEG的一个法向量为＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（2﹣t，3，）．平面DEG的一个法向量＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝．为使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为，只需＝，解得t＝，此时＝．∴G（3，，0）．即所求的点G为线段CF的靠近C端的四分之一分点．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知b＝1，椭圆的离心率e＝，即．解得：a2＝3．即．∴．∴椭圆C的方程为，焦点坐标为．…（4分）（Ⅱ）由，整理得（m2+3）y2+2my﹣2＝0，显然m∈R，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，E1（3，y1），F1（3，y2），∵＝＝＝＝，又∵＝，＝+，＝＝．∴．…（14分）21．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…（1分）因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（2分）当x＝a时，[f（x）]min＝lna+1．…（3分）当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）＝ln1+a＝a＞0，则函数f（x）有零点．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a＝﹣xlnx．…（1分）令g（x）＝﹣xlnx，则g'（x）＝﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…（2分）故时，函数g（x）取得最大值．…（3分）因而函数有零点，则．…（4分）所以实数a的取值范围为．…（5分）（Ⅱ）证明：令h（x）＝xlnx+a，则h'（x）＝lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…（6分）于是，当a≥时，．①…（7分）令φ（x）＝xe﹣x，则φ'（x）＝e﹣x﹣xe﹣x＝e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x＝1时，．…（8分）于是，当x＞0时，．②…（9分）显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…（10分）因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…（11分）所以，即．…（12分）[选修4-5：不等式选讲]22．【解答】解（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，所以不等式f（x）≤3即为|x﹣1|+|2x﹣1|≤3，等价于或或…（3分）即或或，解得或或，∴，∴原不等式的解集为．…………………（5分）（2）∵不等式f（x）≤|2x+1|的解集包含集合，∴当时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，…………………（6分）即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|对恒成立，∴|x﹣a|≤2对恒成立，∴x﹣2≤a≤x+2对恒成立．…………………（8分）所以（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，所以，∴实数a的取值范围为．…………………（10分）。
2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)_7
2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角终边上一点坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】，代入即可。
【详解】故选：D【点睛】根据的坐标表示直接代值即可，属于简单题目。
2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】题干形式类似和差公式且，代入原式即可。
【详解】，带入原式即原式=故选：A【点睛】观察式子发现类似和差公式，转化成相同角代入公式求解即可，属于简单题目。
3.已知点D是所在平面上一点，满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由易得D为的五等分点，且选项是和的关系，通过，代入整理即可得到。
【详解】，即故选：C【点睛】此题考查平面向量的运算，观察选项是要得到与和的关系，所以通过两个三角形将表示出来化简即可，属于较易题目。
4.已知锐角，满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，代入求得，即可求得。
【详解】又，为锐角故选：B【点睛】此题考查基本的和差运算公式，熟记公式即可，属于基础题目。
5.对3个非零平面向量，下列选项中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D【解析】【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C错。
【详解】(1) 与在同一条直线上，故A错（2）可能为0向量，故B错（3）向量运算不满足交换律，所以C错（4）两两之间的夹角可以都是钝角，如都为故选：D【点睛】此题考查平面向量运算，向量两个特殊情况：共线和零向量。
为常考考点，属于基础题目。
6.下列各选项中与的值最接近的一项是（）A. B. C. 0 D.【答案】B【解析】【分析】的周期是,即，代入计算即可。
【详解】所以与最接近。
故选：B【点睛】此题考查三角函数的周期问题，的周期,属于基础题目。
广东三校2018-2019高一数学下学期期中试卷(含答案)
2018级高一下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考数学试题2019年5月本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
3．题号前面标有【A 】、【B 】的为选做题，佛山一中与汕头金中选做【A 】，珠海一中选做【B 】。
第一部分选择题（共60分）一、选择题(每题5分，共60分)1.设集合{}{}21,2,4,40A B x x x m ==-+=,若{}1AB =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 2.若sin 0α<且tan 0α>，则α是（ ）A.第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 3.函数()237xf x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫⎪⎝⎭4.已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<5.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6.已知1sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【A 】7.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【B 】8.已知圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A.43-B.34-【A 】9.等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[]0,9，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是（ ） A ．4B ．5 C ．6 D ．7【B 】10.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则在该三棱锥中与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C.2条 D ．1条或2条11.正方形ABCD 边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若5AF AE ⋅=，则AF =（ ）A B C D ．5212.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s 2c o s C A =，点M 在边AC 上，且cos AMB BM ∠==，则AB =（ ）A ．4B ．2CD13.将偶函数()sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移6π个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为（ ）A ．(,)36ππ-B ．7(,)1212ππC ．2(,)63ππ D ．5(,)36ππ14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =1()()2g x f x x =--在区间[]4,8-上所有零点之和为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第二部分非选择题（共90分）二、填空题(每题5分，共20分)15.已知向量(1,3),(2,1),(1,2)a b c ==--=，若向量a kb +与向量c 共线，则实数k 的值为 ．【A 】16.已知0,0x y >>2x 与4y的等比中项，则12x y+的最小值为 ． 【B 】17.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）【A 】18.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则2132()a a a -+2243()a a a -22354201820202019()()a a a a a a +-+⋅⋅⋅+-= ．【B 】19.已知A 是直角坐标平面内一定点，点)0,0(O ，若圆()3)2(122=-+-y x 上任意一点M到定点A 与点)0,0(O 的距离之比MOMA是一个定值λ，则这个定值λ的大小是. 20．已知2()log (41)xf x x =+-，则使得2(21)1log 5f x -+<成立的x 的取值范围是 .三、解答题(第21题为10分，其他各题为12分，共70分) 21.在ABC ∆中，0360,7A c a ∠==. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积.【A 】22.在数列{}n a 中,首项211=a ,前n 项和为n S ,且()*+∈-=N n a S n n 121. （1）求数列{}n a 的通项；（2）若=n b n na n ⋅⨯+2)1(3,求数列{}nb 的前n 项和n T .【B 】23.已知在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ,AC AB =，F E ,分别是,1AA 11C B 的中点，（1）求证:⊥BC 平面AEF ；（2）判断直线EF 与平面C AB 1的位置关系，并说明理由.24.已知平面向量(sin ,23cos ),(2sin ,sin )a x x b x x ==，函数()1f x a b =⋅+． （1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若()4,2f A a ==，求ABC ∆周长的取值范围．25．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量)(t f （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量)(t g （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系. （1）请分别写出函数)(t f 和)(t g 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【A 】26.已知数列}{n a 满足21=a ，且2*122()n n n a a n N ++=+∈,2nn na b =. （1）求证数列{}n b 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （2）记14332211111+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n b b b b b b b b T ，求T n ； （3）是否存在实数k ，使得52)21()21)(21(21-+≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n nb k b b b 对任意都成立？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【B 】27.已知圆O ：222x y +=，直线l ：2y kx =-．（1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围； （3）若12k =，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点，若过定点，则求出该定点.28.已知函数2()1g x x ax =-+. （1）求()0g x <的解集；（2）已知函数1()ln f x x a x x=-+，当2a >时，1x 、2x 是()y g x =的两个零点， 证明：1212()()2f x f x a x x -<--.（可能用到的参考结论：函数12ln y x x x=+-在区间(0,)+∞上单调递减）*N n ∈。
2018-2019学年广东省佛山一中、珠海一中、金山中学高二下学期期中考试试题数学理(含答案)
．类比
以上性质，体积为V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i 1, 2,3, 4) ，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面
的距离记为 Hi (i
1, 2,3, 4) ，若
S1 1
S2 2
S3 3
S4 4
K
，则 H1 2H2
3H3
4H4 等于（
）
A． V 2K
B． 2V K
∴ bn
b1qn1
2n1
an n
，∴
an
n 2n1.………………………6
分
（2）
，
，.………………………8 分
两式相减可得
，
化简可得
．………………………12 分
18（1） 的定义域为 ′
∞ ，………………………1 分 .………………………3 分
由′
得 或.
①当 时，由 ′
得
∴ 在 上单调递减，在
列关于 f (x) 的命题：
x
1
0
4
5
f (x)
1
2
2
1
①函数 f (x) 的极大值点为 0, 4 ；
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广东佛山一中、珠海一中、金山中学 2018-2019 学年高二下学期期中联考数学（理）试题
②函数 f (x) 在[0, 2] 上是减函数；
③如果当 x [1,t]时， f (x) 的最大值是 2 ，那么 t 的最大值为 4 ；
A．
B．
C．
D．
5．由曲线 y x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（ ）
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广东省珠海市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含解析
广东省珠海市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题1．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.82．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为（）A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 D．3，10，173．若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤345．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．11111（2）C．68（8）D．210（6）6．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．7．甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A．B．C．D．8．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）A．4 B．3.5 C．4.5 D．39．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．4510．已知函数y=sin（2x+φ）的图象关于直线x=﹣对称，则φ的可能取值是（）A．B．﹣C．D．11．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度12．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f （x ）的图象（ ）A ．关于点（，0）对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于直线x=对称二、填空题13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是 ．14．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如图）．s 1，s 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s 1 s 2．（填“＞”、“＜”或“=”）15．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为 ．16．tan α=，求= ．17．已知sin θ+cos θ=，θ∈（0，π），则sin θ﹣cos θ的值是 ．18．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是 ． 三、解答题19．（12分）已知任意角α的终边经过点P （﹣3，m ），且cos α=﹣（1）求m 的值．（2）求sinα与tanα的值．20．（12分）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．21．（12分）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b（Ⅰ）求满足a2+b2=25的概率；（Ⅱ）设三条线段的长分别为a，b和5，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的概率．22．（12分）已知函数，求（1）函数的最小正周期是多少？（2）函数的单调增区间是什么？（3）函数的图象可由函数的图象如何变换而得到？23．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在上是单调递增函数，求ω的最大值．广东省珠海市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如图是某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字，这些数据的中位数是（），去掉一个最低分和最高分所剩数据的平均数是（）A．86.5，86.7 B．88，86.7 C．88，86.8 D．86，5，86.8【考点】B8：频率分布直方图．【分析】根据茎叶图中的数据，利用中位数和平均数的定义求出结果即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据共有7个，按从小到大的顺序排在中间的是88，所以中位数是88；去掉一个最高分94和一个最低分79后，所剩数据为84，85，88，88，89，它们的平均数为（84+85+88+89）=86.8．故选：C．【点评】本题考查了根据茎叶图中的数据，求中位数和平均数的应用问题，是基础题．2．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人，现用分层抽样方法抽取一个容量为30的样本，则各职称中抽取的人数分别为（）A．5，10，15 B．3，9，18 C．5，9，16 D．3，10，17【考点】B3：分层抽样方法．【分析】利用总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，求出结果．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，抽取的各职称人数分别为30×=3，30×=9，30×=18，故选：B．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．3．若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】因为sinθ＞cosθ，可判断θ一定不是第四象限，又tanθ＜0，可得判断θ是第二或第四象限角，问题得以解决．【解答】解：∵sinθ＞cosθ，∴θ一定不再第四象限，又tanθ＜0，∴θ是第二或第四象限角，可得θ是第二象限角，故选B．【点评】本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题．4．如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34【考点】EF：程序框图．【分析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．【点评】本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．5．在下列各数中，最大的数是（）A．85（9）B．11111（2）C．68（8）D．210（6）【考点】EM：进位制．【分析】欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．【解答】解：对于A，85（9）=8×9+5=77；对于B，11111（2）=24+23+22+21+20=31．对于C，68（8）=6×81+8×80=56；对于D，210（6）=2×62+1×6=78；故210（6）最大，故选：D．【点评】本题考查的知识点是算法的概念，由n进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果，属于基础题．6．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB=，若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C内的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型；G8：扇形面积公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形OAB的面积与⊙P的面积比．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆C的半径为r，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，其面积为⊙C的面积=π•r2，连接OC，延长交扇形于P．由于CE=r，∠BOP=，OC=2r，OP=3r，则S扇形AOB==；∴⊙C的面积与扇形OAB的面积比是．∴概率P=，故选C．【点评】本题是一个等可能事件的概率，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．连接圆心和切点是常用的辅助线做法，本题的关键是求得扇形半径与圆半径之间的关系．7．甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n==6，利用列举法求出甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙的红包金额不相等的概率．【解答】解：甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，基本事件总数n==6，甲、乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲、乙的红包金额分别为（1，5），（5，1），∴甲、乙的红包金额不相等的概率为p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）A．4 B．3.5 C．4.5 D．3【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．9．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，样本数据分组为，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．45【考点】B8：频率分布直方图；B5：收集数据的方法．【分析】根据小长方形的面积=组距×求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可．【解答】解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则，故选A．【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，，即，属于基础题．10．已知函数y=sin（2x+φ）的图象关于直线x=﹣对称，则φ的可能取值是（）A．B．﹣C．D．【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】根据正弦函数的性质可知x=﹣时，函数y取值最值．即可求φ的可能取值．【解答】解：函数y=sin（2x+φ）的图象关于直线x=﹣对称，∴当x=﹣时，函数y取值最值，即sin（2×x+φ）=±1．可得φ﹣=，k∈Z．∴φ=．当k=0时，可得φ=．故选：A．【点评】本题考查正弦函数的对称轴性质的运用．属于基础题．11．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期函数的周期计算公式算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω==2，所以f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．二、填空题13．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求出抽取比例等于，把条件代入，再乘以高三的学生人数求出所求．【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，∴高三每一位学生被抽到的概率是．高一年级每一位学生被抽到的概率是故答案为：．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用，即在各层抽取的比例是，可根据题意求出每一位学生被抽到的概率和在各层抽取的个体数．14．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如图）．s1，s2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s1＜s2．（填“＞”、“＜”或“=”）【考点】BA：茎叶图．【分析】本题主要考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系．茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小．【解答】解：由茎叶图可知，甲的数据大部分集中在“中线”附近而的数据大部分离散在“中线”周围由数据的离散程度与茎叶图形状的关系易得：s1＜s2故答案为＜．【点评】数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．15．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：∵甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，至少有一个红球的对立事件为取到两个白球，∴至少有一个红球的概率为：p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．16．tan α=，求= ﹣ ．【考点】GH ：同角三角函数基本关系的运用；GG ：同角三角函数间的基本关系．【分析】所求式子分子分母同时除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan α的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan α=，∴===﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的应用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17．已知sin θ+cos θ=，θ∈（0，π），则sin θ﹣cos θ的值是．【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知等式两边平方求出2sin θcos θ的值小于0，由θ的范围判断出sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ﹣cos θ＜0，再利用完全平方公式计算即可求出sin θ﹣cos θ的值．【解答】解：将sin θ+cos θ=两边平方得：（sin θ+cos θ）2=1+2sin θcos θ=，∴2sin θcos θ=﹣＜0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0， 即sin θ﹣cos θ＞0，∴（sin θ﹣cos θ）2=1﹣2sin θcos θ=，则sin θ﹣cos θ=．故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，属中档题．三、解答题19．（12分）（2017春•香洲区校级期中）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GA：三角函数线．【分析】（1）先求出|OP|，再利用cosα=﹣，即可求m的值．（2）分类讨论，即可求sinα与tanα的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣3，m），∴|OP|=．又∵cosα=﹣==，∴m2=16，∴m=±4．（2）m=4，得P（﹣3，4），|OP|=5，∴sinα=，tanα=﹣；m=﹣4，得P（﹣3，﹣4），|OP|=5，∴sinα=﹣，tanα=；【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查三角函数的定义，比较基础．20．（12分）（2017春•香洲区校级期中）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用诱导公式，和同角三角函数的基本关系关系，可将f（α）的解析式化简为f（α）=﹣cosα；（2）由α是第三象限角，且，可得cosα=﹣，结合（1）中结论，可得答案．【解答】解：（1）f（α）===﹣=﹣cosα（2）∵=﹣sinα=，∴sinα=﹣，又由α是第三象限角，∴cosα=﹣，故f（α）=﹣cosα=【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，熟练掌握和差角公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系关系，是解答的关键．21．（12分）（2017春•香洲区校级期中）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b（Ⅰ）求满足a2+b2=25的概率；（Ⅱ）设三条线段的长分别为a，b和5，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）基本事件总数n=6×6=36，满足条件a2+b2=25的情况只有a=3，b=4，或a=4，b=3两种情况，由此能求出满足a2+b2=25的概率．（Ⅱ）三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，利用列举求出满足条件的基本事件共有14个，由此能求出三条线段能围成等腰三角形的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴基本事件总数n=6×6=36，满足条件a2+b2=25的情况只有a=3，b=4，或a=4，b=3两种情况．…（4分）∴满足a2+b2=25的概率为p1=．…（Ⅱ）∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a=1时，b=5，共1个基本事件；当a=2时，b=5，共1个基本事件；当a=3时，b∈{3，5}，共2个基本事件；当a=4时，b∈{4，5}，共2个基本事件；当a=5时，b∈{1，2，3，4，5，6}，共6个基本事件；当a=6时，b∈{5，6}，共2个基本事件；∴满足条件的基本事件共有1+1+2+2+6+2=14个．…（11分）∴三条线段能围成等腰三角形的概率为p2==．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．22．（12分）（2009秋•工农区校级期末）已知函数，求（1）函数的最小正周期是多少？（2）函数的单调增区间是什么？（3）函数的图象可由函数的图象如何变换而得到？【考点】H5：正弦函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）直接由y=Asin（ωx+Φ）（ω＞0）型函数的周期公式求函数的周期；（2）给出的函数是复合函数，内层一次函数是增函数，要求该复合函数的增区间，直接由解出x的取值范围即可；（3）把给出的函数变形为=，根据自变量x的变化和函数值的变化即可得到正确结论．【解答】解：（1）由函数，所以，其最小正周期T=．（2）由，得：．所以，函数的单调增区间为[]，k∈Z．（3）由=可知，把函数的图象先向左平移个单位，再向上平移2个单位得到函数的图象．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，注意掌握“同增异减”的原则，考查了三角函数的图象变换问题，该类问题极易出错，正确解答的关键是看变量x 的变化．此题是中档题．23．（12分）（2017春•香洲区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3， =﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．。
2018-2019学年广东省佛山市第一中学高一下学期期中考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年广东省佛山市第一中学下学期期中考试高一数学试题一、单选题1．设，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据不等式的性质或函数的单调性进行判断即可．详解：对于A，当时不等式不成立，故A不正确．对于B，由函数为增函数可得成立，故B正确．对于C，如，但不成立，故C不正确．对于D，如，但不成立，故D不正确．故选B．点睛：本题考查不等式性质的应用及函数单调性的应用，解题时对给出的每个选项逐一进行分析后可得结论，同时也要注意举反例的方法在解题中的利用．2．在等差数列中，已知，，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意求得等差数列的公差后再根据通项公式计算可得结果．详解：设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴．故选B．点睛：本题考查等差数列中项的基本运算，解题的关键是根据方程的思想构造出方程组求出公差，主要考查学生的运算能力．3．在中，若，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：在三角形中运用余弦定理建立关于的方程，然后解方程可得所求．详解：在中由余弦定理得，即，整理得，解得或故选A．点睛：解答本题的关键是根据余弦定理建立起关于的方程，体现了灵活应用定理解题，也体现了方程思想在解三角形中的应用．4．数列的一个通项公式是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．详解：由题意得原数列即为，可得奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中应含有；又分数的分母为3,5,7,9，……，故分母为，分子为, ……，故分子为．所以数列的一个通项公式为．故选D．点睛：据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想；⑤对于正负符号变化，可用或来调整．5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析：先画出不等式组表示的平面区域，再根据条件确定的取值范围．详解：画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．由解得，∴点A的坐标为（2,7）．[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2018/5/30/1956367377481728/1957962440024064/EXPLANAT ION/e3912da0fcbe436f9e57e6a55eef22d0.png]结合图形可得，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足．故选C．点睛：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，由不等式组表示的平面图形的形状求参数的取值范围时，可先画出不含参数的不等式组表示的平面区域，再根据题意及原不等式组表示的区域的形状确定参数的取值范围．6．设正实数，满足，则A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【解析】分析：根据基本不等式对四个选项逐一分析、排除可得结论．详解：对于A，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为4．故A不正确．对于B，由不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故B不正确．对于C，由不等式可得，当且仅当时等号成立，所以有最大值，故C正确．对于D，由不等式可得，当且仅当时等号成立，所以有最小值．故D不正确．故选C．点睛：（1）使用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，且缺一不可，若不满足条件可运用“拆”“拼”“凑”等方法将不等式进行变形，使其满足不等式所需的条件．（2）解题时注意不等式 (，当且仅当a＝b时取等号)的应用，它体现了之间的关系．7．设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设出等差数列的公差，根据为常数求得后可得通项公式．详解：设等差数列的公差，则，∴．又数列为“吉祥数列”，∴为常数，不妨设，则得，解得，∴.故选B．点睛：本题属于新概念问题，解题的关键是正确理解所给出的“吉祥数列”的概念，并在此概念的基础上进行推理、求解，得到等差数列的公差，进而得到等差数列的通项公式．8．角为的一个内角，若，则这个三角形为A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】分析：由两边平方得到，进而得到的符号，于是可判断的大小，由此可得三角形的形状．详解：∵，∴，∴，又，∴，即为钝角，∴为钝角三角形．故选B ．点睛：判断三角形的形状有两种方法：一是根据角来判断，分为锐角、直角、钝角三角形；二是根据边来判断，分为不等边、等腰、等边三角形．注意这两种分类方法有重合的部分，如等腰直角三角形．9．某企业准备投资万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数第一年因生源和环境等因素，全校总班级至少个，至多个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润 万元、 万元，则第一年利润最大为A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元【答案】A【解析】分析：设开设初中班个，高中班个，利润为，则，根据题意得到约束条件，然后根据线性规划求解．详解：设开设初中班个，高中班个，利润为，则．由题意得满足的条件为，即．画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2018/5/30/1956367377481728/1957962440146944/EXPLANAT ION/01dbe2cd0e5c474db8d28df00165e8d6.png]由，得．平移直线（图中的虚线），结合图形可得，当直线经过可行域内的点M时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由解得．故点M的坐标为（20,10）．∴(万元)，即第一年利润最大为70万元．故选A．点睛：解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．10．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是A. B. C. D. 或【答案】D【解析】分析：由题意得，分和两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵，∴．①当时，为直角三角形，且．∵，，∴．∴．②当时，则有，由正弦定理得．由余弦定理得，即，解得．∴．综上可得的面积是或．故选D．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如的式子，当需要在等式的两边约去时，必须要考虑是否为0，否则会丢掉一种情况．11．已知数列满足，，若，，则数列的前项的和为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由得到数列为周期是3的周期数列，根据题意求得，再根据周期性求出．详解：∵，∴数列为周期是3的周期数列．又且，，∴，∴，∴．故选C．点睛：由于数列是一种特殊的函数，所以数列具有函数的一切性质，对于项数较多的数列的求和问题，一般要结合题意根据数列的周期性求解．解题时可先求出数列的周期，再根据周期的定义求解即可得到结果．12．已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由不等式的解集为空集可得，故得．然后根据此式进行代换，将化为，再令，最后利用基本不等式即可求出的最小值．详解：∵关于的不等式的解集为空集，∴，∴．∴，令，则，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故选D．点睛：解答本题时注意两点：（1）本题中涉及的变量较多，解题时可经过代换转化为一个变量的问题解决．（2）应用基本不等式求最值时，若不等式不满足使用的条件，则需通过“拆、拼、凑”等方法进行变形，使得不等式满足所需的条件和形式，然后再根据基本不等式求解．二、填空题13．不等式的解集是________________．【答案】【解析】分析：转化为二次不等式求解即可．详解：原不等式等价于，解得．∴原不等式的解集为．点睛：解分式不等式时，可转化为二次不等式求解，但转化时必须要保证转化的等价性，特别是分母是否能等于0，这点一定要判断清楚．14．已知数列是递增的等比数列，且，，则的值等于________________．【答案】【解析】分析：根据等比数列下标和的性质得到，解方程组可得，从而可得公比，于是可求得．详解：∵数列是等比数列，∴．由，解得或（舍去）．∴公比，∴．点睛：本题考查等比数列项的基本运算，解题的关键是熟练运用相应公式求解，主要考查学生的运算能力，属容易题．15．如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则的值为________________．[Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2018/5/30/1956367377481728/1957962440310784/STEM/52788d0e18084d3fbf77475800464e14.png] 【答案】【解析】分析：由题意得，在Δ中，先由余弦定理求得，然后再求得和，利用两角和的余弦公式可得所求．详解：在Δ中，，由余弦定理得，∴．∴，∴．由题意得，∴．即所求值为．点睛：对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，将各种关系集中在一个三角形中，然后根据正弦定理或余弦定理求解．16．已知等比数列的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，记数列的前 项和为 ，若 ，且 ，则当 ________________ 时， 有最小值．【答案】11【解析】分析：利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得，再利用二次函数的单调性即可得出结果．详解：①当不满足条件，故舍去．②当时，∵，解得．∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴当时，取得最小值．点睛：（1）等比数列的求和问题中，当公比不知道时要分为两种情况讨论求解．（2）解答本题的关键是综合所给的条件，将的最值问题转化为二次函数的最值处理，然后根据抛物线的开口方向和对称轴与所给区间的关系求解．由于本题中涉及的运算较多，因此解题时要重视运算的技巧和准确性．三、解答题17．已知在中，三边长，，依次成等差数列．（1）若，求的值（2）若且，求的面积．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由题意，又，故可设（k>0），则，然后根据余弦定理可得．（2）由及余弦定理得．然后根据，得，再由余弦定理得到，故的面积．详解：（1）∵中依次成等差数列，∴．又，，设（k>0），则．由余弦定理得．（2）由，得,又∴,∴，．依次成等差数列，，，又,即，．．∴的面积为．点睛：本题考查用正、余弦定理解三角形及向量的应用，解题时要根据所给出的条件选择合适的公式求解，另外，对于余弦定理在应用过程中要注意整体代换的利用，如等．18．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】分析：（1）由题意及正弦定理得，即，根据可得，于是．（2）根据正弦定理得，于是，由锐角三角形可得，进而可求得周长的范围．详解：（1）在中，由题意及正弦定理得，∴，∴，又在锐角三角形中，,,∴，∴．（2）由正弦定理可得，∴．∴，因为锐角中，，∴，解得，∴，∴,∴.所以周长的取值范围为．点睛：（1）三角形中的范围或最值问题，一般可转化为三角函数的范围或最值问题处理．（2）解答本题时容易出现的错误是忽视“锐角三角形”这一条件，从而扩大了的取值范围、得到错误的结果．19．记号“”表示一种运算，即，记（1）求函数的表达式及最小正周期；（2）若函数在处取得最大值，若数列满足，求的值.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】分析：（1）由题意给出的运算可得，从而可得最小正周期．（2）根据可得，从而进而求得，由此可得结果．详解：（1）由题意得．∴函数．（2），，∴∴,．点睛：（1）解得本题时首项应从给出的新运算得到函数的解析式，为解决问题创造基础．（2）数列求值的问题实质上就是求三角函数值的问题，根据题意逐步求解即可．20．解关于的不等式．【答案】答案见解析.【解析】分析：根据的符号及方程根的大小进行分类讨论可得不等式的解集，解题时注意函数图象的应用．详解：原不等式可化为．（1）当时，不等式为解得．（2）当时，由解得，结合图象，由得，（3）当时，由解得,∴．①当时，，解得；②当时，，解得或；③当时，，解得或．综上：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．点睛：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．21．已知数列为等差数列，，，其前项和为，且数列也为等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】(1);(2)【解析】分析：（1）设等差数列的公差为，可得，根据数列为等差数列求得，故可得通项公式．（2）由（1）求得，然后利用列项相消法求出数列的和即可．详解：（1）设等差数列的公差为，则．∵数列为等差数列，∴，解得．∴．（2）由（）知，，∴．设数列的前项和为，则．点睛：使用裂项相消法求和时，要注意相消时消去了哪些项，剩下了哪些项，切不可漏写未被消去的项．另外，相消后剩余的项有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩的是第几项，后面剩的就是倒数第几项．22．设为等差数列的前项和，其中，且．（1）求常数的值，并写出的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值．【答案】(1)．(2)4.【解析】分析：（1）由题意可求得，，根据数列为等差数列可得，进而得到公差，于是．（2）由（1）得，根据错位相减法求和可得，结合题意可得恒成立．令，可判断数列{}单调递减，由单调性可得当，都有成立．详解：（1）由及，得，．∵数列是等差数列，∴，解得．∴，∴公差，．另解：设公差为，由得，即所以解得所以．（2）由（1）知，∴.∴，①∴，②①②得．∴由，得．设，则∵，∴．即数列{}单调递减．又，，∴当时，恒有．故存在时，使得对任意的，都有成立．点睛：（1）用错位相减法求数列的和时，弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键．在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减．（2）数列中的恒成立问题仍可转化为最值问题处理，一般要结合数列的单调性求解，可利用作差法或作商法判断出数列的单调性．。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷word文档逐题详解
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，若，，则（）A. 16B. 17C. 18D. 19 【答案】B【解析】【分析】根据递推关系依次求对应项.【详解】因为，，所以，所以.选B. 【点睛】本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题.2.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式即得结果.【详解】因为，所以，解得.选D.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作差后因式分解，即可判断大小.【详解】因为，，所以，即,选A.【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.5.记等差数列的前项和为，若，，则（）A. 36B. 72C. 55D. 110 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以.选C.【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，角,,所对的边分别是，，，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角的关系，最后根据角的关系确定三角形形状.【详解】因为，所以，所以，从而.因为，,所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形.选D.【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.7.设满足约束条件，则的最小值为（）A. -5B. -1C. 5D. 11 【答案】A【解析】【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.【详解】作出可行域，当直线经过点时，.选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.8.在正项等比数列中，，则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解.【详解】因为，所以.选D.【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，则面积的最大值为（）A. 4B.C. 8D.【答案】B【解析】【分析】先根据余弦定理得，再利用基本不等式得，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】由余弦定理可得，因为,，所以，因为，所以，即，故的面积为.选B.【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.10.等比数列的前项和为，若，，则（ ）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列和项性质列式求解. 【详解】因为等比数列的前项和为,所以成等比数列， 因为,所以，解得或，因为，所以，则.选A.【点睛】本题考查等比数列和项性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8C. 12D. 24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值 【详解】因为所以定义域为，因为，所以为减函数因为，,所以为奇函数，因为，所以，即，所以，因为，所以（当且仅当，时，等号成立），选C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.12.在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.【详解】因为，为的角平分线，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，所以，则,因为，所以,所以，则，即的取值范围为.选A.【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在等差数列，，，则公差______．【答案】3【解析】【分析】根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.数列满足，则数列前6项和为_______．【答案】84【解析】【分析】根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16.已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．【答案】【解析】【分析】根据方位角的定义，可知= ，设出时间为t，则可表示出，，根据余弦定理可求出两船之间的距离表达式，进而可求出距离最小值及对应的时间t。
广东省佛山市第一中学、珠海市第一中学、金山中学2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题(解析版)
.
【详解】因为
，
所以
，
故选 .
【点睛】本题主要考查了集合交集运算，以及一元二次不等式解法，属于基础题
.
2. 已知复数
，则 的共轭复数是（
）
A.
B.
C.
【答案】 C
【解析】 【分析】 先将 化简，然后根据共轭复数的定义得出结果 .
【详解】因为
，
所以 的共轭复数是
，
故选 .
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的定义，属于基础题
2017 级高二下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考文科
数学试题
一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． )
1. 设集合
，
，则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解法将 集合化简，然后再求
D. .
3.设 、 分别为双曲线
的左右焦点，点 为左支上一点，且
A. 1
B. 2
C. 5
【答案】 D
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义以及相关性质，即可求出
的值 .
【详解】由双曲线方程可知：
，Байду номын сангаас
则由题意，有
，且
所以有
，
故答案选 .
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，标准方程及相关性质，属于基础题
，则 的值为（
）
D. 6
.
4.角 是
的一个内角，若命题
A. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
2018-2019学年度高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年度第二学期期中考试高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】由两角差的正弦公式可得故选A.【点睛】本题考查两角差的正弦公式的应用，属基础题.2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A选项周期为，不满足条件；B选项周期为；C选项周期为，且在区间为减函数，不满足条件；D选项周期为，且在区间为增函数；故选D．考点：（1）正弦函数的单调性（2）函数的周期性3.已知向量.若为实数，，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，又因为，所以，故选B．考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质．视频4.给出下面四个命题：①；②；③；④.其中正确的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】①；②；③；④,所以正确的为①②，选B.5.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件及投影的计算公式便可得出向量在方向上的投影为，从而得出该投影的值．【详解】根据条件，在方向上的投影为：故选C.【点睛】本题考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念．6.已知函数的部分图象如下图所示，则函数的解析式（）学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象求出A，ω 和φ的值即可．【详解】由函数的图象得即则，则，则则则∵，∴当k=0时，则函数．故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．7.将函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左加右减，写出三角函数平移后的解析式，根据平移后图象的对称轴，把对称轴代入使得函数式的值等于±1，写出自变量的值，根据求最小值得到结果．【详解】∵把函数y=sin2x的图象向左平移（＞0）个单位，∴平移后函数的解析式是，∵所得图象关于直线对称，∴由正弦函数的图象和性质可得：解得：∴当时，的最小值是．故选：A．【点睛】本题考查由三角函数图象的平移求函数的解析式，本题解题的关键是先表示出函数的解析式，再根据题意来写出结果，属于基础题．8.在中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量数量积的定义进行运算即可【详解】故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，属基础题.9.若是锐角，且满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是锐角，且，所以也为锐角，所以..故选B.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可，再利用公式求解前，需将每一个三角函数值确定下来，尤其是要利用角的终边确定好正负.10.中，，，分别是的中点，则（）A. 4B. -4C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法表示，再利用平面向量数量积的运算法则计算即可.【详解】由题中，，，分别是的中点，则，则故选B.【点睛】本题考查面向量的加法法则及平面向量数量积的运算，属基础题.11.在△ABC中,设=2,那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】【分析】假设BC的中点是O,先化简已知得2=2,即()·=0, 所以, 所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】假设BC的中点是O,则=()·()=2=2,即()·=0,所以,所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查平面向量的数量积运算和向量的减法法则，考查向量垂直的表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是在于熟练掌握向量的运算法则.12.函数（）的图象经过、两点，则（）A. 最小值为B. 最大值为C. 最小值为D. 最大值为【答案】A【解析】【分析】当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，函数的周期最小，最大，此时，由，求得的值【详解】由题意可得A、B为函数的图象的顶点，故当A、B为函数的图象的相邻的两个顶点时，周期最大小，最小，此时，，，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若扇形的弧长为，圆心角为弧度，则扇形的面积为_________。
2018-2019高一下学期期中考试数学试卷(20201013195936)
2
D.
2
3．已知
，则
1
的值为
cos
sin
6
3
3
A. 1 3
B. 1 3
C. 2 2 3
4．设 a ， b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是 ( )
A．若 |a ＋b| ＝ |a |－ | b |，则 a ⊥ b
B．若 a ⊥b，则 |a ＋b| ＝ |a |－ |b |
C．若 |a ＋ b|＝ |a |－ | b| ，则存在实数 λ ，使得 a＝ λ b
其中真命题的序号为 ________． ( 写出所有真命题的序号 )
15. 函数 y 1 的图象与函数 y 2 sin x( 2 x 4) 的横坐标之和等于 ______． 1x
16． 设 D , E 分别是△ ABC的边 AB，BC上的点，AD= 1 AB，BE= 2 BC，若 DE
2
3
1 AB
2 AC
（ I ）求函数 f ( x) 的最小正周期及函数 f (x) 的单调递增区间；
0, （II ）求函数 f ( x) 在 2 上的最值。
20. 已知 | a | 2 ， |b | 1 ， a 与 b 的夹角为 ． 4
( Ⅰ) 求 | a 2b | ；
( Ⅱ ) 若 a b 与 a b 的夹角为钝角，求实数 的取值范围 .
1
∵ a 与 b 不共线，∴
得
1，
∵ a b 与 a b 的夹角为钝角，
∴3 5 2
35
且
1，
2
即3 5 2
1或 1
35
． …… 12 分
2
21. 解：
所以
．………３分 的最大值为 1，最小正周期为