七年级数学几何图形初步易错题(Word版 含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.在数轴上、两点分别表示有理数和,我们用表示到之间的距离;例如表示7到3之间的距离.
(1)当时,的值为________.
(2)如何理解表示的含义?
(3)若点、在0到3(含0和3)之间运动,求的最小值和最大值.
【答案】(1)5或-3
(2)解:∵ = ,
∴表示到-2的距离
(3)解:∵点、在0到3(含0和3)之间运动,
∴0≤a≤3, 0≤b≤3,
当时, =0+2=2,此时值最小,
故最小值为2;
当时, =2+5=7,此时值最大,
故最大值为7
【解析】【解答】(1)∵,
∴a=5或-3;
故答案为:5或-3;
【分析】(1)此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4,根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案;
(2)此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;
(3)此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和,而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时,的值最小;当时,的值最大.
2.在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD。
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明;
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明。
【答案】(1)解:猜想:AB=AC+CD.
证明:如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为∠BAC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD.
(2)解:猜想:AB+AC=CD.
证明:在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED.
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△EAD与△CAD中,
AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD(SAS).
∴ED=CD,∠AED=∠ACD.
∴∠FED=∠ACB,
又∵∠ACB=2∠B,
∴∠FED=2∠B,
∵∠FED=∠B+∠EDB,
∴∠EDB=∠B,
∴EB=ED.
∴EA+AB=EB=ED=CD.
∴AC+AB=CD.
【解析】【分析】(1)首先在AB上截取AE=AC,连接DE,易证△ADE≌△ADC(SAS),则可得∠AED=∠C,ED=CD,又由∠AED=∠ACB,∠ACB=2∠B,所以∠AED=2∠B,即∠B=∠BDE,易证DE=CD,则可求得AB=AC+CD;
(2)首先在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED,易证△EAD≌△CAD,可得ED=CD,∠AED=∠ACD,又由∠ACB=2∠B,易证DE=EB,则可求得AC+AB=CD.
3.已知如图,∠COD=90°,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA,AF平分∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(2)若∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”,其它条件不变,求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分,AF平分∠BAD,∠ABO= (30°< α <90°),求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【答案】(1)21°
(2)14°
(3)解:∵∠BOA=90°,∠OBA=α,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD
∴∠GAD=30°+ α,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA= α.
(4)解:当∠EOD:∠COE=1:2时,
∴∠EOD=30°,
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,
∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD= ∠BAD,
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA,
∴2×30°+2∠OGA=α+90°,
∴∠OGA= α+15°;
当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,
同理得到∠OGA= α?15°,
即∠OGA的度数为α+15°或α?15°.
【解析】解:(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°,
∴∠GAD= ∠BAD=66°,∠EOA= ∠BOA=45°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=66°?45°=21°;
故答案为21°;
⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,
∴∠GAD=44°,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD?∠EOA=44°?30°=14°;
故答案为14°;
【分析】(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(4)讨论:当∠EOD:∠COE=1:2时,利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°,
则∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得∠OGA= α-15°.
4.如图,点C在∠AOB的边OA上,过点C的直线DE∥OB,CF平分∠ACD,CG⊥CF于C.
(1)若∠O=40°,求∠ECF的度数;
(2)试说明CG平分∠OCD;
(3)当∠O为多少度时,CD平分∠OCF?并说明理由.
【答案】(1)解:∵DE//OB ,∴∠O=∠ACE,(两直线平行,同位角相等)
∵∠O =40°,
∴∠ACE =40°,∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=
又∵CF平分∠ACD ,
∴ (角平分线定义)
∴∠ECF=
(2)证明:∵CG⊥CF,
∴ .
∴
又∵)
∴
∵
∴ (等角的余角相等)
即CG平分∠OCD
(3)解:结论:当∠O=60°时,CD平分∠OCF .
当∠O=60°时
∵DE//OB,
∴∠DCO=∠O=60°.
∴∠ACD=120°.
又∵CF平分∠ACD
∴∠DCF=60°,
∴
即CD平分∠OCF
【解析】【分析】(1)根据平行线“两直线平行,同位角相等”,求得∠ACE=40°,根据平角的定义以及CF平分∠ACD ,可得到∠ACF=70°,然后求出∠ECF的度数;
(2)根据∠DCG+∠DCF=90°,∠GCO+∠FCA=90°,以及∠ACF=∠DCF,可得到∠GCO =∠GCD,即可证明CG平分∠OCD;
(3)根据两直线平行,内错角相等得出∠DCO=∠O=60°,根据角平分线可得到∠DCF=60°,以此可得∠DCO=∠DCF,即CD平分∠OCF.
5.综合题
(1)ⅰ问题引入
如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=________(用α表示);
ⅱ拓展研究
如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数________(用α表示).
ⅲ归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=
∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=________(用α表示).
(2)类比探索
ⅰ特例思考
如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数________(用α表示).
ⅱ一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=
∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=________(用α表示).
【答案】(1)90°+∠α;120°+∠α;
(2)120°-∠α; .
【解析】【解答】(1)ⅰ90°+∠α;
ⅱ如图②,∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,∴∠BOC=180°-
(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=180°-(180°-∠α)=180°-60°+∠α
=120°+∠α;
ⅲ;
( 2 )ⅰ如图③,∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°- [360°-(∠ABC+∠ACB)]=180°- [360°-(180°-
∠A)]=180°-(180°+∠α)=180°-60°-∠α=120°-∠α.;
ⅱ .
【分析】(1)ⅰ根据角平分线的定义,可得出∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果;ⅱ根据∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果;ⅲ根据∠CBO=∠ABC,∠OCB=∠ACB,可得出
∠CBO+∠OCB=(180°-∠A),再在△COB中,利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-(∠CBO+∠OCB),即可得出结果。
(2)ⅰ根据∠CBO= ∠DBC,∠OCB= ∠ECB,可得出∠CBO+∠OCB=180°- (∠DBC+∠ECB),再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)】,化简即可得出结果;根据∠CBO= ∠DBC,∠OCB= ∠ECB,可得出∠CBO+∠OCB=180°-
(∠DBC+∠ECB),再根据平角的定义∠BOC=180°-[360°-(∠ABC+∠ACB)】,化简即可得出结果。
6.将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上(直角三角板OBC和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC不动,将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转,旋转时间为t秒
(1)当t=________秒时,OM平分∠AOC?如图2,此时∠NOC﹣∠AOM=________°;
(2)继续旋转三角板MON,如图3,使得OM、ON同时在直线OC的右侧,猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系?并说明理由;
(3)若在三角板MON开始旋转的同时,另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转,当OM旋转至射线OD上时同时停止,(自行画图分析)
①当t=________秒时,OM平分∠AOC?
(4)②请直接写出在旋转过程中,∠NOC与∠AOM的数量关系.
【答案】(1)2.25;45
(2)解:∠NOC﹣∠AOM=45°,
∵∠AON=90°+10t,
∴∠NOC=90°+10t﹣45°
=45°+10t,
∵∠AOM=10t,
∴∠NOC﹣∠AOM=45°
(3)3
(4)解:②∠NOC﹣∠AOM=45°.
∵∠AOB=5t,∠AOM=10t,∠MON=90°,∠BOC=45°,
∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t,∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t,
∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t,
∴∠NOC﹣∠AOM=45°.
【解析】【解答】解:(1)∵∠AOC=45°,OM平分∠AOC,
∴∠AOM= =22.5°,
∴t=2.25秒,
∵∠MON=90°,∠MOC=22.5°,
∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;
故答案为:2.25,45;
·(3)①∵∠AOB=5t,∠AOM=10t,
∴∠AOC=45°+5t,
∵OM平分∠AOC,
∴∠AOM= AOC,
∴10t= (45°+5t),
∴t=3秒,
故答案为:3.
【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°,于是得到t=2.25秒,由
于∠MON=90°,∠MOC=22.5°,即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°;(2)根据题意得∠AON=90°+10t,求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t,即可得到结论;(3)①根据题意得∠AOB=5t,∠AOM=10t,求得∠AOC=45°+5t,根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC,列方程即可得到结论;(4)②根据角的和差即可得到结论.
7.如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M、N分别是AC、BC的中点.
(1)求线段MN的长;
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其它条件不变,你能猜想MN的长度吗?并说明理由;
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC﹣BC=bcm,M、N分别为AC、BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由;
(4)你能用一句简洁的话,描述你发现的结论吗?
【答案】(1)MN=MC+NC= AC+ BC= (AC+BC)= ×(8+6)= ×14=7
(2)MN=MC+NC= (AC+BC)= a
(3)MN=MC-NC= AC- BC= (AC-BC)= b
(4)如图,只要满足点C在线段AB所在直线上,点M、N分别是AC、BC的中点.那么MN就等于AB的一半.
【解析】【分析】(1)根据M、N分别是AC、BC的中点,我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半,那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半,也就是说MN是AB的一半,有了AC、CB的值,那么就有了AB的值,也就能求出MN的值了;(2)方法同(1)只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a cm,其他步骤是一样的;(3)当C在线段AB的延长线上时,根据M、N分别是AC、BC的中点,我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半.于是,MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半,也就是说MN是AC-BC即AB的一半.有AC-BC的值,MN也就能求出来了;(4)综合上面我们可发现,无论C在线段AB 的什么位置(包括延长线),无论AC、BC的值是多少,MN都恒等于AB的一半.
8.如图1,△ABC中,∠ABC=∠BAC,D是BC延长线上一动点,连接AD,AE平分∠CAD 交CD于点E,过点E作EH⊥AB,垂足为点H.直线EH与直线AC相交于点F.设∠AEH=
,∠ADC= .
(1)求证:∠EFC=∠FEC;
(2)①若∠B=30°,∠CAD=50°,则=________,=________;
②试探究与的关系,并说明理由;
(3)若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”,其它条件不变,请在图2中补全图形,并直接写出与的关系.
【答案】(1)证明:∵∠ABC=∠BAC,EH⊥AB.
∴∠EFC=∠AFH=90°-∠BAC,∠FEC=90°-∠ABC,
∴∠EFC=∠FEC.
(2)35°;70°;解:② , 理由如下: 由(1)可知:
, 又∵ , ∴ . ∴ .
(3)解:图形如下:
∵∠ABC=∠BAC,∠BHE=90°-∠ABC,∠F=90°-∠BAC,
∴ .
又∵,
∴在△CEF中有:∠ECF+2∠CEF=180°,
即 .
.
∵2∠EAC=∠DAC, ,
∴ .∴即 .
∴ .
【解析】【解答】解:(2)①∵∠CAD=50°,AE平分∠CAD,
∴∠ =∠AFH-∠EAC=90°-∠BAC-∠EAC=90°-30°-25°=35°.
∵∠ACB=∠ABC+∠BAC=60°,∠CAD=50°,
∴∠ =180°-∠ACB-∠CAD=180°-60°-50°=70°.
故答案为:35°,70°.
【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求解即可;②分别用∠和∠表示出∠AEC即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
9.如图,在△ABC中,点E在AC边上,连结BE,过点E作DF∥BC,交AB于点D.若BE 平分∠ABC,EC平分∠BEF.设∠ADE=α,∠AED=β.
(1)当β=80°时,求∠DEB的度数.
(2)试用含α的代数式表示β.
(3)若β=kα(k为常数),求α的度数(用含k的代数式表示).
【答案】(1)解:∵β=80°,
∴∠CEF=∠AED=80°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠BEC=∠CEF=80°,
∴∠DEB=180°﹣80°﹣80°=20°;
(2)∵DF∥BC,
∴∠ADE=∠ABC=α,
∵BE平分∠ABC,
∴∠DEB=∠EBC=
∵EC平分∠BEF,
∴β=∠CEF=(180°﹣)=90°﹣α;
(3)∵β=kα,
∴90°﹣α=kα,
解得:α=
【解析】【分析】(1)根据对顶角的性质得到∠CEF=∠AED=80°,根据角平分线的定义即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论;
(3)根据题意列方程即可得到结论.
10.如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°.
(1)请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,在(1)的结论下,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由;(3)如图3,在(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外),∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?直接写出结论,其数量关系为________.
【答案】(1)解:AB∥CD;理由如下:
∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴AB∥CD
(2)解:∠BAE+∠MCD=90°;理由如下:
过E作EF∥AB,如图2所示:
∵AB∥CD,
∴EF∥AB∥CD,
∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,
∵∠AEC=90°,
∴∠BAE+∠ECD=90°,
∵∠MCE=∠ECD
∴∠ECD=∠MCD
∴∠BAE+∠MCD=90°
(3)∠BAC=∠CPQ+∠CQP
【解析】【解答】解:(3)∠BAC=∠CPQ+∠CQP;理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∵∠CPQ+∠CQP+∠PCQ=180°,
即(∠CPQ+∠CQP)+∠ACD=180°,
∴∠BAC=∠CPQ+∠CQP.
故答案为:∠BAC=∠CPQ+∠CQP.
【分析】(1)由角平分线的性质得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,推出∠BAC+∠ACD=180°,即可得出结论;
(2)过E作EF∥AB,则EF∥AB∥CD,得出∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,由∠AEC=
90°,推出∠BAE+∠ECD=90°,∠ECD=∠MCD,得出∠BAE+∠MCD=90°;
(3)由平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°,由三角形内角和定理得出∠CPQ+∠CQP +∠PCQ=180°,即可得出结果.
11.如图,直线,点E、F分别是AB、CD上的动点(点E在点F的右侧);点M 为线段EF上的一点,点N为射线FD上的一点,连接MN;
(1)如图1,若,,则 ________;
(2)作的角平分线MQ,且,求与之间的数量关系;(3)在(2)的条件下,连接EN,且EN恰好平分,;求的度数.
【答案】(1)60°
(2)解:如图,
∵,
∴∠EMQ=∠AEF,
∵,AB∥CD,
∴MQ∥CD,
∴∠NMQ=∠MNF,
∵MQ平分∠EMN,
∴∠EMQ=∠NMQ,
∴ = ;
(3)解:设∠ENM=x,则∠MNF=2x,
∴∠ENF=3x,
∵AB∥MQ,
∴∠BEN=∠ENF=3x,
∵EN平分∠BEF,
∴∠BEF=2∠BEN=6x,
∵∠AEF=∠MNF=2x,∠AEF+∠BEF=180°,
∴2x+6x=180°,
解得x=22.5°,
∴,∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°,
∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
【解析】【解答】解:(1)∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°,
∵ ,
∴∠EFD=30°,
∵,
∴∠NMF=90°,
∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°,
故答案为:60°;
【分析】(1)根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°,由求出∠EFD=30°,
根据得到∠NMF=90°,再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF-
∠EFD=60°;(2)根据得到∠EMQ=∠AEF,由,AB∥CD推出MQ∥CD,证得∠NMQ=∠MNF,根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ,即可得到 =
;(3)设∠ENM=x,则∠MNF=2x,根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x,由EN平分∠BEF,证得∠BEF=2∠BEN=6x,再根据∠AEF=∠MNF=2x,∠AEF+∠BEF=180°,列式求出x=22.5°,即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.
12.如图①,点为直线上一点,过点作射线,使,将一直角三角板的直角顶点放在点处,一边在射线上,另一边在直线的上方.
(1)在图①中, ________度;
(2)将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转,使得在的内部,如图②,若,求的度数;
(3)将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,当直线恰好平分锐角时,旋转的时间是________秒.(直
接写出结果)
【答案】(1)30
(2)解:设∠BON=α,
∵∠BOC=60°,
∴∠NOC=60°-α,
∵∠MON=90°,
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α,
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α,
∵∠NOC= ∠MOA,
∴60°-α= (90°-α),
解得:α=54°,
即∠BON=54°;
(3)3或21
【解析】【解答】(1)∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边ON在射线OB 上,另一边OM在直线AB的上方,
∴∠MON=90°,
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°,(3)∵直线ON平分∠BOC,∠BOC=60°,
∴∠BON=30°或∠BON=210°,
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周,
∴直线ON平分∠BOC时,旋转的时间是3或21秒,
故答案为:3或21.
【分析】(1)由题意得出∠MON=90°,得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°;(2)设∠BON=α,则∠NOC=60°-α,∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α,∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α,由题意得出60°-α= (90°-α),解得α=54°即可;(3)求出∠BON=30°或∠BON=210°,即可得出答案.