DA四川省乐山市中考真题
总的可能性有 25 种，其中，一白一红的可能性有 8 种． ···················· 分 ··········· ········ 8 ·········· ·········
8 ． 25 8 答：摸到一个是白球，一个红球的概率为 P ··········· ··········· · ··········· ·········· ·· ．······················ 10 分 25
2 2 ··········· ··········· ·········· ···· 4 ··········· ·········· ··········· ···· ． ·········· ··········· ··········· ···· 分 x 2 1 5 解得 x 2．
k ，得 k 2．······························· 分 ··········· ··········· ········· 6 ··········· ·········· ·········· x
（2）证明：由（1）可知 QC PC 1 AC CO 2 ，且 AO PQ，·········· 8 分 ··········· ··········· ， ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· 四边形 APOQ 是菱形． ····································10 分 22． 解： （1）设口袋中红球的个数为 x 个．
故摸到一个是白球，一个是红球的概率为 P （说明：树状图略） 五、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分，其中第 23 题为选做题． 23. 甲题： 解： （1）方程 x (2k 3) x k 0 有两个不相等的实数根，
2 2
即 ··········· ··········· ········ 2 ··········· ·········· ········· 0， (2k 3)2 4 1 k 2 0．······························ 分 解得 k ．············································ 分 ············································4 ·········· ··········· ··········· ·········· · （2）由根与系数的关系得： (2k 3)， k ．·················· 分 ··················5 ·········· ·······
··········· ··········· ········· 分 ··········· ·········· ·········· ······························10 21．解： （1） y
C3
1 x 2， 2
图（2）
令 y 0 ，得 x 4, 即 A(4, 0)． 令 x 0 ，得 y 2, 即 B(0， 2)． ··········· ··········· ·········· ······· 2 ··········· ·········· ··········· ······· OA 4，OB 2．······································· 分 PC x 轴， AOB 90° ， ···········································3 ·········· ··········· ··········· ·········· PC ∥ BO．··········································· 分 又 P 为 AB 的中点，C 为 AO 中点． PC 是 △ABO 的中位线， AC CO． 1 ··········· ··········· ·········· ··· ··········· ·········· ··········· ·· PC BO 1，OC 2．··································4 分 2 1 QC 1 又 tan AOQ ， ． 2 CO 2 ··········· ·········· ··········· ······ QC 1 Q(2，．······································5 分 ． 1) ······································· 把 Q(2， 代入 y 1)
解不等式②，得 5( x 1) ≤ 2(2 x 1)．
① ②
解不等式①，得 x 2．····································· 分 ··········· ··········· ·········· ····· 3 ··········· ·········· ··········· ·····
-2
3
图（1） 18．证明：四边形 ABCD 为等腰梯形，B DCB． ··········· ··········· ·········· ·········· ··········· ·········· GE ∥ DC， GEB DCB．······························· 2 分 ··········· ··········· ·········· ·· 4 ··········· ·········· ··········· ·· GEB B． GB GE．·································· 分 在 △GEF 和 △HCG 中， ··········· ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· GE ∥ DC， GEF HCF．·······························5 分 ··········· ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· F 是 EC 的中点， FE FC．······························· 6 分 而 GFE CFH （对顶角相等） ， ··········· ··········· ·········· ······· ··········· ·········· ··········· ······ GEF ≌△HCF．······································7 分 △ ··········· ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· GE HC， BG CH．··································· 9 分 19．解： x 6 x
即 5x 5 ≤ 4 x 2． ∴ x ≤ 3． ············································· 分 ··········· ··········· ·········· ··········· ·· 7 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· 由图（1）可知不等式组的解集为： 2 x ≤ 3．······················· 9 分 ··········· ··········· ·· ··········· ·········· ···
乐山市 2009 年高中阶段教育学校招生考试
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题：每小题 3 分，10 小题，共计 30 分 1．A 2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 二、填空题：每小题 3 分，６小题，共计 18 分 11． 8．Ｃ 9．Ｃ 10．Ｄ
1 3
12． 2( x 2)( x 2) ． 13． 2a
x 3 0且x y 1 0．
解得： x 3, y 2. ······································3 分 ··········· ·········· ··········· ······ ·········· ··········· ··········· ·····
2
x y 1 9 0，
( x 3) 2 x y 1 0．··································· 分 ··········· ··········· ·········· ··· 1 ··········· ·········· ··········· ···
四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分 20．解： （1）所作图形如图（2）所示． ········· 4 分 ········· ·········
△ △ （2）以 AB 为腰的等腰三角形有 △ ABC1、 ABC2、 ABC3，
A c C1 B c
C2
0) 0) 0) 其中点 C 的坐标分别为： C1 (6， 、 C2 (4， 、 C3 (7， ．
1 1 y 2 2 x·································5 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ··· ( x y )( x y ) y
由题意得： 即口袋中红球的个数为 2 个． ··································7 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · （2）所有可能情况列表如图， 黄 黄 白1 白2 红1 红2 （黄，黄） 白1 （黄，白 1） 白2 （黄，白 2） 红1 （黄，红 1） 红2 （黄，红 2）
四川省乐山市2024年中考英语真题(含答案)
四川省乐山市2024年中考英语真题姓名：__________ 班级：__________考号：__________1分，满分15分）从A、B、C三个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项。
1．—Hi, you look ____. Why are you so happy today?—Can you believe it? I have just met Miss Zhou, my first teacher!A．excited B．exciting C．excite2．____ amazing it is! The Shenzhou XVIII members raise fish for the first time in Tiangong space station.A．What B．How C．What an3．—Dear, put the knives out of the kids' touch!—OK. I'll do it right away. It's quite necessary to keep ____.A．quiet B．warm C．safe4．—There are some after—school clubs in our school. You can ____ between the Music Club and the Food and Drink Club.—I prefer the Food and Drink Club, for I can learn more life skills.A．avoid B．choose C．hide5．—I'll never forget the experiences ____ we had in the volunteer work last summer.—Me too. The 3 days were meaningful and full of fun.A．when B．who C．that6．—Hello, may I speak to Jenny, please?—Wait a minute, please. She ____ in the kitchen now.A．cooked B．is cooking C．will cook7．—People ____ wear helmets（头盔）when they ride e—bikes according to the traffic rules.—Yes. Or they will be punished.A．must B．can C．may8．—There has been less and less pollution in Leshan these years.—The government has made a great effort on it. I'm sure this problem ____ one day in the future.A．was solved B．solves C．will be solved9．—I____ Mike on Monday. He invited us to visit his hometown in his letter.—Do we accept his invitation? We haven't met him for 3 years.A．heard from B．came from C．suffered from10．—Do you know Zhang Guimei, one of the "People Who Moved China"（感动中国人物）?—Yes. ____ she met lots of difficulties, she successfully helped so many students to go to college.A．Although B．Since C．If11．—World Sleep Day falls on March 21st. Do you think sleep is important?—I think so. Sleeping well can give you enough ____.A．courage B．energy C．reason12．—____ do you have a swimming class?—Once a week.A．How much B．How soon C．How often13．The composer who created Learn from the Role Model Lei Feng（《学习雷锋好榜样》）didn't ____ the song would be enjoyed by many people for more than 60 years.A．expect B．allow C．receive14．—I just went back from Guangzhou. Can you guess ____?—I suppose you took the high—speed train（高铁）.A．how did I get thereB．when I got thereC．how I got there15．—The Chengdu Horticultural Exhibition（成都园艺博览会）is really excellent! Thanks for inviting me here!—____A．I'm sorry.B．You're welcome.C．No problem.二、第一部分英语知识运用（共两节，满分30分）第二节完形填空（共15 小题；每小题1分，满分15分）阅读下列短文，掌握其大意，然后从36～50各题所给的三个或四个选项中，选出最佳选项。
2024年四川省乐山市中考化学真题及答案解析
【详解】Ａ、人体呼出的气体比吸入的空气中水蒸气含量高，说法错误； Ｂ、将水和植物油混合后不能形成溶液，形成的是乳浊液，说法错误； Ｃ、过滤是实现固液分离的操作，过滤不能降低水的硬度，生成中常用煮沸降低水的硬度，
说法错误； Ｄ、电解水时正极产生的气体是氧气，负极产生的气体是氢气，说法正确； 故选：Ｄ。
金，路灯内部采用金属铜作导线．
回答下列问题：
（１）制作灯柱所需的铝合金属于
＿（选填“金属材料”或“合成材料”）．
试卷第４页，共８页
（２）铝合金的硬度和强度都比纯铝
（选填“高”或“低”）．
（３）太阳能电池路灯使用铜作导线，是因为铜具有良好的
性．
（４）一般不用铁制作灯柱的原因是铁易与空气中的水蒸气和
反应而生锈．
空气
甲
Ａ．氢气
乙
Ｂ．甲烷
Ｃ．二氧化碳
Ｄ．一氧化碳
１０．为探究燃烧的条件，利用可调节温度的电炉设计如图所示装置进行实验．已知白磷的着
火点是４０℃，红磷的着火点是２４０℃，氯化钠不是可燃物．下列说法错误的是
试卷第２页，共８页
被细沙 覆盖的
白磷 红磷 红磷 氧化钠
ＯＯ
Ｏ
①②③④
铜板
电炉 Ｏ ｏ
℃
Ａ．当温度为６０℃时，只有①处白磷燃烧
则Ｒ的化学式为
三、实验题
１９．实验室现有质量分数为８？？氯化钠溶液，但在实验中需要５０ｇ质量分数为４？？氯化钠
溶液，某同学准备用 ８？？氯化钠溶液和蒸馏水（密度为１．０ｇ／ｃｍ３）进行配制．
１
回答下列问题：
（１）计算配制时需要 ８？？氯化钠溶液的质量为
ｇ．
（２）量取蒸馏水时应选择量程为
2023四川省乐山市数学中考真题及答案
2023年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（ ）A．a B．﹣a C．3a D．12．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（ ）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×10115．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ ）A．100B．150C．200D．4006．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）A．2B．C．3D．47．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）A．4B．8C．12D．168．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（ ）A．B．C．4D．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B 两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）A．8B．6C．4D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是 ．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 ．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD 的度数为 ．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝ ．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 ．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．18．（9分）解二元一次方程组：．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B 重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）101210m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝ ；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 ；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC 延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．2023年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）计算：2a﹣a＝（ ）A．a B．﹣a C．3a D．1【分析】直接合并同类项得出答案．【解答】解：2a﹣a＝a．故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为（ ）A．B．C．D．【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．【解答】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．3．（3分）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（ ）A．（﹣1，3）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（2，3）【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上；B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1，∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上；C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1，∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上；D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上；故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式y＝kx+b．4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（ ）A．9×108B．9×109C．9×1010D．9×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9000000000＝9×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（ ）A．100B．150C．200D．400【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．【解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为500×＝200（人），故选：C．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE ．若AC＝6，BD＝8，则OE＝（ ）A．2B．C．3D．4【分析】由菱形的性质得到OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC 的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴CB＝＝5，∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（ ）A．4B．8C．12D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sinθ＝（ ）A．B．C．4D．【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出sinθ的值．【解答】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，由题意可得：c2＝25，b﹣a＝＝1，a2+b2＝c2，解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ＝＝，故选：A．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．9．（3分）如图4，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（m，0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②a+b＞0；③0＜a＜﹣c；④若点C（﹣，y1），D（，y2）在抛物线上，则y1＞y2．其中，正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，故①正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a，∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴4a+2b+b﹣a＞0，∴3a+3b＞0，∴a+b＞0，故②正确；∵a﹣b+c＝0，∴a+c＝b，∵b＜0，∴a+c＜0，∴0＜a＜﹣c，故③正确；∵点C（﹣，y1）到对称轴的距离比点D（，y2）到对称轴的距离近，∴y1＜y2，故④的结论错误．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B 两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD＝，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）A．8B．6C．4D．3【分析】判断三角形PCD和三角形OAB都是等腰直角三角形，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，求出AB、PQ，根据面积公式计算即可．【解答】解：作OQ⊥AB，连接OP、OD、OC，∵CD＝，OC＝OD＝1，∴OC2+OD2＝CD2，∴△OCD为等腰直角三角形，由y＝﹣x﹣2得，点A（﹣2，0）、B（0，﹣2），∴OA＝OB＝2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝2，OQ＝，由题得，当P、O、Q共线时，S△ABP最大，∵P为中点，∴OP＝，∴PQ＝OP+OQ＝，∴S△ABP＝AB•PQ＝3．故选：D．【点评】本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）不等式x﹣1＞0的解集是 x＞1 ．【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出x的取值范围．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1．【点评】解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：160，163，160，157，160．这组数据的众数为 160 ．【分析】根据众数的定义求解即可．【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，所以这组数据的众数为160，故答案为：160．【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13．（3分）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD 的度数为 20° ．【分析】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．【解答】解：∵∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∵OD是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠BOC＝20°，故答案为：20°．【点评】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．14．（3分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝ 16 ．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．【解答】解：∵3m﹣n﹣4＝0，∴3m﹣n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16．故答案为：16．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得＝，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵，∴设AE＝2a，则BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．（3分）定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ﹣7 ；（2）若双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 3＜k＜4 ．【分析】（1）根据题意得出，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解方程即可求得m ＝﹣7；（2）根据题意得出，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），整理得（x﹣）（x++4）＝0，由x≠y，得出x++4＝0，理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，由﹣3＜x＜﹣1，得出3＜k＜4．【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，∴，消去t得到m2+4m﹣21＝0，解得m＝﹣7或3，∵x≠y，∴m＝﹣7；故答案为：﹣7；（2）∵双曲线y＝（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，∴，①﹣②得（x+）（x﹣）＝﹣4（x﹣），∴（x﹣）（x++4）＝0，∵x≠y，∴x++4＝0，整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∵﹣3＜x＜﹣1，∴3＜k＜4．故答案为：3＜k＜4．【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣2|+20230﹣．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝2+1﹣2＝1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）解二元一次方程组：．【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．【解答】解：，①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为：．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．19．（9分）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，利用AAS即可判定△AOC≌△BOD ，从而得AC＝BD．【解答】证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B 重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF．（1）求证：四边形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．【分析】（1）先证四边形ECFD为平行四边形，即可求解；（2）由勾股定理可求EF的长，由面积法可求解．【解答】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE，∴四边形ECFD为平行四边形，又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形；（2）解：过点C作CH⊥EF于H，在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，∴EF＝＝＝2，∵S△ECF＝×CF•CE＝×EF•CH，∴CH＝＝，∴点C到EF的距离为．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天种植梨树500棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．家务类型洗衣拖地煮饭刷碗人数（人）101210m根据上面图表信息，回答下列问题：（1）m＝ 8 ；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 108° ；（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．【分析】（1）先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得m的值；（2）用360°乘以“拖地”所占比例即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）因为被调查的总人数为10÷25%＝40（人），所以m＝40﹣（10+12+10）＝8，故答案为：8；（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为360°×＝108°，故答案为：108°；（3）列表如下：男1男2女1女2男1（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，所以所选同学中有男生的概率为＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数的图象上，∴，∴m＝1，∴A（1，4），又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，∴OB＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，∵S△OBP＝2S△OAC，∴，即，解得PD＝2，∴点P的纵坐标为2或﹣2，将y＝2或﹣2代入得x＝2或﹣2，∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．24．（10分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC 延长线上一点，连结AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE．（1）求证：直线AE是⊙O是的切线；（2）若sin E＝，⊙O的半径为3，求AD的长．【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE ＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sin B＝sin E＝＝，则CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE＝×4＝，所以AF＝BF＝＝，则AD＝AE＝2AF＝．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∵AD＝AE，∴∠E＝∠D，∵∠B＝∠D，∴∠E＝∠B，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B，∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴直线AE是⊙O是的切线．（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，∵∠E＝∠CAE＝∠B，∴＝sin B＝sin E＝＝，∵OA＝OB＝3，∴AB＝6，∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，∴CF＝CE＝×4＝，∴AF＝BF＝＝＝，∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，∴AD的长是．【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△A′B′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 ；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 cm ；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB＝＝3，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，可得S△A'DP＝××4＝；S扇形PA'B'＝＝，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（﹣）＝（cm2）．【解答】解：【问题解决】（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①如图：作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，∴△BOB'是等腰直角三角形，∵BB'＝6，∴OB＝＝3，∵＝（cm），∴点B经过的路径长为cm，故答案为：cm；【问题拓展】连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：∵点P为中点，∴∠PAB＝，由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，在Rt△PAM中，PM＝PA•sin∠PAM＝4×sin30°＝2，∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，在Rt△A′DM中，A'D＝＝＝，DM＝A'D＝，∴S△A'DP＝××4＝；S扇形PA'B'＝＝，下面证明阴影部分关于PD对称：∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，∴∠AND＝∠A'MD＝90°，∴∠PNA'＝90°，∴PN＝PA'＝2，∴AN＝PA﹣PN＝2，∴AN＝A′M，∴△AND≌△A'MD（AAS），∴AD＝A′D，∴CD＝B'D，∵PD＝PD，PB'＝PC，∴△PB′D≌△PCD（SSS），∴阴影部分面积被PD等分，∴S阴影＝2（S△A'DP﹣S扇形PA'B'）＝2（﹣）＝（cm2）．∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及扇形的旋转问题，三角形全等的判定与旋转，三角形，扇形的面积等，证明阴影部分关于AD对称是解题的关键．26．（13分）已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线C1：y＝﹣x2+bx（b为常数）上的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2．（1）求b的值；（2）将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝﹣（x﹣m）2+1（m＞0）．当0≤x≤2时，探究下列问题：①若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围；②设抛物线C2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线C2的顶点为点E，△ABC外接圆的圆心为点F．如果对抛物线C1上的任意一点P，在抛物线C2上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．【分析】（1）根据当x1+x2＝0时，总有y1＝y2，构建方程，求解即可；（2）①求出抛物线经过（0，0）或（2，﹣1）时的m的值，可得结论；②判断出抛物线经过（1，0）或（2，0）时m的值，求出m的取值范围，再根据FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，构建关系式，求出即，可得结论．【解答】解：（1）由题可知：y1＝﹣+bx1，y2＝﹣+bx2，∵当x1+x2＝0 时，总有y1＝y2，∴﹣+bx1＝﹣+bx2，整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣4b）＝0，∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴x1+x2﹣4b＝0，∴b＝0；（2）①注意到抛物线C2最大值和开口大小不变，m只影响图象左右平移．下面考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，0）时，如图1所示，此时，x＝0，，解得m＝2或﹣2（舍）．（i）当抛物线C2过点（2，﹣1）时，如图2所示，此时，x＝2，解得或（舍）．综上所述，2≤m≤2+2；②同①考虑满足题意的两种临界情形：（i）当抛物线C2过点（0，﹣1）时，如图3所示，此时，x＝0，，解得或（舍）．（ii）当抛物线C2过点（2，0）时，如图4所示，此时，x＝2，，解得m＝4 或0（舍）．综上所述，．如图5，由圆的性质可知，点E、F在线段AB的垂直平分线上，∴HB＝m+2﹣m＝2，∵FB＝FC．∴FH2+HB2＝FG2+GC2，设FH＝t，∴t2+22＝（﹣1﹣t）2+m2，∴（﹣1）2﹣2（﹣1）t+m2﹣4＝0，∴（﹣1）（﹣2t+3）＝0，∵m≥2，∴﹣1≠0，∴，即，∵∴，即＜FH≤，∵EF＝FH+1，∴．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．。
2023年四川省乐山市中考数学真题 (含解析)
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考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
考生作答时，不能使用任何型号的计算器。
第I卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分。
-=（）1. 计算：2a a- C. 3a D. 1A. aB. a【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．-=，故A正确．【详解】解：2a a a故选：A．【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．2. 下面几何体中，是圆柱的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆柱体的特征进行判断即可．【详解】解：A.是正方体，不符合题意；B.是圆柱，符合题意；C.是圆锥，不符合题意；D.是球体，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．3. 下列各点在函数21y x =-图象上的是（）A. ()13-，B. ()01，C. ()11-，D. ()23， 【答案】D【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式21y x =-，进行计算即可得到答案． 【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，∴函数图象上的点都满足函数解析式21y x =-，A.当=1x -时，=3y -，故本选项错误，不符合题意；B.当0x =时，1y =-，故本选项错误，不符合题意；C.当1x =时，1y =，故本选项错误，不符合题意；D.当2x =时，3y =，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．4. 从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中9000000000用科学记数法表示为（）A. 8910⨯B. 9910⨯C. 10910⨯D. 11910⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，看小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n 是正整数；小数点向右移动时，n 是负整数．【详解】解：99000000000910=⨯故选：B ．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．5. 乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如下统计图，如图所示估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为（）A. 100B. 150C. 200D. 400【答案】C【解析】【分析】用初一年级总人数500名乘以随机抽取的50名同学中愿意去“沫若故居”的学生人数占的比值了可求解． 【详解】解：2050020050⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查条形统计图，用样本估计总体一，熟练掌握用样本频数估计总体频数是解题的关键． 6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（）A. 2B. 52C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥，116322OC AC ==⨯=，118422OB BD ==⨯=，再由勾股定理求出5BC =，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：∵菱形ABCD ，∴AC BD ⊥，116322OC AC ==⨯=，118422OB BD ===，∴由勾股定理，得5BC ==，∵E 为边BC 的中点， ∴1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．7. 若关于x 一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，且123x x =，则m 的值为（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出128x x +=，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，∴128x x +=，∵123x x =，∴212,6x x ==，∴1212m x x ==，故选：C ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．8. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（ ） 的A. 45B. 35C. 25D. 15【答案】A【解析】【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得AD BC =，则1AD AC =+，在Rt ABC △中，利用勾股定理求出4AD BC ==，最后按照正弦函数的定义计算求解即可．【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，∴大正方形的边长5AB =，小正方形的边长1CD =，∵AD BC =，∴1AD AC =+，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴()22215AD AD -+=，解得4AD BC ==（负值舍去） ∴4sin 5BC AB θ==． 故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理、弦图及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键．9. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、，且12m <<，有下列结论：①0b <；②0a b +>；③0a c <<-；④若点1225,,,33C y D y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则12y y >．其中，正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、，且12m <<，，可以得到0a >，1022b a <-<，从而可以得到b 的正负情况，从而可以判断①；继而可得出b a -<，则0a b +>，即可判断②；由图象可知，当1x =时，0y <，即0a bc ++<，所以有a b c +<-，从而可得出0a c <<-，即可判断③；利用12512332⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，再根据1022b a <-<，所以252332b b a a ⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得12y y <，即可判断④．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上，∴0a >，∵抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、，且12m <<， ∴1022b a <-<， ∴0b <，故①正确； ∵1022b a <-<，0a >， ∴b a -<∴0a b +>，故②正确；由图象可知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，∴a b c +<-∵0a >，0b <，∴0a c <<-，故③正确；∵12512332⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 又∵1022b a <-<， ∴252332b b a a ⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上，∴12y y <，故④错误．∴正确的有①②③共3个，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的O 上两动点，且CD =，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，PAB 面积的最大值是（）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出2OA OB ==，确定AB =，再由题意得出当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线2y x =--与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，=2y -，当0y =时，2x =-，∴()()2,0,0,2A B --，∴2OA OB ==，∴AB ==∵PAB 的底边AB =为定值，∴使得PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，∵CD =，O 的半径为1，∴2DP =∴2OP ==， ∵OE AB ⊥，∴12OE AB ==∴2PE OE OP =+=，∴1322PAB S =⨯=， 故选：D ．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5m 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效。
2024年四川省乐山市中考语文真题(含答案)
四川省乐山市2024年中考语文试卷一、语言积累与运用（16分）1．（9分）阅读下面的文字，完成问题。
知史以明鉴，察古以晓今。
乐山作为历史文化名城，拥有众多独具特色的博物馆。
紧扣今年国际博物馆日主题——“博物馆致力于教育和研究”，各大博物馆a ，纷纷推出了新颖有趣的活动。
人们可以在乐山市博物馆挖掘汉代崖墓形制元素，在峨眉山博物馆探寻儒、释、道相互交融发展的历史b ，在夹江手工造纸博物馆体验竹纸制作技艺，在铁道兵博物馆了解铁道兵的奋斗历程和他们c 的英雄事迹……①同时，智慧博物馆依托数字技术跨越时空，让历史场景生动再现，让馆藏文物“触手可及”。
②无数时光留下的礼物，在博物馆里被珍藏。
③博物馆是“没有墙垣的大学校”，应当充分发挥博物馆的教育和研究。
④只有发掘并保护好历史文化资源，才能让中华文脉绵延不绝，灿烂文明生生不息。
（1）依次填入文中a、b、c处的词语，全部恰当的一项是A.异想天开源头可歌可泣B.异想天开渊源顶天立地C.别出心裁源头顶天立地D.别出心裁渊源可歌可泣（2）文中画波浪线的句子有语病的一项是A.①B.①C.①D.①（3）下列各句中的破折号，和文中破折号作用相同的一项是A.坐在人家阶石的一角，不时吆喝一声：“卖杨梅——”声音娇娇的。
B.这就是朝鲜战场上一次最壮烈的战斗——松骨峰战斗，或者叫书堂站战斗。
C.听到吵闹声不必捂住耳朵——在许多场合未必能做到这一点。
D.要是你猛抬眼看见了前面远远有一排——不，或者只是三五株，一株，傲然地耸立。
2．（7分）阅读下面的文字，完成问题。
回眸历史，是劳动书写了灿若星河的中华文明；tiào wàng（a）征途，是奋斗铺就了抵达梦想的坚实路基。
高速磁浮列车chí chěng（b）大地，拉林铁路穿梭雪域，“悬崖村”华丽蝶变，西海固千山披绿……每一处风景背后，①。
他们攻关在日新月异的科技前沿，奋斗在乡村振兴的第一线，怀揣热望，rèn láo rèn yuàn（c），不仅筑牢了坚实的物质基础，②。
中考乐山试题及答案
中考乐山试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是乐山市的著名景点？A. 峨眉山B. 九寨沟C. 黄龙D. 都江堰答案：A2. 乐山市位于中国的哪个省份？A. 四川省B. 云南省C. 贵州省D. 湖南省答案：A3. 乐山大佛是世界上最大的石刻佛像，其高度是多少米？A. 71B. 61C. 51D. 41答案：A4. 乐山市的气候类型是什么？A. 亚热带季风气候B. 温带季风气候C. 热带雨林气候D. 寒带气候答案：A5. 乐山市的市花是什么？A. 牡丹B. 荷花C. 菊花D. 杜鹃答案：B6. 乐山市的市树是什么？A. 松树B. 柳树C. 银杏D. 榕树答案：C7. 乐山市的市鸟是什么？A. 燕子B. 黄鹂C. 喜鹊D. 鸽子答案：B8. 乐山市的市歌是什么？A. 《乐山之歌》B. 《峨眉山月歌》C. 《乐山水》D. 《乐山情》答案：A9. 乐山市的市标是什么？A. 乐山大佛B. 峨眉山C. 乐山市花D. 乐山市树答案：A10. 乐山市的市徽是什么？A. 乐山大佛B. 峨眉山C. 乐山市花D. 乐山市树答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 乐山市的市花是______。
答案：荷花2. 乐山市的市树是______。
答案：银杏3. 乐山市的市鸟是______。
答案：黄鹂4. 乐山市的市歌是______。
答案：《乐山之歌》5. 乐山市的市标是______。
答案：乐山大佛三、简答题（每题5分，共10分）1. 请简述乐山市的地理位置。
答案：乐山市位于四川省中部，地处四川盆地西南边缘，东邻自贡市，南接宜宾市，西靠凉山彝族自治州，北连眉山市。
2. 乐山市有哪些著名的旅游景点？答案：乐山市著名的旅游景点包括乐山大佛、峨眉山、黑竹沟、金口河大峡谷等。
四、论述题（每题15分，共30分）1. 论述乐山市的历史文化价值。
答案：乐山市历史悠久，文化底蕴深厚。
乐山大佛是世界文化遗产，体现了中国古代石刻艺术的精湛技艺。
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乐山市 高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共 8页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.考生作答时，不能使用任何型号的计算器•第一部分（选择题 共30分）注意事项:1. 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2. 本部分共10小题，每小题3分，共30分.一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求.1. 3的相反数是2.下列儿何体中，正视图是矩形的是组数据的众数是(A) 一3(B)3(c)-i1 （D ）33.某班开展1分钟仰卧起坐比赛活动,5名同学的成绩如下（单位：个）：37、38、40、40、42 •这(A) 37 (B)38 (C)40 (D) 42(C) (D)(B)4.下列说法不.一.定.成立的是(A)若a b ,贝ij a +c :>b +c(B)若a+ c> b+ c,则a二b(C)若a >b ,则 2 2ac >bc5•如图1, I || l2 || I3,两条直线与这三条平行线分别交于点12 2(D)若ac > be ,贝ij a > bA、B、C 和D、E、F ,已知竺BC 一2DE DF 的值为Al32 (C)- 5(D)£(A) 3(B)4A7.如图2,已知 ABC 的三个顶点均在格点上，则匚(A)3 2 33 (C)6・二次函数 =_ 2 +2 +4y x x 的最大值为电影《刘三姐》中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩(C)5cos A 的值为(B)(D)8. 三多四下分,5・罗秀才唱到:“三百条狗交给你，一少不要双数要单数，看你怎样分得均？ ”刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道：“九十九条打猎去,九十九条看羊来，九十九条守门口， (+ =出的问题，设“一少”的狗有 x< <剩下三条财主请来当奴才工 隹用数学方法解决罗秀才提3y3000 (C )+x3y3xy 300300y 300+ +=4X> +y 为奇数 9・已知二次函数『 2ax bx c (A) m n (C) m n 条，“三多”的狗有y 条，则解此问题所列关系式正确的是 lx 3y 300(B)〔0 +x y 300 x 、<y 炎奇数2a b c .则下列选项正确的是 0 x 300+ + + + 0 y 300X 、 y 为奇数 £ c 2a b c(D±x<3/ 300的图象如图3所示，-记m a (B) m n (D)m 、n 的大小关系不能确定半径的圆上一动点，连结 PA 、PB •则 PAB 面积的最大值是第二部分(非选择题 共120分)注意事项1. 考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上 无10.如图4,已知直线yx 一3与x 轴、y 轴分别交于B 两点,P 是以C(0,1 )为圆心，1为4y(A)8 (B) 12 (C) 212(D)17效.2. 作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚.3. 解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤.4. 本部分共16小题，共120分.二、填空题：本大题共 6小题，每小题3分，共18分.11-；的倒薮丛_ ▲ . ------15. 如图5, 植了 4棵树的有3人，植了 5棵树的有1人，那么平均每人植树=° Z在等腰三角形ABC 中，ABAC , DE 垂直平分AB ,已知 ADE 40 ,贝】」 DBC如图 6,己知 A(2 3,2)、 B(23,1),A( 2,2 3)的位置，则图中阴影部分的面积为有5人,Z12. 函数yx 2的自变量x 的取值范围是13. 九年级 1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况m14.16.在直角坐标系xoy中，对于点P(x,y)和Q(x, y).给出如下定义:卄y(x >0)若= £，则称点Q为点P的“可控变点"・l_y(X <0)例如：点(1,2)的“可控变点”为点(1,2),点(-1,3)的“可控变点”(1)若点(-1,-2)是一次函数y=x + 3图象上点M的“可控变点" (2)若点P在函数 =一2+16(_5《< )y x xa的图象上，其“可控变点”-MS范围是16 y 16,则实数a的取值范围是▲三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.S3x 7 918.求不等式组一+ » 的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来为点(一1,-3).,则点M的坐标为▲.Q的纵坐标y的取值8 4cos 45 ( 1)2015仃•计算:去3 1-4 -3 -2-10 1 2 3 4图719.化简求值:四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.20.如图8,将矩形纸片 ABCD 沿对角线BD 折叠使，点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E .(1) 求证：ADCE a ABFE ；= Z =°(2) 若 CD 2, _ADB 30，求 BE 的长.21・某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩（得分为整数，满分为100分）分成四类,并制作了如下的统计图表:类别 戴绩 < 频数甲60 <m <705乙 70^m <80 a < <丙80 m 90 10 丙 T90一m~WO 5 一25%根据图表信息, 回答下列问题:（1）该班共有学生人；表中a(2)将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E,现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛，请借助树状图、列表或其他方式求B—定能参加决赛的概率22. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表:型号进价(元/只) 售价(元/只)A型1012B型1523(1) 小张如何进货，使进货款恰好为1300元？(2) 要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40 %，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值・五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.23.如图10.1 ,四边形ABCD 中,Z B = Z D = 90°, AB = 3, BC = 2 , tan A=-3(1) 求CD边的长；(2) 如图10.2 ,将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P,交CB于点Q (点Q运动到点B 停止)，设DP x ,四边形PQCD的面积为y ,求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围・24.如图11,正比例函数y 2x 的图象与反比例函数A(1)求k 的值；△CAQC图 10.1图 10.2垂直x 轴于点C ,连结BC .若 ABC 的面积为2 . (2) X 轴上是否存在一点请说明理由・y k的图象交于A 、B 两点，过点A 作 x AC六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.25.已知RtAABC中，AB是0 0的弦，斜边AC交0 0于点D ,且AD =DC ,延长CB交O 0 于点E .(1) 图12.1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2) 如图12.2 ,过点E作O 0的切线，交AC的延长线于点F .①若CF =CD时，求sinZCAB的值；②若CF =aCD (a >0)时，试猜想sinZCAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结果)_ 23, 一元二次方程axbx =的两根为(1) 求二次函数的解析式；(2) 直线I 绕点A 以AB 为起始位置顺时针旋转到 AC 位置停止，I 与线段BC 交于点D , P 是AD 的中点.① 求点P 的运动路程；② 如图13.2 ,过点D 乐DE 垂直X 轴于点E ,作DFZ若 tan ABC8、2.丄2所在直线于点F ,连结PE 、PF ,fll学试答JK及坪分倉见U>1 <•>> <t)• (c> 几io>，<D> B (B) •M |C)« I •曲斤■ AI2O»)二.・"•人■員AIBUII U t>2i U 3.14 l>i 11 * ia<|> l-LDi (3>7T«・・MC・：•户•・I、■沙・hl・・ Hl M2 W >5>拿*44l< ■*■・*•貝計介r» ■ M • +♦丄刀■ : •!•• <<><3 IT)<»»<»ir>«Hr>(i&)(T…—启万・£・¥n.拿ABA > IO9> A M«»(i)if・，・in. n匕■・・ AC • w. u ■X V bT Am AMM •xr • XJ ・jLC.ar •■ M:.K f《W・ AIM・ 4 £M・• ($ 4H<l)・<D«M ・V 丄QM ■ WV4t 3 •[厶S»•时八X . W (?»>■ HlAMC ■. £0 •工.—"• W4一OC 2 ■八* A M •、匕ar . a ■ #( i—^―ii —— ------------4 VTH«H BK・■*«»&» ■ -•・-r ・• ■ ■».♦• - •* «»♦« - -* ( }] |■・拿真■爲"n 0i(i>/• S<FANifi*AH. <r« ITA<• " •E，州・”・•仙•:4 ■ ■ " C• g4 •55 IriJ^ArJv•—»•> -y ・j • y •討• —<■ »<*>#>B »* I | A«2 I)> Min ・・• * ••• •・•*%•・*tA ■食力IV・加•■趴4( - I.・)・魚2. •>•■"■工* i・・・• ■ 5・釧■ •.•>.氏人■ •・・W・• > x ——--------------------- (1 it)n> ■・*!>•・・刎・.・几Adi M・«i4>.M-I.•:>ar w ・ J<i 二«> • ■丫・7 iT • T•仁• •「•门••尸・F.・•• ■ •九・魚仇❶)-<a 9).-.・・・氏舟・・------------------------------------ d<2)a BM* I. ^UtUffSW.户・*O ♦律A 亂40必・・"・■»!•rn«Mflrw&41C9H^K«A>•WMtf «AR^A.<14P •<・•・『•” • li •■广・F.#4iaw»ia«>・■ an ■■・••■QIHl•炉<M ・ c■九ttl.<S.O>rx. axaa: y. ■ M■ u ・■ ■ m ■ * ・.■ a ・b ・ n>w* u • ciMl i ■■«•• w, a■・CP. A MM• W 1 P*4C<• * if ”「<« • "ia»FFao<>n«m>・<“・・<AX •町.XxUfra ^f.W >«r ・▲ Vi •wr. “a - 4M/AU* ■ ^CTD 一■—•—■•■—•• <«#)• “ (i »)■ tl••・•■■■■・<11 *)4>“g•鼻» 3» I <>«3 I)《w • • ”4 • : ^«rr.“Z ••・FF#> ■ J< < ri・• ^FtFi .■• 3 "M 丄•"人,♦・■••..... <•♦■Ul ・ aE■■低倉皿■ ^nFC. ” ■ t" . £ 3—” "i ............... •”( II #>m"・u・：a・：g・・“b AT M■・B 21 ff I A«J V| -<l> t>。
2024年四川省乐山市中考数学真题卷及答案解析
乐山市2024年初中学业水平考试数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1. 不等式20x -<的解集是（ ）A. 2x <B. 2x >C. <2x -D. 2x >-2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）A. 带盖玉柱形器B. 白衣彩陶钵C. 镂空人面覆盆陶器D. 青铜大方鼎3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）A. 8410⨯B. 9410⨯C. 10410⨯D. 11410⨯4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）A. B. C. D.5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A. 100B. 200C. 300D. 4006. 下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. ,AB CD AD BC∥∥ B. ,AB CD AD BC ==C. ,OA OC OB OD== D. ,AB CD AD BC =∥7. 已知12x <<2x +-的结果为（ ）A. 1- B. 1 C. 23x - D. 32x-8. 若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A. 23- B. 23 C. 6- D. 69. 已知二次函数()2211y x x x t =--≤≤-，当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A. 02t <≤B. 04t <≤C. 24t ≤≤D. 2t ≥10. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）A.B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．4．本部分共16个小题，共120分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11. 计算：2a a +=______.12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．13. 如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠=______．14. 已知3a b -=，10ab =，则22a b +=______．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOCS S =△△______．16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；①3y x =-+；②2y x=；③221y x x =-+-．（2）若一次函数3y mx m =-图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为______．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．的17. 计算：()03π2024-+-．18. 解方程组：4{25x y x y +=-=19. 知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．20. 先化简，再求值：22142x x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m 的值为______；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．22. 如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．（1）求m 、n 值和一次函数的表达式；（2）连结AB ，求点C 到线段AB 的距离．23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；的（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．24. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D ，点E 为 CB 上一点，且 AC CE=．（1）求证：DC AE ∥；（2）若EF 垂直平分OB ，3DA =，求阴影部分的面积．25. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．（1）若1a =，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a 的取值范围；（3）若抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a 的取值范围．26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 长．解：如图2，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '△，连结ED '．的由旋转特征得BAD CAD '∠=∠，B ACD ∠=∠'，AD AD ='，BD CD '=．∵90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，∴45BAD EAC ∠+∠=︒．∵BAD CAD '∠=∠，∴45CAD EAC '∠+∠=︒，即45EAD '∠=︒．∴DAE D AE '∠=∠．在DAE 和D AE ' 中，AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，AE AE =，∴___①___．∴DE D E '=．又∵90ECD ECA ACD ECA B ''︒∠=∠+∠=∠+∠=，∴在Rt ECD '△中，___②___．∵3CD BD '==，4CE =，∴DE D E '==___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．知识迁移】如图3，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，满足CEF △的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，连结AE AF 、，分别与对角线BD 交于M 、N 两点．探究BM MN DN 、、的数量关的【系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且45EAF CEF ∠=∠=︒．探究BE EF DF 、、的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 、E 在边AC 上，且45DBE ∠=︒．设AD x =，CE y =，求y 与x 的函数关系式．乐山市2024年初中学业水平考试数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．第Ⅰ卷（选择题共30分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1. 不等式20x -<的解集是（ ）A. 2x <B. 2x >C. <2x -D. 2x >-【答案】A【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．移项可得一元一次不等式的解集．【详解】解：20x -<，解得，2x <，故选：A ．2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）A 带盖玉柱形器 B. 白衣彩陶钵C. 镂空人面覆盆陶器D. 青铜大方鼎【答案】D【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．得出各个选项中的几何体的俯视图即可．【详解】解：A ．俯视图是圆形，因此选项A 不符合题意；.B ．俯视图不是四边形，因此选项B 不符合题意；C ．俯视图不是四边形，因此选项C 不符合题意；D ．俯视图是正方形，因此选项D 符合题意；故选：D ．3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）A. 8410⨯ B. 9410⨯ C. 10410⨯ D. 11410⨯【答案】C【解析】【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定a n ，的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 的值为整数位数少1．【详解】解：40000000000大于1，用科学记数法表示为10n a ⨯，其中4a =，10n =， ∴40000000000用科学记数法表示为10410⨯，故选：C ．4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）A.B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】边数为n 的多边形的内角和()2180n =-⨯︒，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到．【详解】解：三角形的内角和等于180︒四边形的内角和等于360︒五边形的内角和等于()52180540-⨯︒=︒六边形的内角和等于()62180720-⨯︒=︒所以三角形的内角和最小故选：A ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n 的多边形的内角和()2180n =-⨯︒是解此题的关键．5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案．【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为：3080040060⨯=（人），故选：D ．6. 下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. ,AB CD AD BC∥∥ B. ,AB CD AD BC ==C. ,OA OC OB OD== D. ,AB CD AD BC=∥【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【详解】解：A 、∵,AB CD AD BC ∥∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；B 、∵,AB CD AD BC ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；C 、∵,OA OC OB OD ==，∴四边形ABCD 平行四边形，故此选项不合题意；D 、∵,AB CD AD BC =∥，不能得出四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．7. 已知12x <<2x +-的结果为（ ）A. 1- B. 1 C. 23x - D. 32x -【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．a =化简二次根式，然后再根据12x <<去绝对值即可．212x x x +-=-+-， ∵12x <<，∴10,20x x ->-<，∴12121x x x x ----==++，21x +-=，故选：B ．8. 若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（ ）A. 23- B. 23 C. 6- D. 6【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系：若方程的两实数根为12,x x ，则1212,b x x x x a+=-⋅c a =．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根与系数的关系得到121222,1x x x x p +=-=-⋅=，然后通是分，11x +1221212x x x x x p+-==，从而得到关于p 的方程，解方程即可．【详解】解：121222,1x x x x p +=-=-⋅=Q ，121212112x x x x x x p+-∴+==，而12113x x +=，23p-∴=，23p ∴=-，故选：A ．9. 已知二次函数()2211y x x x t =--≤≤-，当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A. 02t <≤ B. 04t <≤ C. 24t ≤≤ D. 2t ≥【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =-=--，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11-，，当=1x -时，3y =，即()13-，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤-≤，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-=--，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11-，，当=1x -时，3y =，∴()13-，关于对称轴对称的点坐标为()33，，∵当=1x -时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，∴113t ≤-≤，解得，24t ≤≤，故选：C ．10. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M 的运动路径．过点C 作CH AD ⊥交AD 于点H ，根据60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，算出1DH =，得出AH DH =，CH 垂直平分AD ，再证明PCM QCM V V ≌，得出PM MQ =，证明CM 垂直平分PQ ，点M 在CH 上运动，根据解直角三角形 tan 30CM BC '=⋅︒=．即可求解．【详解】解：过点C 作CH AD ⊥交AD 于点H ，∵60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，∴60ADC ∠=︒，1CD BC AB ===，∴30DCH ∠=︒，∴112DH CD ==，∴1AH AD DH =-=，∴AH DH =，∴CH 垂直平分AD ，∵点P 和点Q 关于点C 对称，∴PC QC =，∵90,PCM QCM CM CM ∠=∠=︒=，∴()PCM QCM SAS ≌，∴PM MQ =，∴CM 垂直平分PQ ，∴点M 在CH 上运动，当点P 与点B 重合时，点M 位于点M '，此时，∵60ABC ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，1AB =，∴1302M BC ABC '∠=∠=︒，1BC =∴tan 30CM BC '=⋅︒=．故点M 的运动路径长为CM '=故选：B ．第Ⅱ卷（非选择题共120分）注意事项：1．考生使用0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚．3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．4．本部分共16个小题，共120分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11. 计算：2a a +=______.【答案】3a【解析】【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．【详解】23a a a +=．故答案为：3a ．【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确把握运算法则是解题关键．12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．【答案】66【解析】【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．【详解】解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71，所以这组数据的中位数为66．故答案为：66．13. 如图，两条平行线a 、b 被第三条直线c 所截．若160∠=︒，那么2∠=______．【答案】120︒##120度【解析】【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．根据两直线平行同位角相等得到1360∠=∠=︒，再根据平角的定义得到23180∠+∠=︒，从而可计算出2∠．【详解】解：如图，a b ∥ ，1360∴∠=∠=︒，而23180∠+∠=︒，218060120∴∠=︒-︒=︒，故答案：120︒．14. 已知3a b -=，10ab =，则22a b +=______．【答案】29【解析】【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．根据()2222a b a b ab +=-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()22222321029a b a b ab +=-+=+⨯=，故答案为：29．15. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOCS S =△△______．【答案】19【解析】【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．为设AD BC ，的距离为d ，则112132ABDBCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点()0,1是函数1y x =+图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；①3y x =-+；②2y x=；③221y x x =-+-．（2）若一次函数3y mx m =-图象上存在“近轴点”，则m 的取值范围为______．【答案】①. ③ ②. 102m -≤<或102m <≤【解析】【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．熟练掌握新定义，一次函数，反比例函数，二次函数图象上的点到坐标轴距特点，是解决问题的关键．（1）①3y x =-+中，取 1.5x y ==，不存在“近轴点”；②2y x=，由对称性，取x y ==，不存在“近轴点”；③()22211y x x x =-+-=--，取1x =时，0y =，得到()1,0是221y x x =-+-的“近轴点”；（2）()33y mx m m x =-=-图象恒过点()3,0，当直线过()1,1-时， 12m =，得到102m <≤；当直线过()1,1时，12m =-，得到102m -≤<．【详解】（1）①3y x =-+中，1.5x =时， 1.5y =，不存在“近轴点”；②2y x =，由对称性，当x y =时，x y ==，不存在“近轴点”；③()22211y x x x =-+-=--，1x =时，0y =，∴()1,0是221y x x =-+-的“近轴点”；∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③故答案为：③；（2）()33y mx m m x =-=-中，3x =时，0y =，∴图象恒过点()3,0，当直线过()1,1-时，()113m -=-，∴12m =，∴102m <≤；当直线过()1,1时，()113m =-，∴12m =-，∴102m -≤<；∴m 的取值范围为102m -≤<或102m <≤．故答案为：102m -≤<或102m <≤．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：()03π2024-+-．【答案】1【解析】【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键．先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．【详解】解：()03π2024-+--313=+-1=．18. 解方程组：4{25x y x y +=-=【答案】详见解析【解析】【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程．【详解】解：①＋②，得39x =．解得3x =．把3x =代入②，得1y =．∴原方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，．19. 知：如图，AB 平分CAD ∠，AC AD =．求证：C D ∠=∠．【答案】见解析【解析】【分析】利用SAS 证明CAB DAB ∆∆≌，即可证明C D ∠=∠．【详解】解：AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在CAB ∆和DAB ∆中，AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAB DAB ∴∆∆≌，C D ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS 、AAS 、ASA 、SSS 等全等三角形的判定方法是解题的关键．20. 先化简，再求值：22142x x x ---，其中3x =．小乐同学的计算过程如下：解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--…①()()()()222222x x x x x x +=-+-+-…②()()2222x x x x -+=+-…③()()222x x x +=+-…④12x =-…⑤当3x =时，原式1=．（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】（1）③（2）12x +，15【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．【小问1详解】解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，应为：()()()()()()2222222222x x x x x x x x x x -----=+++-+；【小问2详解】解：()()2212142222x x x x x x x -=---+--()()()()222222x x x x x x +=-+-+-()()2222x x x x --=+-()()222x x x -=+-12x =+当3x =时，原式15=21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m 的值为______；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．【答案】（1）240，35（2）见详解（3）16【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考音了统计图．（1）根据：该项所占百分比=该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：本次抽取的游客总人数为7230%240÷=(人)，84100%35%240m =⨯=，故答案为：240，35；【小问2详解】“甜皮鸭”对应的人数为240(487284)36-++=(人)，补全图形如下：的【小问3详解】假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A 、B 、C 、D ”，画树状图如图所示，共有12种等可能的结果数，其中抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”题目的结果数为2，∴抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是21126=．22. 如图，已知点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数()30y x x=>的图象上，过点A 的一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()0,1C ．（1）求m 、n 的值和一次函数的表达式；（2）连结AB ，求点C 到线段AB 的距离．【答案】（1）3m =，3n =，21y x =+（2）点C 到线段AB 【解析】【分析】（1）根据点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x=图象上，代入即可求得m 、n 的值；根据一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ，代入求得k ，b ，即可得到表达式；（2）连结BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CEAB ⊥，垂足为点E ，可推出 BC x ∥轴，BC 、AD 、DB 的长度，然后利用勾股定理计算出AB 的长度，最后根据1122ABC S BC AD AB CE =⋅=⋅ ，计算得CE 的长度，即为点C 到线段AB 的距离．【小问1详解】点()1,A m 、(),1B n 在反比例函数3y x =图象上∴3m =，3n =又 一次函数y kx b =+过点()1,3A ，()0,1C ∴31k b b +=⎧⎨=⎩解得：21k b =⎧⎨=⎩∴一次函数表达式为：21y x =+；【小问2详解】如图，连结BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为点E()0,1C ，()3,1B ∴BC x ∥轴，3BC = 点()1,3A ，()3,1B ，AD BC⊥∴点()1,1D ，2AD =，2DB =在Rt ADB 中，AB ==又 1122ABC S BC AD AB CE=⋅=⋅即113222CE⨯⨯=⨯∴CE =，即点C 到线段AB 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺（2）能，cos cos h OA βα=-【解析】【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．（1）如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B ．设秋千绳索的长度为x 尺．由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，得出4OB x =-．在Rt OA B '△中，由勾股定理解得14.5x =，即可求解；（2）由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==．在Rt OA P '△中，得出cos OP OA α=⋅，同理，cos OQ OA β=⋅．再根据OQ OP h -=，列等式即可求出OA ．【小问1详解】解：如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B ．设秋千绳索的长度为x 尺．由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，∴4OB OA AB x =-=-．在Rt OA B '△中，由勾股定理得：222A B OB OA ''+=∴()222104x x +-=．解得14.5x =．答：秋千绳索的长度为14.5尺．【小问2详解】能．由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==．在Rt OA P '△中，cos cos OP OA OA αα'=⋅=⋅，同理，cos cos OQ OA OA ββ''=⋅=⋅．∵OQ OP h -=，∴cos cos OA OA h βα⋅-⋅=．∴cos cos h OA βα=-．24. 如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，过点C 作O 的切线CD 交BA 延长线于点D ，点E 为 CB 上一点，且 AC CE=．（1）求证：DC AE ∥；（2）若EF 垂直平分OB ，3DA =，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）3π-【解析】【分析】（1）如图1，连结OC ．则90OCD ∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒．由AB 为直径，可得90ACB ∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒．则1DCA ∠=∠．由OC OB =，可得12∠=∠．由 AC CE=，可得23∠∠=．则3DCA ∠=∠．进而可证DC AE ∥．（2）如图2，连结OE BE 、．由EF 垂直平分OB ，可得OE BE =．则OEB 为等边三角形．60BOE ∠=︒，120AOE ∠=︒．由OA OE =，可得30OAE OEA ∠=∠=︒．由DC AE ∥，可得30D OAE ∠=∠=︒．60DOC ∠=︒．证明AOC 为等边三角形．则60OCA ∠=︒，OA OC AC ==．30DCA ∠=︒．则D DCA ∠=∠．3DA AC OA OC OE =====．sin 60EF OE =⋅︒．12OAE S AO EF =⋅△．2120π3360OAE S ⨯=扇形，根据OAE OAE S S S =-阴影扇形△，计算求解即可．【小问1详解】证明：如图1，连结OC ．图1∵CD 为O 的切线，∴90OCD ∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒．又∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒．∴1DCA ∠=∠．∵OC OB =，∴12∠=∠．∵ AC CE =，∴23∠∠=．∴3DCA ∠=∠．∴DC AE ∥．【小问2详解】解：如图2，连结OE BE 、．图2∵EF 垂直平分OB ，∴OE BE =．又∵OE OB =，∴OEB 为等边三角形．∴60BOE ∠=︒，120AOE ∠=︒．∵OA OE =，∴30OAE OEA ∠=∠=︒．∵DC AE ∥，∴30D OAE ∠=∠=︒．又∵90OCD ∠=︒，∴60DOC ∠=︒．∵OA OC =，∴AOC 为等边三角形．∴60OCA ∠=︒，OA OC AC ==．∴30DCA ∠=︒．∴D DCA ∠=∠．∴3DA AC OA OC OE =====．∴sin 60EF OE =⋅︒=∴12OAE S AO EF =⋅=△．又∵2120π33π360OAE S ⨯==扇形，∴3πOAE OAE S S S =-=阴影扇形△∴阴影部分的面积为3π-【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的关键．25. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =-+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．的（1）若1a =，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a 的取值范围；（3）若抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,1（2）3522a ≤< （3）2152a <≤【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．（1）把1a =代入后再将抛物线化成顶点式为()222211y x x x =-+=-+，即可求顶点坐标；（2）根据整点个数的范围确定点A 纵坐标的范围；（3）结合图象确定有4个“完美点”时a 的最大和最小值，进而确定a 的范围．【小问1详解】解：当1a =时，抛物线()222211y x x x =-+=-+．∴顶点坐标()1,1．【小问2详解】令0x =，则2y a =，∴()0,2A a ，∵线段OA 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个．∵0a >，∴当“完美点”个数为4个时，分别为()0,0，()0,1，()0,2，()0,3；当“完美点”个数为5个时，分别为()0,0，()0,1，()0,2，()0,3，()0,4．∴325a ≤<．∴a 的取值范围是3522a ≤<．【小问3详解】根据()22221y ax ax a a x a =-+=-+，得抛物线的顶点坐标为()1,a ，过点()2,2P a ，()3,5Q a ，()4,10R a ．∵抛物线与直线y x =交于M 、N 两点，线段MN 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，显然，“完美点”()1,1，()2,2，()3,3符合题意．下面讨论抛物线经过()2,1，()3,2的两种情况：①当抛物线经过()2,1时，解得12a =此时，()2,1P ，53,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,5R ．如图所示，满足题意的“完美点”有()1,1，()2,1，()2,2，()3,3，共4个．②当抛物线经过()3,2时，解得25a =此时，42,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,2Q ，()4,4R ．如图所示，满足题意的“完美点”有()1,1，()2,1，()2,2，()3,2，()3,3，()4,4，共6个．∴a 的取值范围是2152a <≤．26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 的长．。
DA四川省乐山市中考真题
27．解：（1）1或 ．3分
（2） 和 的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与 的两侧．
当 在3的右边时，如图（2），
易知 ．5分
当 在 的左边时，如图（2），
易知 ．7分
原不等式的解为 或 8分
（3）原问题转化为： 大于或等于 最大值．9分
当 时， ，
由图象特点知，线段 无最大值，即 ．9分
26．解：（1）因为图象过原点，
故可设该二次函数的解析式为： ，1分
由图知：
，3分
解得 ，
．4分
（2）当 时，利润最大，5分
最大值为 （万元）．7分
（3）当 ，
，解得： 或 （舍）．8分
故从第15个月起，公司将出现亏损．
（注：若学生结合图象看出结果，同样给分）9分
19．解：原式 1分
3分
5分
7分
当 时，原式 9分
20．解：
解①得 ，即 ．2分
解②得 ，即 ．4分
由上可得 ，
为整数，故 ．6分
将 代入 ，解得 ．9分
21．证明： ， ，2分
， ．4分
又 ， ，6分
，7分
，
即 ，得证．9分
四、本大题共3小题，每小题9分，共27分．
22．解：（1）作图（略）．3分
选出的2人都是最喜欢篮球运动的学生的有
， ， 共计3种，7分
则选出2人都最喜欢篮球运动的学生的概率为 ．9分
五、本大题共2小题，每小题9分，共18分．其中第25题为选做题．
25．甲题：
（1）证明： ，2分
，3分
又 ， ．4分
（2）解：
，5分
2024年四川省乐山中考数学真题答案
乐山市2024年初中学业水平考试数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号12345678910答案A D C A D DB AC B第Ⅱ卷（非选择题共120分）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.3a ；12.66；13.120︒；14.29；15.19；16.（1）③；（2）102m -< 或102m < .注：16题第（1）空1分，第（2）空2分.三、解答题：本大题共10个小题，共102分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：原式313=+-……………………………………………………………………………………6分1=.…………………………………………………………………………………………9分注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分.18.解：4,2 5.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②解法一：①+②，得39x =，解得3x =.……………………………………………………………3分将3x =代入①，得1y =.…………………………………………………………………6分31x y =⎧∴⎨=⎩.……………………………………………………………………………………9分解法二：由①，得4y x =-③.将③代入②，得2(4)5x x --=，解得3x =.…………………………………………3分将3x =代入③，得1y =.…………………………………………………………………6分31x y =⎧∴⎨=⎩.……………………………………………………………………………………9分19.证明：AB 是CAD ∠的平分线，CAB DAB ∴∠=∠.……………………………………………………………………………3分∴在ABC △和ABD △中，AC AD =，CAB DAB ∠=∠，AB AB =，ABC ∴△≌ABD △（SAS ）.………………………………………………………………7分C D ∴∠=∠.……………………………………………………………………………………9分20.解：（1）第③步开始出现了错误.……………………………………………………………………3分（2）2212142(2)(2)2x x x x x x x -=---+--……………………………………………………4分22(2)(2)(2)(2)x x x x x x +=-+--+…………………………………………5分22(2)(2)x x x x --=+-……………………………………………………………6分2(2)(2)x x x -=+-……………………………………………………………7分12x =+.……………………………………………………………………8分当3x =时，原式15=.…………………………………………………………………………10分21.解：（1）总人数为240人，m 的值为35.…………………………………………………………2分（2）如下图所示.…………………………………………5分（3）记A ：麻辣烫，B ：跷脚牛肉，C ：钵钵鸡，D ：甜皮鸭.解法一：由题可得树状图：…………………………………………8分P (选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”)16=.………………………………………………………10分解法二：由题可列表：第一次第二次A B C D A (,)B A (,)C A (,)D A B(,)A B (,)C B (,)D BC (,)A C (,)B C (,)D C D(,)A D (,)B D (,)C D …………………………………………8分P (选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”)16=.………………………………………………………10分22.解：（1） 点(1,)A m 、(,1)B n 在反比例函数3y x=图象上，3m ∴=，3n =.…………………………………………………………………………………2分又 一次函数y kx b =+过点(1,3)A ，(0,1)C ，3,1.k b b +=⎧∴⎨=⎩解得2,1.k b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………4分∴一次函数表达式为21y x =+.………………………………………………………………5分（2）如图，连结BC .过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为点E .(0,1)C ，(3,1)B ，BC x ∴//轴，3BC =.…………………………………………………………………………6分点(1,3)A ，(3,1)B ，AD BC ⊥，∴点(1,1)D ，2AD =，2DB =.在Rt ADB △中，AB ==.………………………………………………7分又1122ABC S BC AD AB CE =⋅=⋅ △，……………………………………………………8分即113222CE ⨯⨯=⨯，2CE ∴=，即点C 到线段AB 的距离为2.…………………………………………10分23.解：（1）如图，过点A '作A B OA '⊥，垂足为点B .设秋千绳索的长度为x 尺.由题可知，OA OA x '==，4AB =，10A B '=，4OB OA AB x ∴=-=-.在Rt OA B '△中，由勾股定理得：222A B OB OA ''+=22210(4)x x ∴+-=.……………………………………………………………………………3分解得14.5x =.答：秋千绳索的长度为14.5尺.…………………………………………………………………5分（2）能.…………………………………………………………………………………………6分由题可知，90OPA OQA '''∠=∠=︒，OA OA OA '''==.在Rt OA P '△中，cos cos OP OA OA αα'=⋅=⋅.……………………………………………7分同理，cos cos OQ OA OA ββ''=⋅=⋅.…………………………………………………………8分OQ OP h -= ，cos cos OA OA h βα∴⋅-⋅=.…………………………………………………………………9分cos cos hOA βα∴=-.…………………………………………………………………………10分24.证明：（1）如图，连结OC .CD 为O 的切线，点C 在O 上，90OCD ∴∠=︒，即90DCA OCA ∠+∠=︒.…………………………………………………1分又AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，即190OCA ∠+∠=︒.1DCA ∴∠=∠.…………………………………………………………………………………2分OC OB = ，12∴∠=∠.………………………………………………………………………………………3分AC CE= ,23∴∠=∠.………………………………………………………………………………………4分3DCA ∴∠=∠.DC AE ∴//.……………………………………………………………………………………5分（2）连结OE 、BE .EF 垂直平分OB ，OE BE ∴=.又OE OB = ，OEB ∴△为等边三角形.60BOE ∴∠=︒，120AOE ∠=︒.………………………………………………………………6分OA OE = ，30OAE OEA ∴∠=∠=︒.DC AE // ，30D OAE ∴∠=∠=︒.又90OCD ∠=︒ ，60DOC ∴∠=︒.OA OC = ，AOC ∴△为等边三角形.60OCA ∴∠=︒，OA OC AC ==.30DCA ∴∠=︒.D DCA ∴∠=∠.3DA AC OA OC OE ∴=====.……………………………………………………………8分33sin 602EF OE ∴=⋅︒=.19324OAE S AO EF ∴=⋅=△.又12093360OAE S ππ︒⨯==︒扇形，34OAE OAE S S S π∴=-=-阴影扇形△.………………………………………………………10分25.解：（1）当1a =时，抛物线2222(1)1y x x x =-+=-+.………………………………………2分∴顶点坐标(1,1).…………………………………………………………………………………3分（2）由题可知(0,2)A a .线段OA 上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，∴“完美点”的个数为4个或5个.……………………………………………………………4分∴当“完美点”个数为4个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)；当“完美点”个数为5个时，分别为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4).325a ∴< .……………………………………………………………………………………6分∴a 的取值范围是3522a < .…………………………………………………………………7分（3）易知抛物线的顶点坐标为(1,)a ，过点(2,2)P a ，(3,5)Q a ，(4,10)R a .显然，“完美点”(1,1)，(2,2)，(3,3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况：1当抛物线经过(2,1)时，解得12a =.此时，(2,1)P ，5(3,2Q ，(4,5)R .如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,3)，共4个.…………………………………………………………………9分2当抛物线经过(3,2)时，解得25a =.此时，4(2,)5P ，(3,2)Q ，(4,4)R .如图所示，满足题意的“完美点”有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,4)，共6个.…………………………………………………………………11分∴a 的取值范围是2152a < .…………………………………………………………………12分26.解：（1）①ADE △≌AD E '△；②222EC CD ED ''+=；③5.…………………………………3分（2）222DN BM MN +=.………………………………………………………………………4分证明：如图，将ABE △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ADF '△.过点D 作DH BD ⊥交边AF '于点H ，连结NH .由旋转的特征得AE AF '=，BE DF '=，BAE DAF '∠=∠.由题意得EF EC FC DC BC DF FC EC BE ++=+=+++，EF DF BE DF DF F F ''∴=+=+=.在AEF △和AF F '中，AE AF '=，EF F F '=，AF AF =，AEF ∴△≌AF F '（SSS ）.…………………………………………………………………5分EAF F AF '∴∠=∠.又BD 为正方形ABCD 的对角线，45ABD ADB ∴∠=∠=︒.DH BD ⊥ ，45ADH HDB ADB ∴∠=∠-∠=︒.在ABM △和ADH △中，BAM DAH ∠=∠，AB AD =，ABM ADH ∠=∠，ABM ∴△≌ADH △（ASA ）.………………………………………………………………6分AM AH ∴=，BM DH =.在AMN △和AHN △中，AM AH =，MAN HAN ∠=∠，AN AN =，AMN ∴△≌AHN △（SAS ）.………………………………………………………………7分MN HN ∴=.在Rt HND △中，222DN DH HN +=，222DN BM MN ∴+=.…………………………………………………………………………8分（3）22222BE DF EF +=.……………………………………………………………………10分（4）如图，将BEC △绕点B 逆时针旋转90︒，得到BE C ''，连结E D '.过点E 作EG BC ⊥，垂足为点G ，过点E '作EG BC ''⊥，垂足为G '.过点E '作E F BA '//，过点D 作DF BC //交AB 于点H ，E F '、DF 交于点F .由旋转的特征得BE BE '=，CBE C BE ''∠=∠，EG E G ''=，BG BG '=.90ABC ∠=︒ ，45DBE ∠=︒，45CBE DBA ∴∠+∠=︒.45C BE DBA ''∴∠+∠=︒，即45DBE '∠=︒.在EBD △和E BD '△中，BE BE '=，DBE DBE '∠=∠，BD BD =，EBD ∴△≌E BD '△（SAS ）.DE DE '∴=.90ABC ∠=︒ ，4AB =，3BC =，∴5AC ==.又AD x = ，CE y=5DE DE x y '∴==--.DF BC// ADH C ∴∠=∠，90AHD ABC ∠=∠=︒.AHD ∴△∽ABC △.5AH HD AD x AB BC AC ∴===，即45AH x =，35HD x =.445HB AB AH x ∴=-=-.同理可得45EG y =，35GC y =.45E G y ''∴=，335BG BG y '==-.E G AB ''⊥ ，90ABC ∠=︒，E G BC FD ''∴////.又E F AB '// ，90FHG AHD '∠=∠=︒，∴四边形FE G H ''为矩形.90F ∴∠=︒，45FH E G y ''==，3455DF DH FH x y =+=+43434(3)15555FE HG HB BG x y x y '''==-=---=-+.在Rt E FD '△中，222E F DF E D ''+=.()2224334(1)()55555x y x y x y ∴-+++=--.解得2160528x y x -=-.………………………………………………………………………………13分。