力学_舒幼生_第二章牛顿定律、动量定理
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大学物理课件第二章动量守恒和牛顿定律(第一讲)
dpr
r
dt
dt
F为质点动量的变化率，即力的概念。
dt
13
一、 力的定义
1. 在任意时刻,构成孤立系统的两个质点的动 量变化率的大小相等,方向相反。
2. 两个质点之间的相互作用,即力的作用可定
义为
f12
dp1 dt
d (m1v1 ); dt
f 21
dp2 dt
d(m2v2 ) dt
3. 牛顿运动第三定律
v0
m1 m0
v1 ,
v0
m2 m0
v2 ,
v0
m3 m0
v3 ,
vr0
mi m0
vri
,
.......
m0 1kg
mi
vrur0 vi
这样定义的质量为：惯性质量
*万有引力定律定义的质量为：引力质量
9
三、动量 动量守恒定律
三、动量 动量守恒定律
1. 动量 由理想实验得：
v1 而v1
有图示v的1 运动轨迹v2
.A . v1 v2 B
A.
1
2.B
1、理想实验 则在t t t时间内 两质点的速度变化为
v1 v1 v1; v2 v2 v2.
7
一、两质点间的相互作用
2、理想实验的结论: 1、在t内，v1与v2的方向相反；
不论Δt如何Δv1和Δv2的大小之比不变,与它们
1 A
•
•
fj
• 16
二、力的叠加原理 质点系动量守恒的条件
系统所受的合外力: F外 Fi外
i
系统所受的合内力: F内 Fi内
fij 0
i
i i j
F F外
i
第二章牛顿运动定律精品PPT课件
此种方法更简单。
N
m oM
F
mg
则外力 F (m M )a (m M )gtg
由牛顿第三定律，m对M的压力与N大小
相等方向相反，数值为 N mg / co。s
第二类问题：求极值问题。
例：质量为m的物体在摩擦系数为 的平
面上作匀速直线运动，问当力与水平面所
成角多大时最省力？
解：受力分析， 建立坐标系，物 体受重力，地面 的弹力，外力和 摩擦力，列受力 方程。
则，合力与动量的变化率有关系：
F
dP dt
F
dP dt
两式统一 的证明
在 与运牛动顿力无学关范，围所F内以 由常ma于见质到关量测系量是：FmdddddvdtPttmvv
dm dt
dm
dt
0
F ma
三、牛顿第三定律
内容 作用与反作用
重要概念
施力与受力同时出现同时消失
对参考系无特殊要求(由牛顿创造性发现的) 四、牛顿定律适用范围
由牛顿第二定律
F
ma
m
dv dt
Fn
ma n
m v2 r
on T
l P
mg v0
mg sin ma
有
T mg cos ma
由（1）式右边上下同乘
n
m dv
dt mv
2
r
d
(1) (2)
mg sin m dv d dt d
其中： d , v l
dt
两边同乘l: vdv gl sin d
例：质量为 m 的物体，在 F=F0kt 的外 力作用下沿 x 轴运动，已知 t=0 时， x0=0,v0=0, 求：物体在任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。 解： F ma a F F0 kt dv
力学_舒幼生_第二章牛顿定律、动量定理讲解
vA cos[ ( )] vC sin
C
b
A
vA
vC
a
vA cos( ) vC sin
B
O
x
0, if / 2
vC
cos( sin
)
vA
0, if 0, if
/2 /2
• 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A b
C
y
y
Ab C
a
B
O
x
O
C
a
b
a
B
A
x
O
B
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
质量m的度量值相同
——质量的标量性。
两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
F
ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量
例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
a F1 F2
m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
Isaac Newton (1642-1727)
在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。 ——伽利略 凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动
亚里士多德《物理学》 伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
C
b
A
vA
vC
a
vA cos( ) vC sin
B
O
x
0, if / 2
vC
cos( sin
)
vA
0, if 0, if
/2 /2
• 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A b
C
y
y
Ab C
a
B
O
x
O
C
a
b
a
B
A
x
O
B
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
质量m的度量值相同
——质量的标量性。
两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
F
ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量
例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
a F1 F2
m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
Isaac Newton (1642-1727)
在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。 ——伽利略 凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动
亚里士多德《物理学》 伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
2：牛顿运动定律[28页]
![2：牛顿运动定律[28页]](https://img.taocdn.com/s3/m/d07081bbb84ae45c3a358c3e.png)
任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止的或 作匀速直线运动的状态。
1. 定义了惯性参考系
静止或运动相对谁? 宇宙只有一个物体如何?
绝对时空观？
惯性系
遥远的星体作为惯性系 北极的傅科摆 水桶实验
马赫：一切运动都是相对于某种物质实体而言。
2. 定性了物体的惯性和力 保持运动状态和改变运动状态
二. 牛顿第二定律
r F
=
lim
Dpr
=
r dp
=
Hale Waihona Puke r maDt Dt0 dt
力的叠加原理 m 为惯性质量
三. 牛顿第三定律(作用力与反作用力) 作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物体上
只在惯性系成立
§2.5 应用牛顿定律解题
自学书上内容 遇到微积分？
例：一柔软绳长 l ，线密度 r，一端着地开始自由下落， 下落的任意时刻，给地面的压力为多少？
Dt Dt
a = Dr = v 切向
Dt
a = r 2 内法向
r a
=
2vtˆ
r
2 nˆ
在 S 科氏加速度 2v
向心加速度 r 2
在 S`系有两个惯性力，科氏力
和离心力 mr 2
2mv
桌面匀角速转动， 一质点在桌面上的 同心圆环凹槽内， 作无摩擦匀速运动
v
r
在惯性系
f
=
(v r )2
m
r
l y= 2g
y = l 1 gt 2 2
d( yv) = yg v 2 dt
= yg 2(l y)g
N = 3rg(l y)
§2.6 惯性系和非惯性系
S
E
第02章 牛顿定律,动量动能
解 以m 表示在t 时刻煤车和已落入煤车的煤的总质 量.在此后 dt时间内又有质量为 dm的煤落入车厢.
取m 和 dm为研究对象，则对这一系统在时刻t 的水平方向总动量为
mv dm 0 mv
在 t dt 时刻的水平方向总动量为
mv dm v ( m dm )v
在 dt 时间内水平方向总动量的增量为
牛顿第一运动定律给出了惯性的定义. 牛顿第二运动定律指出了惯性质量是惯性 大小的描述. 若 F1 作用于 m1上, F2 作用于m2上,且F1 F2
则m1a1 m2a2
可以看出:质量小的易改变运动状态,质量大 的不易改变运动状态.
3. 相互作用和力 4. ma 不是力，它是力的作用效果
例 1.一个滑轮组如图所示，其中A为定 滑轮. 一根不能伸长的绳子绕过两个滑 A 轮，上端悬于梁上，下端挂一重物，质 量为m1 1.5kg ；动滑轮B 的轴上悬挂 着另一重物，其质量为 m2 2kg ，滑 轮的质量、轴的摩擦及绳的质量均忽略 m 1 不计. 求： （1）两重物的加速度和绳子中的张力. （2）定滑轮A的固定轴上受到的压力.
t0
2.2.3 动量守恒定律及其意义
若 F Fi 0 i 则 P Pi 常矢量
i
动量守恒的条件 动量守恒的内容
1. 实际中当合外力远远小于合内力时，动量 守恒定律也可认为成立. 2. 某一方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒定律.
3. 动量守恒定律只适用于惯性参照系.
k t ds ds 因为v , 所以 v0e m , （ 2） dt dt
ds v0e
s
k t m
dt
k t m
ds v0e
大学物理上册课件：第2章 牛顿运动定律
2.2 相互作用力
一、力学中常见的几种力 1 万有引力：质量不为零的物体与物体之间都有相互吸引的力
F
G0
m1m2 r2
万有引力常数：
G0 = 6. 67 10 – 11 m3/(kg2·s2) 重力： 地球表面附近物体受到地球的万有引力
P
G0
mM ( R h )2
m
G0 M R2
mg
g
GM 地 球 R2
注：1.处理问题时一般忽略绳的伸长。 2.绳的质量相对较小时，绳内各处张力相等。
★正压力、支持力(挤压弹性力）
两个物体通过一定面积相接触，互相压紧的两物体
都会发生形变，因而产生对对方的弹性作用。
N
N B对A的支持力AN A对B的正压力BN
1. N 二N者 是一对作用力与反作用力
2. 挤压弹性力总垂直于物体间的接触面或接触 点的公切面，也称为法向力。
9.8m s2
2 弹性力：发生形变的物体，有恢复原状的趋势，对与它接 触的物体产生的作用力。
★绳或线对物体的拉力
绳或线对物体的拉力，是由绳发生形变而产生的，其大小取决于 绳被拉紧的程度。绳产生拉力时，绳的内部各段之间也有相互的 弹力作用，这种内部的弹力作用称为张力。
设绳子不可伸长，每段的质量为△mi 则：
一个质点的动量对时间的变化率等于质点所受的合力，
其方向与所受合力的方向相同。
数学表达
F
dp
d(mv )
m
d
v
d
m
v
dt dt
dt dt
说明
当质量m 视为恒量时
F
m
dv
ma
（v << c )
dt
第2章牛顿运动定律
N Mg( 2h / g ) 0
N Mg M 2gh /
三、变质量物体的动力学问题
物体m与质元dm在t时刻的速度以及在t+dt时刻合并
后的共同速度如图所示：
把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的
动量分别为： 初始时刻
F
m dm
m+dm
mv dmu
末时刻
u
v
v dv
(m dm)(v dv)
t
t dt
利用动量定理
(m dm)(v dv) mv dmu Fdt
mdv dmdv dmu Fdt
略去二阶小量，两端除dt
d (mv ) dm u F
dt
dt
变质量物体运动微分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时，表明 物体质量减小，例如火箭之类喷射问题。
变质量问题的处理方法:
dW对 f1 dr1 f2 dr2 f2 (dr2 dr1 )
z
B1× r21
dr1•
r1
f1
m1
B2× f2 •mdr22
r2
A×1
xo
×A2 y
f2 d(r2 r1 )
f2 dr21
d
r21
：m2相对m1
的
元位移。
(2)
(2)
W12对 f2 dr21( f1 dr12 )
力的时间积累称为“冲量”（Impulse）：
恒力： 变力：
I F (t2 t1 )
dI Fdt
t
I Fdt t0
二、 动量定理 牛顿定律积分形式之一
I
t2 Fdt
t1
＝
t2 t1
dp dt dt
力学舒幼生讲义
力学舒幼生讲义力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体的运动规律以及力的作用。
在我们日常生活中，力学无处不在。
从我们走路、开车、骑自行车，到天空中飞行的飞机、行驶的火车，都涉及到力学的运用。
力学的基本概念和原理对于我们理解和应用物理学都具有重要意义。
在物理学中，力学分为静力学和动力学两个部分。
静力学主要研究物体处于平衡状态时的力学问题，而动力学则研究物体在运动过程中的力学问题。
让我们来了解一下静力学的基本概念。
静力学研究的是物体处于静止状态时的力学问题。
其中，最基本的概念是力和力的平衡。
力是物体之间相互作用的结果，它可以改变物体的状态，例如改变物体的形状或者使物体加速。
力的大小可以用牛顿（N）作为单位进行表示。
力的平衡是指物体所受到的所有力相互抵消，物体保持静止或者匀速直线运动的状态。
在静力学中，我们还学习了杠杆定律、浮力以及摩擦力等概念和原理。
接下来，我们来了解一下动力学的基本概念。
动力学研究的是物体在运动过程中的力学问题。
其中，最基本的概念是质点和力学运动学。
质点是物理学中最简单的模型，它可以看作没有大小和形状的点。
力学运动学则研究物体的运动状态，包括位置、速度和加速度等。
在动力学中，我们学习了牛顿三定律，这是力学的基石。
第一定律也被称为惯性定律，它描述了物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律描述了物体所受合力与物体的加速度之间的关系。
第三定律则描述了物体之间相互作用的力具有相互作用、大小相等、方向相反的特点。
除了基本概念和原理外，力学还涉及到一些重要的分支和应用。
例如，静力学的扩展——弹性力学研究的是物体在受力后发生形变的力学问题。
弹性力学在工程学中有着广泛的应用，用于设计和分析建筑结构、机械零件等。
另外，动力学的扩展——刚体力学研究的是物体形状和大小不变的力学问题。
刚体力学在机械工程和航天工程中有着重要的应用，用于设计和分析机械系统和航天器的运动。
总结起来，力学舒幼生讲义涵盖了静力学和动力学的基本概念和原理，以及一些相关的分支和应用。
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• 例 直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A
y
b C a A b C a
y
C
b a B O A
B O
x
B O
x
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
v v u a a
x
x'
伽利略变换
速度是相对的 即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。 加速度是绝对的，即同一质点对于不同参考系有相同的加速度。
20
伽利略相对性原理
伽利略在1632年出版的著作 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》
T dT
dN
d d (T dT ) cos T cos df dN 2 2
沿滑轮的法向分量
R d
T ( )
d d (T dT ) sin T sin dN 2 2
化简为
dT dN, Td dN
dT d 得微分关系式 T
积分 0, T T2 T ( ) T2e , T1 T2e 单位长度法向支持力 n
F ma
牛顿第二定律只在惯性系中成立
牛顿第二定律既是动力学的基本规律； 同时又可作为质量和力的定义，据此可 对质量和力进行测量。
9
物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不同的参考系中 质量m的度量值相同 ——质量的标量性。 两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
伽利略的斜面实验 和落体实验。
7
2.1 牛顿定律
牛顿第一定律(惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非有作用于它上的力改变这种状态。
由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。
C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。
4
解法二 l 建立直角坐标系 l A B
y
C 450
450
D x
用三个角度和杆长表示C点坐标
C点坐标对时间的二阶导数即C点的加速度 三个角度满足约束关系，由此可得它们的一阶、二阶导数的关系 答案：
F ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量 例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
F1 F2 a m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律 物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二 定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。 若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。 第三定律对于接触力总是成立的 对于两个物体有一定距离时的相互作用力，第三定律有时成立， 有时不成立。
S'系
南极
31
离心机
r
0
dV
23
2.4.1 平移惯性力
惯性系S 非惯性系S' 位置矢量
y' y
S系
P
r
O
速度 v v v0 加速度 a a a0
惯性系S中
r r r0
r
S'系
x'
x
非惯性系S'中
ma F (ma0 )
ma F
2g
2
x2 C
O
x
代入液面最低点的值（0，h），得到旋转液面方程
z
2g
x2 h
15
例2 滑轮不转动且不光滑，问物体滑动的条件与法向支持力情况？
可能的运动必是m1下降
T1
a
m1
T2
a
m2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m1 m2
16
建立坐标系，分析一段线元 沿滑轮的切向分量
短程力
正负电荷 长程力
质量
14
例1 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。
水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面 建立坐标系 z
dN
水面上取一小质量元 dm
曲线斜率与重力的关系 dz 向心力 x 2 dm tan dx 重力 gdm
gdm
dz
2
g
xdx
积分
z
2
过山车
⊙
S'系
30
一般情况下的惯性离心力
2 Fc m ( r ) m r
地面上物体的表观重力
北极
mg
r
Fc
2 /(24 3600s)
Fc m 2 R cos
r
w
Fc 2 R 2R cos mg g g 0.35% 45,max 6 偏向角最大
惯性定律提出了惯性和力两个概念 惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性； 力是改变物体运动状态的外加因素。 惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。 存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。
非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系
8
牛顿第二定律 运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向
“ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只 苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然 后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船 停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向 各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你 的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力， 你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察 这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互 左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法 从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。”
dN Td T dl Rd R
17
弹簧的串并联
串联 并联
k
18
2.3 力学相对性原理
两个相互作匀速平动的参考系
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
x
伽利略变换
x'
t t r (t ) r (t ) ut
19
两个参考系相互作匀速运动
t t r (t ) r (t ) ut
26
二体问题：两个物体只有相互作用，不受其它外力
任取惯性系 S B相对S的加速度
FB aB mB
FA
A
B
FB
mA
mB
mA Fi mA aB FA A受惯性力 mB F a 牛顿方程 FA Fi mAa A A, A
加速度可类似ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导
i i j j
2 a a v r v ( r ) a 2 v r
11
单位和量纲
力学量分为基本量和导出量
时间、长度和质量是基本量，分别用 T，L，M 代表
其它量都是导出量，如速度、密度、力等
所有力学量Q的单位都可以用基本量的单位表示
[Q] L M T
这就是力学量的量纲，α，β，γ称为力学量的量纲指数。
例如
v LT 1, a LT 2 , L3M , F LMT 2
C点先远离O点、静止、再靠近O点
s 2 a 2 b 2 (a b)
3
例 三根细杆在一平面内相
连，并可绕连接处转动。A、 D是两个转轴。当AB杆以角 速度转到竖直位置时，求此 时C点加速度的大小和方向。
C l B 450
l A
450
D
解法一
已知B点的速度和加速度 C点作圆周运动，有法向和切向加速度。
24
引入惯性力
Fi ma0
非惯性系S'中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用。
F F Fi
ma F
非惯性系S'中，形式上牛顿方程仍然成立
引入惯性力后，第一、第二定律成立，但第三定律仍然不成立 失重与超重
25
例 两个小球在落地前相遇的条件
小球落地的时间
A
t0 2h / g
B
v0
h
选随小球A运动的非惯性系
l 小球A始终静止 小球B受重力和惯性力的作用，二者抵消，作匀速直线运动。
t0
小球A静止，小球B相对小球A的速度仍然为v0
两球相遇的时间 t 落地前相遇要求
l h / v0
2 2
l 2 h2 t t0 v0 g 2h
21
从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？
狭义
牛顿力学的相对性原理 牛顿定律在所有惯性系中成立
单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点 的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。
y
A
y
b C a A b C a
y
C
b a B O A
B O
x
B O
x
x
1
（1）C点的速度和加速度 C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
v v u a a
x
x'
伽利略变换
速度是相对的 即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。 加速度是绝对的，即同一质点对于不同参考系有相同的加速度。
20
伽利略相对性原理
伽利略在1632年出版的著作 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》
T dT
dN
d d (T dT ) cos T cos df dN 2 2
沿滑轮的法向分量
R d
T ( )
d d (T dT ) sin T sin dN 2 2
化简为
dT dN, Td dN
dT d 得微分关系式 T
积分 0, T T2 T ( ) T2e , T1 T2e 单位长度法向支持力 n
F ma
牛顿第二定律只在惯性系中成立
牛顿第二定律既是动力学的基本规律； 同时又可作为质量和力的定义，据此可 对质量和力进行测量。
9
物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不同的参考系中 质量m的度量值相同 ——质量的标量性。 两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和 ——质量是广延量
伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等 介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。 为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。
伽利略的斜面实验 和落体实验。
7
2.1 牛顿定律
牛顿第一定律(惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非有作用于它上的力改变这种状态。
由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。
C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。
4
解法二 l 建立直角坐标系 l A B
y
C 450
450
D x
用三个角度和杆长表示C点坐标
C点坐标对时间的二阶导数即C点的加速度 三个角度满足约束关系，由此可得它们的一阶、二阶导数的关系 答案：
F ma
质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量 例 实验验证 同时作用在物体上的两个力产生的加速度 等于两个力的矢量和产生的加速度。
F1 F2 a m
10
牛顿第三定律：物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反
第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律 物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二 定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。 若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。 第三定律对于接触力总是成立的 对于两个物体有一定距离时的相互作用力，第三定律有时成立， 有时不成立。
S'系
南极
31
离心机
r
0
dV
23
2.4.1 平移惯性力
惯性系S 非惯性系S' 位置矢量
y' y
S系
P
r
O
速度 v v v0 加速度 a a a0
惯性系S中
r r r0
r
S'系
x'
x
非惯性系S'中
ma F (ma0 )
ma F
2g
2
x2 C
O
x
代入液面最低点的值（0，h），得到旋转液面方程
z
2g
x2 h
15
例2 滑轮不转动且不光滑，问物体滑动的条件与法向支持力情况？
可能的运动必是m1下降
T1
a
m1
T2
a
m2
m1 g T1 m1a T2 m2 g m2 a
m1 m2
16
建立坐标系，分析一段线元 沿滑轮的切向分量
短程力
正负电荷 长程力
质量
14
例1 水桶匀速旋转，证明水面的形状是旋转抛物面。
水面具有旋转对称性，分析任一竖直剖面 建立坐标系 z
dN
水面上取一小质量元 dm
曲线斜率与重力的关系 dz 向心力 x 2 dm tan dx 重力 gdm
gdm
dz
2
g
xdx
积分
z
2
过山车
⊙
S'系
30
一般情况下的惯性离心力
2 Fc m ( r ) m r
地面上物体的表观重力
北极
mg
r
Fc
2 /(24 3600s)
Fc m 2 R cos
r
w
Fc 2 R 2R cos mg g g 0.35% 45,max 6 偏向角最大
惯性定律提出了惯性和力两个概念 惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性； 力是改变物体运动状态的外加因素。 惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。 存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。
非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系
8
牛顿第二定律 运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向
“ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只 苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。然 后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。船 停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向 各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西扔给你 的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力， 你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当你仔细地观察 这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是匀速的，也不互 左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法 从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。”
dN Td T dl Rd R
17
弹簧的串并联
串联 并联
k
18
2.3 力学相对性原理
两个相互作匀速平动的参考系
z
S系
z'
r
O
P
r
O' y
S'系
y'
x
伽利略变换
x'
t t r (t ) r (t ) ut
19
两个参考系相互作匀速运动
t t r (t ) r (t ) ut
26
二体问题：两个物体只有相互作用，不受其它外力
任取惯性系 S B相对S的加速度
FB aB mB
FA
A
B
FB
mA
mB
mA Fi mA aB FA A受惯性力 mB F a 牛顿方程 FA Fi mAa A A, A
加速度可类似ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导
i i j j
2 a a v r v ( r ) a 2 v r
11
单位和量纲
力学量分为基本量和导出量
时间、长度和质量是基本量，分别用 T，L，M 代表
其它量都是导出量，如速度、密度、力等
所有力学量Q的单位都可以用基本量的单位表示
[Q] L M T
这就是力学量的量纲，α，β，γ称为力学量的量纲指数。
例如
v LT 1, a LT 2 , L3M , F LMT 2
C点先远离O点、静止、再靠近O点
s 2 a 2 b 2 (a b)
3
例 三根细杆在一平面内相
连，并可绕连接处转动。A、 D是两个转轴。当AB杆以角 速度转到竖直位置时，求此 时C点加速度的大小和方向。
C l B 450
l A
450
D
解法一
已知B点的速度和加速度 C点作圆周运动，有法向和切向加速度。
24
引入惯性力
Fi ma0
非惯性系S'中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用。
F F Fi
ma F
非惯性系S'中，形式上牛顿方程仍然成立
引入惯性力后，第一、第二定律成立，但第三定律仍然不成立 失重与超重
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例 两个小球在落地前相遇的条件
小球落地的时间
A
t0 2h / g
B
v0
h
选随小球A运动的非惯性系
l 小球A始终静止 小球B受重力和惯性力的作用，二者抵消，作匀速直线运动。
t0
小球A静止，小球B相对小球A的速度仍然为v0
两球相遇的时间 t 落地前相遇要求
l h / v0
2 2
l 2 h2 t t0 v0 g 2h
21
从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？
狭义
牛顿力学的相对性原理 牛顿定律在所有惯性系中成立