第二章牛顿运动定律教案

第二章牛顿运动定律

教学要求：

* 理解力、质量、惯性参考系等概念；

* 掌握牛顿三大定律，能熟练用牛顿二定律解力学两大类问题；

* 了解自然力与常见力；了解物理量的量纲。

教学内容（学时：2学时）：

§2-1 牛顿运动定律

§2-2 物理量的单位和量纲

§2-3 自然力与常见力

§2-4 牛顿运动定律的应用

§2-5 非惯性系中的力学问题 * 教学重点：

* 掌握牛顿三定律及其适用条件；

* 牛顿运动定律的应用（难点：牛顿二定律微分形式）。

作业：

2—03）、2—06）、2—08）、2

—13）、2—15）、2—17）。

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§2–1 牛顿运动定律

一 牛顿运动定律

1． 牛顿第一定律（惯性定律）

每个物体继续保持其静止或沿一直

线作匀速运动的状态，

除非有力加于其上迫使它改变这种

状态。(指出：惯性、力的概念)

2．牛顿第二定律

运动变化和所加的力成正比，且发

生在所加力的直线方向上。

dt

m d dt d )(v p F == (2-1)

* 在低速运动情况下（质量m 可视为常量）为：

22

dt

d m dt d m r v F == ——质点运动

微分方程（质点动力学方程）

或： a F m = (2-3) * 在高速运动情况下，质量m 明

显发生变化，为：

220

1c v m m -= （式中：

m 0 — 静质量）

3．牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）

F F '-=

表明：物体间的作用力与反作用力同

时产生，同时消失，

大小相等，方向相反，在同一

直线上，性质相同。

二 理解牛顿运动定律应注意的几个问题

1． 运动迭加原理

当力F i 单独作用物体，加速度为a i ，有：

i i m a F =

当物体受两个以上(i =1,2，……，n )力作用时，

实验表明：合力作用效果与各分力作

用效果的矢量和相等。有：

∑==n

i i m 1

a F

可得： ∑==n

i i 1

F F (2-4

—— 力

的迭加原理

2. 第二定律a F m =或

22

dt d m dt d m r

v F ==是矢量方程。

* 笛卡儿坐标系

分量式为：

z

z y

y x

x ma F ma F ma F === (2-5)

或：

2

2dt x

d m dt dv

m F x x == 22

dt y

d m dt dv m F y y ==

22dt z

d m dt dv m F z z ==

* 自然坐标系

t

t n

n ma F ma F ==

(2-6)

切线方向分量式方程可为：

22

dt s

d m dt dv m F t == (2-6

') 3. 第二定律是瞬时关系式

t a

)

m

F

(

)

(t

（物体在t具有的加速度与同时刻所受力大小成正比，方向相同，且为时间t的函数）

恒力变力（加速度与力在时间上表现为一一对应的关系）

4．牛顿力学适用的范围

质点——质点系

宏观物体（物体线度大于10–10m数量级）

低速运动（物体运动速度远小于光在真空中传播速度）

惯性参照系

附：惯性系的确定原则（根据牛顿第一定律由实验结果判断）

实验表明：

以银河系中心为坐标原点，固定于银河系参照系是好惯性系。

以太阳中心为坐标原点太阳参照系也是较好惯性系。

一般讨论常采用坐标原点固定于地球中心的参照系(地心系)

或固定于地球表面上参照系(地面

系)——精度不算高的惯性系。

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§2-2 物理量的单位和量纲

一 SI单位

国际单位制(SI)的构成为：

国际单位制（SI）

SI单位

SI单位的倍数单位

SI基本单位

SI导出单位

表2.1 SI基本单位

二 量纲 (dimension)

（导出量和基本量之间相关的物

理规律性）

力学中SI 基本量：

长度 —— m —— L

质量 —— kg —— M

时间 —— s —— T

某一物理量Q 的量纲则为：

γβαT M L Q =dim

( 式中: α、β、γ 称为

量纲指数)

例如: 速度的单位m/s ，量纲为

1dim -=LT

v (量纲指数

1,0,1-===γβα)

力的单位N ( m ?kg/s 2 )，量纲

为 2dim -=LMT F

(量纲指数

2,1,1-===γβα)

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§2-3 自然力

与常见力

一 基本自然力 （两物体间的相互作用称为力）

* 按表现形式分为:

重力、正压力、弹力、摩擦力、

电力、磁力、核力……等等。

* 按本质分为四种基本自然力: 万有引力、电磁力、强力、弱力。

2.3 四种基本自然力的特征

讨论

１．万有引力

r r m m G e F 22

1-=

式中： r e 为r

方向的单位矢

量； 负号表示F 与

r 方向

相反—引力； G 为引力常量 G =

6.67?10

–11m 3/kg ?s 2； m 1、m 2 —— 物体的引力质量 ２．电磁力（两个静止点电荷间的电磁力遵从库仑定律）

r r q q F e 221041

πε= （0ε为

真空介电常量）

3．强力

核子间的万有引力很微弱，约10–34N，库仑力表现为排斥力，约为102N，

但原子核相当稳定，体积极小，密度极大—存在着强大得多的作用力

——强力（短程力，比电磁力大两个数量级）。

粒子间距为0.4?10–15m~10–15m时表现为吸引，

粒子间距小于0.4?10–15m时表现为排斥，

粒子间距大于10–15m后迅速衰减，可忽略不计。

4．弱力

弱力也是各种粒子间的一种相互作用；

它支配着某些放射性现象（在β衰变等过程）；

弱力的作用力程比强力更短，仅为10–17m，强度很弱。

二技术中常见的力

1．重力

当物体距离地球表面h ( h << R )处时，所受地球引力为：

mg m R m G h R m

m G F E E =??+?=22)(

2．弹力

① 正压力

m

m

(a ) (b )

（上图： 不同力学环境中物体

所受正压力大小不一样）

1N F 3N F

2N F 1N F

3N F 2N F

(a ) (b )

（上图： 物体受正压力示意

图）

② 拉力 （图： 绳中的拉力）

1T F 2T F

③ 弹簧的弹性力

(a ) 弹簧保持原长

(b ) 弹簧被拉伸x

(c ) 弹簧被压缩x x x x

O

O

O

F

F

胡克定律： kx F -=

k 为弹簧的劲度系数，

x 为弹簧相对于原长

的形变量。

3．摩擦力

① 静摩擦

F s F

最大静摩擦力： N S S F F μ=max , （S μ为静摩擦因数）

静摩擦力规律为：

max 0?≤≤S S F F

② 滑动摩擦 （滑动摩擦力F k 的大小与相对速率v 的关系）

v F k

O

N k k F F μ= （k

μ

是滑动摩擦因数）

注意：

通常k μ和S μ有明显区别，但一般教科书常不加区别地使用。

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§2-4 牛顿运动定

律的应用

* 牛顿第二定律： a F m = (2-3)

或

： 22dt d m dt d m r v F == (2-2)

* 牛顿运动定律应用：

（1）已知物体的运动状态，求物体的受力。

（2）已知物体的受力情况，求物体的运动状态。

* 分析程序：

（1）隔离物体，受力分析

选择研究对象；作受力分析，画出受力图；

“隔离法”；“整体法”（2）对运动状况作定性分析

作直线运动或者曲线运动？是否具有加速度？

彼此间是否具有相对运动？加速度、速度、位移具有什么联系？

……

3 建立适当的坐标（简化方程的数学表达式以及运算求解）

例如: 斜面运动

既可以沿斜面和垂直于斜面建立直角坐标系，

也可沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系。

4 列方程

一般先列出牛顿二定律的矢量方程(2-2)式或 (2-3)式，

然后沿各坐标轴方向列出分量方程(2-5)式或 (2-6)式。

5 求解方程，分析结果

先用文字符号运算，可使各物理量的关系清楚，

既便于定性分析和量纲分析，还可避免数值重复计算。

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例2.1质量为m1倾角为θ的斜块可在光滑水平面上运动。

斜块上放一小木块，质量m2。斜块与小木块间摩擦因数为μ。

现有水平力F作用在斜块上(如图a)。

欲使小木块m2与斜块m1以相同加速度一起运动，

水平力F大小应满足什么条件？

m 1

m 2

F

x y

F S F N

G 2

G 1 m 2 m 1

F N F S

F R

F (a )

(b )

(c ) m 2

m 1 F N G 1 F F S F R F S

G 2

F N

解: 虽然m 1、m 2之间没有相对运动，

但必须要考虑斜块对小木块的静

摩擦力作用，

因此将m 1、m 2分别选作两个研究对

象，隔离物体受力分析。

由题意分析

如果水平力F 过小从而加速度a 过

小，小木块m 2有沿斜面下滑趋势，

此时斜块对小木块的静摩擦力沿

斜面向上（如图 (b )）。

如果水平力F 过大从而加速度a 过

大，小木块就有沿斜面上滑趋势，

此时小木块受到的静摩擦力沿斜

面向下（如图(c )）。

(1) 小木块m 2有沿斜面下滑的趋势

图 (b )，小木块受重力G 2，斜面对

正压力F N ，斜面对它的静摩擦力F S ，

有：

a m F F S N 2cos sin =-θθ (1) 0sin cos 2=-+g m F F S N θθ (2) 斜块受重力G 1，水平力F ，小木块给

予的正压力F N ，

斜块只沿水平方向运动，故只需列出

x 方向的方程。

a m sin F cos F F N S 1=-+θθ (3) 再考虑到m 1、m 2相对静止，摩擦力为静摩擦力应有：

N S F F μ≤ 联解，得：

θμθθμθsin cos cos sin )(21+-+≥g m m F

(2) 小木块m 2有沿斜面上滑的趋势 参照图 (c )

* 对小木块除了静摩擦力F S 改为沿斜面向下，其它力方向不变，

因此：

a m F F S N 2cos sin =+θθ (1)

'

0sin cos 2=--g m F F S N θθ (2)' * 对斜块，静摩擦力改为沿斜面向上，在x 方向上有：

a m F F F N S 1sin cos =--θθ (3)

'

静摩擦力F S 仍然应满足

N S F F μ≤ 联立求解，可得：