第二章 牛顿定律 问题与习题解答

第二章 牛顿定律 问题与习题解答2-3 将一质量略去不计的轻绳，跨过无摩擦的定滑轮。

一只猴子抓住绳的一端，绳的另一端悬挂一个质量和高度均与猴子相等的镜子。

开始时，猴子与镜在同一水平面上。

猴子为了不看到镜中的猴像，它作了下面三项尝试：（1）向上爬；（2）向下爬；（3）松开绳子自由下落。

这样猴子是否就看不到它在镜中的像了吗？答：选地面为参考系，将镜子和猴子视为两个质点，且设猴子运动时与绳子间的相互作用力的大小为T F ，故镜子受到绳子的张力亦为T F ，设猴子运动时的加速度为a （如图所示）。

（1）猴子向上爬时，T mg F ma -=- 而对镜子有 T mg F ma '-=-由此可得 a a '=又因为猴子和镜子的初始状态都一样，因此可知两者随后向上运动的高度也相同，即猴子向上爬时总是看到镜中的像。

（2）同理，猴子向下爬时，镜子与猴子的加速度相同且因她们的初始状态都一样，因此猴子总是看到镜中的像。

（3）自由下落时，两者的加速度均为g ，因此猴子也总是看到镜中的像。

【或根据角动量守恒定律，考察两物体相对转轴的角动量，因为其合外力矩为零因而其总角动量为零，所以两物体的速度相同，即总能看到像（第四章）。

不能用动量守恒定律，因为合外力不为零】2-4 如图所示，轻绳与定滑轮间的摩擦力略去不计，且。

若使质量为的两个物体绕公共竖直轴转动，两边能否保持平衡？答：忽略绳子的质量、绳轮间的摩擦力，且设绳子是不可伸长的，则绳在滑轮两边的张力大小相等。

如果此张力1T F m g =，则两边保持平衡。

而从图中可知，2m 以角速度ω在水平面内稳定旋转时，绳子对其的张力分别为：22/cos T F m g θ=而从图中又知 2212cos 2T T F F m g m g θ=== 所以两边保持平衡，且与ω的大小无关。

2-5 如图所示，一半径为R 的木桶，以角速度ω绕其轴线转动，有一人紧贴在木桶壁上，人与桶间的静摩擦因数为0μ。

你知道在什么情形下，人会紧贴在木桶壁上而不掉下来吗？ 答：当桶壁对人的静摩擦力大于或等于人的重力时不会掉下来。

静摩擦力为00f F N mg μ==，而正压力等于人作圆周运动的向心力：22/N mv R mR ω==所以，得 20mR mg μω≥，或ω≥2-8在空间站中的宇航员“没有重量”，你怎样判断地球引力对他的影响呢？ 答：（略）（选择题）2-1 如图所示，质量为m 的物体用平行于斜面的细线连结并置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体刚脱离斜面时，它的加速度的大小为（ D ）a mgF T F TyFT（A ）sin g θ （B ）cos g θ （C ）tan g θ （D ）cot g θ2-2 用水平力N F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。

当N F 逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f F 的大小（ A ）（A ）不为零，但保持不变 （B ）随N F 成正比地增大 （C ）开始随N F 增大，达到某一最大值后，就保持不变 （D ）无法确定2-3 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ C ） （A（B（C（D ）还应由汽车的质量m 决定2-4一物体沿固定弧形光滑轨道下滑，在下滑过程中，则（ B ） （A ）它的加速度方向永远指向圆心，其速率保持不变 （B ）它受到的轨道的作用力的大小不断增加（C ）它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心 （D ）它受到的合外力大小不变，其速率不断增加2-5 图示系统置于以4a g =的加速度上升的升降机内，A 、B 两物体质量相同均为m ，A 所在的桌面是水平的，绳子和定滑轮质量均不计，若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦并不计空气阻力，则绳中张力为（ A ） （A ）58mg （B ）2mg （C ）mg （D ）2mg【应用非惯性系和惯性力求解较容易】2-6图示一斜面，倾角为α，底边AB 长为 2.1L m =，质量为m 的物体从斜面顶端由静止开始向下滑动，斜面的摩擦因数为0.14μ=。

试问，当α为何值时，物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？ 解：如图所示，设沿斜面向下为x 轴正方向，原点在斜面顶点。

根据牛顿第二定律，有 sin cos mg mg ma αμα-= 解出 sin cos a g g αμα=-aTT A a B A可见其加速度为常矢量，故有 21cos 2L at α= 即21(sin cos )cos 2L g t αμαα=-得下滑时间为：t =再令0dtd α=，有 sin (sin cos )cos (sin cos )0ααμααμαα--++=得 21tg αμ=-, 解出 :0012282,298αα=-=，因 00090,02180αα<<<<, 所以取 0298α=，即得最快下滑时的倾角为 049α= 最快下滑时间为0.99t s ==2-12一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。

设演员和摩托车的总质量为m ，圆筒半径为R ，演员骑摩托车在直壁上以速率v 作匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升距离为h ，如图所示，求壁对演员和摩托车的作用力。

解：如图所示，演员连同摩托车的运动可看成是一个水平面内的匀速率圆周运动和一个竖直向上的匀速直线运动的叠加，桶壁的支撑力N F 斜向上，其斜角ϕ为摩托车与桶壁的夹角，故有：10N F mg -=， 222N v F m R= ，2cos v v v θ==联立上几式，求得 1N F mg =222224(2)N mRv F R h ππ=+ 所以，桶壁对摩托车的作用力N F 的大小为2πRh F F N1mNF==与壁的夹角为2222214arctan arctan(2)NNF mRvF R g h gπϕπ==+2-16质量为m的跳水运动员，从10.0m高台上由静止跳下落入水中。

高台与水面距离为h，把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。

运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为2bv，其中b为一常量。

若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系。

（2）若1/0.40b m m-=，跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等。

）解：将运动员视为质点，设其到水面时的速度大小为v，则有：202v gh-=，即v=（1）、在水中，运动员受重力P和浮力F及水的阻力fF的作用，由题设条件知2fF bv j=-⋅，F P mg j=-=-⋅，所以根据牛顿定律，得fP F F ma++=，即：2bv ma-=，变换变量()()()a dv dt dv dy dy dt v dv dy==⋅=⋅所以有：bdy m dv v-=，对上式积分，y vvbdy m dv v-=⎰⎰得：by m by mv v e e--==（2）、已知10.40b m m-=，10v v=，代入上式，则有：11ln ln 5.760.4010m vy mb v=-⋅=-⋅=2-18一质量为m的小球最初位于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑。

试求小球到达C 点时的角速度和对圆轨道的作用力。

解：如图所示，小球（质点）受到重力P和圆弧面对它的支持力NF的作用，2-18附图取如图所示的自然坐标系，则由牛顿定律，得sin dvmg mdtα-=， ① 2cos N v F mg m rα-=⋅ ②变换函数，由 v ds dt rd dt α==，得dt rd v α=（或由dv dv d dv v dvdt d dt d r d αωααα=⋅=⋅=⋅） 故①式变为 sin vdv rg d αα=-⋅ 将上式积分，2sin vvdv rg d απαα-=-⋅⎰⎰，得：v =小球此时的角速度为：v r ω=又由②式，得： 2cos 3cos N F mg mv r mg αα=+=即得小球对轨道的作用力为： 3cos NN F F mg α'=-=- 【或由机械能守恒定律求解】2-20质量为45.0kg 的物体，由地面以初速160.0m s -⋅竖直向上发射，物体受到空气的阻力为r F kv =，且10.03/()k N m s -=⋅。

（1）求物体发射到最大高度所需的时间。

（2）最大高度为多少？解：（1）选地面为坐标原点，垂直向上为oy 轴正方向。

物体上升过程中受重力P 和空气阻力r F 的作用，由牛顿定律得： r P F m dv dt --=， 而 P mg =，r F kv =，所以整理得 ()dt m dv mg kv =-+ ①对上式积分，有：00tv dv dt m mg kv =-+⎰⎰，000()t v m d mg kv dt k mg kv +=-+⎰⎰得： 00[ln()ln ]ln(1) 6.11kv m mt mg kv mg s k k mg=+-=+≈ （2）、变换变量 dv dt vdv dy =，代入①式，得：mg kv mvdv dy --=， 即 ：mvdvdy mg kv=-+，积分，得：00yv mvdvdy mg kv=-+⎰⎰所以， 002[ln(1)]183kv my mg kv m k mg=-+-= {积分公式：2[ln ]xdx x b ax b C ax b a a =-+++⎰ }2-24在卡车车厢底板上放一木箱，该木箱距车厢前沿挡板的距离 2.0L m =，已知刹车时卡车的加速度27.0a m s -=⋅，设刹车一开始木箱就开始滑动，求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数0.50μ=。

解：【应用费惯性力求解较简单】如图，选车厢为参考系，则木箱在x 方向受力为0f F F ma mg μ-=-由牛顿第二定律，得：ma mg ma μ'-= 即 a a g μ'=- 为常量， 所以，有 202v a L '-= 解得木箱撞上挡板时的速率为12.9v m s -=⋅F f =。