矩阵计算
矩阵运算
数
A( )
A A
=
T ( ) T ( )
同理有
=
T (k ) k T( )
1.2 矩阵的计算
设 T : F n F m定义为T (x) Ax,其中x F n, A为m n矩阵 S : F m F p定义为S( y) By,其中y F m, B为p m矩阵 线
则复合线性变换ST为
数
1 1 1 1
0 0 1 1 O
=
= 1
0
1 1 0 3
2 4
1 0
1 3 0 1
4 2
,
但是
1 3
2 4
3 1
4 2
1.2 矩阵的计算
例:
线
a1
a2
b1
b2
b1
b2
a1
a2
性
a3
b3
b3
a3
a1b1
代
a2b2
a3b3
数
小结:
(1)矩阵乘法无交换律,有“左乘”和“右乘”之 =
例1.9
性
A
1 2
0
0
1 2
,
B
I
AT
A,
C
I
2
AT
A
代
求BC
解： BC (I AT A)(I 2 AT A)
数
I 2 AT A AT A 2 AT AAT A
=
I AT A 2 AT ( AAT ) A
I AT A 2 AT ( 1 ) A I
=
2
1.2 矩阵的计算
(AB)m AmBm;(A B)2 A2 2AB B2;
(A B)(A B) A2 B2
线性代数矩阵的运算
3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
BG
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
BG
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
BG
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矩阵的值计算方法
矩阵的值计算方法
矩阵的值，也叫行列式，是一个数学概念，用来表示一个方阵的重要特征值。
它是通过进行一系列的行列变换来得到的。
以下是矩阵值的计算方法：
1. 对于一个一维的方阵 a，行列式就等于 a
2. 对于一个二维方阵 A = \[\[a, b\], \[c, d\]\]，其行列式的公式为 ad - bc
3. 对于一个三维方阵 A = \[\[a, b, c\], \[d, e, f\], \[g, h, i\]\]，其行列式的公式是：a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
4. 对于一个 n维方阵，可以通过对其中任意一行或者一列进行展开，得到一个次级方阵，继而递归地去计算每一个次级方阵的行列式，并按照特定的规则进行处理求解。
需要注意的是，计算矩阵的值时，要注意使用规范的矩阵符号，并按照规定的顺序进行展开和运算。
矩阵的计算方法
矩阵的计算方法首先，我们来介绍矩阵的加法和减法。
对于两个相同大小的矩阵，它们可以进行加法和减法运算。
具体来说，就是将它们对应位置的元素相加或相减，得到的结果构成一个新的矩阵。
这一点在实际问题中有着很重要的应用，比如在图像处理中，可以通过矩阵的加法和减法来实现图像的平移和缩放。
其次，矩阵的乘法也是一个重要的计算方法。
对于两个矩阵A和B，它们可以进行乘法运算的前提是A的列数等于B的行数。
具体来说，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C就是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素是A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法在计算机图形学、神经网络等领域有着广泛的应用，是很多复杂算法的基础。
另外，矩阵的转置也是一个常见的计算方法。
对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T，就是将A的行和列互换得到的一个n×m的矩阵。
矩阵的转置在矩阵运算和方程求解中有着重要的作用，可以简化计算过程，提高计算效率。
除此之外，矩阵的逆也是一个重要的计算方法。
对于一个可逆矩阵A，它的逆记作A^(-1)，满足A×A^(-1)=A^(-1)×A=I，其中I是单位矩阵。
矩阵的逆在解线性方程组和求解矩阵方程时起着关键作用，是线性代数中的重要概念。
最后，我们还需要了解矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量v，使得Av=λv，那么λ称为A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的稳定性分析等方面有着重要的应用。
总之，矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它涉及到矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆、特征值和特征向量等多个方面。
掌握好矩阵的计算方法对于理解线性代数的理论和应用都具有重要意义，也是很多工程和科学领域必备的数学工具。
希望本文所介绍的内容能够帮助读者更好地理解和运用矩阵的计算方法。
矩阵运算的基本方法
矩阵运算的基本方法矩阵是线性代数中重要的概念之一，被广泛应用于科学、工程、计算机等领域。
矩阵的运算是矩阵在各种应用中的基础，下面将阐述矩阵的基本运算方法。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，常用大写字母加方括号表示：A=[a_ij]_(m×n)，(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)其中a_ij是第i行第j列的元素，称为矩阵A的（i，j）元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵加法设有两个m×n的矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，则它们的和C=A+B=[c_ij]也是一个m×n的矩阵，其中：c_ij=a_ij+b_ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)两个矩阵相加时，要求它们的行数和列数相同。
2. 矩阵数乘设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个常数k，则它们的积kA=[ka_ij]也是一个m×n的矩阵，其中：ka_ij=k×a_ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)3. 矩阵乘法设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]和一个n×p的矩阵B=[b_ij]，则它们的积C=A×B=[c_ij]是一个m×p的矩阵，其中：c_ij=∑(k=1)(n)a_ik×b_kj(i=1,2,...,m;j=1,2,...,p)两个矩阵相乘时，要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法运算。
4. 矩阵转置设有一个m×n的矩阵A=[a_ij]，则它的转置矩阵AT=[a_ji]是一个n×m的矩阵，其中AT的（i，j）元素是A的（j，i）元素。
三、矩阵运算的性质1. 矩阵加法和数乘具有交换律和结合律。
2. 矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律。
3. 对于任意矩阵A和B，下列运算都是成立的：a. (A+B)T=AT+BTb. (kA)T=kATc. (AB)T=BTAT四、应用举例1. 矩阵求逆矩阵求逆是线性代数中的重要问题之一，可以用于解线性方程组等应用中。
线性代数矩阵的运算
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例5 设列矩阵 X x1, x2 ,, xn T满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T ,证明H是对称矩 阵,且HH T E.
证明 HT E 2XX T T ET 2 XX T T
E 2 XX T H , H是对称矩阵.
HHT H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
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证明：
设A = (aij )是一个m s矩阵，B = (bij )是一个s n矩阵，
记 AB C (ci j )mn，BT AT D (di j )nm
由于( AB)T的第i行，第j列的元素为c ji
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则
AB 0 0
0 , 0
BA 2 2
2 , 2
故 AB BA.
方阵的幂
设A是n阶方阵，定义：A1 A，A2 A1A1，
Ak1 Ak A1，其中k为正整数。 注意：Ak Al = Ak+l，(Ak )l = Akl，
但(AB)k = Ak Bk不一定成立。
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a11 a21
a13b31 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
a21b12
a22b22
a23b32
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
这就是下面要给出的矩阵乘法。
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
矩阵计算方法
矩阵计算方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的运算方法也是学习线性代数的重点之一。
本文将介绍矩阵的基本运算方法，包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法、转置和逆矩阵等内容。
首先，我们来看矩阵的加法和减法。
对于两个相同大小的矩阵，它们的加法和减法运算都是逐个对应元素相加或相减。
例如，对于矩阵A和矩阵B，它们的加法运算为A + B = C，其中矩阵C的每个元素c_ij = a_ij + b_ij。
减法运算同理。
其次，矩阵的数乘运算也是很常见的。
对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘运算为kA，即将矩阵A的每个元素都乘以k。
这在实际问题中经常用到，可以用来对矩阵进行缩放或者调整。
接下来是矩阵的乘法运算。
矩阵的乘法不同于加法和减法，它需要满足一定的条件才能进行。
具体来说，对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积AB是一个m×p的矩阵C，其中矩阵C的每个元素c_ij等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵乘法在计算机图形学、神经网络等领域有着广泛的应用。
此外，矩阵的转置也是一个重要的运算。
对于一个m×n的矩阵A，它的转置记作A^T，即将矩阵A的行列互换得到的n×m矩阵。
转置运算在矩阵的运算和求解中经常用到。
最后，我们来谈谈矩阵的逆矩阵。
对于一个可逆的n×n矩阵A，它的逆矩阵记作A^-1，满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是n阶单位矩阵。
逆矩阵在线性方程组的求解和矩阵方程的求解中扮演着重要的角色。
总之，矩阵的运算方法是线性代数中的重要内容，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过学习矩阵的运算方法，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，为实际问题的求解提供有力的工具。
希望本文对您有所帮助。
矩阵计算的原理和应用
矩阵计算的原理和应用简介矩阵计算是线性代数的基础，广泛应用于科学、工程和计算机科学等多个领域。
本文将介绍矩阵计算的基本原理和常见应用。
矩阵的定义矩阵是由数字按照矩形排列组成的矩形阵列。
例如，一个m行n列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12 ... a1n][a21 a22 ... a2n][... ... ...][am1 am2 ... amn]其中，a_ij表示矩阵中第i行第j列的元素。
m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算矩阵的加法和减法两个相同行数和列数的矩阵可以进行加法和减法运算。
具体操作为将对应位置的元素相加或相减。
例如，对于矩阵A和矩阵B，它们的和可以表示为：C = A + B其中C的每个元素c_ij等于a_ij + b_ij。
矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行数乘和相加的运算。
矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
例如，对于矩阵A和矩阵B，它们的乘积可以表示为：C = A * B其中C的每个元素c_ij等于矩阵A的第i行和矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行换为列，列换为行的操作。
如果矩阵A的转置为A T，则矩阵A的第i行第j列的元素等于矩阵A T的第j行第i列的元素。
矩阵计算的应用矩阵计算在多个领域有广泛的应用，包括：线性方程组的求解矩阵计算可以用于求解线性方程组。
线性方程组可以表示为矩阵A乘以向量x 等于向量b的形式，即Ax=b。
通过矩阵运算可以求解未知向量x的值。
数据压缩矩阵计算可以用于数据压缩。
例如，奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解技术，可以用于降低图像、音频和视频等数据的维度，从而实现数据的压缩。
图像处理矩阵计算在图像处理领域有重要的应用。
例如，卷积运算是一种基于矩阵计算的图像处理方法，常用于图像的滤波、边缘检测和特征提取等任务。
机器学习矩阵计算在机器学习中扮演着重要角色。
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵的乘法等。
本文将围绕这些基本运算展开讨论。
首先，我们来讲解矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m行n列的矩阵，那么它们可以相加。
矩阵的加法运算是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A+B=(a_{ij}+b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的和C为：C = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]简化运算后，C的结果为：C = [8 10 12][14 16 18]接下来我们讨论矩阵的减法。
矩阵的减法运算与加法类似，也是将对应位置的元素相减得到新的矩阵，即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A-B=(a_{ij}-b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的差D为：D = [1-7 2-8 3-9][4-10 5-11 6-12]简化运算后，D的结果为：D = [-6 -6 -6][-6 -6 -6]矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个实数。
即若A=(a_{ij})是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么kA=(ka_{ij})。
例如，给定一个矩阵A和一个实数k如下：A = [1 2 3][4 5 6]k = 2则kA的结果为：kA = [2*1 2*2 2*3][2*4 2*5 2*6]简化运算后，kA的结果为：kA = [2 4 6][8 10 12]最后我们来讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法运算是指矩阵与矩阵之间进行乘法运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法有一定的规则，即若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们可以相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
矩阵计算知识点总结图表
矩阵计算知识点总结图表一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数字或数学表达式的集合。
矩阵一般用大写字母表示，例如A、B、C等。
矩阵通常表示为一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 矩阵元素矩阵中的每一个数字都被称为矩阵的元素，一般用小写字母表示，例如a_ij，表示矩阵A中第i行第j列的元素。
3. 矩阵的相等两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A和B的每一个元素都相等。
4. 矩阵的零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
5. 矩阵的单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都是1，其它元素都是0的方阵。
6. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵A的行转成列，列转成行，表示为A^T。
7. 矩阵的逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
8. 矩阵的行列式行列式是方阵所固有的一个数。
通过一定方法得出一阶、二阶、三阶和高阶矩阵的行列式。
对于n阶矩阵A，其行列式记作|A|或det(A)。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为：若A、B是同型矩阵，则它们的和记作A+B，其中(A+B)_ij=A_ij+B_ij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义为：若A、B是同型矩阵，则它们的差记作A-B，其中(A-B)_ij=A_ij-B_ij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为：若k是一个数，A是一个矩阵，则kA是按元素同时乘以k得到的新矩阵。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法定义为：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的积记作C=AB，其中C的第i行第j列的元素为：C_ij=∑(A_ik*B_kj)。
5. 矩阵的除法矩阵的除法并无严格定义，但可以用矩阵乘法和逆矩阵来表示矩阵的除法。
6. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行转成列，列转成行。
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一、Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置
1 矩阵不是一个数，而是一个数组。
在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。
设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。
2 Excel的一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。
为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。
例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。
数组名的设置步骤是：选定数组域，点“插入”菜单下的“名称”，然后选择“定义”，输入数组名如A或B等，单击“确定”即可。
3 矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。
常用的矩阵函数有MDETERM(计算一个矩阵的行列式)、MINVERSE(计算一个矩阵的逆矩阵)、MMULT(计算两个矩阵的乘积)、SUMPRODUCT(计算所有矩阵对应元素乘积之和)……函数可以通过点击“=”号，然后用键盘输入，可以通过点击“插入”菜单下的“函数”，或点击fx图标，然后选择“粘贴函数”中相应的函数输入。
二、矩阵的基本计算
数组计算和矩阵计算有很大的区别，我们用具体例子说明。
已知A={3 -2 5，6 0 3，1 5 4}，B={2 3 -1，4 1 0，5 2 -1}，将这些数据输入Excel相应的单元格，可设置成图1的形状，并作好数组的命名，即第一个数组命名为A，第二个数组命名为B。
计算时先选定矩阵计算结果的输出域，3×3的矩阵，输出仍是3×3个单元格，然后输入公式，公式前必须加上=号，例如=A ＋B、=A－B、=A＊B等。
A＋B、A－B数组运算和矩阵运算没有区别，“=A＊B”是数组相乘计算公式，而“=MMULT(A，B)”则是矩阵相乘计算公式，“=A/B”是数组A除数组B的计算公式，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A,MINVERSE(B))”。
公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。
图1中的数组乘除写作A＊B、A/B，矩阵乘除写作A·B、A÷B，以示区别。
三、矩阵计算的应用
下面让我们来计算一个灰色预测模型。
灰色预测是华中理工大学邓聚龙教授创立的理论，其中关键的计算公式是计算微分方程＋B1x=B2的解，{B1，B2}=(X T X)－1(X T Y)，式中：XT是矩阵X的转置。
作为例子，已知X={-45.5 1，-79 1，-113.5 1，-149.5 1}Y={33，34，35，37}
在Excel表格中，{B2：C5}输入X，{E2：H3}输入X的转置。
处理转置的方法是：选定原数组{B2：C5}，点“编辑”菜单的“复制”，再选定数组转置区域{E2：H3}，点“编辑”菜单的“选择性粘贴”，再点“转置”即可。
{J2：J5}输入Y，然后选取{L2：L3}为B1、B2的输出区域，然后输入公式：=MMULT(MINVERSE(MMULT(E2:H3,B2:C5)),MMULT(E2:H3,J2:J5))
公式输入完毕，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，B1、B2的答案就出来了，如图2。
如果计算的矩阵更复杂一些，就必须分步计算。
不过，使用Excel也是很方便的。
Excel矩阵代数计算
作者：XLFinance 来源：XLFinance 打印邮寄返回
Excel中除了基于纯量的计算函数外，同时还有许多矩阵运算函数，通过这些这些函数，可以直观、快速的完成一些复杂的计算。
本例将全面介绍如何在工作表中进行矩阵运算。
矩阵类型
矩阵的基本类型包括行向量、列向量和矩阵，这些形式在工作表中都可以得到直观地展现，如：
矩阵和纯量的算术运算
矩阵和纯量的运算要求矩阵中的每个元素和纯量一一运算，在工作表中只需将该纯量设定为绝对引用后通过Ctrl+Enter即可完成计算，如C29为纯量，C31:E33为3*3矩阵，将二者相乘只需选定结果区域后选择矩阵的第一个元素C31和纯量C29相乘，而后将C29设定为绝对应用，即$C$29，之后按Ctrl+Enter，即在选定区域中返回计算结果：
矩阵加法
矩阵相加和普通工作表计算一样，首先选定区域H43:I47，而后输入公式“=B43+E43”，即矩阵A和B的首个元素相加，之后按Ctrl+Enter返回结果。
矩阵转置
矩阵转置在Excel中通过函数Transpose完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=Transpose(原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵为4行3列，则选定的结果区域需为3行4列方可返回全部转置结果，由于Transpose函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
返回结果如下：
矩阵乘法
矩阵乘法在Excel中通过函数MMult完成，操作方法是首先选定结果区域，而后在公式栏中输入“=MMult(矩阵A，矩阵B)”，结果区域要根据原始矩阵的大小设定，如原始矩阵分别为2行2列和2行3列，则选定的结果区域需为2行3列方可返回全部结果，即要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
由于MMult函数属于数组函数，在输入公式后需同按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果将以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
矩阵逆运算
矩阵求逆在Excel中通过函数MInverse完成，操作方法是先选定结果区域，而后在公式栏输入“=MInverse (原始矩阵)”，结果区域要根据原始矩阵大小设定，如原始矩阵为4行4列，则选定的结果区域需为4行4列方可返回全部结果。
由于MInverse函数属于数组函数，输入公式后按Ctrl+Shift+Enter键返回，结果以花括号标识，代表此函数为数组运算结果：
对矩阵逆运算结果可进一步验证其结果，将矩阵和逆矩阵相乘，其结果应为单元矩阵，运用前述乘法公式可完成：
矩阵运算的应用：方程组求解
利用矩阵计算功能，可以完成多元方程组的求解，假定方程组及其矩阵表示如下：
显然，未知数X等于系数矩阵的逆矩阵和Y向量的矩阵相乘，由此使用嵌套函数MInverse和MMult即可完成求解。