一轮复习配套讲义：第12篇第1讲合情推理与演绎推理精品教案导学案

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高考数学Ι轮教案及其练习精析《合情推理和演绎推理

高考数学一轮精品教案及其练习精析《合情推理和演绎推理》教案章节：一、合情推理教学目标：1. 理解合情推理的定义和特点；2. 掌握合情推理的基本方法；3. 能够运用合情推理解决实际问题。

教学内容：1. 合情推理的定义和特点；2. 合情推理的基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；3. 合情推理在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 引入合情推理的定义和特点，让学生理解合情推理的概念；2. 讲解合情推理的基本方法，通过例题让学生掌握各种方法的运用；3. 结合实际问题，引导学生运用合情推理解决问题，并进行练习。

教学练习：A. 从个别事实得出一般结论的推理B. 从一般结论得出个别事实的推理C. 从个别事实出发，通过归纳得出一般结论的推理A. 归纳推理B. 演绎推理C. 类比推理教案章节：二、演绎推理教学目标：1. 理解演绎推理的定义和特点；2. 掌握演绎推理的基本方法；3. 能够运用演绎推理解决实际问题。

教学内容：1. 演绎推理的定义和特点；2. 演绎推理的基本方法：三段论、假言推理、选言推理；3. 演绎推理在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 引入演绎推理的定义和特点，让学生理解演绎推理的概念；2. 讲解演绎推理的基本方法，通过例题让学生掌握各种方法的运用；3. 结合实际问题，引导学生运用演绎推理解决问题，并进行练习。

教学练习：A. 从个别事实得出一般结论的推理B. 从一般结论得出个别事实的推理C. 从个别事实出发，通过归纳得出一般结论的推理A. 三段论B. 归纳推理C. 类比推理教案章节：三、合情推理与演绎推理的关系教学目标：1. 理解合情推理与演绎推理的关系；2. 能够正确运用合情推理和演绎推理解决问题；3. 能够区分合情推理和演绎推理的应用场景。

教学内容：1. 合情推理与演绎推理的关系；2. 合情推理和演绎推理在解决问题时的应用；3. 合情推理和演绎推理的区别。

教学步骤：1. 引入合情推理与演绎推理的关系，让学生理解两者之间的联系；2. 通过例题讲解合情推理和演绎推理在解决问题时的应用；3. 分析合情推理和演绎推理的区别，并进行练习。

一轮复习配套讲义：第12篇第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理[最新考纲]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．辨析感悟1．对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(×)(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)[感悟·提升]三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．学生用书第200页考点一归纳推理【例1】(2013·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n(n＋1)2＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2，五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.解析由N (n,3)＝12n 2＋12n ，N (n,4)＝22n 2＋02n ，N (n,5)＝32n 2＋－12n ，N (n,6)＝42n 2＋－22n ，推测N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k 2n ，k ≥3. 从而N (n,24)＝11n 2－10n ，N (10,24)＝1 000.答案 1 000规律方法归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜ 3. 则第5个不等式为________．(2)(2013·陕西卷)观察下列等式(1＋1)＝2×1。

2019-2020年高考数学一轮复习合情推理与演绎推理教学案

2019-2020年高考数学一轮复习合情推理与演绎推理教学案二、教学目标：能用归纳和类比等进行简单的推理，理解演绎推理的基本方法三、教学重点：用归纳和类比等进行简单的推理；难点：类比推理四、知识导学：1．归纳推理的思维过程大致为：类比推理的思维过程大致为：2．从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,把这种推理称为演绎推理,也就是从一般到特殊的推理.“三段论”是演绎推理的一般形式,包括:(1)大前提—已知的一般性原理.(2)小前提—所研究的特殊情况.(3)结论—根据一般原理,对特殊情况做出的判断.演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。

五、课前自学1．观察下列等式：332333233332123,1236,123410,...,+=++=+++=根据上述规律，第五个等式为2.数列2,5,11,20,,47,x 中，x =3.设等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内的任意一点，且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为123d d d 、、，则有123d d d ++；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是正四面体ABCD 内的任意一点，且P 到四个面ABC 、ABD 、ACD 、BCD 的距离分别为123d d d 、、4d 、，则有123d d d ++4d +为定值4. 把下面的推理恢复成三段论:函数()21f x x =-在R 是单调递增函数:5．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a+b=2，ab ≤1；（2）a+b=3，ab ≤23；（3）a+b=6，ab ≤3。

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a+b=9，ab ≤6. 通过观察 ①2223sin 30sin 90sin 1502︒+︒+︒= ②2223sin 5sin 65sin 1252︒+︒+︒= 请你写出一个（包含上面两个命题）一般性的命题六、合作、探究、展示例1 .（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？（2）把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立： ①如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必于另一条相交。

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案一、教学目标1. 让学生理解合情推理与演绎推理的定义及意义。

2. 培养学生运用合情推理与演绎推理解决数学问题的能力。

3. 引导学生掌握合情推理与演绎推理的基本方法。

二、教学内容第一章：合情推理1. 合情推理的定义及分类2. 合情推理的方法：归纳推理、类比推理、归纳猜想3. 合情推理在数学中的应用第二章：演绎推理1. 演绎推理的定义及分类2. 演绎推理的方法：演绎法、反证法、归纳法3. 演绎推理在数学中的应用三、教学方法1. 采用讲授法讲解合情推理与演绎推理的基本概念和方法。

2. 通过例题展示合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养学生的合作能力。

四、教学步骤1. 引入新课：介绍合情推理与演绎推理的定义及意义。

2. 讲解合情推理：讲解归纳推理、类比推理、归纳猜想的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。

3. 讲解演绎推理：讲解演绎法、反证法、归纳法的方法，并通过例题展示其在数学中的应用。

4. 练习与巩固：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结合情推理与演绎推理的方法及应用，引导学生思考如何在生活中运用这些方法。

五、教学评价1. 课后作业：检查学生对合情推理与演绎推理方法的掌握情况。

2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们的学习进度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度及合作能力。

4. 期中期末考试：全面评估学生对选修内容的掌握情况。

六、教学内容第三章：合情推理与演绎推理的综合应用1. 合情推理与演绎推理在数学证明中的应用2. 合情推理与演绎推理在数学问题解决中的应用3. 合情推理与演绎推理在数学探究活动中的应用第四章：常见的错误与误解1. 合情推理与演绎推理中的常见错误2. 如何避免合情推理与演绎推理中的错误与误解3. 正确评价合情推理与演绎推理的结果七、教学方法1. 通过案例分析，让学生了解合情推理与演绎推理在实际应用中的重要性。

高考数学一轮总复习 12.3 合情推理与演绎推理精品课件理新人教版

直角三角形中的射影结论,在直角四面体 P-ABC 中可得到正确结论
(写
关闭
出一个正确结论即可).
空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:
多面体↔ 多边形,面↔ 边,体积↔ 面积,二面角↔ 平面角,面积↔ 线段长……由此,
关闭
2
2
2
2
2
可类比得
=S'
S(或
S
2
1
1
2
2 =1 2+ 2 2+ 3 ).
②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di⇒ a=c,b=d”类比推出“若
a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2⇒ a=c,b=d”;
关闭
③若“a,b∈R,则 a-b>0⇒ a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0⇒ a>b”.
①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小.
边形数.如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为
(+1)
2
1
2
1
2
= n2+ n.记第 n
个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:
1 2 1
N(n,3)= n + n,
2
2
三角形数
正方形数
N(n,4)=n2,
五边形数
N(n,5)= n2- n,
数.他们研究过如图所示的三角形数:
关闭
(1)由题意可得,
将三角形数
1,3,6,10,…记为数列{a
n},将可被 5 整除的三角形数按从小到大

2019届高考数学一轮复习：《合情推理与演绎推理》教学案(含解析)

第五节合情推理与演绎推理[知识能否忆起]一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：[小题能否全取]1．(教材习题改编)A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，因此x＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝⎝⎛⎭⎪⎫S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶85．(2018·陕西高考)观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n2<2n－1n(n∈N*，n≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1161.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．典题导入[例1] (2018·河南调研)已知函数f(x)＝xx ＋2(x ＞0)．如下定义一列函数：f 1(x)＝f(x)，f 2(x)＝f(f 1(x))，f 3(x)＝f(f 2(x))，…，f n (x)＝f(f n －1(x))，…，n ∈N *，那么由归纳推理可得函数f n (x)的解析式是f n (x)＝________.[自主解答] 依题意得，f 1(x)＝xx ＋2， f 2(x)＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x3x ＋4＝x2－＋22，f 3(x)＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x7x ＋8＝x3－＋23，…，由此归纳可得f n (x)＝xn－＋2n(x ＞0)．[答案]xn－＋2n(x ＞0)由题悟法1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围． 2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．(2018·枣庄模拟)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a＋b ＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r.[答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r由题悟法1．类比推理是由特殊到特殊的推理， 2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n)a p ＋(n －p)a m ＋(p －m)a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝(b 1qp －1)m －n·(b 1qm －1)n －p·(b 1qn －1)p －m＝b 01·q 0＝1.答案：b m －np ·b n －pm ·b p －mn ＝1典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)由题悟法演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF.1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( ) A ．① B ．② C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.2．(2018·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f(x)＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3．(2018·泰兴模拟)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19 C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4．(2018·德州模拟)给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“a，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“a，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b”； ④“若x ∈R ，则|x|＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z|＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6．(2018·武汉市适应性训练)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f(x)＝xcos x 满足f(－x)＝－f(x)对∀ x ∈R 都成立，推断：f(x)＝xcos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝＋2n －2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7．(2018·杭州模拟)设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f(2n)≥n ＋22. 答案：f(2n)≥n ＋228．(2018·陕西高考)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·杭州模拟)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24. 答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋22个2＋3＋3＋…＋32个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1＋1－1＋1－1＋…＋1－1的值．解：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n. 因为f(n ＋1)－f(n)＝4n ，所以f(n ＋1)＝f(n)＋4n ，f(n)＝f(n －1)＋4(n －1) ＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n≥2时，1－1＝1－＝12(1n －1－1n)， ∴1＋1－1＋1－1＋…＋1－1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n＝32－12n.1．(2018·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n ∈N *，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03．(2018·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： (1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； (2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； (3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； (4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．(2018·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x ，y)的不同整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x ，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n 时，对应的不同整数解(x ，y)的个数为4n ，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为80.2．(2018·豫东、豫北名校测试)已知如下等式： 3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(33＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n－3n－1×4＋3n－2×42－…＋(－1)n4n＝________(n∈N*)．解析：依题意及不完全归纳法得，3n－3n－1×4＋3n－2×42－…＋(－1)n4n＝17[3n＋1－(－4)n＋1]．答案：17[3n＋1－(－4)n＋1]。

版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数121合情推理与演绎推理真题演练集训理新人教A版05240177

2018版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数 12.1 合情推理与演绎推理真题演练集训理新人教A版1．[2016·北京卷]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案：B解析：解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s(个)．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.2．[2014·北京卷]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人答案：B解析：设学生人数为n，因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况，所以当n≥4时，语文成绩至少有两人相同，若此两人数学成绩也相同，与“任意两人成绩不全相同”矛盾；若此两人数学成绩不同，则此两人有一人比另一人成绩好，也不满足条件，因此：n＜4，即n≤3.当n＝3时，评定结果分别为“优秀，不合格”“合格，合格”“不合格，优秀”，符合题意，故n＝3，故选B.3．[2015·山东卷]观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________. 答案：4n －1解析：由题知，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1.4．[2015·福建卷]一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎨⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案：5解析：设a ，b ，c ，d ∈{0,1}，在规定运算法则下满足：a ⊕b ⊕c ⊕d ＝0，可分为下列三类情况：①4个1：1⊕1⊕1⊕1⊕＝0，②2个1：1⊕1⊕0⊕0＝0，③0个1：0⊕0⊕0⊕0＝0，因此，错码1101101通过校验方程组可得：由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，∴1⊕1⊕0⊕1≠0；由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，∴1⊕0⊕0⊕1＝0；由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，∴1⊕0⊕1⊕1≠0. ∴错码可能出现在x 5上或x 1与x 4都错．由已知只有第k 位发生码元错误，故错误为x 5，若x 5＝0，则检验方程组都成立，故k ＝5.5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案：A解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，因此三人去过的同一城市应为A，而甲去过的城市比乙多，但没去过B城市，所以甲去过的城市数应为2，乙去过的城市应为A.课外拓展阅读归纳不准确致误分析[典例] 如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如表所示．2 013 2 014 2 015A．1 004 B．1 007 C．1 011 D．2 014[易错分析] 本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关系，归纳出该数列的一般关系．可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准“前几项”的规律，胡乱猜测；二是弄错奇、偶项的关系．本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且逐一递增，即a2n＝n(n∈N*)，各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增，并且满足a4n－3＋a4n－1＝0(n∈N*)，如果弄错这些关系就会得到错误的结果，如认为当n 为偶数时a n＝n，就会得到a2 013＋a2 014＋a2 015＝2 014的错误结论，而选D.[解析] a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…，这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3，…，偶数项为1,2,3，…，故a2 013＋a2 015＝0，a2 014＝1 007，故a2 013＋a2 014＋a2 015＝1 007.[答案] B归纳总结由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．。

高考数学一轮配套学案讲解：《合情推理与演绎推理》(苏教版)

§7.4合情推理与演绎推理1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理3.(1)定义：由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. (×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. (√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. (×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a ＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.( √ ) 2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于________. 答案 32解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为________. 答案 8 125解析 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125. 4.(2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________.答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一归纳推理例1设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 思维启迪解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝33133121+++x x 3)33(333233)33)(33()33()33(2121212121+++++=+++++=+x x xx x x x x x x .33)3233(3323332)33(3323321212121=++++=⨯++++=x x x x x x x x 思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为___________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *) 解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 思维启迪等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. 答案 n －m d nc m解析设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应法则，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________.(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________.答案 (1)③ (2)R ＝a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三演绎推理例3已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a(a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－aa x ＋a ，则－1－y＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－aa a x ＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数. 证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1).所以y＝f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)(5分)(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n,4)＝n 2，五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.思维启迪从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10,24).解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n ， ∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10 ＝1 100－100＝1 000.答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.思维启迪直接类比可得.解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1， x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得 1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， …，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]. 相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2). 类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为 _______________________.思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)， 2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)， 3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)， …，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) 温馨提醒 (1)合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；(2)合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确.方法与技巧1.合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.失误与防范1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.(2012·江西改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝______.答案123解析观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1*1=1,(2)(n+1)*0=n*1+1,则n*1=.答案n解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.3.下列推理是归纳推理的是________.(填序号)①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式③由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab ④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 ②解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以②是归纳推理.4.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________. 答案 127解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，∴V 1V 2＝127. 5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为________.答案 d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·2)1(-n n q ，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·21-n q ，即{d n }为等比数列.6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________.答案 14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________.答案 x 7x ＋8 x (2n －1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝x x ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝xx ＋2(x x ＋2＋2)＝x 3x ＋4. f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x 7x ＋8. 由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1，故f n (x )＝x (2n －1)x ＋2n. 8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________.答案 BE EA ＝S △BCD S △ACD解析易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等，故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD. 二、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律.解 (1)由于a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4). (2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21，S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.解如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，证明：则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图，连结BE 并延长交CD 于F ，连结AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.B 组专项能力提升(时间：40分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是________.答案 2解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小.2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有ab ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是______.(填序号)①自然数集②整数集 ③有理数集 ④无理数集答案 ③解析 ①错：因为自然数集对减法、除法不封闭；②错：因为整数集对除法不封闭；③对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；④错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________.答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域. 4.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.答案 11解析由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1). 由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.5.如图，类比直线方程的截距式和点到直线的距离公式，则点 H (4，2,1)到平面ABC 的距离是________. 答案326161解析平面ABC 的方程为x －4＋y －2＋z3＝1，即3x ＋6y －4z ＋12＝ 0，故所求距离d ＝|3×4＋6×2－4×1＋12|32＋62＋(－4)2＝326161.6.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *).证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提)故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n . (结论)7.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现，(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1).(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， …f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。

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Sn＋1 Sn－1 (2)由(1)可知 n＋1 ＝4· n－1 (n≥2)，
Sn－1 n＋1 ∴Sn＋1＝4(n＋1)· n－1 ＝4·n－1·Sn－1
＝4an(n≥2)，
(小前提)
又 a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.(结论)
xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为 0.❶例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为
0,1,1,0,0，…，0.❷
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前 3 项和等于______； (2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1，p2，…，p100 满足 p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E 的子集 Q 的“特征数列”q1，q2，…，q100 满足 q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则 P∩Q 的元素个数为________．
结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般
性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
【训练 1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式：
1
11
11 1
① 2＜1；② 2＋ 6＜ 2；③ 2＋ 6＋ 12＜ 3.
则第 5 个不等式为________． (2)(2013·陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …… 照此规律，第 n 个等式可为________．解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第 n 个等式左边为(n＋1)
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
创新突破 12——新定义下的归纳推理
【典例】
(2013·湖南卷)对于 E＝{a1，a2，…，a100}的子集
X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义 X 的“特征数列”为 x1，x2，…，x100，其中
第 1 讲合情推理与演绎推理 [最新考纲] 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
知识梳理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
是________．
1 解析已知n[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤
( ) x1＋x2＋…＋xn
f
n
，
(大前提)
因为 f(x)＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提)
( ) A＋B＋C
所以 f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f 3 ，(结论)
π 33 即 sin A＋sin B＋sin C≤3sin 3＝ 2 .
突破 1：读懂信息❶，对于集合 X＝{ai1，ai2，…，aik}来说，定义 X 的“特征
数列”为 x1，x2，…，x100 是一个新的数列，该数列的 xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其
余项均为 0.
突破 2：通过例子❷：“子集{a2，a3}的特征数列为 0,1,1,0，0，…，0”来理解
“特征数列”的特征；第 2 项，第 3 项为 1，其余项为 0.
Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则
P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有 17 项．答案 (1)2 (2)17 [反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合，细心观察，
寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．
【自主体验】
1
若定义在区间 D 上的函数 f(x)对于 D 上的 n 个值 x1，x2，…，xn 总满足n[f(x1)
( ) x1＋x2＋…＋xn
＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f
n
，称函数 f(x)为 D 上的凸函数．现已知
f(x)＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值
学生用书第 200 页
考点一归纳推理
【例 1】 (2013·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，
nn＋1 1 1 如三角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为 2 ＝2n2＋2n，记第 n 个 k 边
形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
1 答案 V 四面体 A－BCD＝3(S1＋S2＋S3＋S4)r 规律方法在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，
且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对
应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直
对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练 2】二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现 S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝ 4 3πr3，观察发现 V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度 W＝2πr4，猜想其三维测度 V＝________. 解析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维
测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即
V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3. 答案 8πr3
考点三演绎推理 n＋2
【例 3】数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝ n Sn(n∈N*)．证明：
{ }Sn
(1)数列 n 是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an. n＋2
(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第 n 个等式右边为 2n
与 n 个奇数之积，即 2n×1×3×5×…×(2n－1)． 11 1 1 1
答案 (1) 2＋ 6＋ 12＋ 20＋ 30＜ 5 (2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
考点二类比推理【例 2】在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c，内切圆半径
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝ n Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
Sn＋1 Sn S1
∴ n＋1 ＝2· n ，又 1 ＝1≠0，
(小前提)
{ }Sn
故 n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
数(小前提)，所以 y＝log4x 是增函数(结论)”，以上推理的错误是( )． A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C．推理形式错误导致结论错误 D．大前提和小前提错误导致结论错误解析当 a＞1 时，函数 y＝logax 是增函数；当 0＜a＜1 时，函数 y＝logax 是减
辨析感悟 1．对合情推理的认识 (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×) (4)(教材习题改编)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 an＝n(n∈N*)．(×) (5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1∶2，则它们的体积比为 1∶8.(√) 2．对演绎推理的认识 (6)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√) (7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×) [感悟·提升] 三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．
1 为 r，则三角形面积为 S△ABC＝2(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 A－BCD 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为________”．审题路线三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个
1 面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中2类比为三维图形中的 1 3⇒得出结论．
突破 3：根据 p1＝1，pi＋pi＋1＝1 可写出子集 P 的“特征数列”为：