2018届河北省武邑中学高三上学期第四次调研考试数学(文)试题

2018届河北省武邑中学高三上学期第四次调研考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。

1．已知R 是实数集，集合{3|1,|M x N y y x x ⎧⎫=<==+⎨⎬⎩⎭，则()R N C M = （ ） A ．[]0,2 B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞ D ．[]2,32.为了有效管理学生迟到问题，某校专对各班迟到现象制定了相应的等级标准，其中D 级标准为“连续10天，每天迟到不超过7人”，根据过去10天1、2、3、4班的迟到数据，一定符合D 级标准的是( ) A ．1班：总体平均值为3，中位数为4 B ．2班：总体平均值为1，总体方差大于0 C ． 3班：中位数为2，众数为3D ． 4班：总体平均值为2，总体方差为33.已知函数f (x )＝是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是( )A ． (，)B ． (，]C ． [，)D ． (，]4.集合{x |x 2－ax －2＝0，a ∈R }的真子集个数是( )A ． 4B ． 3C ． 1D ． 与a 的取值有关5.针对柱、锥、台、球，给出下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台． 其中正确的是( ) A ． ①②B ． ③C ． ③④D ． ①③6.已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题： ①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③7.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-0033023y y x y x , 表示的平面区域的面积是（ ） A.32 B. 3 C. 2 D. 238.运行右边的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于（ ）A ．[2,5]-B ．[5,2]-C ．[4,3]-D ．[3,4]-9.已知,31:-<>x x p 或 a x q >:，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]10、已知各项均为正的等比数列{}n a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“26423S S S +>”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件11、已知函数()()32,f x ax ax x b a b R =+++∈，则下列图象一定不能表示()f x 的图象的是（ ）12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是 A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B．1,63⎛-+ ⎝C．1,63⎛-- ⎝D．163⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13. 求函数y ＝sin 的单调区间为________．14. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线方程为______________.15.当0>x 时，不等式032>+-mx x 恒成立，则实数m 的取值范围是__________. 16．若函数()2xf x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本题共6小题，共70分）17、（10分）已知函数()()2sin cos cos 20f x x x x ωωωω=⋅+>的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）求()f x 的单调递增区间.18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n n S a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (II)令2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y (单位：小时)与年龄x (单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)：由表中数据分析，x ，y 呈线性相关关系，试求线性回归方程 y bxa =+ ，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．参考数据：线性回归方程中 ,ba 的最小二乘估计分别是()1221,ni ii nii x y nxyb ay bx xn x==-==--∑∑ ． 20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=． （I ）求sin sin C A 的值； （II ）若1cos 24B b ==，，求ABC ∆的面积S ． 21.（本小题满分12分）已知函数ln ()()x kf x k R x x=-∈的最大值为()h k . （I ）若1k ≠，试比较()h k 与21k e的大小；（II ）是否存在非零实数a ，使得()kh k ae>对k R ∈恒成立，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆1C 和2C 的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）和cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM ：θα=与圆1C 交于点O 、P ，与圆2C 交于点O 、Q ，求||||OP OQ ⋅ 的最大值. 23．[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数(),f x x a a R =-∈(I)当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；(II)若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求a 的取值范围．四调数学（文）试题答案1. D2. D3. B4. B5. B6. D7. A8. D9. A 10. A 11. D 12. C13.(k ∈Z)．14.0=-ey x 15.)32,(-∞ 16.),2ln 22(+∞-17、解：（1）由()2sin cos cos 2f x x x x ωωω=⋅+ =sin 2cos 2x x ωω+24x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭22T ππω∴==得1ω=（2）由（1）的()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭依题可得()222242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得()388k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得111=-++nS n S nn ……………………………………3分 又511=S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以n n S n 42+=…………………………………5分 当2≥n 时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分所以()nn n b 232+= ……………………………………………………7分所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为54108=； ……………………4分（2）由题意可知=35， =3.5，52541=∑=i i i y x 5400412=∑=i i x ……………6分所以2021,1007==∧∧a b ……………8分 所以20211007+=∧x y ． ……………10分 当60=x 时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时． 预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。

……………12分20.20解析：由正弦定理得22sin sin sin c a C Ab B--=，…………2分 所以2sin sin cos 2cos sin cos C A A C B B--=， 即()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-，化简得()()sin 2sin A B B C +=+，…………4分 ∴sin 2sin C A =即sin 2sin CA=．………………6分 （II ）由sin 2sin C A =得2c a =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =++及1cos 4B =， 2b =得1a =，从而2c =．………………8分又1cos 4B =， 0B π<<得sin B =，所以1sin 2ABC S ac B == 12分21解：（1）2221ln 1ln '()x k x kf x x x x--+=+=.............1分 令'()0f x >，得10k x e +<<，令'()0f x <，得1k x e +>，故函数()f x 在1(0,)k e +上单调递增，在1(,)k e ++∞上单调递减，故111()()k k h k f e e++==...........3分当1k >时，21k k >+，∴2111k k e e +<，∴21()kh k e > 当1k <时，21k k <+，∴2111k k e e +<，∴21()k h k e<.................6分（2）由（1）知11()k kh k e ae+=>，∴1k ke a <..............6 设()k ke g k a =，∴(1)'()kk e g k a+=，令'()0g k =，解得1k =-..........8分当0a >时，令'()0g k >，得1k >-；令'()0g x <，得1k <-， ∴min 1()(1)g k g ea=-=-， ∴1()(,)g k ea∈-+∞................................10分 故当0a >时，不满足()kh k ae>对k R ∈恒成立；当0a <时，同理可得max 1()(1)1g k g ea =-=-<，解得1a e <-.故存在非零实数a ，且a 的取值范围为1(,)e-∞-.............................12分22解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的普通方程分别是22(2)4x y -+=和22(1)1x y +-=........3分∴圆1C 和2C 的极坐标方程分别为4cos ρθ=，2sin ρθ=..................5分 （Ⅱ）依题意得点P 、Q 的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα.............6分∴|||4cos |OP α=，|||2sin |OQ α=，从而|||||4sin 2|4OP OQ α⋅=≤.............8分 当且仅当sin 21α=±，即4πα=时，上式取“=”，||||OP OQ ⋅取最大值4........10分23．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f （x ）=|x ﹣1|≥|x+1|+1， 即|x ﹣1|﹣|x+1|≥1．由于|x ﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x 对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离， 由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1， 故不等式的解集为}21|{≤x x …………5分 （Ⅱ）不等式f （x ）+3x ≤0，即|x ﹣a|+3x ≤0，即|x ﹣a|≤﹣3x （x ≤0）， 即 3x ≤x ﹣a ≤﹣3x ，求得 x≤﹣，且x≤．当a ≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x ≤﹣1}，可得﹣≥﹣1，求得a ≤2，故有0≤a ≤2．当a ＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x ≤﹣1}，可得≥﹣1，求得a ≥﹣4，故有﹣4≤a ＜0．综上可得，要求的a 的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）= [﹣4，2]． …………10分 法二：不等式f （x ）+3x ≤0，即|x ﹣a|+3x ≤0，即|x ﹣a|≤﹣3x （x ≤0），即 3x ≤x ﹣a ≤﹣3x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤42a x a x 在{}1-≤x x 上恒成立所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-4121a a 即[]2,4-∈a。