2020年武汉市高三数学(理)5月质量检测卷附答案解析
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试理科数学试卷答案
150
140
130
125
115
100
P
0.49
0.28
0.04
0.14
0.04
0.01
数学期望为：
= 1t0 × 0 9 1 0 × 0 2⺁ 1 0 × 0 0 12t × 0 1 11t × 0 0 100 × 0 01 =
1 1（元）；
（ⅱ）设乙厂生产的 5 件该零件规格的正品零件中有 n 件“优等”品，则有 5 n 件“一
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2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A B C C A B D D A C B C
二、填空题
13.− 21
2
14. = − 2 1
15．72.5
16. 3 1
三、解答题
17. 解：（1）
的外接圆半径 R = 1，有 = 2R sin = ，
……………6 分
（2）解：由（1）相关关系及数据，在图中，以 D 为原点，分别以 DC，DF，过点 D 且垂直
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面 DBC 的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），有：
D 0，0，0 ，A ，0， ，C ，0，0 ，B − ， ，0 ，
在面 ABC 中，设其一个法向量 = 1， 1， 1 ， = − ，0， ， = − 9， ，0 ，
=0 ⇒
1
=0
91
有 = ， ，1
2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)
2020年高考数学（理）重难点03 空间向量与立体几何【高考考试趋势】立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.【知识点分析以及满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．8【答案】B 【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积1168233V =⨯⨯= 故选B【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 2．（2019·天津高考模拟（理））已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，2AB BD CD ===，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．3πB ．C ．D ．12π【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果. 【详解】2BD CD ==Q 且BCD ∆为直角三角形 BD CD ∴⊥又AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD CD AB ∴⊥CD \^平面ABD由此可将四面体ABCD 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O正方体外接球半径为体对角线的一半，即12R == ∴球O 的表面积：2412S R ππ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.3．（2019·河南高考模拟（理））如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．4．（2019·贵州高考模拟（理））设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题：∴若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥； ∴若//a β，m β⊂，则//m α； ∴若m α⊥，//m n ，//αβ，则n β⊥； ∴若//m α，//n β，//m n ，则//αβ其中正确命题的序号是（ ） A ．∴∴ B ．∴∴C ．∴∴D ．∴∴【答案】C 【解析】∴两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A 、B 选项，对于∴，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C.5．（2019·福建高考模拟（理））在三棱锥P ABC -中，3PA PB ==，BC =8AC =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为（ ）．A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED ，得E 为∴ABC 外接圆的圆心，且OE∴平面PAB ，然后求出∴PAB 的外接圆半径r 和球心O 到平面PAB 的距离等于d ，由勾股定理得R .【详解】解：取AB 中点D ，AC 中点E ，连PD ，ED 因为AB BC ⊥，所以E 为∴ABC 外接圆的圆心因为OE∴PD ，OE 不包含于平面PAB ，所以OE∴平面PAB 因为平面PAB ⊥平面ABC ，3PA PB ==，得PD ⊥AB ，ED ⊥AB 所以PD ⊥平面ABC ，ED ⊥平面PAB且AB ==PD 1=所以球心O 到平面PAB 的距离等于ED d ==在∴PAB 中，3PA PB ==，AB =1sin 3PAB ∠=， 所以∴PAB 得外接圆半径2r 9sin PB PAB ∠==，即9r 2=由勾股定理可得球O 的半径R ==故选：A. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，经常用球中勾股定理R =R 是外接球半径，d 是球心到截面距离，r 是截面外接圆半径.二、解答题6．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形,//AB AD AB CD ⊥，224AB AD CD ===，4PC =.（1）证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求锐二而角A PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）由PC ⊥底面ABCD ，证得AC PC ⊥，又由勾股定理，得AC CB ⊥，利用线面垂直的判定定理，得到AC ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理，可得平面EAC ⊥平面PBC ，即可得到结论；（2）分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得平面PBC 和平面PAB 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，因为PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PC ⊥，又因为224AB AD CD ===，所以4AB =，2AD CD ==，所以AC BC ==，所以222AC BC AB +=，从而得到AC CB ⊥．又BC ⊂Q 平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂Q 平面ACE ，所以平面EAC ⊥平面PBC ， 所以当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC. （2）由条件知PC ⊥底面ABCD ，且AB AD ⊥， AB C D ∥所以过点C 作CF CD ⊥交AB 于点F ，分别以CD ，CF ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），所以(0,0,0)C ，(2,2,0)A ，(2,2,0)B -，(0,0,4)P .由（1）知CA u u u r为平面PBC 的一个法向量，因为(2,2,0)CA =u u u r，(2,2,4)PA =-u u u r (2,2,4)PB =--u u u r ，设平面P AB 的一个法向量为(,,)n=x y z r，则(,,)(2,2,4)00(,,)(2,2,4)00x y z n PA x y z n PB ⎧⋅-=⎧⋅=⇒⎨⎨⋅--=⋅=⎩⎩u uu v r u u u v r ，即02x y z=⎧⎨=⎩，令1z =，则2y =，所以(0,2,1)n =r，所以|||cos ,|5||||CA n CA n CA n ⋅〈〉===uu r ruu r r uu r r ，故锐二面角A PB C --的余弦值5．【点睛】本题考查了线面垂直与面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.7（2017·广东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒， PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.(1)设点E 为PD 的中点，求证： //CE 平面PAB ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为5？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由. 8．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD所在的平面，,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在，求出FQ 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（23）在线段EF 上存在一点Q 满足题意，且FQ =【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；(3)假设点Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q 的存在性和位置. 【详解】（1）因为四边形PDCE 为矩形，所以N 为PC 的中点.连接FN ，在PAC V 中，,F N 分别为,PA PC 的中点，所以FN AC ∥， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC P 平面DEF .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，如图以D 为原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0)P A B C，所以(1,1,,(1,1,0)PB BC ==-u u u r u u u r.设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =r，则(,,)(1,1,0(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u v r u u u v r即0,0,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得,,y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得1,y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以平面PBC的一个法向量为m =r. 设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，(,,)(0,1,0)0(,,)(1,1,0n AB x y z n PB x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u uv r u u uv r ，据此可得01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则平面ABP的一个法向量为)n =r，cos ,3m n <>==u r r，于是sin ,3m n 〈〉=r r. 故二面角A PB C --（3）设存在点Q 满足条件.由1,0,,(0,22F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(01)FQ FE λλ=u u u r u u u r &剟，整理得1),2,22Q λλλ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,22BQ λλ⎛+=-- ⎝⎭u u u r . 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62||||BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r 解得21λ=，由知1λ=，即点Q 与E 重合.故在线段EF 上存在一点Q，且FQ EF ==. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n u r r 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>u r r互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．9．（2019·山东高考模拟（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆为等边三角形，22PA AB ==，AC CD ⊥，PD 与平面PAC 所成角的正切值 为5.(∴)证明：//BC 平面PAD ；(∴)若M 是BP 的中点，求二面角P CD M --的余弦值.【答案】（∴）见解析.（∴ 【解析】 【分析】(∴)先证明DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角，于是可得CD =60CAD ∠=︒．又由题意得到60BCA ∠=︒，故得//BC AD ，再根据线面平行的性质可得所证结论． (∴) 取BC 的中点N ，连接AN ，可证得AN AD ⊥．建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDM 的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值． 【详解】(∴)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA CD ⊥又AC CD ⊥,CA PA A =I , 所以CD ⊥平面PAC ，所以DPC ∠为PD 与平面PAC 所成的角． 在Rt PCD V中，PC ==所以CD =所以在Rt PCD V 中，2AD =,60CAD ∠=︒. 又60BCA ∠=︒，所以在底面ABCD 中，//BC AD , 又AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD ．(∴)解：取BC 的中点N ，连接AN ，则AN BC ⊥,由(∴)知//BC AD ， 所以AN AD ⊥，分别以AN ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .则(0,0,2)P，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2,0)D，1,14M ⎫-⎪⎪⎝⎭所以3,,022CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，(0,2,2)PD =-u u ur，9,,144DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu u r设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由1100n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vu u u v，即111130220y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得1111x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令11y =，则1,1)n =u r．设平面CDM 的一个法向量为()2222,,n x y z =u ur，由2200n CD n MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v，即2222230940y y z ⎧+=⎪-+=，得222232x y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令21y =，则232n ⎫=⎪⎭u u r ．所以121212331cos ,||||n n n n n n ++⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 由图形可得二面角P CD M --为锐角， 所以二面角P CD M --【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论． 10．（2018·吉林高考模拟（理））如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ， M ， N 分别是棱AB ， AD ， 11A B ， 11A D 的中点，点P ， Q 分别在棱1DD ， 1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12λ=±.【解析】以D 为原点，射线DA ， DC ， 1DD 分别为x ， y ， z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.由已知得()2,2,0B ， ()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ， ()0,0,P λ， ()1,0,2N ， ()2,1,2M ，则()12,0,2BC =-u u u u r， ()1,0,FP λ=-u u u r ， ()1,1,0FE =u u u r ， ()1,1,0NM =u u u u r ， ()1,0,2NP λ=--u u u r.（1）当1λ=时， ()1,0,1FP =-u u u r ，因为()12,0,2BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ . （2）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,n x y z =r，则由0{0FE n FP n ⋅=⋅=u u u r ru u u r r，得0{0.x y x z λ+=-+=，于是可取(),,1n λλ=-r . 设平面MNPQ 的一个法向量为()',','m x y z =r，由0{0NM m NP m ⋅=⋅=u u u u r ru u u r r，得()''0{'2'0x y x z λ+=-+-=，于是可取()2,2,1m λλ=--r. 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10m n λλλλ⋅=--⋅-=r r，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±，显然满足02λ<<.故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性。
2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷(理科)(附答案解析)
2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <3}D. {x|0<x <1}2. i 为虚数单位，复数z =1−2i(1+i)2的虚部为( )A. 12B. −12C. 12iD. −12i3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3a 3，则S5S 9=( )A. 59B. 95C. 53D. 5274. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x −a ，则f(−1)=( )A. 3B. −3C. −2D. −15. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0，则z =x −3y 的最小值为( )A. −7B. −6C. 1D. 66. 已知(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为14，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. 45D. −457. 若tanα=3tan2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知a =ln3，b =√3ln2,c =log 32，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. a <c <b9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB =AC =1，AA 1=2√3，∠BAC =2π3，则球O 的体积为( )A.32π3B. 3πC. 4π3D.24π310. 如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设DF =3FA ，则( )A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是△PF 1F 2的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若|PF 1|=4a ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. 2C. √3D. √212. 已知一个正方形的四个顶点都在函数f(x)=x 3−92x +1的图象上，则此正方形的面积( )A. 5或172B. 5或10C. 5或17D. 10或17二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n+1=4×3n−1，则S 2020=______． 14. 有人收集了七月份的日平均气温t(摄氏度)与某冷饮店日销售额y(百元)的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如表：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是y ̂=1.2t +a ̂，给出下列说法：①a ̂=−32.4②日销售额y(百元)与日平均气温t(摄氏度)成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元． 其中正确说法的序号是______15. 已知F 是抛物线y =18x 2的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(3,−2)，则|PF||PA|的最小值是______16. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx −π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA−sinBsinC =a−ca+b．(1)求角B的大小；(2)若b=6，且AC边上的中线长为4，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，PB⊥AC．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=4，PB=2√3，求二面B−PC−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，离心率为√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于点A，B，求点P到直线AB距离的最大值．20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量(单位：吨)，得到统计表如表：(1)若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费．试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；(3)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．21.已知函数f(x)=(e−x)lnx(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；(2)若方程f(x)=m(m≠0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<e−1−em．e−122. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)曲线C 2与x 轴交点为P ，与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．23. (1)解不等式|x −2|+|x +3|≥9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：|ab +1|>|a +b|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={x|1<x <3}． 故选：C ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数z =1−2i(1+i)2=1−2i 2i=−i(1−2i)2i(−i)=−1−12i.其虚部为−12， 故选：B ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为a 5=3a 3，所以a 1+4d =3(a 1+2d)即a 1=−d ，则S 5S 9=5a 1+10d 9a 1+36d =5d 27d =527． 故选：D ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0， 则有f(0)=20−a =1−a =0，解可得a =1， 则f(1)=2+2−a =4−1=3，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−3； 故选：B ．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=20−a =1−a =0，解可得a 的值，即可得函数的解析式，求出f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由约束条件{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0作出可行域如图，联立{x −2y +4=03x −y −3=0，解得A(2,3)，化目标函数z =x −3y 为y =x3−z3，由图可知，当直线y =x3−z 3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−7． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：(1x −1)5的展开式的通项为T r+1=∁5r ⋅(1x )5−r ⋅(−1)r =(−1)r ⋅∁5r ⋅xr−5． 取r −5=−1，得r =4，取r −5=0，得r =5．∴(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为：3×(−1)4⋅∁54+a ⋅(−1)5⋅∁55=14，得a =1． 故选：B ．写出(1x −1)5的展开式的通项，求出其常数项以及含x −1的项，则答案可求． 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3tan 2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=cosαcos3π14+sinαsin 3π14sinαcos 2π7−sin 2π7cosα=cosαsin2π7+sinαcos 2π7sinαcos 2π7−sin 2π7cosα，=tan 2π7+tanαtanα−tan2π7，=4tan2π72tan2π7=2，故选：B ．由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简后代入已知即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题．8.【答案】B【解析】解：0=log 31<c =log 32<log 33=1，所以0<c <1， a =ln3>lne =1，所以a >1，b =√3ln2=ln2√3>lne =1，所以b >1， 因为2√3>3，所以ln2√3>ln3，b >a ， 所以c <a <b ， 故选：B ．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵△ABC 中，AB =1，AC =1，∠BAC =120°， ∴△ABC 的外接圆的半径r =1．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3， 则球O 的半径R =√11+(√3)2=2； ∴球O 的体积V =43πR 3=323π.故选：A ．由已知可得△ABC 的外接圆的半径r =3.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3，利用勾股定理即可得出球O 的半径R本题考查了直三棱柱的性质、直角三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题，DF =3FA ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+116CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ +116(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ +164AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴6364AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据已知，确定比例关系，利用平面向量的三角形法则表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过化简以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示即可．本题考查平面向量的线性运算，做题时需细心谨慎，根据比例关系数形结合，属简单题．11.【答案】A【解析】解：设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设P 在第一象限，所以重心M(x 03,y3)，因为|PF 1|=4a ，由双曲线的定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a =2a ，设三角形△PF 1F 2与各边的切点分别为如图所示E ，F ，D ，则PE =PD ，EF 1=F 1F ，FF 2=DF 2，所以|PF 1|−|PF 2|=2a =|PE|+|EF 1|−(|PD|+|DF 2|)=|F 1F|−|FF 2|=|F 1F 2|−2|FF 2|=2c −|FF 2|，所以|FF 2|=c −a ，即F 为双曲线的右顶点，又MN 与x 轴平行，所以可得N(a,y3)△PF 1F 2的内切圆的半径为r =y 03，所以S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅y 0=12(|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|)⋅r =12(4a +2a +2c)⋅y 03，所以可得：2c =3a ，所以离心率e =c a =32， 故选：A ．设P 的坐标，由重心的公式可得重心M 的坐标，再由MN 与x 轴平行可得△PF 1F 2的内心的纵坐标，即可得△PF 1F 2的内切圆的半径，再由三角形的面积公式用内切圆的半径表示可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查三角形的重心坐标的求法及三角形的面积由内切圆的半径表示的代数式，及双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=2，得函数f(x)关于点M(0,1)中心对称，显然该正方形ABCD 的中心为M ，由正方形性质可知，AC ⊥BD 于M ，且|AM|=|BM|=|CM|=|DM|， 设直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)， 联立直线AC 方程与函数y =f(x)得{y =kx +1y =x 3−92x +1，即x 3−(k +92)x =0，∴x 12=k +92，同理x 22=92−1k，又|AM|=√1+k 2|x 1−0|,|BM|=√1+1k2|x 2−0|，∴(1+k 2)(k +92)=(1+1k 2)(92−1k )，即k 2+1k 2+92(k −1k )=0，化简得2(k −1k )2+9(k −1k)+4=0，∴k −1k =−4或k −1k =−12，∴k +1k =√(k −1k )2+4=2√5或√172， ∴S 正方形ABCD =2|AM||BM|=2√1+k 2⋅√1+1k 2⋅|x 1x 2|=2(k +1k )⋅√(k +92)(92−1k )=2(k +1k )⋅√92(k −1k )+774=10或17．故选：D ．分析函数关于点M(0,1)中心对称，进而正方形ABCD 的对称中心为M ，设出直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)，联立直线方程与函数y =f(x)可得x 12=k +92，x 22=92−1 k ，由|AM|=|BM|，可得(1+k2)(k+92)=(1+1k2)(92−1k)，进而求得k−1k=−4或k−1 k =−12，再用|AM|，|BM|表示出正方形的面积，代值计算即可得出答案．本题考查直线与曲线的综合运用，涉及了函数的对称性，正方形的性质，弦长公式等基础知识点，考查了运算求解能力，属于较难题目．13.【答案】32020−12【解析】解：由题意，可知S2020=a1+a2+⋯+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2019+a2020)=4×1+4×32+4×34+⋯+4×32018=4×(1+32+34+⋯+32018)=4×1−32018⋅321−32=32020−12．故答案为：32020−12．本题根据题干中给出的通项公式的特点在计算S2020的值时，可将相邻的奇偶项合为一组代入，然后根据等比数列的求和公式可计算出S2020的值．本题主要考查根据递推公式的特点运用分组求和法求前n项和，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】①②【解析】解：已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，代入上式7.2=1.2×33+â，得â=−32.4，故①正确，因为k=1.2>0，故正相关，②正确，当t=33时，y不一定为7，故③错误，故答案为：①②．已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，求出线性回归方程，再判断即可．本题考查了线性回归方程的计算和应用，考查运算能力和实际应用能力，基础题．15.【答案】√55【解析】解：如图所示，过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|， ∴|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM ，显然∠PAM 为锐角，∴要求|PF||PA|的最小值，只需保证∠PAM 最小即可， 而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P 的坐标为(a,a 28)，y′=14x ，∴直线PA 的斜率为14a =a 28+2a−3，解得a =8或−2，对应的点P 坐标分别为(8,8),(−2,12)，当P(8,8)时，|PF||PA|=|PM||PA|=8−(−2)√(8−3)2+(8+2)2=2√55， 当P(−2,12)时，|PF||PA|=|PM||PA|=12−(−2)√(−2−3)2+(12+2)2=√55，∵2√55>√55，∴|PF||PA|的最小值是√55． 故答案为：√55．过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|，于是原问题可以转化为求sin∠PAM 的最小值，也就是∠PAM 最小，而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P(a,a 28)，结合导数求出在点P 的切线的斜率，并与用两点法表示的直线斜率构造关于a 的方程，解出a =8或−2，进而得到相应的点P 坐标，然后分类求出|PF||PA|的值，比较大小，取较小者即可得解．本题考查利用抛物线的几何性质求最值，还涉及利用导数求切线斜率，考查学生数形结合能力和分析能力，属于中档题．16.【答案】(34,32)∪(74,114]∪[72,154]【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象在(π2,π)内有且仅有一条对称轴，根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，k∈z，①又因为：π−π2≤T=2πω⇒ω≤4；②∵ω>0；③因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ−π4≤(k+1)π+π2且(k−1)π−π2≤ωπ2−π4；即4k−12≤ω≤4k+74④联立①②③④解得：ω∈(34,32)∪(74,114]∪[72,154].故答案为：(34,32)∪(74,114]∪[72,154].根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识，属于中档题．17.【答案】解；(1)因为sinA−sinBsinC =a−ca+b=a−bc所以a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =12，所以B=13π；(2)设AC的中点D，由余弦定理可得，BD2+AD2−AB22BD⋅AD =−BD2+CD2−BC22BD⋅CD，即42+32−c22×3×4=−42+32−a22×3×4，整理可得，a2+c2=50，因为a2+c2−b2=ac，b=6，所以ac=14，所以S=12acsinB=12×14×√32=7√32【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos B，进而可求B；(2)由已知结合余弦定理可求ac，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)∵AD//BC, AB=AD=12BC=2，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC．又∵PB⊥AC，∴AC⊥平面PAB．∵AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)∵PA=4,PB=2√3,AB=2，∴PB⊥BA，由(1)知，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD．过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，则∠DFE为所求二面角平面角．在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中求得EF=√3√7．在Rt△DEF中，求得DE=√6√7, DF=√3．在△DEF中，求得cos∠DEF=√24．即二面B−PC−D的余弦值为√24．【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，只需证出AC⊥平面PAB即可；(2)先利用面面垂直转化为线面垂直，进而找到二面角的平面角，然后借助于直角三角形求出所求角．本题考查空间位置关系的判定以及空间角的求法，强调转化思想在立体几何中的应用，集几何法求空间角遵循作、证、指、算的步骤．属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，得{4a2+1b2=1c a =√22，又a2=b2+c2，∴a2=6，b2=3．则椭圆方程为x26+y23=1；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程， 整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．由△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0，得6k 2−m 2+3>0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2．∵PA ⊥PB ，∴k PA ⋅k PB =−1，即y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1．即y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4．其中y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m ，代入整理得：4k 2+8mk +3m 2−2m −1=0，即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0． 当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)， ∴当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23． 当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去． 当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43． 综上，点P 到直线AB 距离的最大值为d =|PM|=4√23．【解析】(1)由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合隐含条件求得a ，b 的值，则椭圆方程可求；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA ⊥PB 可得(2k +m −1)(2k +3m +1)=0，当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)，可知当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23.当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去．当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.【答案】解：(1)若某居民用水17吨，需交费12×4+4×5+1×7=75(元)．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3， P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 72C 31C 103=2140， P(ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，于是P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10， 由{C 104(35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)10−(k+1)C 10k (35)10−k ≥C 10k−1(35)k−1(25)10−(k−1)， 化简，得{2C 10k ≥3C 10k+13C 10k ≥2C 10k−1，解得285≤k ≤335， ∵k ∈N ∗，∴k =6．【解析】(1)由某居民用水17吨，根据题设条件能求出需交费用．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(3)从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10，依题意列出不等式组，由此能求出k ．本题考查离型型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查排列组合、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)=(e −x)lnx =0，得x =1，或x =e ，所以f(x)的零点为1，e ；因为f′(x)=ex −lnx −1，所以f′(1)=e −1，f′(e)=−1．因为f(1)=f(e)=0，所以曲线线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =(e −1)(x −1)，在x =e 处的切线方程为y =−x +e …4分(2)证明：因为f′(x)=e x −lnx −1，所以f″(x)=−1x −e x 2<0，所以f′(x)=ex −lnx −1单调递减．令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ， 下面证f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)，记m(x)=(e −1)(x −1)−(e −x)lnx ，则m′(x)=lnx −ex +e ，m″(x)=1x +ex 2>0， 所以m′(x)单调递增，且m′(1)=0，故m(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增． 所以m(x)≥m(1)=0，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)， 同法可证f(x)≤ℎ(x)，即(e −x)lnx ≤−x +e ． 不妨设g(x 3)=f(x 1)=f(x 2)=ℎ(x 4)=m ，因为g(x 1)>f(x 1)=m =g(x 3)，且g(x)=(e −1)(x −1)为增函数，所以x 1>x 3， 由g(x 3)=)=(e −1)(x 3−1)=m ，得x 3=me−1+1， 同理，x 4>x 2，x 4=e −m ，所以me−1+1=x 3<x 1<x 2<x 4=e −m ， 所以，|x 1−x 2|<e −m −(me−1+1)=e −1−eme−1， 所以，|x 1−x 2|<e −1−em e−1…12分【解析】(1)令f(x)=(e −x)lnx =0，可求得f(x)的零点，再利用导数的几何意义可求得曲线y =f(x)在其零点处的切线的斜率，从而可得切线方程；(2)由于f′(x)=ex −lnx −1，f″(x)=−1x −ex 2<0，故f′(x)=ex −lnx −1单调递减，令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ，通过证明f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)与(e −x)lnx ≤−x +e 成立，而证得原结论成立．本题考查利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想与创新思维能力、逻辑思维能力及综合运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得：x 2+(y −3)2=4．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，化为：x +y =4． (2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，∴y 1+y 2=7，y 1y 2=212，∵直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)， ∴|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|， ∴1|PA|+1|PB|=√2|y |√2|y |=12√2y y =√2×212=√23．【解析】(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得普通方程．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，利用互化公式可得普通方程．(2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，根据直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)，可得|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|，可得1|PA|+1|PB|=√2|y |+√2|y |，利用根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了参数方程与极坐标方程化为普通方程、和差公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，2−x −x −3≥9，解之得x ≤−5；当−3<x ≤2时，2−x +x +3=5<9，无解； 当2<x 时，x −2+x +3≥9，解之得4≤x ； 所以，原不等式的解集为{x|x ≤−5或4≤x}，(2)证明：因为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)， 又因为|a|<1，|b|<1， 所以a 2−1<0，b 2−1<0， 所以(a 2−1)(b 2−1)>0， 即：|ab +1|>|a +b|．【解析】(1)根据题意去绝对值，讨论每一部分的解，(2)先转化为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)，根据题中给的范围，可求其值大于0，既得证．本题考查解绝对值不等式，以及证明不等式，属于中档题．。
2021届湖北省武汉市2020-2021学年度部分学校高三起点质量检测数学试卷【含答案】
湖北武汉市2021届高三起点质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x| x2-x-2 <0},B ={x|0 < x< 3},则A⋂B =A. (-1,2)B. (0,2)C. (-1 ,3)D. ( 0 ,3 )2.若a+i3-2i为纯虚数，则实数 a的值为A.23 B.-23 C.32 D. -323.已知命题p : 所有的三角函数都是周期函数，则, ⌝p 为A.所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数4.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,|b| = 2 ,a·b=4,则向量a, b夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.155.某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 18 种6.过抛物线E : y2= 2x焦点的直线交E于 A, B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则 |AB |==A. 2B.52C . 3D. 47. 如图，点 A , B , C , M , N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN // 平面ABC 的是8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献《尚书· 洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克 的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中 ，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关 系的概率为 A.35 B.12 C.25 D.13二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020年高考数学(理)复习【椭圆的定义、标准方程及性质】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【椭圆的定义、标准方程及性质】小题精练卷刷题增分练○32一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为()A.12B.32C.52D ．2答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝()A.34B.43C.32或233D.34或43答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为()A ．2B ．4C ．8D ．22答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－1答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P 1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△PAB 的面积为()A ．2 B.24C.12D ．1答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △PAB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)．若|PF 1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为()A.6－3B.6－32C.6－5D.6－52答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝ca ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A ．2B ．3C ．6D ．8答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋31－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.22，1 B.0，22 C.22，1D.0，22答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案：5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1与y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线PA 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.刷题课时增分练○32一、选择题1．[2019·河北联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A ．1 B.2C ．2D ．22答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为()A.x 25＋y 210＝1 B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案：D 解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为()A.53B.13C.23D.12答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a 3，则|PF 1|＝4a3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为()A.32或52B.32或5 C.32D.5答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝ca ＝1－b 2a 2＝1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝ca＝1＋b 2a2＝1＋4＝5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为()A.55，35 B.0，25C.25，35D.35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案：3解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△FAB 的周长最大时，△FAB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a ＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明月考]已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A－1，－22，B －1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k 2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
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2020年武汉市高三数学（理）5月质量检测卷
全卷满分150分；考试用时120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的． 1．已知复数z 满足，
i i
i
z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤+-=031x x x
A ，{}
2<=x x B ，则A∩B=
A ．{}12<<-x x
B ．{}23<<-x x
C ．{}12≤<-x x
D ．{}
12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =
A ．2
B ．0
C ． -2
D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4 C ．24 D ．D ．
3
4 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2
>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为
A ．0.9
B ．0.1
C ．0.5
D ．0.4 6．已知函数)2
2
)(3cos()(π
ϕπ
ϕ<
<-+=x x f 图象关于直线18
5π
=
x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，向量c 满足1=⋅a c ，1=⋅b c c a = A ．2 B ．5 C ．3 D ．7
8．已知等差数列{}n a 满足：82
521=+a a ，则21a a +的最大值为
A ．2 C ．4
B ．3 D ．5 9．已知直线2
1-
=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2
≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为
A ．
161 B ．41 C ．1 D ．4
5 10．已知函数)(1
)(1R a e
ax e x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为
A ．{}
0≤a a B ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或
C ．{}e a a a =≤，或0
D ．{}
10=≤a a a ，或
11．已知A ，B 分别为双曲线13
2
2
=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k :=
A ．31-
B ．3-
C ．32-
D ．2
3- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则
四棱锥ABCD P -的体积为
A ．32
B ．3
C ．5
D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1
x
y x =
+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
现给某病人静
脉注射了这种药2500 mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2 =0.3010，1g3 =0.4771，精确到0.1 h ） 15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为 ． 16．已知M ，N 为直线34100x y +-=上两点，O 为坐标原点，若3
MON π
∠=
，则△MON 的周长最小
值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a=4，C=2B ． （1）若b=2，求c ；
（2）若△ABC 的面积为tanB ．
如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是边长为4的菱形，且∠A 1AC=3
π
，面ACC 1A 1⊥面ABC ，A 1A ⊥BC ，BC=4．
（1）求证：BC ⊥面ACC 1A 1； （2）求二面角A —A 1B —C 的余弦值．
19．（本题满分12分）
已知F 1（-1，0），F 2（1，0）为椭圆Γ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左右焦点，过F 2的直线交椭圆
于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为8．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）已知00(,)P x y （0y ≠0）是直线l ：x=4上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(,0)M M x ，
(,0)N N x ，则11
11
M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．
20．（本题满分12分）
一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n （n ≥6）份血液样本，其中只
有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n －3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阻性，测对这（n －3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．
（1）若n=6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若n ≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求Eξ．
已知函数x x x f cos ln )(+=．
（1）讨论f （x ）在（0，π）极值点个数； （2）证明：不等式0)(>x f 在),2
(ππ
恒成立．
附：9624.0)65ln(≈π，7393.0)3
2ln(≈π
．
（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题做答． 并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．
22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t x （t 参数，α为常数），以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12
sin 2=θ
ρ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若△APQ 面积为66，求αtan 的值．
23． [选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数a ，b ，c 满足a+b+c=1． 求证：（1）4
1
<
ab ； （2）2
3111≥-+-+-c c b b a a。