动量守恒定律在碰撞中的应用

【例题】 如图所示，质量为M =2kg的小车放在光滑水平面上， 在小车右端放一质量为m=1kg 的物块。两者间的动摩擦因数为 μ=0.1，使物块以v1=0.4m/s 的水平速度向左运动，同时使小车 以v2=0.8m/s 的初速度水平向右运动， （取g= 10m/s2）求： （1）物块和小车相对静止时，物块和小车的速度大小和方向 （2）为使物块不从小车上滑下，小车的长度L至少多大？
对子弹用动能定理： f s 1
1 mv
2 0

2
1
mv
2
2
1 2
对木块用动能定理： f s 2 两式相减得： 解之得：
f
1 2
2
Mm 2 M m
Mv
f d
Mmv
0
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
2
mv
2 0

M
m v
m d
2

v0
2
2 M m d
s2
M m
小结：这个式子的物理意义是：fd恰好等于系统动能的损失；根据能量
m
V0
M
（3）质量为M的滑块静止在光滑水平面 上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一 质量为M的小球以速度V0向滑块滚来，设 小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的 最高点时（即小球的竖直向上速度为零）， 两物体的速度肯定相等。
课堂练习
4、如图所示，质量为M的滑块静止在光滑 的水平桌面上，滑块的光滑弧面底部与桌 面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑 块滚来，设小球不能越过滑块，则小球到 达最高点时，小球与滑块的速度各是多少？
1 2
m v
2
'2 2
【例题1】如图所示，质量为m2＝1kg的滑块静止于光 滑的水平面上，以质量为m1＝50g的小球以v1＝100m/s 的速率碰到滑块后又以v2＝80m/s的速率被弹回，求滑 块获得的速度是多少？
m1 v1 m2
解：取m1和m2系统作为研究对象，则系统动量守恒，以 v1的方向为正方向，则根据动量守恒定律可得：
m v
1
'
1

m v
1
1
' 1
'
m v
2
' 2
化解可得： v 2
m 1 v1 m
m v
1 2

0 . 05 100 0 . 05 80 1
9m / s
3．碰撞问题应遵守的三条原则 (1)系统动量守恒的原则 碰撞是两个物体在很短的时间内发生相互作用的过 程．由于碰撞的作用时间极短，物体间的相互作用力 很大，通常系统所受的外力(如重力、摩擦力等)在这段 时间内的影响可忽略不计，认为参与碰撞的物体系统 动量守恒． (2)不能违背能量守恒原则 1 1 1 1 2 2 2 碰 撞 过 程 中 必 须 满 足 m1v 1 ＋ m2v 2 ≥ m1v′ 1 ＋ 2 2 2 2 2 2 p2 p2 p′1 v′2 1 2 m2v′2或 ＋ ≥ ＋ . 2 2m1 2m2 2m1 2m2 即能量不可能被创造，碰后的机械能小于或等于碰前 的机械能．
(3)物理情景可行性原则 因碰撞作用时间极短，故每一个参与碰撞的 物体受到的冲力很大，使物体的速度发生骤变 而其位置变化极其微小，以致我们认为其位置 没有变化，碰撞完毕后，物体各自以新的动量 开始运动．
拓展：若发生追赶碰撞，则碰后前面物体运动
的速度应大于等于后面物体运动的速度．
例题2：质量相等的A、B两球在光滑水平面 上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是 7kg· m/s，B球的动量是5 kg· m/s，当A球追上 B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可 能值是（ A ）
这类问题是两个物体碰后合为一个整体，以共同的 的速度运动，这类碰撞称为完全非弹性碰撞。
特点：
这类问题能量（动能）损失最多，即：碰撞后总机械 能小于碰撞前的总机械能，但动量是守恒。
m v
1
1

m v
2
2

2 2
m v
1
' 1

m v
2
' 2
1
m v 2
1
2 1

1
m v 2
2

1
m v 2
1
'2 1

V1 V2
m1 m 2 m1 m 2 2 m1 m1 m 2
V0
④若 m1<m2，则 v1<0，v2>0
⑤若 m1≪m2，则 v1＝－v0，v2＝0 (2)非弹性碰撞．
V0
特点：碰撞时的形变不能完全恢复，有一部分机械能转变 为内能．
原理：动量守恒．
碰后的机械能小于碰前的机械能．
（3）完全非弹性碰撞
解：（1）木块先向左匀减速运动到0，再匀加速运动到共 同速度V 由动量守恒定律 (m+M)V=Mv2-mv1 v1 V=0.4m/s m M v2 （2）由能量守恒定律 μmgL=1/2×Mv22+ 1/2×mv12 - 1/2×(m+M)V2
m
M m
V M
V1 V
L=0.48m
4．碰撞的种类及特点
(1)弹性碰撞．
特点：碰撞时产生弹性形变，碰撞结束后， 形变完全恢复． 原理：动量守恒，机械能守恒．
图 1－3－1
弹性碰撞模型：在光滑水平面上，有两个小球，质量分别 为 m1，m2，球 1 以速度 v0 向右运动，与静止的球 2 发生碰撞．
碰撞过程中没有能量损失，由动量守恒和能量守恒，有
守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见f· d=Q，即两物体 由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两 物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关， 所以这里应该用路程，而不是用位移）。
一般情况下M》m，所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中， 木块的位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了 依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共 同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
v0
s2 d s2
v
s1
解析：子弹和木块最后共同运动，相当 于完全非弹性碰撞。 从动量的角度看，子弹射入木块过程中 系统动量守恒：
mv
0
M m v
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。 设平均阻力大小为f，设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2，如 图所示，显然有s1-s2=d
二：碰撞模型——子弹打击木块
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个 典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的 木块，并留在木块中跟木块共同运动。下面从动量、 能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。 【例题】 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑 水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出， 子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大 小和该过程中木块前进的距离。
m1v0＝m1v1＋m2v2 1 1 1 2 2 m1v0＝ m1v1＋ m2v2 2 2 2 2 m1－m2 得到 v1＝ v0 m1＋m2 2m1 v2＝ v0 m1＋m2
①若 m1≫m2，则 v1＝v0，v2＝2v0
②若 m1＞m2，则 v1>0，v2>0 ③若 m1＝m2，则 v1＝0，v2＝v0
【例题】子弹以一定的初速度射入放在光滑水平面上 的木块中，并共同运动下列说法中正确的是：(ACD)
A、子弹克服阻力做的功等于木块动能的增加与摩
擦生的热的总和
B、木块对子弹做功的绝对值等于子弹对木块做的功
C、木块对子弹的冲量大小等于子弹对木块的冲量
D、系统损失的机械能等于子弹损失的动能和子弹
对木块所做的功的差
（1）光滑水平面上的A物体以速度V0去撞 击静止的B物体，A、B物体相距最近时，两 物体速度必相等(此时弹簧最短，其压缩量最 大)。
课堂练习
2、质量均为2kg的物体A、B，在B物 体上固定一轻弹簧,则A以速度6m/s碰上弹 簧并和速度为3m/s的B相碰,则碰撞中AB相 距最近时AB的速度为多少?弹簧获得的最 大弹性势能为多少？
（2）物体A以速度V0滑到静止在光滑 水平面上的小车B上，当A在B上滑行的 距离最远时，A、B相对静止， A、B两 物体的速度必相等。 V0 B
A
课堂练习
3、质量为M的木板静止在光滑的水平面 上，一质量为m的木块（可视为质点）以初 速度V0向右滑上木板，木板与木块间的动 摩擦因数为μ ，求：木板的最大速度？
A.pA'=6 kg· m/s，pB'=6 kg· m/s B.pA'=3 kg· m/s，pB'=9 kg· m/s C.pA'=-2 kg· m/s，pB'=14 kg· m/s D.pA'=-4 kg· m/s，pB'=17 kg· m/s
二、碰撞问题的典型应用
相互作用的两个物体在很多情况下，皆可 当作碰撞处理，那么对相互作用中两个物 体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰 上升到“最高点”等一类临界问题，求解 的关键都是“速度相等”。
一：碰撞问题
1：定义：碰撞是指相对运动的物体相遇时， 在极短的时间内它们的运动状态发生了显著变 化的过程。
物理学中所说的碰撞的含义是相当广泛的，比如两个物体的 碰撞，子弹射入木块，系在绳子两端的物体将松弛的绳子突 然拉紧，列车车厢的挂接，中子轰击原子核等都可以视为碰 撞。
2：特点：在碰撞过程中内力都是远远大于内力 3：满足规律：动量守恒定律
E k Mm 2 M m v0
2
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再 相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEK= f d（这 里的d为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用 上式计算ΔEK的大小。