高一数学优质期末试题(附经典解析)37

高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数的最小正周期是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的最小正周期是，计算即可．【详解】函数的最小正周期是．故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期计算问题，是基础题．2.已知集合，，则= （）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为=＝，所以选A．3.幂函数的图象经过点，则等于A. 2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把点的坐标代入幂函数中求得的值．【详解】幂函数的图象经过点，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．4.角的终边经过点，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】角的终边经过点，则，故选：C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5.已知平面向量，的夹角为，，，则等于A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量的数量积公式得：，得解．【详解】由向量的数量积公式得：，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的数量积公式，属简单题．6.下列函数中，在区间上为增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A中函数在上单调递减；B中函数在上单调递减；C中函数在上单调递减；D中函数在定义域上单调递增，从而可判断．【详解】A中函数在上单调递减，不符合题意；B中函数在上单调递减，不符合题意；C中函数在上单调递减，不符合题意；D中函数在定义域上单调递增；故D正确故选：D．【点睛】本题综合考查了基础函数单调性的判断，属于基础试题．7.设，，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系求出，再求．【详解】，由同角三角函数的正余弦平方和等于1，，．故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，，是对应三角函数值，理解记忆；是基础题．8.已知向量，，，，如果，那么实数A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由，利用向量垂直的条件能求出实数．【详解】向量，，，，，，，，解得．故选：C．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．9.2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得的值，然后根据的范围求出的范围即可判断出的正负，利用同角三角函数间的基本关系由即可求出的值．【详解】大正方形面积为25，小正方形面积为1，大正方形边长为5，小正方形的边长为1．，．两边平方得：，．是直角三角形中较小的锐角，．．故选：B．【点睛】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题本题的突破点是将已知的两等式两边平方．10.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,若g(x1)·g(x2)=9,则g(x1)=g(x2)=3, 则g（x1）=g（x2）=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,则当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|取得最大值3π.故选：C．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进行函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.11.如图，在中，，，，，，，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】向量的坐标表示及运算可得：，，，由，，，可得：，，，所以，，得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则有，，，由，，，可得：，，，所以，，所以，故选：D．【点睛】本题考查了向量的坐标表示及运算，属简单题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.12.已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可，【详解】由得则或，作出的图象如图，则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两个根，当时，，有1个根，则必须有，有5个根，设，由得，若，由得，或，有一个根，有两个根，此时有3个根，不满足条件．若，由得，有一个根，不满足条件．若，由得，有一个根，不满足条件．若，由得，或或，，当时，，有一个根，当时，，有3个根，当时，，有一个根，此时有个根，满足条件．故，即实数a的取值范围是，【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键综合性较强，难度较大．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得：,即∴函数的定义域为故答案为：14.等于______．【答案】3【解析】【分析】进行分数指数幂和对数的运算即可．【详解】原式．故答案为：3．【点睛】考查分数指数幂和对数式的运算，对数的运算性质.15.与是夹角为的单位向量，则等于______．【答案】【解析】【分析】计算，再得出的值．【详解】，．．故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．16.已知函数，，若，则实数a的取值范围______．【答案】【解析】【分析】设，则为R上的奇函数，且为增函数；把不等式化为，得出关于a的不等式，求出解集即可．【详解】设，，则，又，为R上的奇函数，且为增函数；由，不等式可化为，即，，，，解得．的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.设全集，集合，．当时，求．若，求实数m的取值范围．【答案】（1）或；（2）-3≤m≤0.【解析】【分析】（1）当m=-1时，可得：A={x|-2＜x＜4}，解指数不等式得：B={x|2-1＜2x＜22}={x|-1＜x＜2}，由集合的交集、补集运算得：∁U B=，A∩（∁U B）;（2）由A∪B=A，则B⊆A，集合间的包含关系，则有，解得：-3≤m≤0，得解【详解】（1）当m=-1时，可得：A={x|-2＜x＜4}，又B={x|2-1＜2x＜22}={x|-1＜x＜2}，所以∁U B=或，所以A∩（∁U B）=或．（2）由A∪B=A，则B⊆A，又A={x|m-1＜x＜m+5}，则有，解得：-3≤m≤0，【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的交集、补集运算，集合间的包含关系，属简单题．18.已知函数，的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（1）；（2）（）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据图像与x轴的交点可求得，进而求得；然后根据函数图像过点(，0)可得，过点(0，1)可得A＝2，即可求得解析式f (x)＝2sin(2x＋)；（Ⅱ）用换元法即可求得g(x)的单调递增区间是(k∈Z).试题解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期，所以，因为点(，0)在函数图象上，所以Asin(2×＋φ)＝0，即sin(＋φ)＝0.又因为0＜φ＜，所以，从而＋φ＝π，即.又点(0，1)在函数图象上，所以，得A＝2，故函数f (x)的解析式为f (x)＝2sin(2x＋)．（Ⅱ）由，得，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z).考点：1.正弦型函数解析式的求法；2.三角函数的单调性.19.知点，，，O为坐标原点．若，求的值；若，求的值．若，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】由向量共线的坐标运算得：易得，则;由数量积的坐标运算得：，由，得，所以，所以;由正切函数的二倍角公式及，可得化简得：，得：，得解．【详解】，因为，有，得，则，，由，得，即，所以，所以，所以，由，可得化简得：，从而，可得：，，即，【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算、数量积的坐标运算及正切函数的二倍角公式，属中档题．(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.20.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在弧上（异于点)，过点做，垂足分别为，记，四边形的周长为.（1）求关于的函数关系式；（2）当为何值时，有最大值，并求出的最大值.【答案】（1）；（2）时，.【解析】试题分析：（1）利用直角三角形中的三角函数定义得到相关边长，利用周长公式和三角恒等变换进行求解；（2）利用三角函数的性质进行求解.试题解析：（1），，（2），，当时，，所以时，.21.已知函数是奇函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）试判断函数在（，）上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）增函数（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）是奇函数∴，代入整理得（Ⅱ）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出，说明函数是增函数（Ⅲ），结合单调性由0得对任意恒成立.，求解试题解析：（Ⅰ）由题意可得：=∵是奇函数∴即∴，即4分即（Ⅱ）设为区间内的任意两个值，且，则，，∵==即∴是上的增函数. 10分（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，是上的增函数，且是奇函数.∵0∴=∴13分即对任意恒成立.只需==，解之得16分考点：1.函数奇偶性；2.函数单调性；3利用单调性解不等式22.若函数和满足：在区间上均有定义；函数在区间上至少有一个零点，则称和在上具有关系W．若，，判断和在上是否具有关系W，并说明理由；若和在上具有关系W，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）根据[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在区间[a，b]上具有关系G．利用特殊值但判断出即可；（2）根据在区间[a，b]上具有关系G的性质，结合x∈[1，4]，利用二次函数的性质，讨论m即可．【详解】（1）f（x）和g（x）在[1，3]具有关系G．令h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣2，∵h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0；故h（1）•h（2）＜0，又h（x）在[1，2]上连续，故函数y=f（x）﹣g（x）在区间[1，2]上至少有一个零点，故f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系G；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=2|x﹣2|+1﹣mx2，当m≤0时，易知h（x）在[1，4]上不存在零点，当m＞0时，h（x）=，当1≤x≤2时，由二次函数知h（x）在[1，2]上单调递减，故，故m∈[，3]，当m∈（0，）∪（3，+∞）时，若m∈（0，），则h（x）在（2，4]上单调递增，而h（2）＞0，h（4）＞0；故没有零点；若m∈（3，+∞），则h（x）在（2，4]上单调递减，此时，h（2）=﹣4m+1＜0；故没有零点；综上所述，若f（x）=2|x﹣2|+1和g（x）=mx2在[1，4]上具有关系G，则m∈[，3]．【点睛】本题主要考查函数新定义的理解以及不等式的求解，二次函数的性质讨论，属于中档偏难的题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些。