线性代数-期末试题(经管类)-高兵龙
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。
<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。
<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
线性代数期末考试题库资料大全
.-期末考试一试题线性代数 I一、填空 （ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。
2、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性有关， t =。
13、 A 是 2 方 ， B 是 3 方 ， | A| 2，|B| 4， ||A| 1B | =。
4、若 A 是 3 方 ，且 2IA ，I A ， IA 均不行逆，A 的特点。
5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取 范 是。
二、 （ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位 ，。
A 、 A 2AB 、A 2IC 、A 2I D 、A 2A2、 A 是 4 方 ， A 的队列式 |A| 0， A 中。
A 、必有一列元素全 零B、必有两列元素 成比率C 、必有一列向量是其他列向量的 性 合D、任一列向量是其他列向量的 性 合3、 1 是 A 的特点 ， 。
A 、1是A 2的特点B 、2 是2A 的特点AAC 、2是A 2的特点 D、1 是2A 的特点AA4、 向量1，2，⋯ ,n 的秩 r， 此向量 中。
A 、随意 r 个向量 性没关B 、随意 r 个向量 性有关C 、随意 r1个向量 性有关D、随意 r1个向量 性有关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。
2 412 02 21 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3C 、2 43D 、4260 66333666三、 算队列式： （ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩 方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3， 4 性没关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，此中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数， 向量 1 ， 2 ，3 性没关。
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
《线性代数(经管类)》期末考试试题
《线性代数(经管类)》期末考试试题第一大题：单项选择题1、设行列式=1 , =2, 则= ( )A.—3B.—1C.1D.32、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（）A.—1B.C.D.13、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=____A.B.C.D.4、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（）A.B.C.D.5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（ A ）A.A的列向量组线性无关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的行向量组线性相关6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（）A.B.C.D.7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则 | |= ( )A.B.C.7D.128、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（）A.B.C.D.9、二次型的矩阵为（）A.B.C.D.10、设A为三阶方阵且|A|=-2,则（）A.—108B.—12C.12D.10811、如果方程组有非零解,则 k=（）A.—2B.—1C.1D.212、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）A.AB=BAB.C.D.13、设A为四阶矩阵，且 |A|=2 则（）A.2B.4C.8D.1214、设可由向量 =（1，0，0）=（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是( )A.（2，1，1）B.（—3，0，2）C.（1，1，0）D.（0, —1,0）15、向量组的秩不为S（）的充分必要条件是（）A.全是非零向量B.全是零向量C.中至少有一个向量可以由其它向量线性表出D.中至少有一个零向量16、设A为矩阵，方程=0仅有零解的充分必要条件是（）A.的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关17、设A与B是两个相似 n 阶矩阵，则下列说法错误的是（）A.|A|=|B|B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆阵P，使P—1AP=BD.E-A = E- B18、与矩阵A= 相似的是（）A.B.C.D.19、设有二次型则（）A.正定B.负定C.不定D.半正定20、设行列式D= =3，D1=，则D1的值为（）A.—15B.—6C.6D.1521、设矩阵 = ，则（）A.a=3,b= -1,c=1,d=3B.a= -1,b=3,c=1,d=3C.a=3,b= -1,c=0,d=3D.a= -1,b=3,c=0,d=322、设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）A.B.C.D.23、设A为n阶方阵，n≥2，则 |-5A| =（）A.B.-5|A|C.5|A|D.24、设A=,则=( )A.-4B.-2C.2D.425、向量组,(S>2)线性无关的充分必要条件是( )A.均不为零向量B.中任意两个向量不成比例C.中任意s-1个向量线性无关D.中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示26、A.B.C.D.27、设3 阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A28、设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（）A.B.C.2D.429、二次型的秩为（）A.1B.2C.3D.430、设3 阶方阵A=[ ,,]，其中（=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[+, ,]|=（）A.-2B.0C.2D.631、若方程组有非零解，则k=（）A.-1B.0C.1D.232、设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（）A.|AB|=|A| |B|B.(AB)-1=B-1A-1C.(A+B)-1=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT33、设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.B.1C.2D.434、已知向量组A：中线性相关，那么（）A.线性无关B.线性相关C.可由线性表示D.线性无关35、向量组的秩为r，且r<s，则（）A.线性无关B.中任意r个向量线性无关C.中任意r+1个向量线性相关D.中任意r-1个向量线性无关36、若A与B相似，则（）A.A，B都和同一对角矩阵相似B.A，B有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|37、设，是=b的解，η是对应齐次方程=0的解，则（）A.B.C.D.38、下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（）A.B.C.D.39、设A= ，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（）A.正定B.负定C.半正定D.不定40、3 阶行列式 =中元素的代数余了式 =（ C ）A.-2B.-1C.1D.241、A.B.C.D.42、A.B.C.D.43、设3阶矩阵A=，则的秩为（）A.0B.1C.2D.344、设,,,是一个4维向量组，若已知可以表为,,的线性组合，且表示法惟一，则向量组,,,的秩为（）A.1B.2C.3D.445、设向量组线性相关，则向量组中（）A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合46、设是齐次线性方程组=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A.B.C.D.47、若2 阶矩阵A 相似于矩阵B= ，E为2 阶单位矩阵，则与矩阵 E-A 相似的矩阵是A.B.C.D.48、A.B.C.D.49、若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.350、设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是( )A.B.C.D.51、已知=3，那么 =( )A.-24B.-12C.-6D.1252、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是( )A.B.C.D.53、A.B.C.D.54、A.B.C.D.55、若四阶方阵的秩为3，则( )A.A为可逆阵B.齐次方程组Ax=0有非零解C.齐次方程组Ax=0只有零解D.非齐次方程组Ax=b必有解56、设A为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程=0存在非零解的充要条件是( )A.A的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关57、下列矩阵是正交矩阵的是( )A.B.C.D.58、二次型A.A可逆B.|A|>0C.A的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于059、设矩阵A= 正定，则( )A.k>0B.K0C.k>1D.K 1第二大题：填空题1、设A为m×n 矩阵，C是n 阶可逆矩阵，矩阵A的秩为 r，则矩阵B=AC的秩为_________.2、设向量,,,则由线性表出的表示为______3、已知3元齐次线性方程组有非零解,则=_____4、设A为n 阶可逆矩阵,已知 A 有一全特征为2,则必有一个特征值为______5、二次型的秩为_________6、若则 K = _________7、设A为矩阵,且方程组=0 的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ____8、已知A有一个特征值-2,则B=+ 2E 必有一个征值_______9、向量组=(1,0,0) =(1,1,0) = (-5,2,0) 的秩是_______10、设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1 , 且B与A相似,则|2B | =_________11、行列式 = ___________12、设矩阵A= , 若齐次线性方程组=0 有非零解，则数 t= ________13、已知向量组=,=,=的秩为2，则数t=______14、已知向量=, 与的内积为2，则数K=________15、设向量为单位向量，则数b=______16、已知=0 为矩阵 A= 的2重特征值，则A的另一特征值为________17、已知二次型正定，则数 k 的取值范围为_______18、设A为三阶方阵且|A|=3 则 |2A| = _____19、已知=（1，2，3），则 |T| = ______20、设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程=0的基础解系所含向量的个数是____21、设有向量=(1，0，—2），=(3，0，7），=(2，0，6），则，，的秩是 ______22、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则 |A+E| = ____23、设与的内积（，）=2 ，‖‖=2 ，则内积（2+，—）= ______24、已知3阶行列式=6 ，= _____25、设3阶行列式的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则=_____26、设向量组=(,1,1), =(1,—2,1) , =(1,1,—2)线性相关，则数=_____27、设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为,,则数 K =_____28、已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则 |B+E|=____29、若_______30、向量组____31、向量正交，则 t=_____32、若矩阵A= 与矩阵B= 相似，则 x = _____33、20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到的是正品的概率为______.第一大题：单项选择题1：D2：B3：B4：D5：A6：A7：A8：A9：C10：D11：B12：D13：C14：B15：C16：C17：D18：A19：C20：C21：C22：B23：A24：B25：D26：D27：D28：A29：D30：C31：A32：C33：C34：B35：C36：D37：B38：D40：C41：A42：D43：B44：C45：A46：B47：C48：D第二大题：填空题1：r2：3： 24：1/45： 26：1/27：18：69： 210：—1611：012： 213：—214：2/315：017：K > 2 18：24 19：0 20：3 21：2 22：24 23：—8 24：1/6 25：—4 26：—2 27：—1。
(完整word版)线性代数期末考试试题答案解析合集
XXX 大学线性代数期末考试题、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分)1 -3 11.若 05 x =0，则-12 -2| /..X| x 2x 3 = 02 .若齐次线性方程组 +h x 2 +x3 =0只有零解，则 乙应满足X ! +x 2 +x 3 =05. n 阶方阵A 满足A 2-3A-E=0，则A 」= ___________________ 。
二、 判断正误(正确的在括号内填“V” ，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分)1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则 D 0 o ()2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
()3. 向量组a 1? a 2, , a m 中，如果a 1与a m 对应的分量成比例，则向量组a 1? a 2, , a s 线性相关。
()0 1 1 04. A =0 0 卫05. 若■为可逆矩阵A 的特征值，则 A ，的特征值为■ o ()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且A =2，则|AA^= ( )o①2n② 2n4③2n 1④42. n 维向量组〉2,…,s (3 - s _n )线性无关的充要条件是()。
①:-1,' 2 , , 〉s 中任意两个向量都线性无关②-■1,' 2,, 〉s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 0 0_0 01 “)，贝y A =Ao (0 11 03.已知矩阵A , B ,C = (C j )s n ，满足AC 二CB ，则A 与B 分别是 ________________ 阶矩阵。
a ii4 .矩阵 A = a 21 l a31ai2a 22的行向量组线性a32」③-■1,' 2, , 〉s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④:-1,- 2, , 〉s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是（）。
线性代数期末试题及答案
线性代数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(2, 1, 0)，则α·β等于：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 设A为n阶方阵，且A^2=I，则A的行列式|A|等于：A. 1B. -1C. 0D. 2答案：A4. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量线性相关还是线性无关？A. 线性相关B. 线性无关C. 线性独立D. 不能确定答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵B为2阶方阵，且B^2=0，则称矩阵B为______。
答案：幂零矩阵2. 若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B为______。
答案：可交换矩阵3. 设向量α=(1, 2)，β=(3, 4)，则向量α和β的夹角的余弦值为______。
答案：3/54. 设矩阵A为3阶方阵，且A的特征值为1, 2, 3，则矩阵A的迹为______。
答案：6三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述矩阵的转置矩阵的定义。
答案：矩阵A的转置矩阵记为A^T，其元素满足A^T_{ij}=A_{ji}，即A^T的第i行第j列的元素是A的第j行第i列的元素。
2. 什么是线性方程组的齐次解？答案：线性方程组的齐次解是指当方程组的常数项全为零时，方程组的解，通常表示为零向量。
3. 说明矩阵的相似对角化的条件。
答案：矩阵A相似对角化的条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵A的阶数。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\]，求矩阵A的行列式。
答案：|A| = 1*4 - 2*3 = -22. 设线性方程组为：\[\begin{matrix} x + 2y - z = 1 \\ 3x - y + 2z = 2 \\ x + y + z = 3 \end{matrix}\]求方程组的解。
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β1 − β 2
2
3 2
D . k1α 1 + k 2 ( β 1 − β 2 ) +
1 1
β1 + β 2
2
三、 分）计算行列式 D = （8
2 3 5 9 −1 2 5 −2 1 0 −1源自3共4页第 2 页
4 2 3 （1）计算 AAT ； （2）( A − 2I )−1 ； （3）求矩阵 X 。 四、 分）设 A= 1 1 0，且 AX = A + 2 X 。 （10 −1 2 3
五、 （12 分） k 取何值时，线性方程组 − x1 + kx2 + x3 = k 2 有唯一解、无解、有无穷多组解？并在有
x − x + 2 x = −4 3 1 2
x1 + x2 + kx3 = 4
无穷多解的情况下，求出其通解。
六、 （10 分）求下列向量组的秩与它的一个极大线性无关组，并用极大无关组表示该组中的其余向量。
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西安交通大学城市学院考试卷
课 姓 程 名 线性代数 类别班号 学 号
成绩
考试日期 2010 年 6 月 3 日 期中 期末
一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1 −4 2 1.行列式 3 . 3 2 = 302 297 203
2 1 −1 2.设 D = 1 1 1 ，则 A31 + A32 + A33 = 4 −1 0
） .
10.已知 β1 , β 2 为 AX = b 的两个不同的解，α1 , α 2 为其齐次方程组 AX = 0 的基础解系， k1 , k 2 为任意 ）. 常数，则方程组 AX = b 的通解可表成（ β − β2 β + β2 A . k1α 1 + k 2 (α 1 + α 2 ) + 1 B . k1α 1 + k 2 (α 1 − α 2 ) + 1 2 2 C . k1α 1 + k 2 ( β 1 + β 2 ) +
α1 = (1, −2, −1, 0, 2)T , α 2 = (−2, 4 , 2, 6, −6)T , α 3 = (2, −1 , 0, 2, 3)T ,
α 4 = ( 3, 3 , 3, 3 , 4)T .
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2 x1 − x 2 + 3 x3 − x 4 = 1 3x − 2 x − 2 x + 3x = 3 1 2 3 4 七、(12 分)给定线性方程组 x1 − x 2 − 5 x3 + 4 x 4 = 2 7 x1 − 5 x2 − 9 x3 + 10 x4 = 8
λx1 + x 2 + x3 = 0 7.若齐次线性方程组 x1 + λx 2 + x3 = 0 有非零解,则 λ = （ x + x + λx = 0 2 3 1
）.
D .－1 或－2
A .1 或 2 B .1 或－2 C .－1 或 2 8.n 阶矩阵 A 的秩等于 r 的充分必要条件是 A 中（
.
6. A 、 A 分别为线性方程 组 AX = b 的系数矩阵 与增广 矩阵，则线性 方程组 AX = b 有解的充 分必要条件是 .
2 − 3 1 7.设 A = 1 a 1 ，且秩(A)=2，则 a = 5 0 3
8.设 A 为三阶方阵, 且 A = 3 , 则 2 A−1 = .
（1） 利用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵， 并表达出线性方程组的一般解； （2） 求出该线性方程组的一个特解和其导出组的一个基础解系， 表示出线性方程组的全部解。
八、 分）设 α1 , α 2,α 3 为 Ax = 0 的基础解系。证明 β1 = α1 + 2α 2 ， β 2 = 2α 2 + 3α 3 ， β 3 = 3α 3 + α1 也 （8 是 Ax = 0 的基础解系。
A. A = B A. A + B = 0 B.A= I B . r ( A） r ( B） = C.B = I
） .
）.
D . AB = BA
4.设 A、B 均为 n 阶矩阵，满足 AB = O ，则必有（
）.
D. A = 0或 B = 0
C.A=O或B =O
5.设 3× 3 阶 矩 阵 A = (α 1 , β , γ ) ，B = (α 2 , β , γ ) ， 中 α1 , α 2 , β , γ 均 为 3 维 列 向 量 ， A = 2 ，B = −1 ， 其 若 则 A+ B =（ ）. ）.
.
T T 9.向量组α1 = (1, 2, −1,1)T , α 2 = ( 2,0,3,0) , α 3 = (−1,2,−4,1) 的秩等于
. .
10.设 α1 , α 2 是 n(n ≥ 3) 元齐次线性方程组 AX = O 的基础解系，则 r ( A) = 二、选择题（每小题 2 分，共 20 分）
.
1 7 −1 2 0 −1 T 3.设 A= 1 3 2 , B =4 2 3 , 则 ( AB) = 2 0 1
4.设 A 2 + A − 5 I = 0 ，则 ( A + 2 I ) −1 = .
.
1 2 − 1 5.已知矩阵 A = 0 2 1 ， A* 是 A 的伴随矩阵，则 ( A * ) −1 = 0 0 1
A.4 B .− 4 C .2 D .1 6.设 AX = B 为n 个未知数m 个方程的线性方程组，r ( A) = r , 下列命题中正确的是（ A .当 m = n 时， AX = B 有唯一解 B .当 r = n 时， AX = B 有唯一解 C .当 r = m 时， AX = B 有解 D .当 r < n 时， AX = B 有无穷多解
a x 1.已知 A = x 1 y 0 y 0 ，则 A 中元素 a 的代数余子式 A11 等于（
）.
1
A . −1
B .1
C .− a
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D.a
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2.已知 4 阶矩阵 A 的第三列的元素依次为1,3,−2,2 ， 它们的余子式的值分别为 3,−2,1,1 ， A =（ 则 A .3 B .−3 C .5 D.−5 3. A, B 均为 n 阶矩阵，且 ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 ，则必有（
A .所有的 r 阶子式都不等于零 C .有一个 r 阶子式不等于零
）.
B .所有的 r + 1 阶子式都不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有r + 1 阶子式都等于零
9.设向量组α1 = (1, a, a2 )T , α2 = (1, b, b 2 )T , α3 = (1, c, c 2 )T ， α 1 , α 2 , α 3 线性无关的充分必要条件是 （ 则 A . a, b, c 全不为 0 B . a, b, c 不全为 0 C . a, b, c 互不相等 D . a, b, c 不全相等