2018年4月线性代数(经管类)试题

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线性代数(经管类)参考答案

参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，，导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解，故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体五号单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。

自考4184线性代数(经管类)历年真题及答案

自考4184线性代数(经管类)历年真题及答案篇一：2021年4月全国自考线性代数(经管类)试卷参考答案2021年4月全国自考线性代数（经管类）试卷参考答案篇二：2021年4月自学考试04184线性代数(经管类)试卷及答案2021年4月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列举的四个对备选项中只有一个选项就是合乎题目建议的，恳请将其代码核对在题后的括号内。

错选、多挑选或未选均无分。

1、设行列式d1=a1a2b1b2，d2=a1a22b1?3a1，则d2=【】2b2?3a2a.-d1b.d1c.2d1d.3d12、若a=10x??202，b=??42y??，且2a=b，则【】211a.x=1，y=2b.x=2，y=1c.x=1，y=1d.x=2，y=23、已知a是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与a等价的是【】100100100100a.000b.010c.000d.0100000000010014、设2阶实等距矩阵a的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（e+a）x=0的基础卢播所含解向量的个数为【】a.0b.1c.2d.35、矩阵31???存有一个特征值为【】1?3??a.-3b.-2c.1d.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分后，共20分后）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6、设a为3阶矩阵，且a=3，则3a?1.21*7、设a=??35??，则a=.??8、未知a=10??1?11?，b=，若矩阵x满足用户ax=b，则x=.21??112?9、若向量组?1?(1，2，1)t，?2?(k-1，4，2)t线性相关，则数k=.x12x2ax3010、若齐次线性方程组?2x1?x2?x3?0存有非零求解，则数a=.3xxx023111、设立向量?1?(1，-2，2)t，?2?(2，0，-1)t，则内积（?1,?2）=.12、向量空间v={x=(x1，x2，0)t|x1，x2?r}的维数为.13、与向量（1，0，1）t和（1，1，0）t均拓扑的一个单位向量为.14、矩阵12的两个特征值之积为.23??22215、若虚二次型f(x1，x2，x3)=x1?ax2?a2x3?2x1x2正定，则数a的值域范围就是.三、计算题（本大题共7小题，每小题9分后，共63分后）2116、排序行列式d=111311114111的值.1517、设2阶矩阵a的行列式a?1?1*，谋行列式(2a)?2a的值.20101118、设矩阵a=??111?，b=?20?，矩阵x满足x=ax+b，求x.10?15?3?19、求向量组?1?(1,2,1)t,?2?(2,5,1)t,?3?(?1,3,?6)t,?4?(3,?1,10)t的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.x1ax2a2x33a220、利用克拉默法则解线性方程组?x1?bx2?b2x3?3b2，其中a,b,c两两互不相同.22xcxcx3c1231a100021、已知矩阵a??a31?与b??010?相似，求数a,b的值.11100b22、用正交变换化二次型f(x1,x2)?5x1?5x2?4x1x2为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题7分后）23、设a，b均为n阶矩阵，且a=b+e，b2=b，证明a可逆.2021年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.c2.a3.d4.c5.b二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）516.97.328.1?11??9.3130?11310.-211.012.213.??1,1,1?t或1,1,1?t14.-115.a＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）1311131121110?5?1?16.解d=?（5分）??11410?23011150?2045?1?1=22300?74（9分）41*?1，所以a对称，于是a?aa（3分后）217.求解由于a?故(2a)?1?2a*?1?1a?2aa?1（6分）22139?3?=a?1?a?1?a?1a?1?（9分后）222?2?18.解由x?ax?b，化为?e?a?x?b，（4分）21??1?10??01?1而e?a??10?1?对称，且?e?a321?（7分后）3??10??20?11?。

线性代数(经管类)综合习题集(精心整理)

．
14. 设矩阵
的秩为 2，则 t = t=3
．
15. 设向量＝(6 ，8，0) ， =(4 ，–3，5) ，则( , )= 0
．
16. 设 n 元齐次线性方程组 Ax = o，r ( A)= r < n，则基础解系含
有解向量的个数为 n-r
个.
17. 设＝(1 ，1，0) ，＝(0 ，1，1) ， =(0 ，0，1) 是 R3 的基，则 =(1 ，2，3) 在此基下的坐标为 (1,1,2) .
D.若 r (
)= r (
) ，则两向量组等价 .
6. 向量组 ( C) ．
线性相关的充分必要条件是
A.
中至少有一个零向量
B.
中至少有两个向量对应分量成比例
C.
中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D 组
有两个极大无关组
与
，则下列成立的是 ( C ) ． A. r 与 s 未必相等 B. r + s = m
小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11. 行列式
24 .
12. 设 A 为三阶矩阵， | A|=-2 ，将矩阵 A 按列分块为
，其中
是 A的第 j 列，
, 则| B|= 6 .
13. 已知矩阵方程 AX=B，其中 A=
，B=
，则 X=
. 14. 已知向量组 2，则 k = -2 .
的秩为
是齐次线性方程组 Ax=o 的
三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为
( D ).
A．
B
．
C．
D．
6. 向量
线性相关, 则
( C ).
A．k =-4 B ．k = 4 C ．k =-3 D ．k = 3

04184 线性代数(经管类)

13、已知
A
相似与
=
-1 0
0 2 ，则 A-E =-2
11 1 14、 3 5 6 =6。
9 25 36
15、设 A 为正交阵，则 A 1
16、 ( AB)T BT AT
17、设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=2，则|2A|= 16
18、设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则|A|= 0。
解：设 A 和 A 分别为方程组的系数矩阵和增广矩阵．对 A 施以初等行变换： 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1
A 2 2 2 2 2 1 0 0 4 2 0 1 5 5 9 8 4 5 0 0 6 2 1 0
1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 0 0 4 2 0 1 0 0 2 0 1 1 ． 0 0 2 0 1 1 0 0 0 2 2 3
2
7、设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为 AT 8、向量空间V {(x, y, 0)T R3, x, y R} 的维数等于 2。 9、向量空间V 的一组基就是向量组V 的一个极大线性无关组 10、二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 +6x22 +4x32 是正定二次型 11、设1 ， 2 ，…， n 为 n 阶矩阵 A 的行（列）向量组，则向量组1 ， 2 ，…， n 线性相关的充分必要条件是 A 0 12、若行列式 D 中有两行（列）元素对应相等，则 D 的值为 0
1 1 23
0 1 3
22、设 A 0 1
0 2
2
，B
0
6
1
1 23
1

2018年10月自考04184线性代数(经管类)试题及答案含评分标准

2018年10月自考04184线性代数(经管类)试题及答案含评分标准编辑整理：
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1
2018年10月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数(经管类) 试卷
(课程代码04184）
本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项：
1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑. 3．第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号,使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答.
4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。

第一部分选择题
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。

在每小题列出的备选项中
只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。

2
3
4
5
6
7
8
9。

2018年4月自考《线性代数(经管类)》真题(完整试卷)

.
11. 设向量组1 (1, 2, 1)T，，2 (0, 4,5)T 3 (2, 0,t)T 的秩为 2，则
t
.
12. 已知1 (1, 0, 1)T，2 (3, 1,5)T 是 3 元非齐次线性方程组 Ax b 的
两个解，则对应齐次线性方程组 Ax b 有一个非零解 =
222
A31 +A32 +A33 =
.
7. 已知矩阵 A (1, 2, 1), B (2, 1,1) ，且 C AT B, 则 C
.
8.
设
A
为
3
阶矩阵，且
|
A
|
=

1 3
，则行列式

1 2
A
1

3 A*

.
0 0 1 2016 1 2 3 0 1 0 2017
20.设线性方程组
x1 2x2 3 x2x2 x3x3b 2 2x1 3x2 ax3 4
确定 a，b 为何值时方程组由无穷多解，并求出其通解（要求用其一
个特解和导出组的基础解系表示）。
3
21.已知

=
0
是矩阵
A

a1b1 a2b1
a1b2 a2b2
9.

0 1
1 0
0 0

4 7
5 8
6 9

1 0
0 0
0 1

=
.
10.设向量 (1, 0, 0)T 可由向量组1 (1,1, a)T，，2 (1, a,1)T 3 (a,1,1)T 线

04184线性代数(经管类)习题集及答案

西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称: 工商企业管理专业代码: Y020202第一部分习题一、选择题3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题319、关于初等矩阵下列结论成立的是（）A,都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为1 C.相乘仍为初等矩阵D.相加仍为初等矩阵\ 2、10、设2阶矩阵A=「），则人=（）第一部分习题一、选择题1、若〃阶方阵A 的秩为r,则结论（A. IAWOB. IAI=OC. 2、下列结论正确的是（）A.若 AB=0,则 A=0 或 B=0. C.两个同阶对角矩阵是可交换的. 3、下列结论错误的是（）A. n+1个n 维向量一定线性相关. C. n 个n 维列向量/。

D. n n4,/>/?B. D. B. ）成立。

D. r< n若 AB=AC,则 B 二C AB 二 BA n 个n+1维向量一定线性相关一,%线性相关,则同％…= 0 若同％…%| =。

则。

a x a 2 a ya\a2 %4、若 A b? b 3=m ,则2bl 2b 2 2b3=( )G 5 c 33cj 3c2 3c35、设 A, B, C 均为 n 阶方阵,AB=BA, AC=CA,则 ABC=( )6、二次型/（占,々/3）= *：+工；+4事工2-2々工的秩为（）A 、0 B. 1C 、2D 、37、若A 、B 为，邛介方阵，下列说法正确的是（）A 、若A,B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A, B 都是可逆的，则A8是可逆的C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的D 、若A+B 是可逆的，则A, B 都是可逆的A. 6mB. -6mC. 2333m D. -2333/n[3 4J4 一2、f-4 31 （-4 2 ] （ 4 一3、Ax B% C、I D、1-3 1 ）U -1J 13 -1J 1-2 1 J11、设片,外是非齐次线性方程组AX = A的两个解，则下列向量中仍为方程组4X = 77解的是（）A、月+旦B、4-色C,汽& D、吟也12、向量组囚,。

全国4月自考04184线性代数经管类真题

2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷课程代码：04184一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设行列式D 1=2211b a b a ，D 2=2221113232a b a a b a --，则D 2= 【】A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 12、若A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1x 1021，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y 24202，且2A =B ，则【】 A.x=1，y=2 B.x=2，y=1C.x=1，y=1D.x=2，y=23、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是【】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000100014、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础解系所含解向量的个数为【】A.0B.1C.2D.35、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3113有一个特征值为【】 A.-3 B.-2 C.1 D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A= . 7、设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5312，则A *= . 8、已知A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= .10、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++030202321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数a = .11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= .12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 .13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量为 .14、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3221的两个特征值之积为 . 15、若实二次型f(x1，x2，x3)=2123222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是.三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16、计算行列式D =5111141111311112的值.17、设2阶矩阵A 的行列式21=A ，求行列式*12)2(A A +-的值.18、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .19、求向量组T T T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、利用克拉默法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232212322123221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两两互不相同.21、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111311a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00010000相似，求数b a ,的值.22、用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题7分）23、设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2=B ，证明A 可逆.。

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2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184线性代数（经管类）试卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式
121
2
1a a b b =-，
则12
12
1212
a a a a
b b b b +-=+-
A. 2-
B. 1-
C. 1
D.2
2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a
3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+-
4. 设矩阵300
00
00000120022B ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪- ⎪
⎝⎭
，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4
5. 设矩阵120240001A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则二次型T
x Ax 的规范型为
A. 222123z z z ++
B. 222123z z z +-
C. 2212z z -
D.22
12z z +
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

6. 设3阶行列式11
1213
21
222312
2
2
a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则
313233++=A A A .
7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T
C A B = 则C = .
8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1
*
132A A -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .
9.2016
2017
001123010010456100=100789001⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
.
10.
设
向
量
(1,0,0)T
β= 可由向量组
123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则
a 的取值应满足 .
11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T
t ααα=-=-=，，的秩为2，则
t = .
12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T
ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b =
的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3
λ-
为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵2
23E A - 必有一个特征值为 .
14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2
A = .
15.设二次型22
111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围
是 .
三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。

16. 计算4阶行列式2
300123001230
1
2
D --=
-- .
17. 设1234
0000
000000
0a a A a a ⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，其中0 (1,2,3,4),i a i ≠= 求1A - . 18. 设3阶矩阵A 与B 满足2
,AB E A B +=+ 其中111120211A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，
求矩阵B.
19. 求向量组
1234(2,1,31)31,2,0)(1,3,42)(4,3,1)T T T T
αααα=-=-=-=-，，（，，，，，1的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示。

20.设线性方程组
1223
23123232234
x x x x x x b x x ax +=⎧⎪-+=-⎪⎨
-=⎪⎪++=⎩ 确定a ，b 为何值时方程组由无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。

21.已知=0λ是矩阵11
121321
222331
32
33a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
（其中110,0a b ≠，）的一个特征值，求A 的属于特征值=0λ的全部特征向量。

22.求正交变换x Qy = ，将二次型
222
123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++化为标准形。

四、证明题（本题7分）
23.设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，
12ξξ，为导出组0Ax =的两个线性无关的解，证明向量组12ηηξηξ++，，线性无关。