2020年中考数学与圆相关的计算题专题训练(无答案)

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2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题(附答案)

2020年中考数学几何部分考点圆专项训练题（附答案）一、单选题（共7题；共21分）1.已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（）A. 点A在⊙O内B. 点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D. 不能确定2.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a>b），则此圆的直径为（）A. B. C. 或 D. 或3.在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（）A. E，F，GB. F，G，HC. G，H，ED. H，E，F4.⊙O的半径为4，点P是⊙O所在平面内的一点，且OP=5，则点P与⊙O的位置关系为（）A. 点P在上B. 点P在外C. 点P在内D. 以上都不对5.下列说法中不正确的是（）A. 若点A在半径为r的⊙O外，则OA＜rB. 相切两圆的切点在两圆的连心线上C. 三角形只有一个内切圆D. 相交两圆的连心线垂直平分其公共弦6.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在坐标轴上确定点P，使△AOP为等三角形，则符合条件的点P的个数共有（）A. 10个B. 8个C. 4个D. 6个7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm，AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D二、填空题（共2题；共10分）8.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为________9.已知∠APB=90°，以AB为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是________．三、解答题（共2题；共14分）10.仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形．11.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．答案一、单选题1.A2.D3. A4.B5.A6.B7. A二、填空题8.3cm或8cm9.点P在⊙O上三、解答题10.解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形．11.解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°∴∠A=90°﹣∠B=65度．∵CA=CD∴∠CDA=∠CAD=65°∴∠ACD=50°即弧AD的度数是50度．。

中考数学专题二题型六与圆有关的证明与计算

1. 已知切线例2 (2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．【分析】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明 ∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，于是可得到DE⊥AC； (2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
8. (2020·北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点， CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F. (1)求证：∠ADC＝∠AOF；
(2)若 sin C＝13 ，BD＝8，求 EF 的长．
(1)证明：连接OD，如解图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD，∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴ ∠ CDO ＝ 90° ， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED； (2)若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED；
3. (2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F， ∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)求证：AD＝ID； (3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．

2020中考数学专项解析：与圆有关的计算

即 BA⊥ AE
∴ AE 是⊙ O 的切线 …………………………………………………………
5分
B C
D
O
A
E
（3）如图，连结 OC ∵OB=OC, ∠ ABC=60°∴△ OBC是等边三角形
∴OB=BC=4 , ∠ BOC=60°
∴∠ AOC=120°………………… 7 分
∴劣弧 AC 的长为 120 4 8 180 3
R ，解
答案： B
点评：已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系，可得到圆锥底面半径和母线长的关系，
从而利用圆锥侧面展开图的弧长 =底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度
数．
9. （浙江省衢州， 9，3 分）用圆心角为 120 °，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽 ( 如图所示 ) ，则这个纸帽的高是 ( )
则阴影部分图形的面积为
A． 4π C
B． 2π
C．π
2π D．
3
A
B
O
D 图2
【解析】如下图所示，取 AB 与 CD 的交点为 E，由垂径定理知 CE＝ 3 ，而∠ COB＝ 2
∠CDB＝ 60°，所以 OC＝ CE ＝ 2，OE＝ 1 OC＝ 1，接下来发现 OE＝ BE，可证△ OCE≌△
sin 60
180
14（. 2011 山东省聊城， 14 ，3 分）在半径为 6cm 的圆中，60 o圆心角所对的弧长为
cm.
( 结果保留 π )
60 6
解析：根据弧长公式 l
2.
180
答案： 2
点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系 .
14．( 重庆，14，4 分 ) 一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的.1 弧长和扇形面积 18. （山东泰安， 18 ， 3 分）如图， AB 与⊙ O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙ O于点 C，连接

2020中考数学专题练习：圆的综合题(含答案)

2020中考数学专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)．(1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CPAC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM .(1)求证：AC ＝DC ；(2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∴∠AOD ＝2∠AOC ，∵∠AOD ＝2∠OBD ，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴BD ∥CM ；(3)解：∵BD ∥CM ，∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，∵OD ＝OB ＝OM ，∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，∵∠DOC ＝2∠DMO ，∴∠DOC ＝2∠BDM ，∴∠B ＝2∠BDM ，如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OEAE ＝EF ，∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ，∵sin B ＝45， ∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45， ∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ， ∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ， ∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x ＝255. 3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB，∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，∴∠BAC ＝∠EBC ，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)，∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数；(2)求证：AE 2＝EF ·ED ；(3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝36°，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ，∴AG 垂直平分BC ，∴AG 过圆心O ，∵AD ∥BC ，∴AD ⊥AG ，∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2.6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB， ∴PF ＝AP ·BE AB，在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠PAD ＝∠BOE ， ∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB， ∴PD ＝AP ·BE OB， ∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC 的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，又∵∠COD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠BAC ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°，即OB ⊥BD ，又∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FCFG＝ABOB＝2，∴FGFC＝12.8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．第8题图 (1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3. 类型三与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC， ∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②，将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0，即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③，将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

人教版中考数学2020 圆的有关计算及证明狂练29题,有答案可编辑

1 / 60专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O 中按如下步骤作图：（1）作⊙O 的直径AD ；（2）以点D 为圆心，DO 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C 两点；（3）连接DB ，DC ，AB ，AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A ．∠ABD ＝90°B ．∠BAD ＝∠CBDC ．AD ⊥BCD ．AC ＝2CD2．（2020•海淀区一模）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若OC =12OA ，则∠C 等于（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧DE ，交射线OB 于点F ，连接CF ；（2）以点F 为圆心，CF 长为半径作弧，交弧DE 于点G ；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG4．（2020•石景山区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（2020•西城区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）2/ 603 / 60A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√6527．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（）A ．2.5B ．4C ．5D ．108．（2020•朝阳区一模）如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．4/ 6011．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．5/ 606 / 6015．（2020•密云区一模）如图，AB 为⊙O 直径，点C 为⊙O 上一点，点D 为AC ̂的中点，且OD 与AC 相交于点E ，若⊙O 的半径为4，∠CAB ＝30°，则弦AC 的长度为．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为BC ̂中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若EF ＝4，sin ∠F =35，求⊙O 的半径．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；7/ 608 / 60（2）若tan ∠ACB =12，求线段BP 的长．21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ．（1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC 中，∠OAB ＝90°，OA ＝OC ，BA ＝BC ．以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若AD ̂=AC ̂， ①补全图形； ②求证：OF ＝OB ．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．9/ 6025．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．10/ 6027．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．11/ 6029．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到∠=︒，22.5B∆中，90A某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC 延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．Array专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）12/ 60A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，̂=CD̂，∴BD∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．13/ 60故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．14/ 603．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；15/ 6016 / 60若CG ＝OC ＝OG ，则△OCG 是等边三角形， ∴∠COG ＝60°，∴∠AOB =12∠COG ＝30°，故B 选项正确； ∵OC ＝OE ，FC ＝FG ，∴OF 垂直平分CG ，故C 选项正确； ∴CG ＝2MG ＜2FG ，故D 选项错误；故选：D ．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出17 / 60【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°，在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，理由：在△ACB 和△ACE 中，18 / 60{AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径；故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB 是直径，19 / 60∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°，故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt△OBD中，OD=√(√5)2−22=1，∵将弧BĈ沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴AĈ=CD̂，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF=√(√5)2−12=2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）20/ 6021 / 60A ．2.5B ．4C ．5D ．10【分析】首先根据垂径定理和CD 的长求得CE 和DE 的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B ＝∠C ，根据正切的定义求得AE 和BE 的长即可求得答案．【解答】解：∵AB ⊥CD ，CD ＝4， ∴CE ＝DE ＝2，∵∠B ＝∠C ，tan C =12， ∴tan B =12， ∴AE ＝1，BE ＝4， ∴AB ＝AE +BE ＝1+4＝5，故选：C ．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误的是（）A ．∠ABC ＝70°B ．∠BAD ＝80°C ．CE ＝CDD ．CE ＝AE【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°22/ 60∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．【分析】①连接OC，根据作图过程可得AĈ=AD̂，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，23/ 60①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，̂=AD̂，∴AC根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．24/ 60方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，∴tan∠OBC=OD BD，∴BD=ODtan30°=√333=3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB=OD CD=√35．25/ 6026 / 60故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，BE ＝1寸，CD ＝1尺，那么直径AB 的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．【分析】连接OC ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，设OC ＝OA ＝x 寸，则AB ＝2x 寸，OE ＝（x ﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．27/ 60【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．28/ 6029 / 60【分析】作直径AD ，如图，先判断NM 为△CAB 的中位线得到MN =12AB ，再根据圆周角定理得到∠ACD ＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD ＝4√3，由于AB ＝AD 时，AB 的值最大，从而得到MN 的最大值．【解答】解：作直径AD ，如图， ∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ∴NM 为△CAB 的中位线，∴MN =12AB ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°， ∵∠ADC ＝∠ABC ＝60°∴CD =√33AC ＝2√3， AD ＝2CD ＝4√3，当AB ＝AD 时，AB 的值最大，∴AB 最大值为4√3，MN 的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB 为⊙O 直径，点C 为⊙O 上一点，点D 为AĈ的中点，且OD 与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．30/ 6031 / 60【分析】（1）如图，连接BC ，OD ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，求得OD ⊥BC ，得到OD ⊥EF ，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE ＝3，AF ＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵EF ⊥AE ，∴BC ∥EF ，∵点D 为BC ̂中点，∴OD ⊥BC ，∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；32 / 60（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35， ∴AE ＝3，AF ＝5，∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ，∴OD AE =OF AF ，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ，∴r 3=5−r 5，解得r =158，∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF 是⊙O 的直径，进而判断出OE ∥BC ，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE ，再判断出BE ＝AE ，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，33/ 60在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=√EF2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，34/ 6035 / 60依题意补全图形．证明：∵等边△ABC ，∴AB ＝AC ，∴AB ̂=AC ̂，∵AD 过圆心O ，由垂径定理，∠AEC ＝90°，∵DF ∥BC ，∴∠ADF ＝90°，∴DF 与⊙O 相切．（2）解：连接DC ，∵等边△ABC ，∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴DC=2√3，∵∠DCF＝90°，∠F＝60°，∴CF＝2．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只要证明CD⊥OC即可．（2）连接AC，BD交于点E．求出BE，再根据BD＝2BE可得结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OB＝OC，∠B＝45°，∴∠BCO＝∠B＝45°．36/ 60∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD＝∠BOC＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：连接AC，BD交于点E．∵AB是直径，AB＝8，∴∠ACB＝90°．∴BC=AC=4√2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE=12AC=2√2，∴BE=√BC2+CE2=√40=2√10，∴BD=2BE=4√10．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．37/ 6038 / 60（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠ACB =12，求线段BP 的长．【分析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质可得∠ACB ＝∠ABC ，∠OBP ＝∠OPB ＝∠CP A ，由余角的性质可求∠ABO ＝90°，可得结论；（2）过点O 作OD ⊥BP 于D ，设AP ＝x ，AC ＝2x ，由勾股定理可求AP ＝2，AC ＝4，由勾股定理可求CP 的长，通过证明△ACP ∽△DOP ，可求PD 的长，由等腰三角形的性质可求BP 的长．【解答】证明：（1）连接OB ，则OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB ＝∠CP A ，∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ，∵OA ⊥l ，∴∠OAC ＝90°，∴∠ACB+∠CP A＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，∵tan∠ACB=APAC=12，∴设AP＝x，AC＝2x，∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x，∵AO2＝OB2+AB2，∴25＝（5﹣x）2+4x2，∴x＝2，∴AP＝2，AC＝4∴OB＝OP＝3，∴CP=√AC2+AP2=√16+4=2√5，∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD，39/ 6040 / 60∴△ACP ∽△DOP ，∴PD PA =OP CP =OD CA ，∴PD =OP⋅PA CP=35√5， ∵OB ＝OP ，OD ⊥BP ，∴BP ＝2PD =6√55． 21．（2020•石景山区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作▱OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F ．（1）求证：AF ⊥CF ；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan ∠OCB ＝3，⊙O 的半径是5，求BD 的长．【分析】（1）连接OC ，如图，根据平行四边形的性质得到DC ∥OB ，DC ＝OB ，推出四边形OCDA 是平行四边形，得到AF ∥OC ，根据切线的性质得到∠OCQ ＝90°，于是得到结论；（2）过点B 作BN ⊥OC 于点N ，如图，根据平行四边形的性质得到BD ＝2BH ，CH =12CO =52．tan∠NCB =BN CN=3，设CN ＝x ，BN ＝3x ，求得ON ＝5﹣x ．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC ，如图，∵四边形OBCD 是平行四边形，∴DC∥OB，DC＝OB，∵AO＝OB，∴DC∥AO，DC＝AO，∴四边形OCDA是平行四边形，∴AF∥OC，∵直线PQ与⊙O相切于点C，OC是半径，∴∠OCQ＝90°，∴∠AFC＝∠OCQ＝90°，即AF⊥CF；（2）解：过点B作BN⊥OC于点N，如图，∵四边形OBCD是平行四边形，∴BD＝2BH，CH=12CO=52．在Rt△BNC中，tan∠NCB=BNCN=3，设CN＝x，BN＝3x，∴ON＝5﹣x．41/ 60在Rt△ONB中，（5﹣x）2+（3x）2＝52，解得x1＝0（舍），x2＝1．∴BN＝3x＝3，HN=52−x=32．在Rt△HNB中，由勾股定理可得BH=3√5 2．∴BD=2BH=3√5．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD̂=AĈ，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．42/ 60【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，43/ 60∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，̂=CD̂，∴AD̂=AĈ，∵AD̂=CD̂=AĈ，∴AD∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．出答案；44/ 6045 / 60 （2）①按题意画出图形即可；②连接OB ，OC ，证明AE ⊥BC ．可得出AE ⊥EF ，则结论得证；③得出∠BOD ＝60°，设OD ＝x ，则OB ＝OE ＝2+x ，得出cos ∠BOD =OD OB =x 2+x =12，求出x ＝2，得出tan ∠BAD =EF AE =EF 8=√33，则可求出EF 的值．【解答】解：（1）如图所示：⊙O 即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB ，OC ，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，∵DE＝2，设OD＝x，∴OB＝OE＝2+x，在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，46/ 60∴cos∠BOD=ODOB=x2+x=12，∴x＝2，∴OD＝2，OB＝4，∴AE＝8，在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，∴tan∠BAD=EFAE=EF8=√33，∴EF=8√3 3．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．【分析】（1）依据几何语言进行画图即可；（2）连接OD．求得∠FDO＝90°，即可得到直线EF是⊙O的切线；（3）连接AD．依据△ABD∽ADE，即可得到AE＝3.2．设BF＝x，则OF＝2.5+x，AF＝5+x．再根据△ODF∽△AEF，即可得到BF=45 7．47/ 60【解答】解：（1）如图所示：（2）相切，理由如下：如图，连接OD．∵点D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠F AE．∴OD∥AE．∴∠FDO＝∠E．∵AE⊥EF，∴∠E＝90°．∴∠FDO＝90°．∴直线EF是⊙O的切线．（3）如图，连接AD．∵AB是⊙O的直径，48/ 6049 / 60 ∴∠ADB ＝90°．∵AB ＝5，BD ＝3，∴AD ＝4．∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽ADE ，∴AE AD =AD AB ，∴AE ＝3.2．设BF ＝x ，则OF ＝2.5+x ，AF ＝5+x ．∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ，∴OD OF =AE AF ，∴ 2.52.5+x =3.25+x ，解得x =457．∴BF =457．25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明DE⊥OD即可．（3）首先证明OF＝2OD，推出∠OFD＝30°，解直角三角形求出OD，OF，PF即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：连接OD．∵OD＝OP，∴∠ODP＝∠OPD，50/ 60。

2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）

2020-2021学年九年级中考专题复习：与圆相关的计算（含答案）2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算⼀、选择题1. 将圆⼼⾓为90°，⾯积为4π cm 2的扇形围成⼀个圆锥的侧⾯，则此圆锥的底⾯圆的半径为( )A . 1 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 4 cm2. 如图在等边三⾓形ABC 中，将边AC 逐渐变成以BA 为半径的AC ︵，其他两边的长度不变，则∠ABC 的度数由60°变为( )图A ．(180π)°B ．(120π)°C ．(90π)°D ．(60π)°3. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD 于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π) ( )A .8-πB .16-2πC .8-2πD .8-π4. （2020·聊城）如图，有⼀块半径为1m ，圆⼼⾓为90°的扇形铁⽪，要把它做成⼀个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的⾼为（）A ．41mB ．43mC ．415m D ．23m5. 如图，在边长为4的正⽅形ABCD 中，以点B 为圆⼼，AB 长为半径画弧，交对⾓线BD于点E ，则图中阴影部分的⾯积是(结果保留π)( )A ．8－πB ．16－2πC ．8－2πD ．8－12π6. 2019·唐⼭乐亭期末如图，圆锥的底⾯半径OB ＝6 cm ，⾼OC ＝8 cm ，则这个圆锥的侧⾯积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 27. （2020?宁夏）如图，等腰直⾓三⾓形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝，以点C为圆⼼画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的⾯积是（）A ．1﹣B ．C ．2﹣D ．1+8. 如图所⽰，矩形纸⽚ABCD 中，AD ＝6 cm ，把它分割成正⽅形纸⽚ABFE 和矩形纸⽚EFCD 后，分别裁出扇形BAF 和半径最⼤的圆，恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，则AB 的长为( )A ．3.5 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm⼆、填空题9. 在半径为5的圆形纸⽚上裁出⼀个边长最⼤的正⽅形纸⽚，则这个正⽅形纸⽚的边长应为 .10. 若圆锥的侧⾯积是15π，母线长是5，则该圆锥底⾯圆的半径是________．11.(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆⼼⾓60AOB ?∠=，则阴影部分⾯积为________．12. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所⽰的恒星图形，那么这个恒星图形的⾯积等于 .13. （2020·宿迁）⽤半径为4，圆⼼⾓为90°的扇形纸⽚围成⼀个圆锥的侧⾯，则这个圆锥的底⾯半径为．14. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的⾯积是________．15. (2019?⼗堰)如图，AB 为半圆的直径，且6AB =，将半圆绕点A 顺时针旋转60?，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的⾯积为__________．16. （2020·宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为边AD 上⼀个动点，连接BP ，线段BA 与线段BQ 关于BP 所在的直线对称，连接PQ ．当点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积为．三、解答题17. 如图，四边形ABCD 是正⽅形，以边AB 为直径作☉O ，点E 在BC 边上，连接AE 交☉O 于点F ，连接BF 并延长交CD 于点G . (1)求证:△ABE ≌△BCG. (2)若∠AEB=55°，OA=3，求的长.(结果保留π)18. 当汽车在⾬天⾏驶时，司机为了看清楚道路，要启动前⽅挡风玻璃上的⾬刷．如图是某汽车的⼀个⾬刷的转动⽰意图，⾬刷杆AB 与⾬刷CD 在B 处固定连接(不能转动)，当杆AB 绕点A 转动90°时，⾬刷CD 扫过的⾯积是图中阴影部分的⾯积，现量得CD ＝90 cm ，∠DBA ＝20°，AC ＝115 cm ，DA ＝35 cm ，试从以上信息中选择所需要的数据，求出⾬刷扫过的⾯积．QPDCBA19. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上的⼀点，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD ，垂⾜为D ，AD 交半圆O 于点E ，连接CE.(1)判断CD 与半圆O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若E 是AC ︵的中点，半圆O 的半径为1，求图中阴影部分的⾯积．20. 如图，A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，连接AC ，CE ，EB ，BD ，DA ，得到⼀个五⾓星图形和五边形MNFGH. (1)计算∠CAD 的度数； (2)连接AE ，求证：AE ＝ME.21. 如图所⽰，圆锥的底⾯圆的半径为10 cm ，⾼为10 15 cm.(1)求圆锥的全⾯积；(2)若⼀只⼩⾍从底⾯上⼀点A 出发，沿圆锥侧⾯绕⾏到母线SA 上的点M 处，且SM ＝3AM ，求它所⾛的最短路程．22. (2019?辽阳)如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，连接AE ，AD ，DE ，过点A 作射线交BE 的延长线于点C ，使EAC EDA ∠=∠． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若23CE AE ==，求阴影部分的⾯积．2020-2021中考专题复习：与圆相关的计算-答案⼀、选择题1. 【答案】 A 【解析】设扇形的半径为R ，根据题意得90·π·R 2360＝4π，解得R ＝4，设圆锥的底⾯圆的半径为r ，则2πr ＝90·π·4180，解得r ＝1，即所围成的圆锥的底⾯圆的半径为1 cm.2. 【答案】A [解析] 设变形后的∠B ＝n °，AB ＝AC ︵的长＝a .由题意可得n 180π·a ＝a ，解得n ＝180π.3. 【答案】C[解析]在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD=AB=4，∠BAD=90°，∠ABE=45°，∴S △ABD =·AD ·AB=8，S 扇形ABE ==2π，∴S 阴影=S △ABD -S 扇形ABE =8-2π.故选C .4. 【答案】C 【解析】先利⽤弧长公式求得圆锥的底⾯半径，再利⽤勾股定理求圆锥的⾼．设圆锥形容器底⾯圆的半径为r ，则有2πr ＝180190?π，解得r ＝41，则圆锥的⾼为22)41(1-＝415(m)．5. 【答案】C [解析] 在边长为4的正⽅形ABCD 中，BD 是对⾓线，∴AD ＝AB ＝4，∠BAD ＝90°，∠ABE ＝45°，∴S △ABD ＝12AD·AB ＝8，S 扇形BAE ＝45·π·42360＝2π，∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形BAE ＝8－2π. 故选C.6. 【答案】B7. 【答案】A8. 【答案】B [解析] AF ︵的长＝14·2π·AB ，右侧圆的周长为π·DE.∵裁出的扇形和圆恰好能作为⼀个圆锥的侧⾯和底⾯，∴14·2π·AB ＝π·DE ，∴AB ＝2DE ，即AE ＝2DE.∵AE ＋DE ＝AD ＝6，∴AB ＝4.故选B.⼆、填空题9. 【答案】5 [解析]如图，已知☉O ，圆内接正⽅形ABCD.连接OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正⽅形的边长为a ，由垂径定理及正⽅形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE 2+BE 2=OB 2，即2+2=52，解得a=5.10. 【答案】3 [解析] 设该圆锥底⾯圆的半径是r ，则πr×5＝15π，解得r ＝3.11. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形⾯积的计算，解题的关键是熟记扇形⾯积的计算公式．阴影部分⾯积为26066360ππ?=，故答案为：6π．12. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正⽅形的边长为1+1=2，∴恒星的⾯积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.13. 【答案】1【解析】解法⼀：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意得2πr ＝904180π?，解得r ＝1，故答案为1．解法⼆：设这个圆锥的底⾯半径为r ，由题意904360r ? =?，解得r ＝1，故答案为1．14. 【答案】3π【解析】∵△ABC 是⊙O 的内接正三⾓形，∴∠AOB ＝2∠C ＝2×60°＝120° ，∵⊙O 的半径为3，∴阴影部分的⾯积S 扇形OAB ＝120×π×32360＝3π.15. 【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的⾯积为：22260π6π(62)π(62)6π36022÷?÷+-=，故答案为：6π．16. 33π．【解析】如答图，图中阴影部分的⾯积即为点P 从点A 运动到点D 时，线段PQ 在平⾯内扫过的⾯积．∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3ABC ＝∠BAC ＝∠C ＝∠Q ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ＝∠ODB ＝∠OBQ ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ ≌△DOC ．S 阴影部分＝S 四边形ABQD －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S △BOQ －S 扇形ABQ ＝S 四边形ABOD ＋S△COD －S 扇形ABQ＝S矩形ABCD－S扇形ABQ＝1×3－2 1201360π?＝33π-．故答案为33π-．三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD是正⽅形，AB为☉O的直径，∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC，∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°，∴∠EBF=∠BAF，在△ABE与△BCG中，∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°，∴∠BAE=90°-55°=35°，∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3，∴的长==.18. 【答案】解：由题意可知△ACD≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD处，使阴影部分⾯积成为⼀部分环形⾯积，可通过两扇形⾯积之差求得，即⾬刷CD 扫过的⾯积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：⾬刷扫过的⾯积为3000π cm2.19. 【答案】解：(1)CD 与半圆O 相切．证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AD. ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD. ⼜∵OC 为半圆O 的半径，∴CD 与半圆O 相切． (2)连接OE. ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，∴EC ︵＝BC ︵. ⼜∵E 是AC ︵的中点，∴AE ︵＝EC ︵＝BC ︵，S ⼸形AE ＝S ⼸形CE ，∴∠BOC ＝∠EOC ＝60°.⼜∵OE ＝OC ，∴△OEC 是等边三⾓形，∴∠ECO ＝60°，CE ＝OC ＝1. 由(1)得OC ⊥CD ，∴∠OCD ＝90°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝12，DC ＝32，∴S 阴影＝S △DEC ＝12×12×32＝38.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴∠COD ＝360°5＝72°，∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵，∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°，∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.21. 【答案】解：(1)SA ＝102＋（1015）2＝40(cm)， S 全＝S 底＋S 侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2)．故圆锥的全⾯积是500π cm2.(2)如图，设圆锥的侧⾯展开图为扇形SAA′，点M 对应扇形上的点M′，圆锥侧⾯展开图(扇形)的圆⼼⾓为n°.由题意，得SM′＝SM ＝34SA ＝34×40＝30(cm)．⼜∵S 侧＝10π×40＝n360π×402，∴n ＝90，∴∠ASM′＝90°.由勾股定理，得AM′＝SA2＋SM′2＝402＋302＝50(cm)．即它所⾛的最短路程是50 cm.22. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE 于F ，∴90AFO ∠=?，∴90EAO AOF ∠+∠=?，∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠，∵12EDA AOE ∠=∠，∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=?，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=?，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线． (2)∵23CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=?，∴30EAC ∠=?，60EAO ∠=?，∴OAE △是等边三⾓形，∴OA AE =，60EOA ∠=?，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 3OF OA EAO =?∠==，∴11322AOE S AE OF ===△∴阴影部分的⾯积=2π-。

专题22与圆的有关解答题(共50题)-2020年中考数学真题分项汇编【全国通用】

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）一．解答题（共50小题）1．（2020•铜仁市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC ，CE ⊥AB 于点E ，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE ＝∠BCD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝8，BE CE=12，求CD 的长．2．（2020•温州）如图，C ，D 为⊙O 上两点，且在直径AB 两侧，连结CD 交AB 于点E ，G 是AC ̂上一点，∠ADC ＝∠G ．（1）求证：∠1＝∠2．（2）点C 关于DG 的对称点为F ，连结CF ．当点F 落在直径AB 上时，CF ＝10，tan ∠1=25，求⊙O 的半径．3．（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD 分别交OC ，BC 于点E ，F ，其中点E 是AD 的中点．（1）求证：∠CAD ＝∠CBA ．（2）求OE 的长．4．（2020•嘉兴）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．5．（2020•湖州）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．（1）求证：∠CAD＝∠ABC；̂的长．（2）若AD＝6，求CD6．（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BĈ于点D，过点D 作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．7．（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．8．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）试证明DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝6√10，求此时DE的长．9．（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．̂的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．10．（2020•金华）如图，AB（1）求弦AB的长．̂的长．（2）求AB11．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，AĈ=CD̂=DB̂，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．12．（2020•泸州）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．13．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，．求证：．14．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD 相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．15．（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：̂上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长如图，点D是BC线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：̂上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组（1）根据点D在BC对应值．BD/cm0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0CD/cm8.07.77.2 6.6 5.9a 3.9 2.40FD/cm8.07.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.78.0操作中发现：①“当点D为BĈ的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为y CD和y FD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数y FD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数y CD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．16．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．18．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EĈ=BĈ，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．19．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．20．（2020•淮安）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．21．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．22．（2020•辽阳）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．23．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．24．（2020•天津）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．25．（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．26．（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．27．（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．28．（2020•天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O 为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝2√3，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．29．（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．30．（2020•武威）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE＝AB．（1）求∠ACB的度数；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．31．（2020•福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD̂上不与B，D重合的点，sin A=1 2．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3√3，求证：DF与⊙O相切．32．（2020•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，且AE＝AC．（1）试判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，求阴影部分的面积．33．（2020•临沂）已知⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2．以O 1为圆心，以r 1+r 2的长为半径画弧，再以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接O 1A ，O 2A ，O 1A 交⊙O 1于点B ，过点B 作O 2A 的平行线BC 交O 1O 2于点C ．（1）求证：BC 是⊙O 2的切线；（2）若r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，求阴影部分的面积．34．（2020•山西）如图，四边形OABC 是平行四边形，以点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AB 相切于点B ，与AO 相交于点D ，AO 的延长线交⊙O 于点E ，连接EB 交OC 于点F ．求∠C 和∠E 的度数．35．（2020•广元）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，OA 平分∠BAC 交BC 于点O ，以O 为圆心，OC 长为半径作圆交BC 于点D ．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．36．（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．37．（2020•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D 的切线互相垂直，垂足为E．（1）求证：AD平分∠BAE；（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．38．（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为5，sin B=35，求ED的长．39．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．40．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．41．（2020•哈尔滨）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为9√25，求线段CG的长．42．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．43．（2020•陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究̂上一点，且PB̂=2PÂ，连接AP，BP．∠APB的平（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．44．（2020•北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC＝∠AOF；（2）若sin C=13，BD＝8，求EF的长．45．（2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．46．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．47．（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s 的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形OPCQ的面积．48．（2020•乐山）如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是AĈ上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分AĈ；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O 的切线．49．（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B=43，求⊙O的半径；（3）若F 是AB 的中点，试探究BD +CE 与AF 的数量关系并说明理由．50．（2020•甘孜州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．（1）求证：∠CAD ＝∠CAB ；（2）若AD AB =23，AC ＝2√6，求CD 的长．。

2020年中考数学《圆》专项典型试题训练及答案1

设 OC＝OA＝x 寸，则 AB＝2x 寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26 寸，即直径 AB 的长为 26 寸． 16．证明：（1）连接 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，点 C 是的中点，∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC 是△ABD 是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD， ∵点 B 在⊙O 上，∴BD 是⊙O 的切线；
∵AB 是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BE， ∵AB＝AE，∴∠BAE＝2∠BAF， ∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°， ∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠BAF，∴∠BAE＝2∠EBD．（2）解：作 EH⊥BD 于 H． ∵∠BAF＝∠EBD，∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，
延长线于点 D，在 AD 上取一点 E，使 AE＝AB，连接 BE，交⊙O 于点 F．请补全图形并解决下面的问题：（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；（2）如果 AB＝5，sin∠EBD＝．求 BD 的长．
14．如图，P 是所对弦 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 交于点 C，取 AP 中点 D，连接 CD．已知 AB＝6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，C．D 两点间的距离为 ycm．（当点 P 与点 A 重合时，y 的值为 0；当点 P 与点 B 重合时，y 的值为 3）小凡根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小凡的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：

2020-2021中考数学专题复习测试：圆(含解析)

OD ⊥ EF
于 D.
在 △EOF 中,OE=OF ,OD ⊥EF , ∴∠ FOD= 30°. 在 Rt△DOF 中 ,OD=OF ·cos30°= 2√3 3×√23= 1, ∴边心距为 1. 7.C [解析 ] 由题意可知 ,☉O 是正方形 ABCD 的外接圆 ,过圆心 O 点作 OE⊥ BC 于 E,连结 OC,
∴∠ COP= 58°,
∵ CP 与圆相切于点 C,∴OC⊥ CP,
∴在 Rt △OCP 中 ,∠ P= 90°-∠ COP= 32°,
故选 A .
6.B
[解析 ] 如图 ,连结
OB,OC,作 OH ⊥ BC 于 H,设 △ABC 的边长为
a,则
S△ABC=
√3 a 2,
4
∴
√3 4
a2=
√3,
解得 a= 2 或 a=- 2(舍 ),∴ BC= 2.
∴∠ CAM= ∠ BMD.
∵∠ ACM= ∠ BDM= 90°,∴ △ACM ∽△ MDB ,
???? ????
∴ ????= ???,?∴ CM ·DM= 3×1= 3, ∴ CM=DM= √3.④正确 . 综上所述 ,结论正确的有①②④ .
14.解 :(1)DE 与☉ O 相切 ,理由如下 : 连结 OD ,∵ D 为 ????的? 中点 ,∴ ????=?????,? ∴ AD=DC ,
∴ △DCE ∽△ BAD ,
∴
????
=
????
,
???? ????
∵半径为 5,∴AC= 10,
∵ D 为 ????的? 中点 ,
∴ AD=CD= 5√2 ,
∴
CE=
???·?????
=

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总及答案解析

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总及答案解析一、圆的综合1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD 是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B 为弧CD 中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB ，∵∠DBE=∠DBA ，∴△DBE ∽△ABD ， ∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=o ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O e ．()1求证：BC 是O e 的切线；()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=．【解析】【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO V ∽BCA V ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．【详解】()1证明：连接OD ，如图，AD Q 平分BAC ∠，12∴∠=∠，OA OD =Q ，23∴∠=∠，13∴∠=∠，//OD AC ∴，AC BC ⊥Q ，OD BC ∴⊥，BC ∴是O e 的切线；()2解：在Rt ACB V 中，22345AB =+=，设O e 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-， //OD AC Q ，BDO V ∴∽BCA V ，OD ∴：AC BO =：BA ，即r ：()35r =-：5，解得158r =， 158OD ∴=，258OB =，在Rt ODB V 中，2252BD OB OD =-=， 32CD BC BD ∴=-=，在Rt ACD V 中，312tan 132CD AC ∠===， AE Q 为直径，90ADE ∴∠=o ，90EDB ADC ∴∠+∠=o ，190ADC ∠+∠=o Q ，1EDB ∴∠=∠，1tan 2EDB ∴∠=．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．3．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接PA ，PB ，PC ．将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.(1)设AB 的长为a ，PB 的长为b(b<a)，求△PAB 旋转到△P'CB 的过程中边PA 所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC 的长.【答案】(1) S 阴影=(a 2-b 2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB 逆时针旋转90°可与△PAB 重合，此时阴影部分面积=扇形BAC 的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C 是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC 的长．试题解析：（1）∵将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置，∴△PAB ≌△P'CB ，∴S △PAB =S △P'CB ，S 阴影=S 扇形BAC -S 扇形BPP′=（a 2-b 2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．4．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠ABE=33，CD=2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O3【解析】分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下：连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE．又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED，∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=， ∴23DC BD sin CBD ∠==，在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AE AE BC AB ，，=∴=∴=，由勾股定理求得6BE =．在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =32，方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=．设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AE AE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为32．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．5．(8分)已知AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB ，弦DC 与OB 交于点F ，在直线AB 上有一点E ，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA=，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．6．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是»AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若CF OF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若CFOF＝k，求12SS的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)72；(3)12SS=211k kk+++.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得BFGF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出12S S 的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HFHB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF ==由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12， ∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12，在Rt △BHF 中， BF=由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OF CB BF =，即211GO k k k =+++， ∴GO 21k k =++，过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB ＝30°∴PC ＝12CD ， ∵点E 是CD 中点，∴DE ＝12CD ， ∴PC ＝DE ，∵DE ⊥OE ， ∴12S S =BF GO =22111k k k k k +++++=211k k k +++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．7．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（22，1322，13）．【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．试题解析：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（﹣，），（，）．考点：圆的综合题．8．如图所示，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，点P 沿BA 方向，从点B 运动到点A ，速度为1cm/s ，若10AB cm ，点O 到AC 的距离为4cm ．（1）求弦AC 的长；（2）问经过多长时间后，△APC 是等腰三角形．【答案】（1）AC=6；（2）t=4或5或145s 时，△APC 是等腰三角形；【解析】【分析】（1）过O 作OD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求得AD 的长，再利用垂径定理即可求得AC 的长；（2）分AC=PC 、AP=AC 、AP=CP 三种情况求t 值即可.【详解】（1）如图1，过O 作OD ⊥AC 于D ，易知AO=5，OD=4，从而AD==3，∴AC=2AD=6；（2）设经过t 秒△APC 是等腰三角形，则AP=10﹣t①如图2，若AC=PC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，∵∠A=∠A ，∠AHC=∠ODA=90°，∴△AHC ∽△ADO ，∴AC ：AH=OA ：AD ，即AC ：=5：3，解得t=s ， ∴经过s 后△APC 是等腰三角形；②如图3，若AP=AC，由PB=x，AB=10，得到AP=10﹣x，又∵AC=6，则10﹣t=6，解得t=4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP=CP，P与O重合，则AP=BP=5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t=4或5或s时，△APC是等腰三角形．【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．9．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．⑴若OC＝2，则AC的长为；⑵试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；⑶连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴222；⑵见解析；⑶y=2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=22,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ；（3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =22x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC ⊥AB∴△DOC 为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴2，∴AC=AO-OC=222.⑵ 连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F .∵OP ⊥AB ,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD ，∵△DOC 为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO ，∴DC=DF ，∴Rt △DAC ≌Rt △DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB ，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=12PE ∴PE =2AC（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x == ∴ AB =2OD=22x∵AB 是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE ≌△DBA∴ GE =AB =22x∵ PE =2AC∴ PE =2(2)x x -∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x -即：y =2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.10．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长；（2）若AF BF =，求O e 的半径；（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.【答案】(1)42CE =；(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r =610，解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC=，即12108GE =，解得即可．【详解】(1)如图，连结OE .∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∵8AC =，O e 半径为2，∴6OC =，2OE =.∴2242CE OC OE =-=；(2)设O e 半径为r .在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，∴226BC AB AC -=. ∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∴OEC ACB ∠=∠，∴OEC BCA ∆~∆. ∴OE OC BC BA =， ∴8610r r -=，解得3r =.∴O e 的半径为3；(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB CG =.又CE CB =，∴CE CG =.∴EGC GEC ∠=∠.∵CE 切O e 于E ，∴90GEC OEG ∠+∠=︒.又90EGC GMC ∠+∠=︒，∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠，∴OEG OME ∠=∠.∴OE OM =.∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.连结AE 、BE ，∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒.又CE CB CG ==，∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒，∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，∴GBE ABC ∆~∆.∴GB GE AB AC =，即12108GE =.∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6.【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.11．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ；（1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可．【详解】（1）证明：∵AB 为直径，∴ACB 90∠=︒， ∵CD AB ⊥于D ， ∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒，∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立，证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=，∵OC OB =， ∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒，∵CFE DFA ∠∠=，∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=，∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=， ∴CH CF =，∴EH EF =，同理DF DK =，∵DE 3=，∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==， BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==，∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，则NAK 90CMK ∠∠=︒=，∴CM //AN ，∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形，∴AG CN 6==，作OT CK ⊥于T ，则T 为CK 的中点，∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==， ∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==，设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=， ∴13a a 283++=，解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=， ∴2614CF CK 2DK 855=-=-=．【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．12．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3【详解】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，∵»»，AB AB∴∠ACB＝∠F，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠BAE＝∠F，∵∠FAB+∠F＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切于点A．（2）连接OC，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝2，∴∠AOC＝∠AOB，∵OC＝OB，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝1BC＝3，2在Rt△ABH中，AH＝22-＝1，AB BH在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4，在Rt△ABD中，AD＝22-＝22BD AB-＝23，42∴AD的长为23．【点睛】本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.13．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.14．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点.（1）求证：是小半圆的切线；（2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，.①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．15．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD=DP，OB=3，求»BD的长度；（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．【答案】（1）证明见解析（2）π（3）13【解析】试题分析：（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵AD=DP∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0∴∠P+∠DAF+∠DAB =3x o=90O∴x0=300∴∠BOD=60°，∴»BD的长度=π（3）解：连接DG，如图2所示：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∴CD=DE+CE=8，设OD=OA=x，则OE=8﹣x，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴CG=2OA=10，∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG=90°，∴DG=2222-=-=6，CG CD108∴EG=2222+=+=213.64DG DE。

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与圆相关的计算题 1.如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC ，CO 的延长线交AB
于点D
(1)求证：AO 平分∠BAC；
(2)若BC=6,sin∠BAC=5
3，求AC 和CD 的长。

2.如图,△ABC 中,BA=BC,以AB 为直径的O 分别交AC,BC 于
D,E,BE=4CE,AD=10.
(1)求证：AD=CD ；
(2)求S △ABC .
3.如图,AB 是⊙O 的直径,C,P 是AB ˆ上两点，AB=13，AC=5.
(1)如图(1),若点P 是AB ˆ的中点，求PA 的长；
(2)如图(2),若点P 是BC ˆ的中点，求PA 的长。

4.如图，AB 是⊙O 的直径，弧PB=弧PC ，AP 交BC 于点M ，且MP:MA=2:3.
（1）求CM:BM 的值；
（2）求tan ∠PMB 的值.
5.如图,BC 为⊙O 的直径,AB 为⊙O 的弦,D 为BC ˆ的中点,CE⊥AD 于
E,AD 交BC 于点F,tan∠B=2
1 (1)求证：DE=2AE ；
(2)求sin∠BFD 的值。

6.如图,⊙O 的直径AB 的长为10,弦AC 长为6,∠ACB 的平分线交O 于
D,求CD 长。

7.已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交O 于点D
(1)如图1，求证：BD=ED ；
(2)如图2,AD 为⊙O 的直径。

若BC=6,sin∠BAC=5
3,求OE 的长。

8.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆的中点，点E 是弦CD 上一
点，且AB=2CE,连接AD,BD.
(1)求证：点E 是△ABD 的内心；
(2)连接OE ，若cos ∠BAD=5
3,求sin ∠AOE 的值.
9.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切
线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E.
(1)求证：AC 平分∠BAD ；
(2)延长AB ，DC 交于点F ，点H 为AC 上一点，且∠F=2∠ABH ，若tanDAC=
2
1，求sin ∠ABH 的值.
10.如图CA ，CD 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，D ，AB 是⊙O 的直径.
(1)求证：∠C=2∠BAD；
(2)若AB=AC=2，求AD 的长.
11.如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A. B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，
连接BC ，OA.
(1)求证：∠POA=2∠PCB；
(2)若OA=3，PA=4，求tan∠PCB 的值。

12.已知AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别于⊙O 相切于
A. D 两点。

(1)如图1，若AC=4，AB=6，求tan∠B 的值；
(2)如图2,若cos∠ACB=5
3，求tan∠CBD 的值。

13.如图，AB 是⊙O 的直径，PB 、PC 是⊙O 的切线，切点为B. C ，
连接PA 交⊙O 于D ，∠BPC=2∠A.
(1)求证：CD⊥BP；
(2)求tan∠PCD 的值。

14.试证明:托勒密定理:凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，
则有 BD AC AD BC CD AB ⋅=⋅+⋅
15.请
大家推导下面相
关结论：
16.如图（1），AB为半圆O的直径，AB=4，点M为弧AB上一动点，连接AM,以点M为旋转中心，将弦MA逆时针旋转90°，得到线段MN.
(1)当AM=2时，弧AM的长为_____；
(2)当点M到直线AB的距离为1时，求点N到直
线AB的距离；
(3)如图（2），过点O作OP⊥MN于点P.
①当点P与点N重合时，求线段OP的长；
②连接AP，当∠PAO最大时，直接写出tan∠PAO的值.
17.如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
(3)如图2，延长PO交⊙O于点D，
连接DB，当CP=DB时，求证：CP
是⊙O的切线。

18.如图，在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，连接AB，CD，BC.
(1)求证：∠AOB+∠COD=180°；
(2）若AB=8，CD=6，求⊙O 的直径.
20.如图，⊙O 的直径AB=26，P 是AB 上(不与点A ，B 重合)的任一点，点C ，D 为⊙O 上的两点。

若∠APD=∠BPC ，则称∠DPC 为直径AB 的“回旋角”．
(1)若∠BPC=∠DPC=60°，则∠DPC 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)猜想回旋角”∠DPC 的
度数与弧CD 的度数的关
系，给出证明(提示：延长
CP 交⊙O 于点E)；
(3) ① 若弧CD 的长为
4
13，求“回旋角”∠CPD 的度数；
②若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长．
21.【定义】有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形。

【理解】
(1)如图1，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，连接AD ，CD. 求证：四边形ABCD 是等补四边形；
【探究】
(2)如图2，在等补四边形
ABCD 中，AB=AD ，连接AC ，
AC 是否平分∠BCD?请说明
理由。

【运用】
(3)如图3，在等补四边形
ABCD 中，AB=AD ，其外角
∠EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ，CD=10，AF=5，求DF 的长。