最新人教版高中数学选修1-1《四种命题间的相互关系》课后训练2

高中数学人教A版选修1-1优化练习1.11.1.21.1.3四种命题间的相互关系含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角D．以上均不对解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B.答案：B3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．又原命题为真，则逆否命题为真．答案：B4．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”A．1 B．2 C．3 D．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．答案：C5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()A ．如果ab 是奇数，则a ，b 都是奇数B ．如果ab 不是奇数，则a ，b 不都是奇数C ．如果a ，b 都是奇数，则ab 不是奇数D ．如果a ，b 不都是奇数，则ab 不是奇数解析：等价命题即为逆否命题，故选B.答案：B6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有_______________________________________________________个．解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC 是等腰三角形时，AB ＝AC ”为假命题，否命题“当AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC 不是等腰三角形时，AB ≠AC ”为真命题．答案：28．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”，是真命题，∴(1,2)⊆(m －1，m ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案：[1, 2]9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ；(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a 2<0.解析：(1)逆命题是：若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列，假命题；否命题是：若实数a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ，假命题；逆否命题是：若实数a ，b ，c 满足b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列，真命题．(2)逆命题：若log a 2<0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题；否命题：若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则log a 2≥0，是真命题；逆否命题：若log a 2≥0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．10．写出命题“若a ≥－14，则方程x 2＋x －a ＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解析：逆命题：若方程x 2＋x －a ＝0有实根，则a ≥－14，否命题：若a <－14，则方程x 2＋x －a ＝0无实根，逆否命题：若方程x 2＋x －a ＝0无实根，则a <－14.由Δ＝1＋4a ≥0可得a ≥－14，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题． [B 组能力提升]1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( )A ．逆命题为“单调函数不是周期函数”B ．否命题为“周期函数是单调函数”C ．逆否命题为“单调函数是周期函数”D ．以上三者都不对解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确．答案：D2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.答案：C3．命题“已知不共线向量e 1，e 2，若λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________________________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：等价命题即为原命题的逆否命题．由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．答案：已知不共线向量e 1，e 2，若λ，μ不全为0，则λe 1＋μe 2≠0 真4．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数(m ＞0且m ≠1)．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m 的取值范围是________．解析：对①当m ＝0时，1≥0，mx 2＋1≥0的解集是R ，当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝－4m ≤0，∴m ＞0， ∴①为真命题时，m ≥0.对②，∵f (x )＝log m x 是减函数，∴0＜m ＜1，而②为真命题时，0＜m ＜1.当①真②假时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＞1，即m ＞1；当①假②真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1，即m ∈∅. 答案：m ＞15．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解析：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．6.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解析：(1)如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a ⊂π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

(人教版)高中数学选修1-1(检测)1.1 命题及其关系课后提升作业二 1.1.2 Word版含解析

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课后提升作业二四种命题(分钟分)一、选择题(每小题分,共分).(·重庆高二检测)已知直线,直线,则命题“若或,则直线与平行”的否命题为( ).若≠且≠,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与不平行.若或,则直线与不平行.若≠或≠,则直线与平行【解析】选.命题“若,则”的否命题为“若﹁,则﹁”,显然“或”的否定为“≠且≠”,“直线与平行”的否定为“直线与不平行”,所以选. 【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是.【解析】将原命题中条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线与平行,则或”.答案:若直线与平行,则或.(·银川高二检测)命题“若<<,则<”的逆否命题是( ).若≥或≤,则≥.若<,则<<.若>,则>或<.若≥,则≥或≤【解析】选.若原命题是“若,则”,则逆否命题为“若﹁,则﹁”,故此命题的逆否命题是“若≥,则≥或≤”..(·吉林高二检测)命题“若△有一内角为,则△的三内角成等差数列”的逆命题( ).与原命题同为假命题.与原命题的否命题同为假命题.与原命题的逆否命题同为假命题.与原命题同为真命题【解析】选.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△的三内角成等差数列,则△有一内角为”,它是真命题..下列命题的否命题为“邻补角互补”的是( ).邻补角不互补.互补的两个角是邻补角.不是邻补角的两个角不互补.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题..“在△中,若∠°,则∠,∠全是锐角”的否命题为( ).在△中,若∠≠°,则∠,∠全不是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠不全是锐角.在△中,若∠≠°,则∠,∠中必有一个钝角。

人教A版高二数学选修1-1 专题1-1-2四种命题及其相互关

1.1.2 四种命题及其相互关系（学案）一、知识梳理我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.二、讲解新课：探究（一）：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？1．上面的四个命题都是形式的命题，可记为，其中p是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中，命题（2）的分别是命题（1）的，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互否命题．命题（4）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互为逆否命题．3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“若p则q”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题；就叫做原命题的逆否命题．4.四种命题之间的关系：5.四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.二、典例解析题型一四种命题的概念例1.命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2点评：写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．跟踪训练1. 命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”题型二命题的真假判断例2.对于下列说法正确的是( )A .若()f x 是奇函数，则()f x 是单调函数B .命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=”C .命题:,21024x p x R ∀∈>，则0:p x R ⌝∃∈，021024x <D .命题“()2,0,2x x x ∃∈-∞<”是真命题点评：在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.跟踪训练2. 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．题型三四种命题关系的应用例3.证明：若p 2 ＋ q 2＝2，则p ＋ q ≤ 2．点评：利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练3.证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．。

人教A版选修1-1教案：四种命题间的相互关系(含答案)

§1．1.2 四種命題間的相互關係【學情分析】：四種命題的關係是命題這一節的核心內容，由原命題寫出其他三種形式且引導學生探究四種命題相互間的內在的聯繫,從而引導學生探究出互為逆否命題的真假性一致.利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．【教學目標】：（1）知識目標：理解四種命題之間的相互關係，能由原命題寫出其他三種形式；理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關係；初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟。

（2）過程與方法目標：讓學生初步學會運用邏輯知識整理客觀素材，合理進行思維的方法，初步形成運用邏輯知識準確地表述數學問題的數學意識。

（3）情感與能力目標：通過對四種命題之間關係的學習，培養學生邏輯推理能力。

【教學重點】：四種命題之間的關係；【教學難點】：利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力。

四、知識建構結論：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為互逆或互否命題,它們的真假性沒有關係.在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．五．體驗與運用例1:設原命題是“當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，並分別判斷它們的真假解：逆命題“當時，若，則”．否命題“當時，若，則”．否命題為真．逆否命題“當時，若，則”．逆否命題為真．課堂練習寫出命題：“若xy = 6則x = 3且y = 2”的逆命題否命題逆否命題，並判斷它們的真假例2：證明：若022=+yx，則0==yx。

練習：已知a,b兩直線是異面直線,且點A與B,C與D分別是直線a,b 上的相異點求證:直線AC與BD必異面通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據六、小結與反思課堂小結1．寫一個命題的逆命題、否命題、逆否命題的關鍵是分清楚原命題的條件和結論,一般大前提不變．2．在命題真假性的判斷中,要借助原命題與逆否命題同真同假,逆命題與否命題同真同假,學會利用互為逆否命題的等價性,通過“正難則反”培養自己的逆向思維能力．這也是反證明法證明問題的理論依據．通過學生自己的小結，將新知識系統化、重點化。

高二数学 1、1-1-2四种命题及其相互关系同步练习新人教A版选修1-1

1.1.225”∈M，则n∉M”等价的命题是A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M[答案] D[解析] 原命题与逆否命题等价．9．有下列四个命题：1“若－＝0，则，为相等的实数”的逆命题；2“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；3“若>5，则2－3－10>0”的否命题；4“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] 1逆命题“，为相等实数，则－＝0”是真命题．2∵原命题为假，∴其逆否命题为假．3否命题“若≤5，则2－3－10≤0”，假如＝－30为假命题．4逆命题“若a、b 是无理数，则a b也是无理数”，假如a＝错误!错误!，b＝错误!，则a b＝2是有理数．10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[答案] A[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b2”1”2”1，则a>0”的逆否命题是______命题填“真”或“假”．[答案] 真12．命题“若＝3，＝5，则＋＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案] 逆命题：若＋＝8，则＝3，＝5；否命题：若≠3或≠5，则＋≠8；逆否命题：＋≠8，则≠3或≠513．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________真、假．[答案] 假[解析] 如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．14．1命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．2命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．3命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．[答案] 1偶数一定是末位是2的整数．2不是整数的数就不是有理数．3在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．三、解答题15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．1如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；2奇数不能被2整除．[解析] 1逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．2逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝错误!，b＝－错误!，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝错误!，则a＋b＝2＋错误!是无理，故逆否命题为假．17．写出下列命题的否定和否命题．1正nn≥3边形的n个内角全相等；20的平方等于0[解析] 1命题的否定：正nn≥3边形的n个内角不全相等；否命题：不是正nn≥3边形的n个内角不全相等．2命题的否定：0的平方不等于0否命题：不等于0的数的平方不等于018．判断命题“已知a，为实数，如果关于的不等式2＋2a＋1＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析] 直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析] 原命题：已知a，为实数，如果关于的不等式2＋2a＋1＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1逆否命题：已知a，为实数，如果a<1，则关于的不等式2＋2a＋1＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线＝2＋2a＋1＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝2a＋12－4a2＋2＝4a－7∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线＝2＋2a＋1＋a2＋2与轴无交点，∴关于的不等式2＋2a＋1＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。

高中数学人教A版选修1-1优化练习1.11.1.21.1.3四种命题间的相互关系含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角D．以上均不对解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B.答案：B3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．又原命题为真，则逆否命题为真．答案：B4．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”A．1 B．2 C．3 D．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．答案：C5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是()A ．如果ab 是奇数，则a ，b 都是奇数B ．如果ab 不是奇数，则a ，b 不都是奇数C ．如果a ，b 都是奇数，则ab 不是奇数D ．如果a ，b 不都是奇数，则ab 不是奇数解析：等价命题即为逆否命题，故选B.答案：B6．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0，x ＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题7．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有_______________________________________________________个．解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC 是等腰三角形时，AB ＝AC ”为假命题，否命题“当AB ≠AC 时，△ABC 不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC 不是等腰三角形时，AB ≠AC ”为真命题．答案：28．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”，是真命题，∴(1,2)⊆(m －1，m ＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案：[1, 2]9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若实数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ；(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，log a 2<0.解析：(1)逆命题是：若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列，假命题；否命题是：若实数a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ，假命题；逆否命题是：若实数a ，b ，c 满足b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列，真命题．(2)逆命题：若log a 2<0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题；否命题：若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则log a 2≥0，是真命题；逆否命题：若log a 2≥0，则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．10．写出命题“若a ≥－14，则方程x 2＋x －a ＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解析：逆命题：若方程x 2＋x －a ＝0有实根，则a ≥－14，否命题：若a <－14，则方程x 2＋x －a ＝0无实根，逆否命题：若方程x 2＋x －a ＝0无实根，则a <－14.由Δ＝1＋4a ≥0可得a ≥－14，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题． [B 组能力提升]1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( )A ．逆命题为“单调函数不是周期函数”B ．否命题为“周期函数是单调函数”C ．逆否命题为“单调函数是周期函数”D ．以上三者都不对解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确．答案：D2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.答案：C3．命题“已知不共线向量e 1，e 2，若λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__________________________________，是________命题(填“真”或“假”)．解析：等价命题即为原命题的逆否命题．由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．答案：已知不共线向量e 1，e 2，若λ，μ不全为0，则λe 1＋μe 2≠0 真4．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1≥0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数(m ＞0且m ≠1)．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m 的取值范围是________．解析：对①当m ＝0时，1≥0，mx 2＋1≥0的解集是R ，当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝－4m ≤0，∴m ＞0， ∴①为真命题时，m ≥0.对②，∵f (x )＝log m x 是减函数，∴0＜m ＜1，而②为真命题时，0＜m ＜1.当①真②假时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＞1，即m ＞1；当①假②真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，0＜m ＜1，即m ∈∅. 答案：m ＞15．判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．解析：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．6.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解析：(1)如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a ⊂π，∴PO ⊥a ，又a ⊥b ，b ⊂平面P AO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面P AO ，又c ⊂平面P AO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．。

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