湖北省2017届高三4月调研考试 数学(文) Word版含答案
2017年湖北省新联考高考数学四模试卷(文科)有答案
2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则∁U A）∩B=（）A．{2，8}B．{6，8}C．{2，4，6}D．{2，4，8}2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]5．已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（）A． +1 B． + C． +2 D．6．=（）A．B．C．D．17．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．20088．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．9．如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC=PD=CD=2，BC=2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．过抛物线x2=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点P到抛物线焦点F的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函数f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y=f（x）+1的部分图象如图所示，且f （x0）=4，则f（x0+1）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣612．设定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞1，则不等式（x﹣2017）3f（x﹣2017）﹣27＞0的解集为（）A． B．（0，2014）C．（0，2020）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量||=2，||=1，，的夹角为60°，如果⊥（+λ），则λ= ．14．已知点（x ，y）满足约束条件（其中a 为正实数），则z=2x ﹣y 的最大值为 ．15．已知函数f （x ）=，若f （a ）=f （b ）（0＜a ＜b ），则当取得最小值时，f （a +b ）= ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC +ccosB=3acosB ，b=2，且△ABC的面积为，则a +c= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足：﹣a 3，a 2，a 4成等差数列． （1）若a 1=1，求{a n }的前n 项和S n（2）若b n =log 2a 2n +1，且数列{b n }的前n 项和T n =n 2+3n ，求a 1．18．某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分150分）进行分析，按照不小于120分为优秀，120分以下为非优秀的标准统计成绩，已知从全班100人中随机抽取1人数学成绩优秀的概率为，调查结果如表所示．（2）根据列联表的数据，问是否有95%的把握认为“数学成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为6或10的概率．19．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，CE=AB，PD=λCE（λ＞1）（1）求证：PE⊥AD（2）若该几何体的体积被平面BED分成V B﹣CDE ：V多面体ABDEP=1：4的两部分，求λ的值．20．在平面直角坐标系xOy中，过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l不过点M，与椭圆Γ相交于P，Q两点，若△MPQ的外接圆是以PQ为直径，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．已知函数f（x）=a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．2017年湖北省新联考高考数学四模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则∁U A）∩B=（）A．{2，8}B．{6，8}C．{2，4，6}D．{2，4，8}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x=2n，n∈Z}，集合A={﹣2，0，2，4}，B={﹣2，0，4，6，8}，则（∁A）∩B={6，8}，U故选：B．2．设复数z满足z（1+i）=i（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．C．1 D．【考点】复数求模．【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i得z===+i，则则|z|==，故选：B3．在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在[﹣1，2]内任取一个数a，则点（1，a）位于x轴下方的概率为=，故选：C．4．若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[﹣3，3]B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．[﹣1，1]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可．【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，∴（﹣1，4）⊆（2m2﹣3，+∞），∴2m2﹣3≤﹣1，解得﹣1≤m≤1，故选：D．5．已知圆O：x2+y2=4与直线y=x交于点A，B，直线y=x+m（m＞0）与圆O相切于点P，则△PAB的面积为（）A． +1 B． + C． +2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由点到直线的距离求得m的值，将直线代入圆的方程，求得切点P，利用点到直线的距离公式求得P到直线y=x的距离d，则△PAB的面积S=•丨AB丨•d．【解答】解：由直线y=x过圆心O，则丨AB丨=4，由y=x+m与圆相切，则=2，则m=±4，由m＞0，则m=4，由，解得：，则P（﹣，1），则点P到直线y=x的距离d==，∴△PAB的面积S=•丨AB丨•d=+，故选B．6．=（）A．B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式对函数式化简即可得答案．【解答】解：===．故选：A．7．已知定义[x]表示不超过的最大整数，如[2]=2，[2，2]=2，执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．1991 B．2000 C．2007 D．2008【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=10时，退出循环，输出的S的值为2000．【解答】解：i=1，s=2017，i=2；s=2016，i=3；s=2016，i=3；s=2016，i=4，s=2016，i=5；s=2015，i=6；s=2010，i=7；s=2009，i=8；s=2008，i=9；s=2007，i=10；s=2000，跳出循环，输出s=2000，故选：B．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体， 其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C ．9．如图，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PC=PD=CD=2，BC=2，O ，M 分别为CD ，BC 的中点，则异面直线OM 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接BD ，OB ，PB ，则OM ∥BD ，∠PDB 或其补角为异面直线OM 与PD 所成角，△PBD 中，由余弦定理可得cos ∠PDB ．【解答】解：连接BD ，OB ，PB ，则OM ∥BD ，∴∠PDB 或其补角为异面直线OM 与PD 所成角．由条件PO ⊥平面ABCD ，则OB=3，PO=，BD=2，PB=2，△PBD 中，由余弦定理可得cos ∠PDB==，故选：C ．10．过抛物线x2=4y在第一象限内的一点P作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则点P到抛物线焦点F的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定点（a，a2）处的切线方程，进而可求切线与两坐标轴围成的三角形的面积，即可求得a的值，利用抛物线的定义，可得结论．【解答】解：抛物线x2=4y，即y=x2，求导数可得y′=x，所以在点（a，a2）处的切线方程为：y﹣a2=a（x﹣a），令x=0，得y=﹣a2；令y=0，得x=a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=，∴a=2，∴P（2，1），∴|PF|=1+1=2．故选B．11．已知函数f（x）=6sinωxcosωx﹣8cos2ωx+3（ω＞0），y=f（x）+1的部分图象如图所示，且f （x0）=4，则f（x0+1）=（）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=5sin（2ωx﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，由函数图象可求周期T ，由f （x 0）=4，利用正弦函数的对称性可求sin [2ω（x 0+1）﹣φ）=﹣1，利用正弦函数的周期性进而可求f （x 0+1）的值． 【解答】解：∵f （x ）=6sinωxcosωx ﹣8cos 2ωx +3 =3sin2ωx ﹣4cos2ωx ﹣1=5sin （2ωx ﹣φ）﹣1，其中sinφ=，cosφ=，∴设函数f （x ）的最小正周期为T ，则T=（θ+）﹣θ=，可得：T=2，∵f （x 0）=4，可得：sin （2ωx 0﹣φ）=1，即f （x ）关于x=x 0对称，而x=x 0+1与x=x 0的距离为半个周期，∴sin [2ω（x 0+1）﹣φ）=﹣1，∴f （x 0+1）=5sin [2ω（x 0+1）﹣φ]﹣1=5×（﹣1）﹣1=﹣6． 故选：D ．12．设定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），若f （3）=1，且3f （x ）+xf′（x ）＞1，则不等式（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27＞0的解集为（ ） A ． B ．（0，2014） C ．（0，2020） D ．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】令g （x ）=x 3f （x ），判断出g （x ）在（0，+∞）递增，原不等式转化为g （x ﹣2017）＞g （3），解出即可．【解答】解：∵3f （x ）+xf′（x ）＞1， ∴3x 2f （x ）+x 3f′（x ）＞x 2＞0， 故[x 3f （x ）]′＞0，故g （x ）=x 3f （x ）在（0，+∞）递增， ∵（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27f （3）＞0， ∴（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）＞33f （3），即g （x ﹣2017）＞g （3），故x ﹣2017＞3，解得：x ＞2020， 故原不等式的解集是， 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量||=2，||=1，，的夹角为60°，如果⊥（+λ），则λ= ﹣4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的垂直的条件以及数量积运算即可求出【解答】解：向量||=2，||=1，，的夹角为60°，∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，∴2+λ=0，即4+λ×2×1×=0，解得λ=﹣4，故答案为：﹣414．已知点（x，y）满足约束条件（其中a为正实数），则z=2x﹣y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：点（x，y）满足约束条件（其中a为正实数），可行域如图：目标函数的z=2x﹣y在B处取得最大值，由可得B（，）．所以z的最大值为：2×=10，解得a=4．故答案为：4．15．已知函数f（x）=，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则当取得最小值时，f（a+b）=1﹣2lg2．【考点】基本不等式．【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1，则==4a+b≥2=4，当且仅当b=4a时，取得最小值，由，可得a=，b=2，∴f（a+b）=f（）=lg=1﹣2lg2，故答案为：1﹣2lg2．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=3acosB，b=2，且△ABC的面积为，则a+c=4．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinA=3sinAcosB，结合sinA＞0，解得cosB=，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求ac的值，进而利用余弦定理可求a+c的值．【解答】解：∵由正弦定理有：，①由已知bcosC+ccosB=3acosB，②∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，∴由于sinA＞0，解得：cosB=，∵B是△ABC的角，∴B∈[0，π]，可得：sinB==，∵△ABC的面积为=acsinB=，∴解得：ac=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣ac，解得：a2+c2=4+3=7，∴a+c====4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足：﹣a3，a2，a4成等差数列．（1）若a1=1，求{a n}的前n项和S n（2）若b n=log2a2n+1，且数列{b n}的前n项和T n=n2+3n，求a1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）只需要根据：﹣a3，a2，a4成等差数列建立方程求出公比，再代入等比数列的求和公式即可，（2）先求出数列{b n}的通项公式，再利用等差数列的求和公式求出T n，利用已知条件建立方程即可求出a1．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，由条件可知q＞0，由﹣a3，a2，a4成等差数列，∴2a2=﹣a3+a4，∴2=q2﹣q，解得q=2或q=﹣1（舍去），又a1=1，∴{a n}的前n项和S n==2n﹣1；（2）由（1）可知，a n=a1•2n﹣1，则b n=log2a2n+1=2n+log2a1，∴T n=+nlog2a1=n2+3n∴log2a1=2，∴a1=418．某校高三子啊一次模拟考试后，为了解数学成绩是否与班级有关，对甲乙两个班数学成绩（满分150分）进行分析，按照不小于120分为优秀，120分以下为非优秀的标准统计成绩，已知从全班100人中随机抽取1人数学成绩优秀的概率为，调查结果如表所示．（2）根据列联表的数据，问是否有95%的把握认为“数学成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班数学成绩优秀的学生中抽取1人：把甲班数学成绩优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数和被记为抽取人的编号，求抽到的编号为6或10的概率．【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据题中所给条件，计算出两班数学成绩优秀的总人数为30，从而确定乙班数学成绩优秀的人数，进而得到甲班数学成绩非优秀的人数； （2）计算观测值K 2，对比临界值即可判断其关联性； （3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值． 【解答】解：（1）数学考试优秀人数有100×=30人，所以乙班优秀人数为30﹣10=20人；补充完整列联表如下：（2）计算观测值K 2=≈4.762＞3.841，∵P （K 2＞3.841）=0.05， ∴1﹣0.05=95%，∴有95%的把握认为“成绩与班级有关系”；（3）记事件“抽到6号或10号”为事件A ，则所有的基本事件是 （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），…，（6，6）共36个，其中事件A 包含的基本事件是（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（4，6），（5，5），（6，4）共8个；故所求的概率为P （A ）==．19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，CE=AB ，PD=λCE （λ＞1）（1）求证：PE ⊥AD（2）若该几何体的体积被平面BED 分成V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4的两部分，求λ的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）证明：AD ⊥平面PDCE ，即可证明PE ⊥AD ； （2）分别求出体积，利用V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4，求λ的值． 【解答】（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵PD ∩CD=D ， ∴AD ⊥平面PDCE ， ∵PD ⊂平面PDCE ， ∴PE ⊥AD（2）解：设AB=a ，则AD=CE=a ，V B ﹣CDE ==，V 多面体ABDEP =V B ﹣PDE +V P ﹣ABD ==，∵V B ﹣CDE ：V 多面体ABDEP =1：4，∴λ=2．20．在平面直角坐标系xOy 中，过点M （0，1）的椭圆 Γ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为（1）求椭圆 Γ的方程；（2）已知直线l 不过点M ，与椭圆 Γ相交于P ，Q 两点，若△MPQ 的外接圆是以PQ 为直径，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，得到a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）△MPQ的外接圆以PQ为直径，可得到MP⊥MQ，设直线MP方程，代入椭圆方程，求出点P的坐标，同理求出Q点坐标，从而求出直线PQ的方程，即可求出直线PQ过定点的坐标．【解答】解：（1）∵过点M（0，1）的椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a2=3，b=1，∴椭圆Γ的方程为．（2）证明：∵△MPQ外接圆是以PQ为直径，故MP⊥MQ，∴直线MP与坐标轴不垂直，由M（0，1）可设直线MP的方程为y=kx+1，直线MQ的方程为y=﹣（k≠0），将y=kx+1代入椭圆Γ的方程，整理，得；（1+3k2）x2+6kx=1，解得x=0，或x=﹣，∴P（﹣，﹣+1），即P（﹣，），同理，求得Q（，），∴直线l的方程为y=（x﹣）+，化简，得直线l的方程为y=，∴直线l过定点（0，﹣）．21．已知函数f（x）=a+（bx﹣1）e x，（a，b∈R）（1）如曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，求a，b的值；（2）若a＜1，b=2，关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=x，得，求出a，b 的值即可；（2）构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=be x+（bx﹣1）e x=（bx+b﹣1）e x，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，∴，∴，解得：；（2）当b=2时，f（x）=a+（2x﹣1）e x，（a＜1），关于x的不等式f（x）＜ax的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式a+（2x﹣1）e x﹣ax＜0的整数解有且只有1个，构造函数F（x）=a+（2x﹣1）e x﹣ax，x∈R，故F′（x）=e x（2x+1）﹣a，1°x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，故e x（2x+1）≥1，又a＜1，故F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）递增，∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，∴在[0，+∞）存在唯一整数x0，使得F（x0）＜0，即f（x0）＜ax0；2°当x＜0时，为满足题意，函数F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使得F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使得F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，函数F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]递减，∴≤a＜1；②当a＜0时，F（﹣﹣1）=﹣+2a＜0，不合题意，综上，a的范围是[，1）．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0（1）若直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围；（2）若m=0，求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0，利用直线l与曲线C没有公共点，即可求m的取值范围；（2）若m=0，若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0，利用极径的意义求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程对应的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣4=0，即（x﹣1）2+y2=5直线l的参数方程为，代入并整理可得t2+（m﹣1）t+m2﹣4=0∵直线l与曲线C没有公共点，∴△=（m﹣1）2﹣4（m2﹣4）＜0，∴m＜﹣﹣2或m＞﹣+2；（2）若m=0，直线l的极坐标方程为θ=，代入C的极坐标方程并整理可得ρ2﹣ρ﹣4=0．直线l被曲线C截得的弦的端点的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=﹣4，∴直线l被曲线C截得的弦长=|ρ1﹣ρ2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．。
湖北省黄冈市2017届高三第一次调研考试数学(文)试题 Word版含答案
文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|430}A x x x =-+=，2{|50,}B x x x x N =-<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.给定函数①12y x =；②12log (1)y x =+；③|1|y x =-，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 3. 给定下列两个命题：221:,,0p a b R a ab b ∃∈--<；2p ：在三角形ABC 中，A B >，则sin sin A B >.则下列命题中的真命题为（ ）A ．1pB ．12p p ∧C ．12()p p ∨⌝D ．12()p p ⌝∧4. 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥ D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥5. 设条件2:210p ax ax -+>的解集是实数集R ；条件:01q a <<，则条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 6. 函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）7.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．32cmB ．33cm C ．333cm D ．33cm8.已知函数2()f x x ax =-的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列1{}()f n 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ） A ．20142015 B ．20152016 C ．20162017 D ．201720189. 函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>在3x π=处取得最小值，则（ ）A ．()3f x π+是奇函数B ．()3f x π+是偶函数C ．()3f x π-是奇函数 D ．()3f x π-是偶函数 10. 在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=，6AC BC ==，M 为斜边AB 的中点，N 为斜边AB 上一点，且22MN =CM CN •的值为（ ） A ．182 B ．16 C ．24 D ．1811. 设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +•=（O 为坐标原点）且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）A ．2B ．12 C ．3 D ．1312.对于实数,m n 定义运算“⊕”： 2221,,m mn m nm n n mn m n⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊕-，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（ ） A ．7(,1)8-B ．1(,0)8-C ．7(,1)8D ．17(1,)16第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是 .14.若抛物线2y ax =的焦点F 的坐标为(0,1)-，则实数a 的值为 . 15. 已知向量,a b 满足||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为3π，则a 与2a b +的夹角为 . 16.已知函数()()1||xf x x R x =∈+时，则下列所有正确命题的序号是 . ①x R ∀∈，等式()()0f x f x -+=恒成立；②(0,1)m ∃∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根； ③12,x x R ∀∈，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； ④(1,)k ∃∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =+. （1）证明：数列{1}n a -为等比数列；（2）求n S .18. （本小题满分12分）ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 3A =.（1）求2cos cos 22B C A ++的值；（2）若a =ABC ∆面积的最大值.19. （本小题满分12分）命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），命题:q 实数x 满足|1|2302x x x -≤⎧⎪+⎨≥⎪-⎩.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 20. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(3,3)A B ，点C 在第二象限，且ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域内（含边界）. （1）若0PA PB PC ++=，求||OP ；（2）设(,)OP mAB nAC m n R =+∈，求2m n +的最大值. 21. （本小题满分12分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的一个零点为-2，当[0,4]x ∈时最大值为0. （1）求,a b 的值；（2）若对3x >，不等式()(2)15f x m x m >+--恒成立，求实数m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >，设()ln m g x x x=+. （1）求a 的值； （2）对任意120x x >>，1212()()1g x g x x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围；（3）讨论方程()()ln(1)g x f x x =++在[1,)+∞上根的个数.2016年高三九月考试数学试题答案（文科）一、选择题 D B D C C A B D B D AC 二、填空题 13. (-∞，-1)∪(1，+∞) 14.—14 15. 6π16. ①②③ 三、解答题17.解：（1）当1n =时, 111121,1S a a a ==+=-.由2n n S a n =+ ①得2n ≥时,1121n n S a n --=+- ,①-②得：11221,21n n n n n a a a a a --=-+=-,两边同时减1得：111222(1),{1}n n n n a a a a ---=-=-∴-是以-2为首项，2为公比的等比数列.……5分（2）由12n n a -=-，21nn a =-+，212(222)n n n S a a a n =+++=-++++12(12)2212n n n n +--=+=-++- ……10分18.解：（1）222sincos 2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221cos cos 2cos 12cos 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=- （2）1cos 3A =，可得sin A ==即有32b c ==时，ABC ∆的面积取得最大值4.19. （1）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x a <<，当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由|1|2302x x x -≤⎧⎪+⎨≥⎪-⎩，得1332x x x -≤≤⎧⎨≤->⎩或，解得23x <≤.即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤，若p q ∧为真，则p 真且q 假，所以实数x 的取值范围是(2,3)…………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知:3p a x a <<，则:3p x a x a ⌝≤≥或，:23q x <≤，则:23q x x ⌝≤>或，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则,p q q p ⌝⇒⌝⌝⇒⌝/且∴0233a a <≤⎧⎨>⎩解得12a <≤，故实数a 的取值范围是(1,2]．…………12分20.解：（1）A （1,1），B （3,3），ABC ∆是以BAC ∠为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，(1,3)C ∴- ，0PA PB PC ++=， P 是ABC ∆的重心，7(1,)3P ∴，58||3OP =……5分 (2) (,)OP mAB nAC m n R =+∈,(2,2),(2,2)AB AC ==-，(,)(22,22)x y m n m n =-+，3,,2444x y y x y xm n m n +--==+= ……9分 有线性规划知3y x -的最大值为10，此时1,3x y =-=m+2n 的最大值为52……12分 21解：(1) 2()(,)f x x ax b a b R =++∈的一个零点为-2，又当[0,4]x ∈时最大值为0.即另一个零点在[0,4]，则()0((0,4)),(4)0f x x f <∈=， 即函数的两个零点分别为-2,4. 2,8a b =-=- ……5分 或解：-2是零点，420,24a b b a -+==-，当|0||4|22a a-->--，即4a <-时，(0)240f a =-=，2a =（舍去） 当|0||4|22a a--≤--，即4a ≥-时，(4)16640f a =+-=，2a =-，此时8b =-(2)由（1）知2()28f x x x =--,228(2)15x x m x m -->+--，即2(4)70x m x m -+++>对3x >恒成立则①4293(4)70m m m +⎧≤⎪⎨⎪-+++≥⎩或②2(4)4(7)0m m ∆=+-+≤解得①2m ≤或 ②62m -≤≤，综合得m 的取值范围为(,2]-∞……12分（注：亦可分离变量2471x x m x -+<-对3x >恒成立）22.(1)解：()f x 的定义域为(,)a -+∞．'11()1x a f x x a x a+-=-=++由'()0f x =，解得x ＝1－a ＞－a.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：因此，()f x 在1x a =-处取得最小值，故由题意(1)10f a a -=-=，所以1a =. ……4分(2) 由1212()()1g x g x x x -<-知1122()()g x x g x x -<-对120x x >>恒成立即()()ln mh x g x x x x x=-=-+是(0,)+∞上的减函数. '21()10mh x x x=--≤对(0,)+∞恒成立，2m x x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立 2max 1()4x x -=，14m ≥ ……8分（3）由题意知ln m x x x +=，ln (1)mx x x x==≥由图像知1m ≥时有一个根，1m <时无根 ……12分 或解：2ln m x x x =- ，2'(ln )2ln 1,1x x x x x x -=--≥，又可求得1x ≥时min (2ln 1)10x x --=>.2ln x x x ∴-在1x ≥时 单调递增.1x ≥时，2ln 1x x x -≥ ， 1m ≥时有一个根，1m <时无根.。
湖北省武汉市届高三四月调研测试数学文试题Word版含答案
武汉市2017届高中毕业生四月调研考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.复数()23i i =- A.135i - B. 135i + C. 35i + D.35i - 2.已知集合{}()11,3,|0lg 1,2A B x x x Z ⎧⎫==<+<∈⎨⎬⎩⎭，则A B = A. {}1,3 B. {}1,2,3 C. {}1,3,4 D.{}1,2,3,43.设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是A.a 与a λ-的方向相反B.a a λ-≥C. a 与2a λ的方向相同D. a a λλ-≥ 4. 已知实数,x y 满足约束条件02422x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若果目标函数3z x y =+的最大值为A.163 B. 92 C. 8- D. 1725.等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则6162610log log log a a a +++=A.12B. 10C. 8D. 62log 5+6.若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数和为6的概率为A.16B. 112C. 536D.518 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的k = A.7 B. 8 C.9 D. 108.若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足4912,36S S ≤≥，则10a 的最小值为A. 2B. 72C. 3D. 6 9.已知双曲线()2221:0C x y a a -=>关于直线2y x =-对称的曲线为2C ，若直线236x y +=与2C 相切，则实数a 的值为B.85C.45 10. 四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为 A. 815π B. 8120π C. 815π1015π D.8120π 11.已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -= A. 72- B. 92 C. 72 D.92- 12.若0,0,1x y x y >>+=，则2222x y x y +++的最小值为A.14 B. 4 D.12 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()1ln 13f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的定义域为 . 14. 已知直线MN 过椭圆2212x y +=的左焦点1F 与椭圆交于M,N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且PQ 与椭圆交于P,Q 两点，则2PQ MN= .15. 如图所示，某地一天614-时的温度变化曲线近似满足函数()()sin y A x b ωϕϕπ=++<，则这段曲线的函数解析式可以为 .16.在正四面体ABCD 中，M,N 分别为BC 和DA 的中点，则异面直线MN 和CD 所成角的余弦值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足27,60.a b c A =-==（1）求b 的值；（2）若AD 平分BAC ∠交BC 于点D,求线段AD 的长.18.（本题满分12分）某鲜花店根据一个月（30天）某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立.（1）求这30天中日销售量低于100枝的概率；（2）若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率.19.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面,2,ABC AB BC ==11130,60,,ABC C CB BC AC E ∠=∠=⊥为AC 的中点，12CC =. （1）求证：1AC ⊥平面1C EB ； （2）求直线1CC 与平面ABC 所成角的余弦值.20.（本题满分12分）已知()32ln 2,f x x x ex ax a R =-+-∈其中e 为自然对数的底数.（1）若()f x 在x e =处的切线斜率为2e ，求a ；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知圆22:1O x y +=和抛物线2:2,E y x O =-为坐标原点.（1）已知直线l 和圆O 相切，与抛物线E 交于M,N 两点，且满足OM ON ⊥，求直线l 的方程；（2）过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线,PQ PR 和圆O 相切，且分别交抛物线E 于,Q R 两点，若直线QR的斜率为P 的坐标.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编：统计与概率 Word版含答案
湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编统计与概率2017.02一、选择、填空题 1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于20的概率是 A ．14 B ．34 C ．13 D ．232、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y bx a =+，则点(,)a b 与直线11018=+y x 的位置关系是（ ）A ．点在直线左侧B ．点在直线右侧C ．点在直线上D ．无法确定3、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）对于一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P 1，P 2，P 3，则 A ．P 1= P 2＜P 3B ．P 2= P 3＜P 1C ．P 1= P 2=P 3D ．P 1= P 3＜P 24、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知集合{|28}M x x =-≤≤，2{|320}N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ,则“x M N ∈ ”的概率为A ．110B ．16C ．310D ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下根据上图，可得这100名学生中体重在).,.[564556的学生人数是 ▲ ．6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是 A.12 B. 25 C. 710 D.357、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为，现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，置于一密闭容器搅拌均匀，从中任取一个，则取到两面涂红色的小正方体的概率为（ ） A.18 B.38 C. 827 D.12279、（孝感市2017届高三上学期期中）从4，5，6，7，8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12，31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.（1）用十位数为茎，在答题卡中画出原始数据的茎叶图；（2）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2,3,4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场得分大于40分的概率.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；（Ⅲ）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++3、（荆门市2017届高三元月调考）某中学对高三学生进行体能测试，已知高三某文科班有学生30人，立定跳远的测试成绩用茎叶图表示如下图（单位：cm）；男生成绩在195cm 以上（包括195cm）定义为“合格”，成绩在195cm以下（不包括195cm）定义为“不合格”；女生成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“合格”，成绩在185cm以下（不包括185cm）定义为“不合格”.（Ⅰ）求女生立定跳远测试成绩的中位数；（Ⅱ）若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（Ⅲ）若从（Ⅱ）的抽取6名男生中任意选取4人，求这4人中至少有3人“合格”的概率.4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（Ⅲ）从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数（1）求甲组工人制造零件的平均数和方差；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一个工人，求这两个工人制造的零件总数不超过20的概率.6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x （吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由；7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考） 某研究小组到社区了解参加健美操运动人员的情况，用分层抽样的方法抽取了40人进行调查，按照年龄分成五个小组：[](](](](]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求该社区参加健美操运动人员的平均年龄；（2）如果研究小组从该样本中年龄在[]30,40和(]70,80的6人中随机地抽取出2人进行深入采访，求被采访的2人，年龄恰好都在(]70,80内的概率.8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）孝汉城铁于12月1日开通，C5302、C5321两列车乘务组工作人员为了了解乘坐本次列车的乘客每月需求情况，分别在两个车次各随机抽取了100名旅客进行调查，下面是根据调查结果，绘制了乘车次数的频率分布直方图和频数分布表。
湖北省黄冈市2017届高三第一次调研考试数学(文)试题Word版含答案
文科数学第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合A{x|x24x30}，B{x|x25x0,xN}，那么满足条件ACB的集合C的个数为〔〕A．1B．2C．3D．412.给定函数①y x2；②y log1(x1)；③y|x 1|，其中在区间(0,1)上单调递减的2函数序号是〔〕A．①②B．②③C．③④D．①④给定以下两个命题：p1: a,b R,a2ab b20；p2：在三角形ABC中，A B，那么sinA sinB.那么以下命题中的真命题为〔〕A．p1B．p1p2C．p1(p2)D．(p1)p24.假设m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，那么以下为真命题的是〔〕A．假设m,，那么m B．假设m//,n//，那么m//nC．假设m,m//，那么D．假设,，那么5.设条件p:ax22ax10的解集是实数集R；条件q:0a1，那么条件p是条件q成立的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要1)l n |x|的图象大致为〔〕6.函数f(x)(x7.某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，那么这个几何体的体积是〔〕A．2cm3B．3cm3C．33cm3D．3cm38.函数f(x)x2ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x3y20垂直，假设数列{1}的前n项和为S n，那么S2021的值为〔〕f(n)A．2021B．2021C．2021D．202120212021202120219.函数f(x)Asin(x)(A0)在x处取得最小值，那么〔〕3A．f(x)是奇函数B．f(x3)是偶函数3C．f(x)是奇函数D．f(x3)是偶函数310.在Rt ABC中，BCA90，AC BC6，M为斜边AB的中点，N为斜边AB 上一点，且MN22，那么CMCN的值为〔〕A．182B．16C．24D．1811.设F1,F2是双曲线x2y21的左、右两个焦点，假设双曲线右支上存在一点P，使4(OP OF 2)F 2P0〔O 为坐标原点〕且|PF 1||PF 2|，那么 的值为〔〕A ．2B ．1C ．3D ．12312.对于实数m,n 定义运算“〞：mm 2 2mn 1,m nnmn,mn，设n 2f(x)(2x 1)(x 1)，且关于x 的方程f(x) a 恰有三个互不相等的实数根 x 1,x 2,x 3，那么x 1x 2 x 3的取值范围是〔〕A ．(7,1)B ．(1,0) C ．(7,1) D ．(1,17)88816第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 设函数f(x)2x4,x，假设f(a) f(1)，那么实数a 的取值范围是.x 3,x 014.假设抛物线yax 2 的焦点F 的坐标为(0,1)，那么实数a 的值为.15. 向量a,b 满足|a|2，|b|1，a 与b 的夹角为，那么a 与a2b 的夹角3为.16.函数f(x)x (xR)时，那么以下所有正确命题的序号是.|x|1①x R ，等式f(x)f(x)0恒成立；② m (0,1)，使得方程|f(x)|m 有两个不等实数根；③x 1,x 2 R ，假设x 1 x 2，那么一定有f(x 1)f(x 2)；④ k(1,)，使得函数g(x)f(x)kx在R 上有三个零点.三、解答题〔本大题共6小题，共70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕〔本小题总分值10分〕数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 2a n n .〔1〕证明：数列{a n1}为等比数列；2〕求S n .18. 〔本小题总分值 12分〕ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为1a,b,c ，且cosA.〔1〕求cos2BC3cos2A 的值；2〔2〕假设a 3，求ABC 面积的最大值.19.〔本小题总分值12分〕命题p:实数x 满足x24ax3a 2|x 1|20 〔其中a0〕，命题q:实数x 满足x3 .x 2〔1〕假设a 1，且pq 为真，求实数 x 的取值范围；〔2〕假设 p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20. 〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xOy 中，点A(1,1),B(3,3)，点C 在第二象限，且ABC 是以BAC 为直角的等腰直角三角形，点P(x,y)在ABC 三边围成的区域内〔含边界〕.〔1〕假设PAPBPC0，求|OP|；〔2〕设 OPmABnAC(m,nR)，求m2n 的最大值.〔本小题总分值12分〕函数f(x)x 2axb(a,b R)的一个零点为-2，当x[0,4]时最大值为0.〔1〕求a,b 的值；〔2〕假设对x3 ，不等式f(x) (m2)xm15恒成立，求实数m 的取值范围.22.〔本小题总分值12分〕函数f(x)x ln(xa)的最小值为 0，其中a0，设g(x)m lnx.x〔1〕求a 的值；〔2〕对任意x 1x 20，g(x 1) g(x 2)1恒成立，求实数 m 的取值范围；x 1 x 2〔3〕讨论方程g(x) f(x) ln(x 1)在[1, )上根的个数.2021年高三九月考试数学试题答案〔文科〕一、选择题DBDCC AB DBD AC二、填空题13.(-∞，-1)∪(1，+∞)14.—115.16.①②③46三、解答题17.解：〔1〕当n1时,S1a12a11,a11.由S n2a n n①得n2时, Sn12a n1n1,①-②得：a n2a n2a n11,a n2a n11,两边同时减1得：a n12a n122(a n11),{a n1}是以-2为首项，2为公比的等比数列.5分〔2〕由a n12n，a n2n1，S n a1a2a n(2222n)n 2(12n)n2n1n210分1218.解：〔1〕sin2B C cos2A sin2A2cos2A1A 21cosA2cos22cos2A12cos2A1 221111321299〔2〕cosA 1，可得sinA1122 39，3即有bc 3ABC的面积取得最大值32时，. 2419.〔1〕由x 24ax 3a 20得(x 3a)(x a) 0，又a0，所以ax3a ，当a1时，1x 3，即p 为真时实数x 的取值范围是1x 3.|x 1| 21 x 3由x 3，得，解得2x 3.0 x或xx 23 2即q 为真时实数x 的取值范围是 2 x 3 ，假设p q 为真，那么p 真且q 假，所以实数 x 的取值范围是 (2,3)6分〔Ⅱ〕由(Ⅰ)知p:ax3a，那么， ，那么q:x2或x3，p:xa 或x3aq:2x3p 是 q 的充分不必要条件，那么pq,且qp0a2解得 1 a 2 ，故实数a 的取值范围是(1,2]．12分∴33a20.解：〔1〕A 〔1,1〕，B 〔3,3〕，ABC 是以 BAC 为直角的等腰直角三角形且C 在第二象限，C( 1,3)，PA PBPC0，P 是ABC 的重心，P(1,7)，|OP|58 5分33(2)OP mAB nAC(m,nR), AB (2,2),AC ( 2,2)，(x,y)(2m2n,2m2n)，mx y,ny x 3yx9分44 ,m2n4有线性规划知 3y x 的最大值为 10，此时x1,y3m+2n 的最大值为512分221解：(1) f(x)x 2 ax b(a,bR)的一个零点为-2，又当x[0,4]时最大值为0.即另一个零点在 [0,4] ，那么f(x)0(x (0,4)),f(4)0，即函数的两个零点分别为 -2,4.a 2,b 85分或解：-2 是零点， 4 2a b 0,b2a4，当|a 0|| a 4|，即a 4时，f(0)2a40，a2〔舍去〕22当|a 0||a4|，即a4时，f(4)16 6a40，a2，此时b822(2)由〔1〕知f(x) x 22x 8,x 2 2x 8(m2)xm 15，即x 2(m 4)x7 m 0对x3恒成立m 4(m4)2那么①2或②4(m 7)93(m4)m70解得①m 2或② 6m 2 ，综合得m 的取值范围为(,2]12分〔注：亦可别离变量mx 2 4x7对x3恒成立〕x 122.(1) 解：f(x)的定义域为(a,)．f '(x)11 a x a1x x a由f '(x)0，解得x ＝1－a ＞－a.当x 变化时，f '(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－a,1－a)1－a (1－a ，＋∞)f '(x) －0 ＋f(x)极小值因此，f(x)在x1 a 处取得最小值，故由题意f(1a) 1 a 0，所以a 1.4分(2)由g(x 1)g(x 2)1知g(x 1)x 1g(x 2)x 2对x 1x 2 0恒成立x 1x 2即h(x)g(x) x lnxxm )上的减函数.是(0,1mxh '(x)10 对 (0,)恒成立，mxx 2对x(0,)恒成立x1 x 21(xx 2)max，m8分44〔3〕由题意知lnxm x ，m lnx(x1)xxx由图像知m 1时有一个根， m 1时无根12分或解：m x2xlnx，(x2xlnx)'2x lnx 1,x 1，又可求得x 1时(2x lnx1)min10.x2xlnx在x1时单调递增.x1时，x2xlnx1，m1时有一个根，m1时无根.。
湖北省武汉市2017-2018学年高三四月调考数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省武汉市2017-2018学年高三四月调考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）复数z=的实部与虚部之和为（）A．0B．C．1D．22．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）|，N={x|0＜x＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}3．（5分）函数f（x）=|sin cos|的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．655．（5分）若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∀x∈R，x2+2x+3≥0C．∀x∈R，x2+2x+3＜0 D．∀x∈R，x2+2x+3≤06．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（）A．3B．C．D．17．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费x i（千元）与销售额y i（万元）（i=1，2，3，4）满足，，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．[1}10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线：y2=4x的两条切线l1，l2，设l1，l2与y轴分别交于点B，C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2﹣3x﹣4=0 D．x2+y2+x﹣3y﹣2=0二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为．12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为．16．（5分）在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=．17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若y=f2（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分65分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S8=64．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＞（n≥2，n∈N）19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcos2A=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．（Ⅰ）求a、b的值（Ⅱ）若cosB=，求△ABC的面积．20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，AB⊥BP．（Ⅰ）求证：PA⊥BC（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1•k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．湖北省武汉市2015届高三四月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（5分）复数z=的实部与虚部之和为（）A．0B．C．1D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====，∴实部与虚部之和==1，故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．2．（5分）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2﹣1）|，N={x|0＜x＜2}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题主要考查了集合间的运算，根据运算原则求解即可．解答：解：M={x|y=lg（x2﹣1）}={x|x＜﹣1或x＞1}，∴∁R M={x|﹣1≤x≤1}，∴（∁R M）∩N={x|0＜x≤1}，故选：B．点评：本题主要考查集合间的运算，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=|sin cos|的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的正弦公式可得函数的解析式为f（x）=|sinx|，再根据y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于•，可得结论．解答：解：函数f（x）=|sin cos|=|sinx|的最小正周期是•=π，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦公式，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于•，属于基础题．4．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．65考点：众数、中位数、平均数；茎叶图．专题：计算题；图表型．分析：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数，乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36，做出两个数字之和．解答：解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36∴甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63故选B．点评：本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是先看出这组数据的个数，若个数是一个偶数，中位数是中间两个数字的平均数，若数字是奇数个，中位数是中间一个数字．5．（5分）若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＞0 B．∀x∈R，x2+2x+3≥0C．∀x∈R，x2+2x+3＜0 D．∀x∈R，x2+2x+3≤0考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称的否定是全称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称，所以，若P：∃x0∈R，x02+2x0+3≤0，则P的否定￢P是：∀x∈R，x2+2x+3＞0．故选：A．点评：本题考查的否定，特称与全称的否定关系，基本知识的考查．6．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是（）A．3B．C．D．1考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式可知AO是△ABC的边BC上的中线，可得△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．然后在等腰△ABO中利用余弦定理，算出∠AOB=120°，进而得到∠C=60°．最后结合向量数量积公式和△ABC的边长，即可得出•的值．解答：解：∵，∴AO是△ABC的边BC上的中线，∵O是△ABC外接圆的圆心∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形∵等腰△ABO中，||=||=1，=∴cos∠AOB==﹣，可得∠AOB=120°由此可得，∠B=30°，∠C=90°﹣30°=60°，且△ACO是边长为1的等边三角形∵Rt△ABC中，||=1，||=2∴•=||•||cos60°=1故选：D点评：本题给出三角形ABC外接圆心O，在已知AO是BC边的中线情况下求•的值．着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识，属于中档题．7．（5分）先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．解答：解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C点评：本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题．8．（5分）已知某产品连续4个月的广告费x i（千元）与销售额y i（万元）（i=1，2，3，4）满足，，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为=0.8x+a，那么广告费用为6千元时，可预测的销售额为（）A．3.5万元B．4.7万元C．4.9万元D．6.5万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x=6代入，即可得出结论．解答：解：由题意，=4.5，=3.5，代入=0.8x+a，可得3.5=0.8×4.5+a，所以a=﹣0.1，所以=0.8x﹣0.1，所以x=6时，=0.8×6﹣0.1=4.7，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．9．（5分）已知直线kx﹣y=k﹣1与ky﹣x=2k的交点在第二象限，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1）D．[1}考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：联立，解得，解出即可．解答：解：联立，解得，解得．∴实数k的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了直线的交点、不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）过点A（﹣2，3）作抛物线：y2=4x的两条切线l1，l2，设l1，l2与y轴分别交于点B，C，则△ABC的外接圆方程为（）A．x2+y2﹣3x﹣2y+1=0 B．x2+y2﹣2x﹣3y+1=0C．x2+y2﹣3x﹣4=0 D．x2+y2+x﹣3y﹣2=0考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用A的坐标满足圆的方程，判断求解即可．解答：解：由题意可知，△ABC的外接圆方程，A的坐标满足圆的方程，点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣2y+1=0，左侧=4+9+6﹣9+1=11≠0，不成立．所以A不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣2x﹣3y+1=0，左侧=4+9+4﹣9+1=9≠0，不成立．所以B不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2﹣3x﹣4=0，左侧=4+9+6﹣4=15≠0，不成立．所以C不正确；点A（﹣2，3）代入x2+y2+x﹣3y﹣2=0，左侧=4+9﹣2﹣9﹣2=0，成立．所以D正确；故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的应用，圆的方程的求法，本题是选择题，方法独特，希望同学们掌握；如果直接求解方法是设出切线的斜率，利用直线与抛物线相切，求出k，然后求出三角形的顶点坐标，利用圆的一般方程求解．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．（5分）不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，由此求得不等式的解集．解答：解：由于|x|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，而﹣1和2对应点到0、1对应点的距离之和等于3，故当x＜﹣1，或x＞2时，不等式|x|+|x﹣1|＞3成立．故不等式|x|+|x﹣1|＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．12．（5分）若x、y满足，则z=x﹣y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（1，0），化目标函数z=x﹣y为直线方程斜截式：，由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值等于．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，则输出的S等于考点：程序框图．专题：图表型；三角函数的图像与性质．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=5时，不满足条件n ＜p，退出循环，输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得p=5，n=0，S=0满足条件n＜p，n=1，S=满足条件n＜p，n=2，S=满足条件n＜p，n=3，S=满足条件n＜p，n=4，S=满足条件n＜p，n=5，S=不满足条件n＜p，退出循环，输出S的值为．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的n，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2π+2π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥，结合图中数据，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面为半圆，高为2的半圆锥，且底面半圆的半径为2；∴该半圆锥的表面积为S表面积=S半圆+S△+S侧面展开图=π•22+×4×2+××2π•2×=2π+4+2π．故答案为：2π+2π+4．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．15．（5分）如图，正四棱锥O﹣ABCD的棱长均为1，点A、B、C、D在求O的表面上，延长CO交球面于点S，则四面体A﹣SOB的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=．利用正方体的性质与勾股定理的逆定理可得OA⊥OC，利用四面体A﹣SOB的体积V=V B﹣SAO=BE•S△SAO．即可得出．解答：解：假设AC与BD相交于点E，则BE⊥平面SAC，BE=．连接SA，∵SC是直径，∴SA⊥AC，∵OA2+OC2=AC2=2，∴OA⊥OC，∴又S△SAO=S△OAC==．四面体A﹣SOB的体积V=V B﹣SAO=BE•S△SAO=×=．故答案为：．点评：本题考查了线面面面垂直的判定性质定理、正方形的性质、正四面体的性质、球的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=4．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求．解答：解：设等比数列a n的公比为q，则{}也是等比数列，且公比为，依题意得：，两式作比得：，即，∵a n＞0，∴a3=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若y=f2（x）﹣af（x）+a﹣1的零点个数是7个，则实数a的取值范围为（，2）．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简f2（x）﹣af（x）+a﹣1=0得f（x）=1或f（x）=a﹣1，作f（x）与y=1及y=a ﹣1的图象，由数形结合求解．解答：解：令f2（x）﹣af（x）+a﹣1=0得，f（x）=1或f（x）=a﹣1，作f（x）与y=1及y=a﹣1的图象如下，由图象知，y=1与f（x）的图象有三个交点，故y=a﹣1与f（x）有四个交点，f（2）=，则结合图象可得，＜a﹣1＜1，即＜a＜2；故答案为：（，2）．点评：本题考查了函数的零点与函数的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分65分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S8=64．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＞（n≥2，n∈N）考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，通过a3=5，S8=64可得首项和公差，计算即可；（2）通过（1）可知S n=n2，利用不等式的性质化简可得原成立，只需3n2＞1在n≥1时恒成立．解答：（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意，可得，解得a1=1，d=2，∴数列{a n}的通项公式为：a n=2n﹣1；（2）证明：由（1）可知：S n=n2，要证：＞（n≥2，n∈N）恒成立，只需证：+＞，只需证：[（n+1）2+（n﹣1）2]n2＞2（n2﹣1）2，只需证：（n2+1）n2＞（n2﹣1）2，只需证：3n2＞1，而3n2＞1在n≥1时恒成立，且以上每步均可逆，从而：＞（n≥2，n∈N）恒成立．点评：本题考查等差数列的简单性质，利用不等式的性质进行化简是解决本题的关键，属于中档题．19．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边a，b，c，且满足bcos2A=a（2﹣sinAsinB），a+b=6．（Ⅰ）求a、b的值（Ⅱ）若cosB=，求△ABC的面积．考点：正弦定理．分析：（I）由bcos2A=a（2﹣sinAsinB），可得sinBcos2A=sinA（2﹣sinAsinB），化为sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a，b．（II）由cosB=，可得sinB=，可得sinA=，cosA=；sinC=sin （A+B）=sinAcosB+cosAsinB，利用S△ABC=即可得出．解答：解：（I）∵bcos2A=a（2﹣sinAsinB），∴sinBcos2A=sinA（2﹣sinAsinB），∴sinBcos2A+sin2AsinB=2sinA，∴sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，与a+b=6联立解得a=2，b=4．（II）∵cosB=，∴sinB==，∴sinA==cosA==；∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，∴S△ABC===2．（II）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=2a，c=，∴4a2=a2+7﹣=a2+7﹣2×，化为3a2+4a﹣7=0，解得a=1．∴b=2．∴a=1，b=2．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）如图，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，AB⊥BP．（Ⅰ）求证：PA⊥BC（Ⅱ）求点P到底面ABC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取BC中点M，连结AM，PM，依题意可知AM⊥BC，PM⊥BC，从而BC⊥平面PAM，由此能证明PA⊥BC；（Ⅱ）过P作PH⊥AM，连接BH，证明PH⊥平面ABC，求出BH，即可求点P到底面ABC 的距离．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点M，连结AM，PM，依题意底面ABC是边长为1的正三角形，PB=PC=，所以AM⊥BC，PM⊥BC，又AM∩PM=M，所以BC⊥平面PAM，又PA⊂平面PAM，所以PA⊥BC；（Ⅱ）解：因为BC⊥平面PAM，BC⊂平面ABC所以平面ABC⊥平面PAM，过P作PH⊥AM，连接BH，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AB，因为AB⊥PB，PH∩PB=P，所以AB⊥平面PBH，所以AB⊥BH．在Rt△ABH中，∠BAH=30°，所以BH=，在Rt△PBH中，PB=，所以PH==，所以点P到底面ABC的距离为．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，正确作出点P到底面ABC的距离是解题的关键．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；（2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值．解答：解：（1）函数f（x）=x3﹣3x2+ax的导数为f′（x）=3x2﹣6x+a，判别式△=36﹣12a，当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数；当a＜3时，即△＞0，3x2﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣，x2=1+，f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2．综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R；a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）．（2）由于y=|f（x）|的图象经过原点，当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在[0，1]递增，即有x=1处取得最大值，且为a﹣2；当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在[0，1﹣）递增，在（1﹣，1]递减，则f（x）在x=1﹣处取得最大值，且大于0，又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0，则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣）．综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2；当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若A、B是椭圆C上的两动点，O为坐标原点，OA、OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数λ，使k1•k2=λ时，△AOB的面积S为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过=、2b=2、a2=b2+c2，计算即得结论；（Ⅱ）设直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、三角形面积计算公式、k1•k2=λ可得S△AOB的表达式，分析表达式、计算即可．解答：解：（Ⅰ）∵e==，2b=2，a2=b2+c2，∴a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：+y2=1；（Ⅱ）结论：存在非零常数λ=﹣，使k1•k2=﹣时，△AOB的面积S为定值1．理由如下：设存在这样的常数λ，使k1•k2=λ时，S△AOB为定值．设直线AB的方程为：y=kx+m，且AB与+y2=1的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），∵k1•k2=λ，∴λx1x2﹣y1y2=0，∴﹣λx1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，∴（k2﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．将y=kx+m代入+y2=1，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，∴（k2﹣λ）x1x2+km（x1+x2）+m2=0可化为：m2=，∵点O到直线AB的距离为d=，∴S△AOB=•d•|AB|=•|x1﹣x2|•|m|=，∴==•，要使上式为定值，只需==，即只需（1+4λ）2=0，∴λ=﹣，此时=，即S△AOB=1，故存在非零常数λ=﹣，此时S△AOB=1．点评：本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编：坐标系与参数方程 Word版含答案
湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编坐标系与参数方程2017.021、2017届高三2月联考）在极坐标系中，已知三点（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值.2、（荆门市2017届高三元月调考）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的方程为πsin()42ρθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点),(y x P 在该圆上，求y x +的最大值和最小值．4、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数），曲线C 2的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=与C 1，C 2各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.(Ⅰ)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求a 与b 的值； (Ⅱ)设当4πα=时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当4πα=-时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求直线A 1 A 2 、B 1B 2的极坐标方程.5、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考） 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，C 的极坐标方程为4cos 2sin .ρθθ=+（1）求直线l 和C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.6、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.7、（襄阳市2017届高三1月调研）在直角坐标系xoy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程； (2))若直线3C 的极坐标方程为()4R πρρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N 求2MNC ∆的面积. 8、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考） 在直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为23cos 3sin x t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为().4R πθρ=∈（1）求圆C 的直角坐标方程及其圆心C 的直角坐标； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求ABC ∆的面积.9、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点()1,0M ,倾斜角为.6π（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的标准参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求MA MB +.10、（荆州中学2017届高三1月质量检测）直角坐标系xOy 的原点和极坐标系OX 的极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，单位长度相同．在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 4y x (ϕ为参数)． (1)在极坐标系下，曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ-=分别交于B A ,两点，求AOB ∆的面积；(2)在直角坐标系下，直线l 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2226t y tx (t 为参数)，求曲线C 与直线l 的交点坐标．11、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知直线l的极坐标方程为cos sin 10θρθ+-=，曲线C 的极坐标方程为4ρ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线交于A ，B 两点，求线段AB 的长。
【精品】2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷及参考答案(文科)
2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，2）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）3．（5分）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣84．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣45．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）A．a﹣1＞b B．a+1＞b C．|a|＞|b|D．a3＞b36．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．27．（5分）定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a3﹣3，则S9=（）A．25 B．27 C．50 D．549．（5分）已知函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．2 C．3 D．412．（5分）已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l 1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为．14．（5分）某路公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为．15．（5分）棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体ABCD的棱长为．16．（5分）已知平面向量满足与的夹角为60°，记，则|的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣ax（a为常数）有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f（1）＞10成立的实数m的取值范围．2017年湖北省武汉市高三五月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：==+i，则复数z的虚部为．故选：B．2．（5分）设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1}，则A∩B=（）A．[﹣1，2）B．（0，2） C．（﹣∞，2）D．（﹣1，2）【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2）B={y|y=2x﹣1}={y|y＞﹣1}=（﹣1，+∞）则A∩B=（﹣1，2）．故选：D．3．（5分）设{a n}是公比负数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＜0，∵a1=2，a3﹣4=a2，∴2q2﹣4=2q，解得q=﹣1．则a3=2×（﹣1）2=2．故选：A．4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣4【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为直线方程的斜截式y=x﹣．由图可知，当直线y=x﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z最大，为z=1﹣2×0=1．故选：B．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（）A．a﹣1＞b B．a+1＞b C．|a|＞|b|D．a3＞b3【解答】解：∵a＞b，∴a+1＞b，反之不一定成立．例如取a=，b=1．∴使a＞b成立的必要而不充分条件是a+1＞b．故选：B．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选B．7．（5分）定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f（2m），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：f（x）为偶函数；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴a=f（log0.53）=，，c=f（0）=20﹣1=0；∴c＜a＜b．故选C．8．（5分）若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a3﹣3，则S9=（）A．25 B．27 C．50 D．54【解答】解：记数列{a n}的公差为d，则由a1=2a3﹣3可知a1=3﹣4d，又S9=9a1+d=9（a1+4d）=27，故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数f（x）=sin（2017x）+cos（2017x）=2sin（2017x+），∵函数f（x）最大值为A，∴A=2．函数的周期T=．存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，可知实数x1，x2使得函数取得最大值和最小．∴|x1﹣x2|．当|x1﹣x2|=时，可得A|x1﹣x2|的最小值为．故选B．10．（5分）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．【解答】解：因为y′===，∵，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选：D．11．（5分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，PA=PB，由三视图可知，AB∥CD，AB=BC=2，CD=1，侧面PAB中P到AB的距离为h=，∴几何体的体积V===．故选A．12．（5分）已知椭圆内有一点M（2，1），过M的两条直线l 1，l2分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由=λ，即（2﹣x1，1﹣y1）=λ（x3﹣2，y3﹣1），则，同理可得：，∴，则2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：=﹣×，即﹣=﹣×，则a2（y1+y2）=2b2（x1+x2）①，同理可得：a2（y3+y4）=2b2（x3+x4）②，①+②得：a2[（y1+y2）+（y3+y4）]=2b2[（x1+x2）+（x3+x4）]，∴2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]=1[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴=则=，则椭圆的离心率e===，故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，则m的值为0．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心为C（1，﹣2），∵直线2x+y+m=0过圆x2+y2﹣2x+4y=0的圆心，∴圆心C（1，﹣2）在直线2x+y+m=0上，∴2×1﹣2+m=0，解得m=0．故答案为：0．14．（5分）某路公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为．【解答】解：小明在6：50至7：30之间到达发车站乘坐班车，总时长为40分钟，设小明到达时间为y，当y在6：50至7：00，或7：20至7：30时，小明等车时间不超过10分钟的时长为20分钟，由几何概型的公式得到故P=；故答案为：．15．（5分）棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体ABCD的棱长为．【解答】解：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为a，正方体的对角线长为a，∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴正四面体的外接球的半径为a．，∴a=，则正四面体的棱长为=，故答案为：16．（5分）已知平面向量满足与的夹角为60°，记，则|的取值范围为[，+∞）．【解答】解：设=，=，=，则OA=1，∠OAB=120°，∵，∴A，B，C三点共线，O到直线AB的距离d=OA•sin60°=，∴OC≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足．（1）求角A的大小；（2）若D为BC上一点，且，求a．【解答】解：（1）由，则（2c﹣b）cosA=acosB，由正弦定理可知：===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，整理得：2sinCcosA﹣sinBcosA=sinAcosB，由A=π﹣（B+C），则sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），即2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，由sinC≠0，则cosC=，即A=，∴角A的大小；（2）过D作DE∥AC于E则△ADE中，ED=AC=1，∠DEA=，由余弦定理可知AD2=AE2+ED2﹣2AE•EDcos，又AC=3，A=，则△ABC为直角三角形，∴a=BC=3，∴a的值为3．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．（1）求证：AE∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∵BC=2AD，E是BC的中点，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，又AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD．（2）解：连结DE，BD，设AE∩BD=O，则四边形ABED是正方形，∴O为BD的中点，∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴BD=2，OB=，OA=，PA=PB=2，∴OP⊥OB，OP=，∴OP2+OA2=PA2，即OP⊥OA，又OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，OA∩BD=O，∴OP⊥平面ABCD．∴V P===2．﹣ABCD19．（12分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由题意，得出下表；计算=×x i=5，=×y i=1.072，（x i﹣）（y i﹣）=0.64，∴===0.064，=﹣=1.072﹣0.064×5=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为=0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时，=0.064×12+0.752=1.52；即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．20．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且．（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F的直线l与抛物线相交于A，D两点，与圆x2+（y﹣1）2=1相交于B，C两点（A，B两点相邻），过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．【解答】解：（1）由题意可知P（4，0），Q（4，），丨QF丨=+，由，则+=×，解得：p=2，∴抛物线x2=4y；（2）设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，由y=x2，求导y′=，直线MA：y﹣=（x﹣x1），即y=x﹣，同理求得MD：y=x﹣，，解得：，则M（2k，﹣1），∴M到l的距离d==2，•S△CDM=丨AB丨丨CD丨•d2，∴△ABM与△CDM的面积之积S△ABM=（丨AF丨﹣1）（丨DF丨﹣1）•d2，=y 1y2d2=•×d2，=1+k2≥1，当且仅当k=0时取等号，当k=0时，△ABM与△CDM的面积之积的最小值1．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+﹣ax（a为常数）有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）记f（x）的两个不同的极值点分别为x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0），f（x）有2个不同的极值点，即方程x2﹣ax+a=0有2个不相等的正根，故，解得：a＞4；（2）由（1）得x1+x2=a，x1x2=a，a＞4，∴f（x1）+f（x2）=alnx1+﹣ax1+alnx2+﹣ax2=aln（x1x2）+﹣x1x2﹣a（x1+x2）=a（lna﹣﹣1），不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，即λ＞=lna﹣﹣1恒成立，记h（a）=lna﹣﹣1，（a＞4），则h′（a）=﹣＜0，则h（a）在（4，+∞）递减，故h（a）＜h（4）=ln4﹣3，即λ≥ln4﹣3．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I）求曲线C2的直角坐标系方程；（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：（I）由ρ=可得ρ=x+2，∴ρ2=（x+2）2①，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x2+y2=ρ（cos2θ+sin2θ）=ρ2②由①②两式子可得y2=4（x+1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣2m|（m＞0）．（Ⅰ）求证：f（x）≥8恒成立；（Ⅱ）求使得不等式f （1）＞10成立的实数m 的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x +|+|x ﹣2m |（m ＞0）， ∴f （x ）=|x +|+|x ﹣2m |≥|x +﹣（x ﹣2m ）|=|+2m |=+2m ≥2=8，当且仅当m=2时，取等号，故f （x ）≥8恒成立．（Ⅱ）f （1）=|1+|+|1﹣2m |，当m ＞时，f （1）=1+﹣（1﹣2m ），不等式即+2m ＞10，化简为m 2﹣5m +4＞0，求得m ＜1，或m ＞4，故此时m 的范围为（，1）∪（4，+∞）．当0＜m ≤时，f （1）=1++（1﹣2m ）=2+﹣2m 关于变量m 单调递减， 故当m=时，f （1）取得最小值为17， 故不等式f （1）＞10恒成立．综上可得，m 的范围为（0，1）∪（4，+∞）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
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2017年湖北省高三四月调考
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则z z ⋅=
2i 2.设集合(){}(){}(),|,,,|1,,|
11
y U x y x R y R A x y y x B x y x ⎧⎫=
∈∈==+==⎨⎬+⎩
⎭
，则U A C B =
A.
(){}1,0- B. {}1- C. {}1,0- D.∅
3.设等比数列{}n a 中，若22462,14a a a a =++=，则公比q =
A.3
B. 4.已知点()()1,0,1,0A B -为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右顶点，点M 在双曲线
上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120
，则该双曲线的标准方程为
A. 22
14y x -= B. 2212y x -= C.22
1x y -= D.2212
y x -=
5.已知tan 52x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
，则1
sin cos x x = A.
265 B. 265- C. 265± D.5
26
- 6. 设,,a b c
均为非零向量，则a c = 是a c b c ⋅=⋅ 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x =，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为
A.
34 B. 23 C. 12 D.13
8. 已知函数
()()cos 0,,2x
x f x a R a e ωϕπωϕ+⎛⎫=><∈ ⎪⋅⎝⎭
在区间[]3,3-上的图象如图所示，则
a
ω
可取
A. 4π
B. 2π
C.π
D.
2
π
9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5y =，则满足条件的实数x 的个数为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. 2
B. 4
C.
3
D. 13+
11.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F,设过抛物线上一点P 处的切线为
1l ，过点F 且垂直于PF 的直线为2l ，则1l 与2l 交点Q 的横坐标为
A. 34-
B. 1-
C. 4
3
- D.不能确定
12. 已知实数,x y 满足()2
2
21x y +-=
的取值范围是
A. 2⎤⎦
B. []1,2
C. (]0,2
D. ⎤
⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE 所成角的大小为为 . 14. 已知函数()2
143ln 2
f x x x x =-+-在(),1t t +上存在极值点，则实数t 的取值范围是 .
15. 某单位植树节计划种杨树x 棵，柳树y 棵，若实数,x y 满足约束条件2527x y x y x ->⎧⎪
-<⎨⎪<⎩
，则
该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 .
16. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且0,0n n a b >>，记数列{}n n a b ⋅的前n
项和为n S ，若()()
111,131n n a b S n n N *
===-⋅+∈，则数列25n n a b ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
的最大项为 第 项.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且cos .a C b
= （1）求B ；
（2）设CM 是角C 的平分线，且3
1,4
CM a ==，求b .
18.（本题满分12分）
如图，长方体1111ABCD A BC D -中，点
M 在棱1BB 上，两条直线,MA MC 与平面ABCD 所成角均为θ，AC 与BD 交于点O.
（1）求证：AC OM ⊥；
（2）当11
12
AB BM BB ===时，求点1D 到平面AMC 的距离.
19.（本题满分12分）
在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:
（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求,x y 的值；
（2）从一分钟内跳绳次数不低于110次且不高于120次的学生中任取两名，求两名学生中至少有一名男生的概率.
20.（本题满分12分）
已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的长轴AB 为的长为6，离心率为1
.3
（1）求椭圆E 方程；
（2）过椭圆E 的右焦点F 的直线与椭圆E 交于M,N 两点，记AMB ∆的面积为1S ，
ANB ∆的面积为2S ，当12S S -取得最大值时，求12S S +的值.
21.（本题满分12分） 已知函数()2
14ln .x
f x x -=
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对任意的121,,x x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，且12x x ≠，不等式()()12221212
f x f x k
x x x x -≤-⋅恒成
立，求实数k 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题
给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为曲线1C 的
极坐标方程为2sin ρθ=，正方形ABCD 的顶点都在上，且依次按逆时针方向排列，点A
的极坐标为.4π⎫
⎪⎭
（1）求点C 的直角坐标；
（2）若点P 在曲线222:4C x y +=上运动，求2
2
PB PC +的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 2.f x x a x =++-
（1）若()f x 的最小值为4，求实数a 的值；
（2）若10x -≤≤时，不等式()3f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。